2024-2025學(xué)年廣東省大灣區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省大灣區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量a=(?3,2,2?m),b=(m,9,3)，若a⊥bA.?4 B.?2 C.2 D.42.過點(diǎn)P(?3,1)，傾斜角為60°的直線方程是A.3x+y+4=0B.x?3y+23.圓M：(x?1)2+y2=4與圓NA.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.相離4.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均不為0，a1=1，1A.120 B.121 C.1225.方程x22+k+y28?k=1表示焦點(diǎn)在A.k>?2 B.k<8 C.?2<k<8 D.?2<k<36.關(guān)于方程x2+xy+2y2A.關(guān)于x軸對稱 B.關(guān)于y軸對稱 C.關(guān)于y=x對稱 D.關(guān)于原點(diǎn)中心對稱7.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若A.x225+y215=1 B.8.古典吉他的示意圖如圖所示.A0，B分別是上弦枕、下弦枕，Ai(i=1,2,…,19)是第i品絲.記ai為Ai與Ai?1的距離，Li為Ai與A0的距離，且滿足ai=xL?Li?1M，i=1，2，…，19，其中A.數(shù)列a1，a2，…，a19是等差數(shù)列，且公差為?XLM2

B.數(shù)列a1，a2，…，a19是等比數(shù)列，且公比為M?1M

C.數(shù)列L1，L2，…，L19二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.直線l過拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)F，且與C交于A(x1,yA.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0) B.|AB|的最小值為4

C.對任意的直線l，x1?x2=1 D.10.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=3，底面ABCD為菱形，A.BD1=AD?AB+AA1

B.四邊形B1BDD11.已知數(shù)列C1：0，2，0，2，0，現(xiàn)在對該數(shù)列進(jìn)行一種變換，規(guī)則f：每個(gè)0都變?yōu)椤?，0，2”，每個(gè)2都變?yōu)椤?，2，0”，得到一個(gè)新數(shù)列，記數(shù)列Ck+1=f(Ck)，k=1，2，3，…且CA.Cn的項(xiàng)數(shù)為5?3n?1 B.S4=136

C.C5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.點(diǎn)M(x,y)為圓x2+y2?4x+3=013.已知雙曲線x2a2?y2b14.正方形ABB1A1的邊長為12，其內(nèi)有兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P到邊AA1，A1B1的距離分別為3和1，點(diǎn)Q到邊BB1，AB的距離也分別為3和1.現(xiàn)將正方形卷成一個(gè)圓柱，使得AB和A四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知圓C：x2+y2?2x?4y?1=0，直線l：(2m+1)x+(m+2)y?3m?6=0．(2)求直線l被圓C截得的弦長最短時(shí)m的值以及最短弦長．16.(本小題15分)

已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1+a2=3，S4=15．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ17.(本小題15分)

如圖所示，在四棱錐V?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD，∠ABC=90°，側(cè)面VBC⊥底面ABCD且VB=VC=BC=AB=2CD=2，E為VA中點(diǎn)．

(1)求證：EB⊥AD；

(2)求二面角B?VD?A的正弦值；

(3)求點(diǎn)C到平面VAD的距離．18.(本小題17分)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知向量n=(a,b,c)，點(diǎn)P0(x0,y0,z0).若直線l以n為方向向量且經(jīng)過點(diǎn)P0，則直線l的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為x?x0a=y?y0b=z?z0c(abc≠0)；若平面α以n為法向量且經(jīng)過點(diǎn)P0，則平面α的點(diǎn)法式方程可表示為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0，一般式方程可表示為ax+by+cz+d=0．

(1)證明：向量n=(a,b,c)是平面α：ax+by+cz+d=0的法向量；

(2)若平面α1：x+2y?1=0，平面β1：2y?z+1=0，直線l19.(本小題17分)

已知雙曲線C：y2?x2=1，上頂點(diǎn)為D.直線l與雙曲線C的兩支分別交于A，B兩點(diǎn)(B在第一象限)，與x軸交于點(diǎn)T.設(shè)直線DA，DB的傾斜角分別為α，β．

(1)若T(33,0)，

(i)若A(0,?1)，求β；

(ii)求證：α+β為定值；

(2)若β=π6，直線DB與參考答案1.D

2.C

3.A

4.C

5.D

6.D

7.A

8.B

9.BD

10.ABD

11.ABC

12.[?13.514.615.解：(1)直線l：(2m+1)x+(m+2)y?3m?6=0，

可化為(2x+y?3)m+(x+2y?6)=0，

聯(lián)立2x+y?3=0,x+2y?6=0,解得x=0,y=3,故直線l恒過定點(diǎn)(0,3)．

(2)由x2+y2?2x?4y?1=0，配方得(x?1)2+(y?2)2=6，

所以圓心C(1,2)，半徑為6，直線l恒過定點(diǎn)P(0,3)，

當(dāng)直線l⊥CP時(shí)，直線l被圓截得的弦長最短．

因?yàn)橹本€CP的斜率為kPC=3?20?1=?1，

故直線l的斜率為16.解：(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，q>0，

∵a1+a2=3，S4=15，

∴a3+a4=a1q2+a2q2=q2(a1+a17.(1)證明：取BC中點(diǎn)O，連接VO，由VB=VC=BC=2，得VO⊥BC，

又平面VBC⊥平面ABCD，平面VBC∩平面ABCD=BC，VO?平面VBC，

則VO⊥平面ABCD，過O作Ox//AB，由∠ABC=90°，得AB⊥BC，Ox⊥BC，

而Ox，BC?平面ABCD，則VO⊥Ox，VO⊥BC，

以O(shè)為原點(diǎn)，直線Ox，OB，OV所在直線分別為x，y，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

由AB/?/CD，AB=2CD=2，

得A(2,1,0),B(0,1,0),C(0,?1,0),D(1,?1,0),V(0,0,3)，

VA中點(diǎn)E(1,12,32)，則BE=(1,?12,32),AD=(?1,?2,0)，

因此BE?AD=1×(?1)+(?12)×(?2)+32×0=0，即BE⊥AD，

所以EB⊥AD；

(2)解：由(1)知，DB=(?1,2,0),DV=(?1,1,3),DA=(1,2,0)，

設(shè)平面BVD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，

則由n⊥DB，n⊥DV，可得n?DB=?x+2y=0n?DV=?x+y+3z=0，

令z=1，得n=(23,18.解：(1)證明：取平面ax+by+cz+d=0內(nèi)的任意兩點(diǎn)A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，

則ax1+by1+cz1+d=0,ax2+by2+cz2+d=0,兩式相減得，a(x2?x1)+b(y2?y1)+c(z2?z1)=0，

即n?AB=0，所以n⊥AB，從而n⊥α，

故n=(a,b,c)是平面α的法向量．

(2)記平面α1，β1的法向量為α1=(1,2,0)，β1=(0,2,?1)，

設(shè)直線l的方向向量l=(x,y,z)，

因?yàn)橹本€l為平面α1和平面β1的交線，所以α1⊥l,β1⊥l，β1⊥19.解：(1)(i)kTA=3，所以TA：y=3x?1，

TA與C聯(lián)立可得x2?3x=0，解得x=0或x=3，所以B(3,2)．

所以kDB=33，所以β=π6；

(ii)證明：(1)直線AB斜率存在時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為y=k(x?33)，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)

由y=k(x?33)y2?x