2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第7章概率1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件1.3隨機(jī)事件1.4隨機(jī)事件的運(yùn)算學(xué)案含解析北師大版必修第一冊

PAGE7-1.3隨機(jī)事務(wù)1.4隨機(jī)事務(wù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解隨機(jī)事務(wù)與樣本點的關(guān)系．(重點)2．了解隨機(jī)事務(wù)的交、并與互斥的含義，能結(jié)合實例進(jìn)行隨機(jī)事務(wù)的交、并運(yùn)算．(難點、易混點)1．通過對隨機(jī)、必定、不行能事務(wù)等概念的學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過學(xué)習(xí)事務(wù)的運(yùn)算法則，培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．1．三種事務(wù)的定義事務(wù)隨機(jī)事務(wù)一般地，把試驗E的樣本空間Ω的子集稱為E的隨機(jī)事務(wù)，簡稱事務(wù)，常用A，B，C等表示．在每次試驗中，當(dāng)這一事務(wù)發(fā)生時，這一子集中的樣本點必出現(xiàn)其中一個；反之，當(dāng)這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時，這一事務(wù)必定發(fā)生必定事務(wù)樣本空間Ω是其自身的子集，因此Ω也是一個事務(wù)；又因為它包含全部的樣本點，每次試驗無論哪個樣本點ω出現(xiàn)，Ω都必定發(fā)生，因此稱Ω為必定事務(wù)不行能事務(wù)空集?也是Ω的一個子集，可以看作一個事務(wù)；由于它不包含任何樣本點，它在每次試驗中都不會發(fā)生，故稱?為不行能事務(wù)2.隨機(jī)事務(wù)的運(yùn)算事務(wù)的運(yùn)算定義圖形表示符號表示交事務(wù)一般地，由事務(wù)A與事務(wù)B都發(fā)生所構(gòu)成的事務(wù)，稱為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))A∩B(或AB)并事務(wù)一般地，由事務(wù)A與事務(wù)B至少有一個發(fā)生所構(gòu)成的事務(wù)，稱為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))A∪B(或A＋B)3.互斥事務(wù)與對立事務(wù)事務(wù)的運(yùn)算定義圖形表示符號表示互斥事務(wù)一般地，不能同時發(fā)生的兩個事務(wù)A與B(A∩B＝?)稱為互斥事務(wù)．它可以理解為A，B同時發(fā)生這一事務(wù)是不行能事務(wù)A∩B＝?對立事務(wù)若A與B互斥(A∩B＝?)，且A∪B＝Ω，則稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)，事務(wù)A的對立事務(wù)記作eq\x\to(A)A∩B＝?且A∪B＝Ω思索：1.一顆骰子投擲一次，記事務(wù)A＝{出現(xiàn)的點數(shù)為2}，事務(wù)C＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，事務(wù)D＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于3}，則事務(wù)A，C，D有什么關(guān)系？提示：A＝C∩D.2．命題“事務(wù)A與B為互斥事務(wù)”與命題“事務(wù)A與B為對立事務(wù)”之間是什么關(guān)系？(指充分性與必要性)提示：依據(jù)互斥事務(wù)和對立事務(wù)的概念可知，“事務(wù)A與B為互斥事務(wù)”是“事務(wù)A與B為對立事務(wù)”的必要不充分條件．1．從裝有3個紅球和4個白球的口袋中任取3個小球，則下列選項中兩個事務(wù)是互斥事務(wù)的為()A．“都是紅球”與“至少一個紅球”B．“恰有兩個紅球”與“至少一個白球”C．“至少一個白球”與“至多一個紅球”D．“兩個紅球，一個白球”與“兩個白球，一個紅球”D[A，B，C中兩個事務(wù)都可以同時發(fā)生，只有D項，兩個事務(wù)不行能同時發(fā)生，是互斥事務(wù)．]2．拋擲一枚骰子，“向上的點數(shù)是1或2”為事務(wù)A，“向上的點數(shù)是2或3”為事務(wù)B，則()A．A?BB．A＝BC．A＋B表示向上的點數(shù)是1或2或3D．AB表示向上的點數(shù)是1或2或3C[設(shè)A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，∴A＋B表示向上的點數(shù)為1或2或3.]3．在200件產(chǎn)品中，有192件一級品，8件二級品，則下列事務(wù)：①在這200件產(chǎn)品中隨意選9件，全部是一級品；②在這200件產(chǎn)品中隨意選9件，全部都是二級品；③在這200件產(chǎn)品中隨意選9件，不全是一級品．其中_______是隨機(jī)事務(wù)；_______是不行能事務(wù)．(填序號)①③②[因為二級品只有8件，故9件產(chǎn)品不行能全是二級品，所以②是不行能事務(wù)．]事務(wù)類型的推斷【例1】指出下列事務(wù)是必定事務(wù)、不行能事務(wù)還是隨機(jī)事務(wù)．(1)某人購買福利彩票一注，中獎500萬元；(2)三角形的內(nèi)角和為180°；(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，都出現(xiàn)正面對上；(5)從分別標(biāo)有1，2，3，4的四張標(biāo)簽中任取一張，抽到1號標(biāo)簽；(6)科學(xué)技術(shù)達(dá)到肯定水平后，不需任何能量的“永動機(jī)”將會出現(xiàn)．[解](1)購買一注彩票，可能中獎，也可能不中獎，所以是隨機(jī)事務(wù)．(2)全部三角形的內(nèi)角和均為180°，所以是必定事務(wù)．(3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不行能事務(wù)．(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，不肯定都是正面對上，所以是隨機(jī)事務(wù)．(5)隨意抽取，可能得到1，2，3，4號標(biāo)簽中的任一張，所以是隨機(jī)事務(wù)．(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動機(jī)”不會出現(xiàn)，所以是不行能事務(wù)．推斷一個事務(wù)是哪類事務(wù)的方法推斷一個事務(wù)是哪類事務(wù)要看兩點：一看條件，因為三種事務(wù)都是相對于肯定條件而言的；二看結(jié)果是否發(fā)生，肯定發(fā)生的是必定事務(wù)，不肯定發(fā)生的是隨機(jī)事務(wù)，肯定不發(fā)生的是不行能事務(wù)．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．下列事務(wù)不是隨機(jī)事務(wù)的是()A．東邊日出西邊雨B．下雪不冷化雪冷C．清明季節(jié)雨紛紛D．梅子黃時日日晴B[B是必定事務(wù)，其余都是隨機(jī)事務(wù)．]事務(wù)關(guān)系的推斷【例2】某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參與演講競賽，推斷下列每對事務(wù)是不是互斥事務(wù)，假如是，再推斷它們是不是對立事務(wù)．(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”與“全是男生”；(3)“至少有1名男生”與“全是女生”；(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”．[解]從3名男生和2名女生中任選2人有如下三種結(jié)果：2名男生，2名女生，1男1女．(1)“恰有一名男生”指1男1女，與“恰有2名男生”不能同時發(fā)生，它們是互斥事務(wù)；但是當(dāng)選取的結(jié)果是2名女生時，兩個事務(wù)都不發(fā)生，所以它們不是對立事務(wù)．(2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女兩種結(jié)果，與事務(wù)“全是男生”可能同時發(fā)生，所以它們不是互斥事務(wù)．(3)“至少一名男生”與“全是女生”不行能同時發(fā)生，所以它們互斥，由于它們必有一個發(fā)生，所以它們是對立事務(wù)．(4)“至少有一名女生”包括1男1女與2名女生兩種結(jié)果，當(dāng)選出的是1男1女時，“至少有一名男生”與“至少有一名女生”同時發(fā)生，所以它們不是互斥事務(wù)．推斷事務(wù)間關(guān)系的方法(1)要考慮試驗的前提條件，無論是包含、相等，還是互斥、對立，其發(fā)生的條件都是一樣的．(2)考慮事務(wù)間的結(jié)果是否有交事務(wù)，可考慮利用Venn圖分析，對較難推斷關(guān)系的，也可列出全部結(jié)果，再進(jìn)行分析．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，視察正品件數(shù)與次品件數(shù)，推斷下列每個事務(wù)是不是互斥事務(wù)，假如是，再推斷它們是不是對立事務(wù)．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．[解]依據(jù)互斥事務(wù)的定義，即事務(wù)A與事務(wù)B在一次試驗中不會同時發(fā)生可知：(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不行能同時發(fā)生，因此它們是互斥事務(wù)，又因為它們的和事務(wù)不是必定事務(wù)，所以它們不是對立事務(wù)；同理可以推斷(2)中的2個事務(wù)不是互斥事務(wù)，從而也不是對立事務(wù)；(3)中的2個事務(wù)不是互斥事務(wù)，從而也不是對立事務(wù)．事務(wù)的運(yùn)算[探究問題]1．事務(wù)的運(yùn)算與集合的運(yùn)算有什么對應(yīng)關(guān)系？[提示]由事務(wù)A與事務(wù)B都發(fā)生所構(gòu)成的事務(wù)，稱為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)，對應(yīng)集合A與集合B的公共元素構(gòu)成的集合為A∩B；由事務(wù)A與事務(wù)B至少有一個發(fā)生所構(gòu)成的事務(wù)，稱為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)，對應(yīng)由集合A或集合B中的元素組成的集合為A∪B.2．進(jìn)行事務(wù)的運(yùn)算，有哪些方法？[提示](1)利用事務(wù)間運(yùn)算的定義．列出同一條件下的試驗全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事務(wù)間的運(yùn)算．(2)利用Venn圖．借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算．【例3】在投擲骰子試驗中，依據(jù)向上的點數(shù)可以定義很多事務(wù)，如：A＝{出現(xiàn)1點}，B＝{出現(xiàn)3點或4點}，C＝{出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)}，D＝{出現(xiàn)的點數(shù)是偶數(shù)}．(1)說明以上4個事務(wù)的關(guān)系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.[思路點撥](1)eq\x(分析事務(wù)所包含的樣本點)→eq\x(推斷事務(wù)的關(guān)系)(2)eq\x(樣本點表示各事務(wù))→eq\x(進(jìn)行事務(wù)的運(yùn)算)[解]在投擲骰子的試驗中，依據(jù)向上出現(xiàn)的點數(shù)有6種基本領(lǐng)件，記作Ai＝{出現(xiàn)的點數(shù)為i}(其中i＝1，2，…，6).則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事務(wù)A與事務(wù)B互斥，但不對立，事務(wù)A包含于事務(wù)C，事務(wù)A與D互斥，但不對立；事務(wù)B與C不是互斥事務(wù)，事務(wù)B與D也不是互斥事務(wù)；事務(wù)C與D是互斥事務(wù)，也是對立事務(wù)．(2)A∩B＝?，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現(xiàn)點數(shù)1，3或4}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點數(shù)1，2，4或6}．B∩D＝A4＝{出現(xiàn)點數(shù)4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出現(xiàn)點數(shù)1，3，4或5}．1．在例3的條件下，求A∩C，A∪C，B∩C.[解]A∩C＝A＝{出現(xiàn)1點}，A∪C＝C＝{出現(xiàn)點數(shù)1，3或5}，B∩C＝A3＝{出現(xiàn)點數(shù)3}．2．用事務(wù)Ai＝{出現(xiàn)的點數(shù)為i}(其中i＝1，2，…，6)表示下列事務(wù)：(1)B∪D；(2)C∪D.[解](1)B∪D＝{出現(xiàn)點數(shù)2，3，4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6.(2)C∪D＝{出現(xiàn)點數(shù)1，2，3，4，5，6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.進(jìn)行事務(wù)運(yùn)算應(yīng)留意的問題(1)進(jìn)行事務(wù)的運(yùn)算時，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結(jié)果進(jìn)行分析．(2)在一些比較簡潔的題目中，須要推斷事務(wù)之間的關(guān)系時，可以依據(jù)常識來推斷．但假如遇到比較困難的題目，就得嚴(yán)格依據(jù)事務(wù)之間關(guān)系的定義來推理．1．辨析隨機(jī)事務(wù)、必定事務(wù)、不行能事務(wù)時要留意看清條件，在給定的條件下推斷是肯定發(fā)生(必定事務(wù))，還是不肯定發(fā)生(隨機(jī)事務(wù))，還是肯定不發(fā)生(不行能事務(wù)).2．互斥事務(wù)和對立事務(wù)都是針對兩個事務(wù)而言的，它們兩者之間既有區(qū)分又有聯(lián)系．在一次試驗中，兩個互斥事務(wù)有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，但不行能兩個都發(fā)生；而兩個對立事務(wù)必有一個發(fā)生，但是不行能兩個事務(wù)同時發(fā)生，也不行能兩個事務(wù)都不發(fā)生．所以兩個事務(wù)互斥，它們未必對立；反之，兩個事務(wù)對立，它們肯定互斥．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若兩個事務(wù)是互斥事務(wù)，則這兩個事務(wù)是對立事務(wù)． ()(2)若事務(wù)A和B是互斥事務(wù)，則A∩B是不行能事務(wù)． ()(3)事務(wù)A∪B是必定事務(wù)，則事務(wù)A和B是對立事務(wù)． ()[提示](1)錯誤．對立事務(wù)是互斥事務(wù)，但互斥事務(wù)不肯定是對立事務(wù)．(2)正確．因為事務(wù)A和B是互斥事務(wù)，所以A∩B為空集，所以A∩B是不行能事務(wù)．(3)錯誤．反例：拋擲一枚骰子，事務(wù)A為：向上的點數(shù)小于5，事務(wù)B為：向上的點數(shù)大于2，則事務(wù)A∪B是必定事務(wù)，但事務(wù)A和B不是對立事務(wù)．[答案](1)×(2)√(3)×2．從1，2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)；②至少有一個奇數(shù)和兩個數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)．在上述事務(wù)中，為對立事務(wù)的是()A．①B．②④C．③D．①③C[從1，2，…，9中任取兩數(shù)，包括一奇一偶、兩奇、兩偶，共三種互斥事務(wù)，所以只有③中的兩個事務(wù)才是對立事務(wù)．]3．從100個同類產(chǎn)品中(其中有2個次品)任取3個．①三個正品；②兩個正品，一個次品；③一個正品，兩個次品；④三個次品；⑤至少一個次品；⑥至少一個正品．其中必定事務(wù)是________，不行能事務(wù)是________，隨機(jī)事務(wù)是________．⑥④①②③⑤[從100個產(chǎn)品(其中2個次品)中取3個可能結(jié)果是．“三個全是正品”“