高中新課程數(shù)學(xué)(人教新課標(biāo))二輪復(fù)習(xí)精選

1、專題二高考中解答題的審題方法探究一、解答題的地位及考查的范圍數(shù)學(xué)解答題是高考數(shù)學(xué)試卷中的一類重要題型，這些題涵蓋了中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，具有知識容量大、解題方法多、能力要求高、突顯數(shù)學(xué)思想方法的運用以及要求考生具有一定的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力等特點，解答題綜合考查學(xué)生的運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和分析問題、題解決問題的能力，分值占7080分，主要分六塊：三角函數(shù)（或與平面向量交匯）、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（或與不等式交匯）、概率與統(tǒng)計、解析幾何（或與平面向量交匯）、立體幾何、數(shù)列（或與不等式交匯）從歷年高考題看綜合題這些題型的命制都呈現(xiàn)出顯著的特點和解題規(guī)律，從閱卷中發(fā)現(xiàn)考生“會而得不全分”的現(xiàn)象大有

2、人在，針對以上情況，在高考數(shù)學(xué)備考中認真分析這些解題特點并及時總結(jié)出來，這樣有針對性的進行復(fù)習(xí)訓(xùn)練，能達到事半功倍的效果二、解答題的解答技巧解答題是高考數(shù)學(xué)試卷的重頭戲，占整個試卷分數(shù)的半壁江山，考生在解答解答題時，應(yīng)注意正確運用解題技巧（1） 對會做的題目：要解決“會而不對，對而不全”這個老大難的問題，要特別注意表達準確，考慮周密，書寫規(guī)范，關(guān)鍵步驟清晰，防止分段扣分解題步驟一定要按教科書要求，避免因“對而不全”失分（2） 對不會做的題目：對絕大多數(shù)考生來說，更為重要的是如何從拿不下來的題目中分段得分我們說，有什么樣的解題策略，就有什么樣的得分策略對此可以采取以下策略：缺步解答：如遇到一個不

3、會做的問題，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個個小問題，先解決問題的一部分，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步特別是那些解題層次明顯的題目，每一步演算到得分點時都可以得分，最后結(jié)論雖然未得出，但分數(shù)卻可以得到一半以上跳步解答：在解第二步時往往運用第一步的結(jié)果.若題目有兩問，第（1）問想不出來，可把第 （1） 問作“已知”，先做第 （2） 問，跳一步再解答輔助解答：一道題目的完整解答，既有主要的實質(zhì)性的步驟，也有次要的輔助性的步驟實質(zhì)性的步驟未找到之前，找輔助性的步驟是明智之舉如：準確作圖，把題目中的條件翻譯成數(shù)學(xué)表達式，根據(jù)題目的意思列出要用的公式等羅列這些小步驟都是有分的，這些全是解

4、題思路的重要體現(xiàn)，切不可以不寫，對計算能力要求高的，實行解到哪里算哪里的策略書寫也是輔助解答，“書寫要工整，卷面能得分”是說第一印象好會在閱卷老師的心理上產(chǎn)生光環(huán)效應(yīng)逆向解答：對一個問題正面思考發(fā)生思維受阻時，用逆向思維的方法去探求新的解題途徑，往往能得到突破性的進展順向推有困難就逆推，直接證有困難就反證三、怎樣解答高考數(shù)學(xué)題1 解題思維的理論依據(jù)針對備考學(xué)習(xí)過程中，考生普遍存在的共性問題：一聽就懂、一看就會、一做就錯、一放就忘， 做了大量的數(shù)學(xué)習(xí)題，成績?nèi)匀浑y以提高的現(xiàn)象，我們很有必要對自己的學(xué)習(xí)方式、方法進行反思，解決好“學(xué)什么，如何學(xué)，學(xué)的怎么樣”的問題要解決這里的“如何學(xué)”就需要改進學(xué)

5、習(xí)方式，學(xué)會運用數(shù)學(xué)思想方法去自覺地分析問題，弄清題意，善于轉(zhuǎn)化，能夠?qū)⒚鎸Φ男聠栴}拉入自己的知識網(wǎng)絡(luò)里，在最短的時間內(nèi)擬定解決問題的最佳方案，實現(xiàn)學(xué)習(xí)效率的最優(yōu)化美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在名著怎樣解題里， 把數(shù)學(xué)解題的一般思維過程劃分為：弄清問題f擬訂計劃f實現(xiàn)計劃f回顧.這是數(shù)學(xué)解題的有力武器，對怎樣解答高考數(shù)學(xué)題 有直接的指導(dǎo)意義2 求解解答題的一般步驟第一步：(弄清題目的條件是什么，解題目標(biāo)是什么？)這是解題的開始，一定要全面審視題目的所有條件和答題要求，以求正確、全面理解題意，在整體上把握試題的特點、結(jié)構(gòu)，多方位、多角度地看問題，不能機械地套用模式，而應(yīng)從各個不同的側(cè)面、角度來識別題

6、目的條件和結(jié)論以及圖形的幾何特征與數(shù)學(xué)式的數(shù)量特征之間的關(guān)系，從而利于解題方法的選擇和解題步驟的設(shè)計第二步：(探究問題已知與未知、條件與目標(biāo)之間的聯(lián)系，構(gòu)思解題過程)根據(jù)審題從各個不同的側(cè)面、不同的角度得到的信息，全面地確定解題的思路和方法第三步：(形成書面的解題程序，書寫規(guī)范的解題過程)解題過程其實是考查學(xué)生的邏輯推理以及運算轉(zhuǎn)化等能力評分標(biāo)準是按步給分，也就是說考生寫到哪步，分數(shù)就給到哪步，所以卷面上講究規(guī)范書寫第四步：(反思解題思維過程的入手點、關(guān)鍵點、易錯點，用到的數(shù)學(xué)思想方法，以及考查的知識、技能、基本活動經(jīng)驗等)(1)回頭檢驗 即直接檢查已經(jīng)寫好的解答過程，一般來講解答題到最后得到

7、結(jié)果時有一種感覺，若覺得運算挺順利則好，若覺得解答別扭則十有八九錯了，這就要認真查看演算過程(2)特殊檢驗 即取特殊情形驗證，如最值問題總是在特殊狀態(tài)下取得的，于是可以計算特殊情形的數(shù)據(jù)，看與答案是否吻合看似復(fù)雜，實則簡單，帶你融匯貫通三角問題主要題型：(1)三角函數(shù)式的求值與化簡問題；(2)單純?nèi)呛瘮?shù)知識的綜合；(3)三角函數(shù)與平面向量交匯；(4)三角函數(shù)與解斜三角形的交匯；(5)單純解斜三角形；(6)解斜三角形與平面向量的交匯.A【例 1】？(2012 山東)已知向重 m= (sinx,1), n= (03Acosx, cos2x)(A>0),函數(shù) f(x)=m n 的最大值為6.

8、求A；(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移 標(biāo)個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原55來的；，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)在0,五上的值域.審題路線圖條件 f(x)= m n?兩個向量數(shù)量積(坐標(biāo)化)(a b = xix2+yiy2)?化成形如y= Asin(cox+昉的形式.(二倍角公式、兩角和的正弦公式)?A>0, f(x)的最大值為6,可求A.一，一一 TT?向左平移12個單位長度，i?縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的2.， 一一 一，、兀?由x的氾圍確7E 4x+-的范圍再確定3兀一.，一sin 4x+-的范圍，得結(jié)論.3規(guī)范解答(1)f(x)=

9、m nAV3Asinxcosx+ 2cos2x(2 分)“，3 c , 1 c、=A(-2-Sin2x+ 2cos2x)jt=Asin 2x+Z .6因為A>0,由題意知A = 6.(6分)一，一一八 兀(2)由(1)f(x) = 6sin 2x+6 .兀將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移12個單位后得到兀 兀兀，-y=6sin 2 x+直 +g = 6sin 2x + § 的圖象；(8分)一,，一一，* ，一一 ，一，一 1 ，一，兀一一一再將得到圖象上各點橫坐標(biāo)縮短為原來的;倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=6sin 4x+的圖象.23兀因此 g(x) = 6sin 4x+ 0.(10

10、 分) 3因為 xC 0,5/,所以 4x+, 3, 7r ,5兀故g(x)在0, 24上的值域為3,6. (12分)搶分秘訣1 .本題屬于三角函數(shù)與平面向量綜合的題目，用向量表述條件，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題.正確解答出函數(shù)f(x)的解析式是本題得分的關(guān)鍵，若有錯誤，本題不再得分，所以正確寫出f(x)的解析式是此類題的搶分點.2 .圖象變換是本題的第二個搶分點.TTTT3 .特別要注意分析判定4x+6與sin(4x + 6)的取值范圍.押題 1已知 a = 2(cos 3 x, cosw x), b= (cosw x, V3sin w x)(其中 0 V 3c 1),函數(shù) f(x) = a

11、 b,若直線x=3是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸.試求3的值;2倍，然后再(2)若函數(shù)y=g(x)的圖象是由y=f(x)的圖象的各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的向左平移2臥單位長度彳#到，求 y = g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 3解(1)f(x) = ab=2(cos 3 x, cos 3 ) (cos 3 x, 也sin 3 =2cos23x+ 2 3cosw xsin 3 x=1 + cos2 w x+ V3sin2 w x= 1 + 2sin 2wx+ 6 .直線x = 3為對稱軸，sin 23拎6 =認.2(L> Tt , jt . ，工 _ _ 3 + 6=k 兀+ 2(k Z)-31

12、- 3=2k+2(kCZ). .c .1.1.1. 0V 3V 1, 3< kv3, . k=0, -3=2.兀(2)由(1)得，得 f(x)=1 + 2sin x+6 ,g(x) = 1 + 2sin 1 x+ 胡 + ? 236c . 1 兀 c1= 1 + 2sin 尹2 =1 + 2cos2x.11由 2kL 廬/w 2kKkC Z),得 4k兀2 廬xW4kKkC Z),，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4k %- 2兀,4k E(kCZ),2【例2】？(2012浙江)在 ABC中，內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c.已知cosA=泉3sinB=乖cosC.(1)求tanC的

13、值；(2)若a= V2,求 ABC的面積.審題路線圖2(1)由條件 cosA = -(0<A< 力 3?由 sinA=1 - cos 規(guī)范解答(1)因為0<Av兀，cosA=；,得 sinA = yj 1 cos2A =9.又 V5cosC = sinB = sin(A + C)A,可求 sinA.?由 #cosC = sinB = sin(A + C),?展開可得sinC與cosC的關(guān)系式，可求tanC.(2)由tanC的值可求sinC及cosC的值.?再由sinB = pcosC可求sinB的值.?由"電及意=/，可求C.1 一，一?由 Smbc = 2acsi

14、nB 可求解.=sin Acos C+ cos Asin C=乎cos C+ 2sin C.所以tan C=迅.(6分)(2)由 tan C = 45, 得 sin C = 6，cos C=6.口5是 sin B= cos C=求.由a =/及正弦定理sin A sin C,得 c= 3.15 / 5115.設(shè)AABC 的面積為 S,則 S= 2acsinB = J2-.(12 )搶分秘訣1.本題主要考查了三角恒等變換、正弦定理等基礎(chǔ)知識，同時考查了運算求解能力.2.熟練利用三角恒等變換求得所需的量是本題的第1搶分點.3.熟練運用三角形面積公式與正弦定理是第2搶分點.，一,， .3押題2 4A

15、BC中內(nèi)角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,已知2a = 43c, cosC=彳.求sinB的值;(2)若D為AC中點，且 ABD的面積為粵，求BD的長.解 (1)由 cosC = -4,得 sinC = "4&由正弦定理得sinA =asinC . 39一 一 一一 兀.5. avc,，AvC,，AC 0, 2 ,cosA = -8,39V 3 5- 13, 13 . sinB= sin(A+ C)=-x 丁+二* 2i-=ja- 84844(2) sinB = sinC, B= C, b = c.由 ABD的面積為中,1b 1 2 39. 39 /日 門-2cs

16、inA=4c2 - 8 = 8 ，得 c=2,BD2= 12+22-2X 1 X 2X5=5,BD =10BD8 22 .細心計算，規(guī)范解答，全面拿下概率與 統(tǒng)計問題主要題型：(1)求等可能事件、互斥事件(對立事件)及兩種概率計算公式的應(yīng)用.(2)抽樣方法的確定與計算、總體分布的估計.(3)求統(tǒng)計與概率的綜合問題.【例3】？(2012山東)袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號分別為1,2,3;藍色卡片中任取兩張，標(biāo)號分別為1,2.(1)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一張標(biāo)號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩種卡片顏色不同且

17、標(biāo)號之和小于 4的概率.審題路線圖列出從五張卡片中任取兩張的所有結(jié)果?兩張卡片的顏色不同且標(biāo)號之和小于4包含3個互斥事件.?利用古典概型概率公式求解，?列出從六張卡片中任取兩張的所有結(jié)果，?兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4包含8個互斥事件，?利用古典概型的概率公式求解.規(guī)范解答(1)標(biāo)號為1,2,3的三張紅色卡片分別記為 A, B, C,標(biāo)號為1,2的兩張藍色卡 片分別記為D, E,從五張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為(A, B), (A, C), (A, D), (A,E), (B, C), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E),共 10 種.(2

18、分)由于每一張卡片被取到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.(3分)從五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的結(jié)果為(A, D),(A, E), (B, D),共 3 種.(5 分) 3所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的概率為.(6分)(2)記F是標(biāo)號為0的綠色卡片，從六張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為(A, B), (A,C), (A, D), (A, E), (A, F), (B, C), (B, D), (B, E), (B, F), (C, D), (C, E), (C, F), (D, E), (D, F), (E, F),共 15 種.

19、(8 分)由于每一張卡片被取到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.(9分)從六張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的結(jié)果為(A, D),(A, E), (B, D), (A, F), (B, F), (C, F), (D, F), (E, F),共 8 種.(11 分)所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的概率為導(dǎo).(12分)15搶分秘訣，古典概型求解的關(guān)鍵在于準確求解基本事件的個數(shù)，可用枚舉法或列表法計數(shù)由于所求概率一般都同時涉及幾類事件，它們相互交織在一起，難度較大，因此要根據(jù)事件發(fā)生的過程，理清各個事件之間的關(guān)系，準確求解其包括的基本事件，明確所求

20、問題包含的 事件類型.)隨機【例4】？(2012遼寧)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況, 抽取了 100名觀眾進行調(diào)查，其中女性有55名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖:將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”， 已知“體育迷”中有10名女生.(1)根據(jù)已知條件完成下面的2X2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計男女合計(2)將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率.附:i/2

21、n nnn22 n12n21K2 =n1+n2+ n+1n+2P(K2>k)0.050.01k3.8416.635審題路線圖從頻率分布直方圖及已知中找出非體育迷及體育迷的男女人數(shù).?完成2X2列聯(lián)表,?由公式計算出K2的值，得出結(jié)論,“超級體育迷”人數(shù),?列出所有基本事件的結(jié)果，及至少有1名女性觀眾的結(jié)果,?利用古典概型的概率公式求解.規(guī)范解答(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而完成2X2列聯(lián)表如下:非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將2X 2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得一一 一 一 一 2 c n nnn22 m2n2

22、1K2n1+ n2+n+1n + 2100X 30X 10-45X 15 275X 25X 45X 55甯3.03。因為3.030 V 3.841,所以我33們沒有理由認為“體育迷”與性別有關(guān).(2)由頻率分布直方圖可知，“超級體育迷”為5人，從而一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間為a=(a1，a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b),(a1,b2),(a2, b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3, b2), (b，b2),其中 ai表示男性，i= 1,2,3, bj表示女性，j = 1,2.Q由10個基本事件組成，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.用 A表示“任選2人 中

23、，至少有1人是女性”這一事件，則 A=(a1，出)，(a1，b2), (a2, b1)，(a2, b明 ,b1), (a3, b2), (b1, b2),事件A由7個基本事件組成，因而 P(A) = 170.搶分秘訣獨立性檢驗的基本思想，它類似于反證法，要確定“兩個變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可 信程度，首先假設(shè)結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下構(gòu)造的山，二J隨機變量k2=1而7rm777VT后應(yīng)該很小，若結(jié)果很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理，即認為兩個變量在一定程度上有關(guān).這種檢驗方法可靠嗎？實際上這種方法仍然是用樣本去估計總體，推斷可能正確，也可能錯誤.但我們只要科

24、學(xué)合理地去抽樣，那么犯錯的可能性就很小了 .若卡方檢驗中K2> 6.635,則說明我們犯錯的概率僅為1%,這正是統(tǒng)計方法的魅力所在.所以利用K2進行獨立性檢驗，可以對推斷正確f的概率作出估計，樣本量 n越大， 這個估計越準確.押題3某高校在2011年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下表所示.組號分組頻數(shù)頻率第1組160,165)50.050第2組165,170)350.350第3組170,175)300.300第4組175,180)200.200第5組180,185)100.100合計1001.00(1)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定

25、在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進入第二輪面試，求第 3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進入第二輪面試？(2)在(1)的前提下，學(xué)校決定在這6名學(xué)生中，隨機抽取2名學(xué)生接受A考官進行面試. 請列舉出抽取2名學(xué)生的所有可能； 請列舉出第4組至少有一名學(xué)生被考官 A面試的所有 可能；并求第4組至少有一名學(xué)生被考官 A面試的概率.解(1)因為第3、4、5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為:第3組:30,6F* 6=3(人 )第4組:20而* 6= 2(人)，第5組:M 6= 1(人)， 60所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人.(2)設(shè)第

26、3組的3位同學(xué)為A1, A2, A3,第4組白2 2位同學(xué)為B1, B2 ,第5組的1位同學(xué)為C1,則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有15種可能如下：(A1, A2), (A1, B3), (A1, B1), (A1, B2), (A1, C), (A2, A) (A2, B1), (A2, B2), (A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)其中第4組的2位同學(xué)為B1, B2至少有一位同學(xué)入選的有：(A1,Bl), (A1,B2),(A2,Bi),(A2,B2),(A3,Bi),(A3 ,B2),(B1,B2),(B1,Cl),(B

27、2,Ci)9種可能,所以其中第4組的2位同學(xué)為Bi, B2至少有一位同學(xué)入選的概率為善于觀察，精妙轉(zhuǎn)化，做好立體幾何問題“平行”、“垂直”主要題型：高考中的立體幾何題目是很成熟的一種類型，常?？疾?兩大證明及“空間角”的計算問題，解題方法上表現(xiàn)為傳統(tǒng)的立體幾何法，立體幾何法的優(yōu) 勢表現(xiàn)為計算簡單，過程簡潔，但是對概念的理解要深刻、透徹.【例5】?(2012山東)如圖，幾何體EABCD是四棱錐， ABD為正三角形，CB = CD, ECXBD.(1)求證：BE=DE;(2)若/ BCD = 120°, M為線段 AE的中點，求證： DM /平面BEC.審題路線圖取BD中點O,證明EOX

28、BD,?DE= BE,?要證DM /平面BEC,可在平面BEC內(nèi)尋找一直線與其平行，但根據(jù)條件不易得到,?轉(zhuǎn)換思路：過 DM作一平面，證明此平面與平面 BEC平行.?取AB的中點N,構(gòu)造平面DMN ,?證明平面DMN/平面BEC,?DM /平面 BEC.規(guī)范解答證明如圖甲，取 BD的中點 O,連接CO, EO.由于CB=CD,所以COXBD.（2分）又 ECXBD, ECn CO = C,CO, EC?平面 EOC,所以BD,平面EOC,因此BD± EO.（4分）又。為BD的中點，所以BE=DE.（5分）（2）如圖乙，取AB的中點N,連接 DM , DN, MN.（6 分）因為M是A

29、E的中點，所以 MN /BE.又MN?平面BEC,BE?平面 BEC,所以MN /平面BEC.（8分）又因為4ABD為正三角形，所以/BDN =30 :又 CB=CD, /BCD=120 ；因此/CBD = 30：所以 DN /BC.（10 分）又DN?平面BEC, BC?平面BEC,所以DN /平面BEC.又 MN n DN = N,所以平面 DMN /平面BEC.（11分）又DM ?平面DMN ,所以DM /平面BEC.（12分）搶分秘訣空間線面位置關(guān)系的判斷與證明的關(guān)鍵是掌握空間線線、線面、面面垂直的判定定理和 性質(zhì)定理，以及平行與垂直的一些常用結(jié)論，要熟練掌握這些定義的表達語言、表達符

30、號和 表達圖形.另外要注意運用轉(zhuǎn)化思想解題【例6】?（2012浙江）如圖,在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCDAiBiCiDi中，AD/BC, ADXAB, AB = &, AD = 2,BC=4, AAi=2, E是DDi的中點，F(xiàn)是平面 BiCiE與直線 AAi的交點.（1）求證： EF / AiDi;BAi,平面 BiCiEF.（2）求BCi與平面BiCiEF所成的角的正弦值.審題路線圖由線面平行的性質(zhì)定理得到BiCi /EF ,?EF /AiDi,?尋找線面垂直的條件：BAiXBiF, BAiXBiCi,?BA平面 BiCiEF,?尋找BCi與平面BiCiEF所成的角，?由。）可彳導(dǎo)

31、BAi與平面BiCiEF垂直的垂足H,從而得到其所成的角/ BCiH,?解三角形求得sin/BCiH.規(guī)范解答(i)證明：因為CiBi/AiDi, CiBi?平面ADDiAi, 所以 CiBi /平面 AiDiDA.又因為平面 BiCiEF n平面AiDiDA=EF,所以CiBi /EF,所以 AiDi /EF.(4 分)因為 BBi,平面 AiBiCiDi,所以 BBi±BiCi.又因為BiCUBiAi,所以BC平面ABBiAi,所以 BiCiXBAi.2在矩形 ABBiAi 中,F 是 AAi 的中點,tan/AiBiF = tan/AAiB =卞，即/ AiBiF =/AAiB

32、,故 BAiXBiF.所以BA平面BiCiEF.(9分)(2)解：設(shè)BAi與BiF交點為H,連接CiH.得 BH=*.由知BAi,平面BiCiEF,所以/ BCiH是BCi與平面 BiCiEF所成的角.在矩形 AAiBiB 中，AB = V2, AAi = 2,4在 RtABHCi 中，BCi = 2V5, BH = ,而且1H =最=曙.所以BCi與平面BiCiEF所成角的正弦值是嚕.(i5分)i17 / 5i搶分秘訣i利用“線線？線面？面面”三者之間的相互轉(zhuǎn)化證明有關(guān)位置關(guān)系問題：由已知想未知，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合來找證題思路；利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線或面是解題的常

33、用方法之一 .2空間角的計算，主要步驟：一作，二證，三算.若用 向量，那就是一證、二算.3點到平面的距離：直接能作點到面的垂線求距離；利用 棱錐體積法”求距離.押題4在四麴隹FABCD中，底面ABCD是邊長為i的正方形，且 FAL面ABCD.(i)求證：FCXBD;(2)過直線BD且垂直于直線 PC的平面交PC于點E,如果三棱錐 EBCD的體積取到最 大值，求此時四棱錐 PABCD的高.證明 (i)因為四邊形 ABCD是正方形，所以 BDXAC,PA，面 ABCD.所以 PAXBD,又 ACA PA= A? BD上面 PAC? PCXBD. PC?面 PAC(2)設(shè)PA=x,三麴t EBCD的

34、底面積為定值，求得它的高, x 1x2+2 x+ 2' 十x55 / 51當(dāng)x=2即x=廬時，三棱錐EBCD的體積取到最大值, x四棱錐PABCD的高為".掌握類型，巧妙構(gòu)造，解決棘手的數(shù)列n項和；(2)利用轉(zhuǎn)化與化歸思問題主要題型：(1)利用數(shù)列的有關(guān)概念求特殊數(shù)列的通項與前想(配湊、變形)將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列(主要解決遞推數(shù)列問題)；(3)利用錯位相減、裂項相消等方法解決數(shù)列求和；(4)利用函數(shù)與不等式處理范圍和最值問題.【例7】？(2012浙江)已知數(shù)列an的前n項和為S,且& = 2n2+n, nC N*.數(shù)列bn滿 足 an= 4log2bn+3,

35、 nC N*.求an, bn；(2)求數(shù)列 an bn的前n項和Tn.審題路線圖由數(shù)列an的前n次和Sn求得an,?由an與bn的關(guān)系式解得bn,?寫出an bn,分析形式，選取錯位相減法求和.?整理得到Tn.規(guī)范解答(1)由Sn=2n2+n,得當(dāng) n= 1 時，a1 = s = 3;當(dāng) n > 2 時，an = Sn Sn 1 = 4n 1.所以 an= 4n 1, n C N*.由 4n 1 = an= 4log2bn+ 3,得 bn=2n1, nC N .(2)由(1)知 anbn=(4n-1) 2n 1, nC N*,所以 Tn=3 + 7X 2+ 11 x 22+ (4n- 1

36、) 2廣 1,2Tn=3X2+7X22+ +(4n5) 2n 1 + (4n 1) 2n,所以 2Tn Tn = (4n 1)2n- 3+ 4(2+22+ + 2n 1)= (4n5)2n+5.故 Tn=(4n-5)2n+5, nC N*.搶分秘訣1 .數(shù)列問題第(1)問一般為求數(shù)列通項公式，在此題中其方向已非常明確，只需構(gòu)造出 所給的an數(shù)列即可得到解決問題的方法，過程書寫目的較強.2.數(shù)列問題第(2)問，有數(shù)列求和，也有與其他知識相互交匯的不等式證明、不等式恒 成立等問題，但很多數(shù)列試題解題的關(guān)鍵往往是一個數(shù)列的求和問題，因此我們要熟練掌握 數(shù)列求和的方法.押題5已知數(shù)列an的首項a=5,

37、 an+1=2an+1.(1)證明：數(shù)列an+1是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列nan的前n項和為Tn,試比較2Tn與23n213n的大小.(1)證明an+ 1= 2an + 1,an + 1 + 1 = 2(an+ 1),又a1 = 5, a+1w0, nCN*,包士? =2即數(shù)列an + 1是等比數(shù)列，an 1(2)解由(1)知 an = 3x 2n1.從而 Tn=a+2a2+ + nan= (3X 21)+2(3X221)+ + n(3X2n 1)= 3(2 + 2X22+ nx2n)(1 + 2+ n),令 Pn=2+2X22+ nx 2n,2Pn= 22+ 2X 23 + 3X 24+ nx

38、 2n+1,錯位相減得，Pn=(n- 1)X2n+1 + 2,-n+1 n n+1 一- Tn=3(n-1) 2n 1 2+ 6,由 2Tn- (23n2- 13n)=12(n- 1) 2n 12(2n2n 1)=12(n- 1) 2n 12(n- 1)(2n+ 1)= 12(n-1)2n-(2n+1),當(dāng) n=1 時，; 0,所以 2Tn = (23n213n);當(dāng) n=2 時，:一12v 0 所以 2Tn< (23n213n),當(dāng)n>3時，n1>0又由函數(shù)丫=2'與y=2x+1可知2n>2n+1,所以(n1)2n(2n+1)>0,即> 0,從而

39、2Tn= (23n213n).強化系統(tǒng)，精確計算，解析幾何我們不再害怕主要題型：(1)考查純解析幾何知識；(2)向量滲透于圓錐曲線中；(3)求曲線方程；(4)直 線與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及弦長、中點、軌跡、范圍、定值、最值等問題.例8 ?(2012山東)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，F(xiàn)是拋物線C: x2= 2py(p>0)的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過 M, F,。三點的圓的圓心為 Q,點Q到拋 物線C的準線的距離為3.4(1)求拋物線C的方程；(2)是否存在點M,使得直線 MQ與拋物線C相切于點M?若存在，求出點 M的坐標(biāo)； 若不存在，說明理由；(3)若點M的橫坐標(biāo)

40、為 啦，直線l: y=kx+4與拋物線C有兩個不同的交點 A, B, l與圓Q有兩個不同的交點 D, E,求當(dāng)2wkW2時，|AB|2+|DE|2的最小值.審題路線圖p .、一一 、圓心Q在of的垂直平分線y=4上，列方程解之，xo?由拋物線C的萬程設(shè)切點 M xo, (x0>0),?由導(dǎo)數(shù)求斜率，寫出直線MQ的方程，1一.?與yQ=4聯(lián)乂，可用xo表達點Q的坐標(biāo)，再根據(jù)|OQ|= |QM|列方程求得xo的值.?根據(jù)直線方程和拋物線方程求出|AB|.?根據(jù)第(2)問可得圓Q的半徑和圓心坐標(biāo)，進而使用直線被圓截得的弦長公式求出|DE|.?寫出|AB|2+|DE|2,換元，利用導(dǎo)數(shù)求最值.規(guī)

41、范解答(1)依題意知f 0, p ,圓心Q在線段of的垂直平分線y=4上，因為拋物線一 、一p 一 3p 3C的標(biāo)準方程為y=-2,所以3p= 4,即p= 1,因此拋物線C的方程為x2= 2y.(2分),x2、#AL -八、八、仆,(2)假設(shè)存在點M(x0, £)(x0 >0)滿足條件，拋物線 C在點M處的切線斜率為y' |x=X0 =x!,2 x=Xo=xo,-CJATL、，x2,、，八八、所以直線 MQ的方程為y5=xo(xxo). (3分)人 1xo , 1令 y=，彳xq=，+4X?又 |QM|=|OQ|,1xo 21 xo 21xo 21故嬴2 + 4-2 =

42、石+萬+16,(5分),_,I, 1 x0 n 9因此4萬 =16，又xo>O,所以x0= V2,此時 M巾,1).故存在點M巾，1),使得直線 MQ與拋物線C相切于點M.(6分)(3)當(dāng)xo=*時，由(2)得Q乎，4 ,OQ 的半徑為= 5822+ 4 2=386,所以。Q的方程為(x-52)2+(y-1)2=37.(7分)1 2y = 2x2,由整理得1y=kx+4，2x24kx 1 = 0.(8 分)設(shè)A, B兩點的坐標(biāo)分別為(x1, y1), (x2, y2),12'由于 A1=16k2+8>0, x + x2=2k, x1x2= 所以 |AB|2 = (1 + k

43、2)(xi + x2)2 4xix2=(1 + k2) (4k2+2). (9 分)整理得x-平2+ y-12=37， 由.1y=kx+4,.5,21人(1 +k2)x2- 4 x-16=0.(10 分)設(shè)D, E兩點的坐標(biāo)分別為(x3, y3), (x4, y4),5 .21X3 + X4 =3r , X3X4 =-.4 1 + k216 1 + k2所以 |DE|2= (1 + k2)(X3+X4)24X3X4251 八7+ 入(11 分)8 1+k24因此 |AB|2 + |DE |2= (1 + k2)(4k2 + 2) + 25v+.8 1 + k24一1一525 1-25令 1 +

44、 k2=t,由于廣 kw 2,則4弋5,所以 |AB|2+|DE |2= t(4t2)+瓦 +"4= 4t22t +9一c 251設(shè) g(t)=4t22t+正+*te ot 44,5.一， ,25因為 g (t)=8t-2-2, ot，5，所以當(dāng) te 4, 5 , g' (t)'g'5554 =6,即函數(shù)g(t)在tC 4, 5是增函數(shù)，所以當(dāng)t=4時,一 .一 , .13 g(t)取到最小值 y,113因此當(dāng)k=2時，AB|2十|DE|2取到最小值萬.(13 分)搶分秘訣1.準確求出曲線方程是解決圓錐曲線問題的前提，并且第(1)問一般屬于考試送分的,故此處

45、必要時要進行計算上的檢驗.2.第(2)問中利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，再利用半徑相等列方程求切點M,精確計算是重要搶分點.3.解題中的計算能力的考查在第(3)問中更進一步得到體現(xiàn)，計算中的每一個中間結(jié)果要寫出來，以便閱卷時采點給分，即使最終問題沒解決，分數(shù)可能已相當(dāng)可觀；此題中還綜合考查了導(dǎo)數(shù)求最值，答卷時要注意考慮k的范圍，以防不必要的失分.4.本題為試卷的壓軸題，對不少考生來說，難度較大，可能會放棄，但要把得到的分拿卜來，如第（1）問的曲線方程，直線與曲線方程聯(lián)立，寫出兩根之和與兩根之積，這能得到一 定的分數(shù).押題6如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上，上頂點為 A,左、右焦點分別為

46、Fi, F2,線段OFi, OF2的中點分別為 Bi, B2,且 AB1B2是面積為4的直角三角形.（1）求該橢圓的離心率和標(biāo)準方程;（2）過Bi作直線l交橢圓于P, Q兩點，使PB21QB2,求直線l的方程.解（1）如圖，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準方程為a2+b2=1（a>b> °），右焦點為F2（c,0）.因 AB1B2是直角三角形，又 |AB1|= |AB2|,故/ B1AB2為直角，c 因此 |OA|=|OB2|,得 b=2.結(jié)合 c2= a2b2得 4b2= a2b2, 故 a2= 5b2,c2=4b2,所以離心率e=a= 5/5.在 RtAABB2 中，OALB1B2,

47、1c c故 S；A AB1B2=2 |B1B2110A尸 |OB2110A|= 2 b= b2.由題設(shè)條件 SA AB1B2=4得b2=4,從而a2 = 5b2 =20.因此所求橢圓的標(biāo)準方程為：202+y42= 1.(2)由(1)知3(2,0), B2(2,0).由題意知直線l的傾斜角不為0,故可設(shè)直線l的方程為 =my 2.代入橢圓方程得(m2+ 5)y2 4my 16= 0.設(shè)P(X1, y1), Q(x2, y2),則y1, y2是上面方程的兩根，4m16因此 y1 + y2=m2+5, y1 y2=-m2+5，又B2P=(Xi 2, yi), B2Q=(X22, y2),所以 B2P

48、 BQ= (xi 2)(x2 2)+ yiy2=(myi 4)(my2 4) + yiy2=(m2+ 1)yiy2 4m(yi + y2)+ 1616 m2 116m2一 m2 + 5 -L +1616m2 64=m2+5，由 PB2±QB2,得 B 2PB 2Q=0,即 16m2 64=0,解得 m= ±2.所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x+2y+ 2 = 0和x2y+2 = 0.萬能工具，大題必考，幫你理順導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用主要題型：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題；(2)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立與證明等問題；(3)以函數(shù)為載體的建模問題.【例 9】?(2

49、011 江西)設(shè) f(x)= -1x3 + ,x2+2ax.322(1)若f(x)在+°°上存在單倜遞增區(qū)間，求 a的取值氾圍；316(2)當(dāng)0vav2時，f(x)在1,4上的最小值為一 不，求f(x)在該區(qū)間上的取大值.3審題路線圖一， ，一，一，1，2函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，對稱軸為x= 2,要使f(x)在&, + 00上存在單調(diào)遞增區(qū)間,，2必需滿足f 3 >0.令f' (x) =0得x1, x2,確定x1 , x2所在的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性求f(x)的最值.規(guī)范解答(1)由 f' (x)= x2+x+2a=-x-2 2+44+2a

50、, (2 分),.222當(dāng)xC 3, 十00時，f (x)的最大值為f' 3 =9+2a.人 2 一一，r1令9+2a>0,彳導(dǎo) a>- 9.(5 分)一， 1 ,_ 2所以，當(dāng)a>9時，f(x)在3, 十°°上存在單調(diào)遞增區(qū)間.(6分)即f(x)在2, + 00上有單調(diào)遞增區(qū)間時，a的取值范圍為 -1, + 00 . 39人,1 - J7T8a(2)令f (x)=0,得兩根x1 = 一七,1 + -J1+8a x2=12所以f(x)在(-00, x1) ,(X2, + 8 )上單調(diào)遞減，在(xi, X2)上單調(diào)遞增.(8分)當(dāng) 0vav2 時，有

51、 xivivx2v4,所以f(x)在1,4上的最大值為一一 一 27 一 一即 f(4)Vf(1) . (10 分)又 f(4)-f(1)=- 27+6a<0,所以f(x)在1,4上的最小值為4016f(4) = 8a-=-y.10得a=1, x2=2,從而f(x)在1,4上的最大值為f(2) = W.3(12 分)搶分秘訣用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值與最值是歷年必考內(nèi)容，尤其是含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題 成為高考命題的熱點，近幾年新課標(biāo)高考卷中發(fā)現(xiàn)：若該內(nèi)容的題目放在試卷壓軸題的位置上，試題難度較大；若放在試卷前幾題的位置上，難度不大.【例10】？(2012湖南卷)已知函數(shù)f(x)=eax

52、x,其中aw0.(1)若對一切xC R, f(x)>1恒成立，求a的取值集合；(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點 A(x1, f(x1), B(x2, f(x2)(x1 v x2),記直線AB的斜率為k, 問：是否存在XoC(x1,x2),使f'(x0)>k成立？若存在，求x0的取值范圍；若不存在，請說明理由.審題路線圖?分a>0, a<0兩種情況討論.?當(dāng)2<0時，則x>0時，則f(x)<1,故只能a>0.?此時只需f(x)min > 1即可，利用極值法可得關(guān)于a的不等式.?構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求這個不等式的解.?用人自1, f

53、(x,1), B(x2, f(x2)表示 k.?構(gòu)造函數(shù) ©x)=f' (x) k,c C (xi, X2),使得?利用導(dǎo)數(shù)法判斷*Xl)V0,(j)(X2)>0,且在(xi, X2)上單調(diào).可得存在(j)(c)= 0.?且在區(qū)間(xi, c), (c, x2)上©x)的值異號，即證明了xo的存在性.規(guī)范解答(1)若a<0,則對一切x> 0, f(x)=eax-xv 1,這與題設(shè)矛盾.又 a*0,故a>0.(1 分)而 f' (x) = aeax 1,令 f' (x)= 0,得 x= ln. a a(2分)當(dāng)x：ln;時，f' (x)<0, f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>時，f' (x)>0, f(x)單調(diào)遞增.故當(dāng)x a aa a= %n：時，f(x)取最小值 fEln：)；1 ；ln：.(4 分) a aa a a a a于是對一切xCR, f(x)>1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)-11nl > 1. a a a令 g(t)=ttint,則 g' (t)=Int.當(dāng)0vtv1時，g' (t