人教A版（2019）高一數(shù)學必修第二冊-空間直線、平面的平行習題課-1教案

教案教學基本信息課題空間直線、平面平行習題課學科數(shù)學學段：高中年級高一教材書名：普通高中教科書數(shù)學必修A版第二冊出版社：人民教育出版社出版日期：2019年8月教學設計參與人員姓名單位設計者許成文北京市順義牛欄山第一中學實施者許成文指導者李淑靜、趙賀順義區(qū)考試研究中心課件制作者許成文其他參與者孫楓北京市順義牛欄山第一中學教學目標及教學重點、難點教學目標1.鞏固線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，知道線線、線面、面面之間的內(nèi)在聯(lián)系，并用這些聯(lián)系對問題進行有效的轉(zhuǎn)化.2.

通過對解題思路的剖析與解決，學會尋找證明平行問題的方法，體會轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)推理論證能力和空間想象能力，提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).3．通過學生自主提出問題、獨立思考和合作交流，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的能力，發(fā)展學生自主學習與合作交流的能力.教學重點及難點教學重點：梳理空間中平行關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系并會運用它證明平行關(guān)系，總結(jié)歸納證明平行問題的常用方法.教學難點：空間中平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即平行線及平行平面的構(gòu)造.教學過程(表格描述)教學環(huán)節(jié)主要教學活動設置意圖復習定義和定理1.定義首先我們看三種平行的定義兩條直線平行的定義：在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線定義為平行直線.直線與平面平行的定義：如果一條直線與一個平面沒有公共點，則稱這條直線與這個平面平行.兩個平面平行的定義：如果兩個平面沒有公共點，則稱這兩個平面平行.接下來我們看一下三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.=7\*GB3=7\*GB3⑦線線平行=1\*GB3①=5\*GB3⑤=3\*GB3③面面平行線線平行=1\*GB3①=5\*GB3⑤=3\*GB3③面面平行=2\*GB3②=6\*GB3⑥=4\*GB3④線面平行=2\*GB3②=6\*GB3⑥=4\*GB3④線面平行復習必備知識，為平行關(guān)系轉(zhuǎn)化做準備例題講解DFECC1D1BAB1A1例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，EDFECC1D1BAB1A1分析：要證線面平行我們可以從兩個方向來考慮：線線平行線線平行線面平行面面平行解法一：連接AC，∵底面ABCD為正方形，點F是BD的中點，∴AC與BD交于點F，且點F是AC中點，連接CD1，則有EF//CD1.∵EF在平面CD1外，CD1?平面CD1，∴EF//平面CD1.解法二：取DD1的中點M，CD的中點N，連接EM，MN，F(xiàn)N，∵EM是ΔADD1的中位線，∴EM//AD，且EM=AD.同理FN//BC，且FN=BC，∴EM//FN，且EM=FN，∴四邊形EFNM為平行四邊形.∴EF//MN.∵MN?平面CD1，EF在平面CD1外，∴EF//平面CD1.解法三：取棱AD的中點P，連接EP，F(xiàn)P.∵E為AD1中點,∴EP是ΔADD1的中位線，∴EP//DD1，同理FP//AB.又∵AB//CD，∴FP//CD.∵EP在平面CD1外，DD1?平面CD1內(nèi)，∴EP//平面CD1，同理FP//平面CD1，∵EP與FP交于點P，且均在平面PEF內(nèi)，∴平面PEF//平面CD1，∵EF?平面EFP，∴EF//平面CD1.總結(jié)：第一種和第二種方法，利用了線面平行的判定定理及逆向思考的方法，過EF作與平面CD1相交的平面，我們分別作了三角形和平行四邊形，用兩種方法得到了交線.第三種方法是利用面面平行得出線面平行，因此需要構(gòu)造一個與平面CD1平行的平面.本題利用了線面平行的判定定理和面面平行的判定定理以及面面平行的定義，在證明過程中多次進行了平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.例2.如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜.隨著傾斜度的不同，有下面五個命題：有水的部分始終呈棱柱形；沒有水的部分始終呈棱柱形；水面EFGH所在四邊形的面積為定值；棱A1D1始終與水面所在平面平行；當容器傾斜如圖（3）所示時，BE×BF是定值.其中所有正確命題的序號是_________________，為什么？DGDGHFEABCC1D1B1A1GHFEDABCC1D1B1A1GHFEGHFEADC1D1B1A1CBCB（3）解析：我們先看命題①和②，如何判斷有水部分呈棱柱形？棱柱的定義是什么？有兩個平面平行嗎？其余的面都是四邊形嗎？相鄰四邊形的公共邊互相平行嗎？顯然有水的部分左右兩個面平行，其它面都是四邊形.由于棱BC在地面上，可得BC與水面所在平面平行，因此BC//FG.因為前后兩面平行，且與水面分別交于FG,EH，所以FG//EH，所以AD//EH.因此有水部分呈棱柱形.易知沒水部分也是棱柱.在圖（3）中，由線面平行的性質(zhì)定理可得，BC//FG，BC//EH，因此FG//EH，所以有水部分始終呈棱柱形.沒有水部分容易判斷出也是呈棱柱形.因此命題①、②正確.因為長方體的左右兩個側(cè)面平行，所以兩個側(cè)面與水面的交線平行，因此四邊形EFGH為平行四邊形.因為BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥EF，所以FG⊥EF，因此四邊形EFGH為矩形.故水面EFGH的面積隨GH的變化而變化.因此命題③錯誤.因為BC//FG，根據(jù)基本事實四可得FG//A1D1，又因為A1D1不在平面EFGH內(nèi)，F(xiàn)G在平面EFGH內(nèi)，所以棱A1D1始終與水面所在平面平行，所以命題=4\*GB3④正確；前面已得“有水部分的幾何體為直棱柱”，由于水的體積沒有發(fā)生變化，該直棱柱的高BC是定值，因此底面BEF的面積是定值.所以命題⑤正確.綜上所述，正確的命題有①②④⑤其實，我們可以將上述問題歸結(jié)為：過平面BB1C1C內(nèi)平行于BC的一條線段FG作截面，研究截得的幾何體的性質(zhì)問題.變式:如果長方體底面頂點D著地，其它頂點均離開地面，且水面均與四條側(cè)棱相交.(1)有水部分的幾何體還棱柱嗎？(2)四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？解析：在第一問中，該問題相當于過棱DD1上一點H作與底面不平行的截面，截面與四條側(cè)棱都相交.由于棱DA和DC與截面均不平行，所以DA與EH，DC與GH，AB與EF，BC與FG均不平行，因此不滿足棱柱的定義，所以有水部分的幾何體不是棱柱.在第二問中，因為容器前后兩面平行，所以FG//HE；又因為容器左右兩面平行，所以EF//GH，所以四邊形EFGH是平行四邊形，但不是矩形了.總結(jié)：本題是一道利用線面、面面平行的判定和性質(zhì)解決的實際問題，我們用到了棱柱的定義，還有基本事實4、線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，以及面面平行的性質(zhì)定理.在解題過程中，我們不斷進行平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，大家要掌握好轉(zhuǎn)化的方法.例3探究性問題：直線和平面作為空間中的幾何元素，我們考慮三個幾何元素的平行關(guān)系.命題：“如果有兩組幾何元素均具備平行關(guān)系，那么第三組幾何元素也具備平行關(guān)系”，該命題正確嗎？如果命題不正確，請舉反例；如果命題正確，請證明．解析：我們一共能生成幾個命題？三條直線（一個）；兩條直線和一個平面（兩個）；一條直線和兩個平面（兩個）；三個平面（一個）.命題1：如果兩條直線均與第三條直線平行，那么著兩條直線也平行.由基本事實4可知該命題正確.命題2.平面外的兩條平行的直線，如果其中一條直線平行于這個平面，那么另一條也平行于這個平面.已知：.求證：.證明：過直線a作平面β交平面α于直線a’，∵a//α，∴a//a’.∵a//b，∴b//a’.又∵，∴b//α.總結(jié)：此題通過線面平行得出線線平行，再由基本事實4得出另一組線線平行，最后得到線面平行.方法是通過“由已知想可知，由求證想需知”，進而實現(xiàn)線線平行與線面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.命題3.如果兩條直線同時與一個平面平行，那么這兩條直線平行.這兩條直線的位置關(guān)系有三種可能.例如：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1與B1C1相交，A1D1與B1C1平行，EF與B1C1異面.因此該命題不正確.命題4.一條直線在兩個平行平面外，如果這條直線與其中一個平面平行，那么它與另一個平面也平行.已知：α//β，l//α，lβ.求證：l//β.證明：過直線l作平面β分別交平面α、平面β于直線l′、l′′，∵l//α，∴l(xiāng)//l′.∵α//β，∴l(xiāng)′//l′′，∴l(xiāng)//l′′.又∵aβ，a′′?β,∴a//β.總結(jié)：此題根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)定理,得出兩組線線平行,再由基本事實4和線面平行判定定理得出結(jié)論.證明中用到線線、線面、面面平行關(guān)系轉(zhuǎn)化,并根據(jù)“由已知想可知,由求證想需知”尋求解題思路.命題5.如果兩個平面同時與一條直線平行，那么這兩個平面平行.如果兩個平面同時與一條直線平行，那么這兩個平面可能平行還可能相交，因此該命題不正確.命題6：如果兩個平面均與第三個平面平行，那么這兩個平面平行.已知：α//γ，β//γ.求證：α//β.證明：∵α//γ，β//γ，過γ內(nèi)的一條直線a作平面σ，分別與α和β交于直線a′，a′′，則有a//a′，a//a′′，∴a′//a′′.∵，∴a′//β.過平面γ內(nèi)的與直線a相交的直線b作平面τ，分別與α和β交于直線b′，b′′，同理可得出b′//β.因為直線a與b相交，所以直線a′與b′相交.因為直線a’與b′均在平面α內(nèi)，所以a//α.總結(jié)：此題要證面面平行，我們用到了面面平行的判定定理以及線面平行的判定定理.已知面面平行，我們通過面面平行的性質(zhì)定理可以得出線線平行，進而得到解題思路.總之，運用“由已知想可知，由求證想需知”的方法能更好地進行平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.鞏固定義和定理、多角度分析問題，探究平行關(guān)系轉(zhuǎn)化方法鞏固線面平行的判斷定理鞏固線面平行的判斷定理鞏固面面平行定義和判定定理總結(jié)知識和方法，提升學生分析和解決問題的能力提高學生應用知識解決實際問題的能力；學以致用，讓學生體會數(shù)學的應用價值.鞏固線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理讓學生利用棱柱的定義幾何體是否是棱柱，定義既是判定也是性質(zhì).鞏固線面平行的性質(zhì)定理和面面平行的性質(zhì)定理.將問題轉(zhuǎn)化為用平面去截幾何體的問題.改變條件，再進行探究，提升學生獨立思考和主動探究問題能力.總結(jié)概括知識和方法由學生自己生成命題并判斷命題的真假，對于真命題進行證明.讓學生經(jīng)歷“直觀感知，操作確認，思辨證明”的過程，提升學生自主探究能力以及直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).通過命題2的探究，鞏固線面平行判定定理和性質(zhì)定理讓學生清楚要說明命題不正確，舉出反例即可，長方體是重要模型.通過本題的探究，鞏固線面平行的性質(zhì)定理和判定定理以及面面面平行的性質(zhì)定理.長方體是重要的幾何模型，要會借助長方體判斷點、線、面的位置關(guān)系.通過本題的探究，鞏固面面平行的性質(zhì)定理和判定定理以及線面平行的判定定理.練習練習：a，b是異面直線，a?α，b?β，a//β，b//α.求證α//β.證明：過直線b.作平面γ，交平面α于直線b′，∵b//α，∴b//b′∵b?β，b′β，∴b′//β.∵a，b是異面直線，∴b′與a相交.∵a?α，a//β，∴α//β.總結(jié)：該題運用了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理以及面面平行的判定定理，大家要結(jié)合已知和求證，用好“由已知想可知，由求證想需知”的方法，順利實現(xiàn)平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.加深體會證明平行關(guān)系的一般方法和思路總結(jié)本節(jié)課我們研究了空間中平行關(guān)系的證明，大家思考：（1）在平行關(guān)系證明過程中運用了哪些知識？（2）在平行關(guān)系證明過程中怎樣尋求解題思路？（3）在本節(jié)課中，通過平行關(guān)系的證明思路的尋求和嚴謹證明，有助于提升大家哪些能力？我們在證明平行位置關(guān)系時，需要利用線線、線面、面面平行關(guān)系的定義、判定和性質(zhì)定理，以及基本事實4和初中的平面幾何知識，熟練掌握這些定理是證明平行關(guān)系的基礎.為了使平行關(guān)系轉(zhuǎn)化過程方向明確，思路清晰，我們要抓住已知