第章投影變換講課資料

第六章投影變換§6-1概述§6-2換面法基本要求

基本要求（1）掌握換面法的基本原理和換面法作圖的投影變換規(guī)律。（2）掌握用換面法求線段實長、平面圖形實形及其對投影面的傾角基本作圖方法。（3）掌握用換面法解決一般空間幾何元素間的定位和度量問題。6.1概述

當直線或平面相對于投影面處于特殊位置（平行或垂直）時，它們的投影反映線段的實長、平面的實形及其與投影面的傾角，當它們處于垂直位置時，其中有一投影具有積聚性。當直線或平面和投影面處于一般位置時，則它們的投影就不具備上述的特性。投影變換就是將直線或平面從一般位置變換為和投影面平行或垂直的位置，以簡便地解決它們的定位和度量問題。a

abb

兩點之間距離a

abb

c

c三角形實形a

abb

c

cdd

直線與平面的交點a

b

c

d

abcd

兩平面夾角

換面法—空間幾何元素的位置保持不動，用新的投影面來代替舊的投影面，使對新投影面的相對位置變成有利解題的位置，然后找出其在新投影面上的投影。6.2.1換面法的基本概念a1

c1

b1

V1X1X1V/H體系變?yōu)閂1/H體系c1

b1

a1

bcab

a

c

X1.新投影體系的建立V1/H體系稱為新投影體系；V/H體系為舊投影體系。V1稱為新投影面；V稱為舊投影面；H稱為不變投影面。X1稱為新投影軸；X稱為舊投影軸。新投影面的選擇必須符合以下兩個基本條件：(1)新投影面必須和空間幾何元素處于有利解題的位置。(2)新投影面必須垂直于于原投影體系中的一個不變投影面。2.新投影面的選擇原則V1HV1∥ABC1.點的一次變換X1V1a1

6.2.2點的投影變換規(guī)律V/H

V1/H

a1

a

XVHaVHXX1V1a1

X1HV1a

Aa變換V面時點的投影作圖V1a1

（1）點的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸。（2）點的新投影到新投影軸的距離等于點的舊投影到舊投影軸的距離。2.點的投影變換規(guī)律H1X1點在V/H1體系中的投影X1H1Va1a1V/H體系變?yōu)閂/H1體系V/H1體系稱為新投影體系；V/H體系為舊投影體系。X1稱為新投影軸；X稱為舊投影軸。H1稱為新投影面；H稱為舊投影面；V稱為不變投影面。a23.點的兩次變換X2H2V12X2a2V/H

V1/H

V1/H2

第一次變換時的舊、不變、新投影新投影不變投影舊投影新軸舊軸值得提醒的是:在多次變換中，必須遵照交替換面的原則。V/H

V1/H

V1/H2

V3/H2

V/H

V/H1

V2/H1

V2/H3

如:V1X11.將一般位置直線變換為投影面的平行線a1

b1

a1

b1

X1V1H6.2.3直線的換面將一般位置直線變換為V1面的平行線一次換面即可[例題1]

將一般位置直線變換為H1面的平行線X1H1Va1b1

X1H1Va1b12.將投影面平行線變換為投影面的垂直線b

b1X1a1b1一次換面即可3.將一般位置直線變換為投影面的垂直線V1X1a1

b1

2a2b2需要二次換面X2一般位置直線變換為投影面垂直線的作圖X2H2V1a2b2X1HV1a1

b1

[例題2]求點C到直線AB的距離空間分析c'2作圖c1b1a1X2H1V2H1X1Vkk'k1b'2a'2距離k'2c1k1∥

X2[例題3]求兩平行直線AB與CD間的距離X2H2V1a

aXVHb

ba2b2X1HV1a1

b1

提示a

aXb

bcdc

d

VHX2H2V1a

aXVHb

ba2b2X1HV1a1

b1

作圖cdc

d

c2d2d1

c1

距離2

1

1'12'11222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b'1a'1d'1c'121b

[例題4]求交叉兩直線AB與CD的公垂線ABH2Ⅱ∥H2ⅠⅠⅡABⅡCDⅠH2ABⅡDCⅠ1222c2d21222c2d2a

c

XVHb

bac1.將一般位置平面變換為投影面的垂直面cdd

DX1H1a1c1b1d1

d

X1H1Vd

b1a1c1d16.2.4平面的換面一次換面即可k1X1H1Vb1a1c1d1s1[例題5]求點S到平面ABC的距離距離Nd

dX1VH1k1e1[例題6]已知E到平面ABC的距離為N，求E點的正面投影e

。b1a1c1d1有兩解e

e

HACXVc

b

a

B2.將投影面垂直面變換為投影面的平行面V1c1

b1

a1

X1X1V1c1

a1

b1

一次換面即可aba1

c1

b1

X1d

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2

X2V2H13.將一般位置平面變換為投影面的平行面實形需要二次換面