上海市2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)分層次輔導(dǎo)講義：立體幾何.01空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖(A級)學(xué)生版

Page空間幾何體高考要求空間幾何體高考要求內(nèi)容要求層次重難點(diǎn)空間幾何體的結(jié)構(gòu)與三視圖柱、錐、臺、球及其簡單組合體A認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征．識別且會畫簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖會用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖．會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式．三視圖B斜二測法畫簡單空間圖形的直觀圖B空間幾何體的表面積和體積球、棱柱、棱錐的側(cè)面積、表面積和全面積及體積B了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）．知識框架知識框架知識內(nèi)容知識內(nèi)容空間基本概念幾何中的點(diǎn)不考慮大小，一般用大寫英文字母來命名；幾何中的線不考慮粗細(xì)，分直線（段）與曲線（段）；其中直線是無限延伸的，一般用一個(gè)小寫字母或用直線上兩個(gè)點(diǎn)表示；一條直線把平面分成兩個(gè)部分．幾何中的面不考慮厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；其中平面是一個(gè)無限延展的，平滑，且無厚度的面，通常用一個(gè)平行四邊形表示，并把它想象成無限延展的；平面一般用希臘字母來命名，或者用表示它的平面四邊形的頂點(diǎn)或?qū)琼旤c(diǎn)的字母來命名，如右圖中，稱平面，平面或平面．一個(gè)平面將空間分成兩個(gè)部分．如圖的長方體通常記為，它有六個(gè)面（即圍成長方體的各個(gè)矩形），十二條棱（相鄰兩個(gè)面的公共邊），八個(gè)頂點(diǎn)（棱與棱的公共點(diǎn)）．看長方體的棱：，；（與有什么關(guān)系呢？可以引出兩條直線的一種新關(guān)系：異面）看長方體的面：平面平行于平面，平面平行于平面棱垂直于底面，棱垂直于側(cè)面圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)，連結(jié)不在同一個(gè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多面體的對角線．如上面長方體中，有四條對角線，，，，又稱體對角線，，…稱為面對角線．把一個(gè)多面體的任意一個(gè)面延展成平面，如果其余的各面都在這個(gè)平面的同一側(cè)，則這樣的多面體就叫做凸多面體．<知識儲備>⑴立體幾何中的平面與我們平時(shí)看見的平面是有區(qū)別的，立體幾何里的平面是理想化的，絕對平且無限延展的，它是點(diǎn)的集合．⑵立體幾何中的平面與平面幾何中的平面圖形是有區(qū)別的，它無大小之分，無形狀，無邊沿，無厚度，不可度量．⑶我們通常畫平行四邊形表示平面，它表示的是整個(gè)平面，沒有邊沿，一般把這個(gè)平行四邊形的銳角畫成，并將橫邊的長度畫成鄰邊的兩倍．畫兩個(gè)相交平面時(shí)，當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一部分遮住時(shí)，應(yīng)把被遮住的部分畫成虛線或不畫，以增加立體感．⑷有時(shí)根據(jù)需要我們也可以用其它平面圖形來表示一個(gè)平面，如用三角形，圓等．⑸在立體幾何中，輔助線并不總是虛線，而是根據(jù)實(shí)際情況，能看到的用實(shí)線，被遮住的用虛線，以增強(qiáng)立體感，更好地配合空間想象．⑹我們說兩個(gè)平面時(shí)，通常情況下是指兩個(gè)不重合的平面．⑺異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．如果兩條直線既不平行又不相交，則它們是異面直線．棱柱、棱錐和棱臺（1）棱柱的概念：由一個(gè)平面多邊形沿某一確定方向平移形成的空間幾何體叫做棱柱．平移起止位置的兩個(gè)面叫做棱柱的底面，多邊形的邊平移所形成的面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；過不相鄰的兩條側(cè)棱所形成的面叫做棱柱的對角面；與底面垂直的直線與兩個(gè)底面的交點(diǎn)部分的線段或距離稱為棱柱的高．下圖中的棱柱，兩個(gè)底面分別是面，，側(cè)面有，等四個(gè)，側(cè)棱為，對角面為面，為棱柱的高．（2）棱柱的性質(zhì)：棱柱的兩個(gè)底面是全等的多邊形，且對應(yīng)邊互相平行，側(cè)面都是平行四邊形，側(cè)棱平行且相等．（3）棱柱的分類：=1\*GB3①底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；=2\*GB3②側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫直棱柱．底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱．（4）棱柱的記法：=1\*GB3①用表示兩底面的對應(yīng)頂點(diǎn)的字母表示棱柱；=2\*GB3②用棱柱的對角線端點(diǎn)的兩個(gè)字母表示棱柱．例如：上面的棱柱是斜四棱柱，記成棱柱或棱柱等．（5）特殊的四棱柱：（1）棱錐的概念：當(dāng)棱柱的一個(gè)底面收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，得到的幾何體叫做棱錐．它有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．棱錐中有公共頂點(diǎn)的各三角形叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；多邊形叫做棱錐的底面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；棱錐中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做棱錐的對角面；過頂點(diǎn)且與底面垂直相交的直線在頂點(diǎn)與交點(diǎn)間的線段或距離叫做棱錐的高．（2）棱錐的分類：=1\*GB3①底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……；=2\*GB3②底面是正多邊形，頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫正棱錐．正棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形，它們底邊上的高都相等，稱為正棱錐的斜高．（3）棱錐的記法：用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示或者用表示頂點(diǎn)和底面的一條對角線端點(diǎn)的字母表示．如上圖的五棱錐記為棱錐或棱錐．（1）棱臺的概念：棱錐被平行于底面的一個(gè)平面所截后，截面和底面之間的部分叫做棱臺．（2）棱臺的性質(zhì)：棱臺的各側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，即棱臺的上下底面平行且對應(yīng)邊成比例；（3）棱臺的記法：用上下底面的字母表示或者用一條對角線兩個(gè)端點(diǎn)的字母來表示．（4）正棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．正棱臺的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高叫做棱臺的斜高．上圖為一個(gè)正三棱臺，記為棱臺，側(cè)棱，，延長后必交于一點(diǎn)．，為上下底面的中心，它們的連線是棱臺的高，是棱臺的斜高．圓柱、圓錐和圓臺：將矩形、直角三角形、直角梯形分別繞著它的一邊、一直角邊、垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐和圓臺．這條旋轉(zhuǎn)軸叫做幾何體的軸，軸的長即為該旋轉(zhuǎn)體的高．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做底面，不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做側(cè)面的母線；圓柱、圓錐、圓臺一般用表示它的軸的字母來表示．圓柱、圓錐、圓臺的性質(zhì)：=1\*GB3①平行于底面的截面都是圓；=2\*GB3②過軸的截面（軸截面）分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．球與球面：半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體叫做球（或球體），半圓旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做球面．半圓的圓心稱為球心，球心與球面上一點(diǎn)的連線段稱為球的半徑，連結(jié)球面上兩點(diǎn)且過球心的線段叫作球的直徑．一般用球心的字母表示一個(gè)球．球面也可看做空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，球體可以看成到空間中一個(gè)定點(diǎn)的距離小于等于定長的點(diǎn)的集合．球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的小圓；在球面上，兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧的長度，這個(gè)弧長叫做兩點(diǎn)間的球面距離．飛機(jī)、輪船都盡可能以大圓弧為航線航行．球的截面性質(zhì)：球的小圓（指不過球心的截面圓）的圓心與球心的連線垂直于小圓所在平面，有，其中為截面圓的半徑，為球的半徑，為球心到截面圓的距離，即球心與截面圓圓心的距離．平行投影由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個(gè)物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影．其中，我們把光線叫做投影線，把留下物體的影子的屏幕叫做投影面．（1）概念：已知圖形，直線與平面相交，過上任意一點(diǎn)作直線平行于，交平面于點(diǎn)，則點(diǎn)叫做點(diǎn)在平面內(nèi)關(guān)于直線的平行投影（或象）；如果圖形上的所有點(diǎn)在平面內(nèi)關(guān)于直線的平行投影構(gòu)成圖形，則叫做圖形在內(nèi)關(guān)于直線的平行投影．平面叫做投射面，叫做投射線．<知識儲備>另外的解釋：我們把在一束平行光線照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投涉線是平行的．在平行投影中，投影線正對著投影面時(shí)，叫做正投影，否則叫做斜投影．（2）性質(zhì)：若圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí)，平行投影具有以下性質(zhì)：①直線或線段的平行投影仍是直線或線段；②平行直線的平行投影是平行或重合的直線；③平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；④平行于投射面的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等；在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比．（3）正投影：概念：在平行投影中，如果投射線與投射面垂直，則稱這樣的平行投影為正投影．性質(zhì)：①垂直于投射面的直線或線段的正投影是點(diǎn)；②垂直于投射面的平面圖形的正投影是直線或直線的一部分．一個(gè)點(diǎn)光源把一個(gè)圖形照射到一個(gè)平面上，這個(gè)圖形的影子就是它在這個(gè)平面上的中心投影．中心投影的直觀性強(qiáng)，看起來與人的視覺效果一致，常在繪畫時(shí)使用，在立體幾何中，一般用平行投影原理來畫圖．直觀圖與三視圖1．三視圖：俯視圖：在畫正投影時(shí)，常選取三個(gè)互相垂直的平面作為投射面，一個(gè)投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到這個(gè)面內(nèi)的圖形叫做俯視圖；主視圖：一個(gè)投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到此平面內(nèi)的圖形叫做主視圖；左視圖：和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做側(cè)立投射面，通常把這個(gè)平面放在直立投射面的右面，投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做左視圖．三視圖：將空間圖形向這三個(gè)平面作正投影，然后把這三個(gè)投影按一定的布局放在一個(gè)平面內(nèi)，這樣構(gòu)成的圖形叫做空間圖形的三視圖．如下圖為圓錐的三視圖：<知識儲備>投影法背景知識：物體在光線的照射下，就會在地面或墻壁上產(chǎn)生影子，人們將這種自然現(xiàn)象加以科學(xué)的抽象，總結(jié)其中的規(guī)律，提出了投影的方法，使物體在投影面上產(chǎn)生圖像的方法叫投影法，工程上常用各種投影法來繪制用途不同的工程圖樣．平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)；三視圖是觀察者從不同位置觀察同一個(gè)幾何體畫出的空間幾何體圖形，直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察幾何體畫出的空間幾何體的圖形；三視圖分別是從三個(gè)方向看到的物體輪廓線的正投影所圍成的平面圖形．畫三視圖時(shí)，可以把垂直投影面的視線想象成平行光線從不同方向射向幾何體，體會可見的輪廓線（包括被遮檔，但是可以經(jīng)過想象透視到的輪廓線）的投影就是所要畫出的視圖．一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在主視圖的下面，長度與主視圖一樣；左視圖放在主視圖的右面，高度與主視圖一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣；三視圖滿足“長對正，寬平齊，高相等”的基本特征或說“主左一樣高，主俯一樣長，俯左一樣寬”．正等測畫法的依據(jù)還是平行投影，不過這時(shí)投影線和人的視線平行，并且投影線與投影面垂直，它一般用于畫圓柱，圓錐，圓臺，球等旋轉(zhuǎn)體．2．直觀圖：概念：用來表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的直觀圖．畫法：斜二測畫法和正等測畫法：(1)斜二測畫法規(guī)則：①在已知圖形所在的空間中取水平平面，作相互垂直的軸，，再作軸，使，．（三維空間中）②畫直觀圖時(shí)，把，，畫成對應(yīng)的軸，使或，，所確定的平面表示水平平面．（二維平面上）③已知圖形中，平行于軸，軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸，軸或軸的線段．并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同．④已知圖形中平行于軸和軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于軸的線段，長度為原來的一半．⑤畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖．(2)正等測畫法：在立體幾何中，常用正等測畫法畫圓的直觀圖，它的依據(jù)還是平行投影，圓的直觀圖是橢圓，具體畫法不要求掌握．<知識引申>正等測畫法具體應(yīng)用主要應(yīng)用于工程及機(jī)械專業(yè)的繪圖．空間幾何體的表面積等于它的底面周長和高（母線）的乘積．，其中為底面的周長，為直棱柱（圓柱）的高，也即側(cè)棱（母線）長；等于它的底面周長和斜高（母線）乘積的一半．，其中為底面邊長，為斜高；，其中為底面周長，為圓錐的底面半徑，為母線長；，其中分別是正棱臺上下底面的邊長，為斜高；，其中分別是圓臺上下底面的半徑，為母線長；，為球的半徑．<知識儲備>1．除了球面，這里提到的其它幾何體的表面都可以展開，側(cè)面積公式和表面積公式可以直接推導(dǎo)出來．2．要提醒學(xué)生注意空間與平面問題的轉(zhuǎn)化，對這幾種幾何體的側(cè)面展開圖，軸截面的圖等有個(gè)比較清晰的印象，在計(jì)算時(shí)能靈活轉(zhuǎn)化．空間幾何體的1．柱體（棱柱，圓柱）體積公式：，其中為底面積，為高；2．棱體（棱錐，圓錐）的體積公式：，其中為底面積，為高；3．臺體（棱臺，圓臺）的體積公式：，其中分別是臺體上，下底面的面積，為臺體的高；4．球的體積：，為球的半徑．<知識儲備>對柱體與錐體體積公式的推導(dǎo)，課本上是以長方體的體積公式為基礎(chǔ)的，根據(jù)祖暅原理得到的．祖暅原理：冪勢相同，則積不容異．即夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體體積相等．祖暅提出的“冪勢既同，則積不容異”，及“體積之比等于對應(yīng)截面積之比”，在這里是當(dāng)作公理使用．提法“冪勢既同，則積不容異”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”．卡瓦列利在他的名著《連續(xù)不可分幾何》中提出這一原理，這本書出版于1635年．課本對柱體和錐體體積公式的推導(dǎo)過程：⑴長方體的體積；⑵利用祖暅原理可以說明：等底面積等高的長方體與柱體的體積相等，故柱體的體積為：；⑶利用祖暅原理可以說明：等底面積等高的錐體的體積均相等；⑷三棱柱可以分割成三個(gè)體積相等的錐，故錐體的體積為；⑸利用兩個(gè)錐體做差可得臺體的體積公式．例題精講例題精講空間幾何體的特征與性質(zhì)有下列四個(gè)命題：各側(cè)面是全等的等腰三角形的四棱錐是正四棱錐；②底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；③棱錐的所有側(cè)面可能都是直角三角形；④四棱錐的四個(gè)側(cè)面中可能四個(gè)都是直角三角形．其中正確的命題有．能保證棱錐是正棱錐的一個(gè)條件是（）A．底面是正多邊形B．各側(cè)棱都相等C．各側(cè)棱與底面都是全等的正三角形D．各側(cè)面都是等腰三角形若正棱錐的底面邊長與側(cè)棱長相等，則該棱錐一定不是（）A．三棱錐B．四棱錐C．五棱錐D．六棱錐(原創(chuàng)題)已知甲烷（）的分子結(jié)構(gòu)是正四面體，如圖，其中碳原子C位于正四面體的幾何中心，四個(gè)氫原子分別位于正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，碳?xì)湓又g各自以碳?xì)浠瘜W(xué)鍵相連，若每兩個(gè)碳?xì)滏I之間夾角為，則=___________．空間想象能力的培養(yǎng)根據(jù)圖中所給的圖形制成幾何體后，哪些點(diǎn)重合在一起．下面的圖形可以構(gòu)成正方體的是 （）A B C D【鞏固】如下圖，右邊哪一個(gè)長方體是由左邊的平面圖形圍成的（）如圖，長方體中，，，，并且．求沿著長方體的表面自到的最短線路的長．如圖，是半徑為的球心，點(diǎn)在球面上，兩兩垂直，分別是大圓弧與的中點(diǎn)，則點(diǎn)在該球面上的球面距離是（）A．B．C．D．利用幾何體三視圖求表面積和體積一個(gè)幾何體的及長度數(shù)據(jù)如圖，則該幾何體的表面積與體積分別為（）A．B．C．D．如圖，已知一個(gè)錐體的正（主）視圖，側(cè)（左）視圖和俯視圖均為直角三角形，且面積分別為3，4，6，則該錐體的體積為（）A．