2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.1.3四種命題間的相互關(guān)系學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-1.1.3四種命題間的相互關(guān)系[目標(biāo)]1.會分析四種命題的關(guān)系，并能利用其關(guān)系解決一些問題.2.理解轉(zhuǎn)化思想和正難則反的方法，培育辨析實(shí)力、分析問題和解決問題的實(shí)力．[重點(diǎn)]四種命題的相互關(guān)系．[難點(diǎn)]會用互為逆否關(guān)系解決一些問題．學(xué)問點(diǎn)一四種命題之間的關(guān)系[填一填][答一答]1．在四種命題中，具有互逆、互否、互為逆否關(guān)系的命題各有兩對？提示：正確，從四種命題的相互關(guān)系圖中可以看出這幾種關(guān)系各有兩對．學(xué)問點(diǎn)二四種命題的真假性之間的關(guān)系[填一填]1．兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；2．兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．[答一答]2．四種命題中真命題有幾個(gè)？提示：因?yàn)樵}與逆否命題有相同的真假性，逆命題與否命題有相同的真假性，因此四種命題中真命題的個(gè)數(shù)肯定為偶數(shù)，即真命題的個(gè)數(shù)只可能為0,2,4.說明：依據(jù)四種命題中真命題的個(gè)數(shù)只可能為0,2,4，可以檢驗(yàn)寫出的逆命題、否命題、逆否命題是否正確．3．如何運(yùn)用互為逆否命題的兩個(gè)命題之間的關(guān)系？提示：互為逆否命題的兩個(gè)命題同真同假，也稱為等價(jià)命題，在本節(jié)的主要應(yīng)用有兩點(diǎn)：(1)通過推斷逆否命題的真假推斷原命題的真假．(2)用于證明命題：當(dāng)原命題的真假性不易證明時(shí)，可以先證明它的逆否命題的真假性，從而得到原命題的真假性．1．對四種命題的真假性推斷要留意：原命題和它的逆否命題等價(jià)，否命題與逆命題等價(jià)．2．互為逆否命題的兩個(gè)命題的真假性相同．假如干脆推斷或證明一個(gè)命題的真假性有困難，那么可以轉(zhuǎn)化為推斷或證明它的逆否命題的真假性．這種證法可稱為逆否證法．類型一四種命題間的相互關(guān)系【例1】已知命題“假如|a|≤1，那么關(guān)于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集為?”，它的逆命題、否命題、逆否命題及原命題中是假命題的有幾個(gè)？并說明理由．【分析】可寫出命題的詳細(xì)形式，再逐個(gè)判定真假，也可由“互為逆否命題的命題同真同假”簡潔判定．【解】由|a|≤1，得－1≤a≤1，且Δ＝(a＋2)2＋4(a2－4)＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,5)))2－eq\f(4,5)－12≤5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,5)))2－eq\f(4,5)－12<0.所以原命題為真、逆否命題為真；反之，如a＝－2時(shí)，所給不等式的解集為空集，但a?[－1,1]，所以逆命題為假，故否命題亦為假．所以假命題有2個(gè)．1要留意四種命題關(guān)系的相對性，一旦一個(gè)命題定為原命題，也就相應(yīng)地有了它的“逆命題”、“否命題”和“逆否命題”.互為逆否的命題同真同假.2判定命題為假命題，只要舉一反例即可.原命題：“已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，若a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d”，寫出它的逆命題、否命題和逆否命題，并推斷它們的真假．解：逆命題：已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，若a＋c＝b＋d，則a＝b，c＝d.假命題．否命題：已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，若a≠b或c≠d，則a＋c≠b＋d.假命題。逆否命題：已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，若a＋c≠b＋d，則a≠b或c≠d.真命題．類型二原命題與逆否命題等價(jià)性的應(yīng)用【例2】求證：當(dāng)a2＋b2＝c2時(shí)，a，b，c不行能都是奇數(shù)．【分析】可將要證明的問題看作一個(gè)命題，只需證明這個(gè)命題是真命題即可，若證明這個(gè)命題本身比較困難，則可以利用命題的等價(jià)性證明其逆否命題為真命題．【證明】構(gòu)造命題p：若a2＋b2＝c2，則a，b，c不行能都是奇數(shù)．該命題的逆否命題是：若a，b，c都是奇數(shù)，則a2＋b2≠c2.下面證明該逆否命題是真命題．由于a，b，c都是奇數(shù)，則a2，b2，c2都是奇數(shù)，于是a2＋b2必為偶數(shù)，而c2為奇數(shù)，所以有a2＋b2≠c2，故逆否命題為真命題，從而原命題也是真命題．正難則反思想的利用：我們在干脆證明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題.求證：若a＋b≥6，則a，b中至少有一個(gè)不小于3.證明：構(gòu)造命題p：若a＋b≥6，則a，b中至少有一個(gè)不小于3，則其逆否命題為：若a，b都小于3，則a＋b<6.而當(dāng)a<3，且b<3時(shí)，必有a＋b<6，所以逆否命題為真，從而原命題p為真命題，故原結(jié)論成立．類型三由命題的真假求參數(shù)【例3】已知命題p：lg(x2－2x－2)≥0；命題q：1－x＋eq\f(x2,4)<1，若命題p是真命題，命題q是假命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．【分析】先求不等式的解集，然后依據(jù)條件建立不等式組求解即可．【解】由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.由1－x＋eq\f(x2,4)<1，得x2－4x<0，解得0<x<4.因?yàn)槊}p為真命題，命題q為假命題，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－1或x≥3,x≤0或x≥4))，解得x≤－1或x≥4.所以，滿意條件的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－∞，－1]∪[4，＋∞)．一般地，若命題q是假命題，那么命題非q就是真命題，它們的交集為?，并集為全集R，實(shí)質(zhì)上當(dāng)命題q是假命題時(shí)，可先求出命題q為真命題時(shí)的解集，然后求其補(bǔ)集即命題q為假命題時(shí)的解集即可.已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x<0}，若命題A∩B＝?是真命題，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：命題A∩B＝?是真命題，即A∩B＝?成立．當(dāng)a＝0時(shí)，集合A＝?，滿意題意；當(dāng)a≠0時(shí)，集合A＝{x|x＝eq\f(1,a)}，若A∩B＝?，則eq\f(1,a)≥0，解得a>0.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≥0}．類型四素養(yǎng)提升等價(jià)命題的應(yīng)用【例4】證明：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.【證明】原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，則a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(a)<f(－b),f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命題為真命題．∴原命題為真命題．【解后反思】依據(jù)原命題的逆否命題的真假來推斷原命題的真假，有時(shí)可以簡化解題步驟，達(dá)到事半功倍的效果．推斷下列命題的真假．(1)若xy≠6，則x≠2或y≠3；(2)若x＝2或x＝3，則(x－2)(x＋1)＝0.解：(1)所給命題的逆否命題是“若x＝2且y＝3，則xy＝6”，明顯成立，所以所給命題是真命題．(2)所給命題的逆否命題是“若(x－2)(x＋1)≠0，則x≠2且x≠3”，是假命題，所以所給命題是假命題．1．若一個(gè)命題p的逆命題是一個(gè)假命題，則下列推斷肯定正確的是(B)A．命題p是真B．命題p的否命題是假命題C．命題p的逆否命題是假命題D．命題p的否命題是真命題解析：由于一個(gè)命題的逆命題和否命題互為逆否命題，且互為逆否命題的真假性是一樣的，所以命題p的否命題是假命題．故選B.2．若p?q，則下列式子恒成立的是(C)A．q?綈p B．綈p?綈qC．綈q?綈p D．綈q?/綈p解析：因?yàn)樵}和它的逆否命題同真同假，所以若p?q，則有綈q?綈p，選C.3．“若tanθ＝eq\r(3)，則θ＝60°”的否命題是若tanθ≠eq\r(3)，則θ≠60°，否命題是真命題(填真、假)．4．命題“常用對數(shù)不是1的數(shù)不是10