高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)規(guī)范練15導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（含解析）

考點(diǎn)規(guī)范練15導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

一、基礎(chǔ)鞏固

1.已知函數(shù)f(x)=x+ax+bx+c在與x=l處都取得極值.

⑴求a,6的值及函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若對(duì)于%e[-l,2],不等式/U)援恒成立,求c的取值范圍.

2.(2018全國II,理21)已知函數(shù)f(x)=^x-ax.

⑴若a=l,證明：當(dāng)*20時(shí)，F(xiàn)J)21;

⑵若/'(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，求以

3.已知函數(shù)x(ak),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴若過點(diǎn)前2,A2))的切線斜率為2,求實(shí)數(shù)a的值；

⑵當(dāng)ZX)時(shí),求證:『(力2a(1」);

(3)若在區(qū)間(1,e)內(nèi),一子月恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.(2018全國/，理21)已知函數(shù)戶alnx.

⑴討論f(x)的單調(diào)性；

⑵若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)汨,離證明：("一(.個(gè)-2.

r2

二、能力提升

5.已知函數(shù)Ax)=a^+bx-c-\n>(上0)在x=\處取極值,其中金力為常數(shù).

⑴若D0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)r(x)在處取極值T-C,且不等式2°2恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

⑶若且函數(shù)F(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)小，照,證明：必正照)2.

6.設(shè)函數(shù)Ax)=x+bx-a\.nx.

⑴若x=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，1和劉是函數(shù)f(x)的兩個(gè)不同零點(diǎn),且加￡(〃,"1),〃￡N,求n.

⑵若對(duì)任意bG[-2,T],都存在(lt。)，使得f(x)<0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

7.己知函數(shù)f(x)=ax-].nx.

⑴過原點(diǎn)0作函數(shù)FJ)圖象的切線，求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(2)對(duì)VxR[1,+8),不等式f(x)2a(2%-/)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

三、高考預(yù)測

8.(2018天津,文20)設(shè)函數(shù)f(x)=(『幻(xF)(x-叁)，其中tht2t且th如心是公差為d的等

差數(shù)列.

⑴若t2=0,d=l,求曲線片打⑼在點(diǎn)(0,F(0))處的切線方程；

⑵若d=3,求f(x)的極值；

⑶若曲線片f(x)與直線尸-(才-場與北有三個(gè)互異的公共點(diǎn),求d的取值范圍.

考點(diǎn)規(guī)范練15導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

1.解(1):'-(x)+ax+bx+c、

:?f'(x)=QtxRax+b.

又f(>)在廣彳與x=\處都取得極值，

?"O=￡_*加0,F'(l)=3+2a+b=0,

兩式聯(lián)立解得a=f6-2,

?：f(x)=x-J~2x+c,

f(x)=3/-x-2=(3x+2)(xT),

令令得

(x)=Qtx\=yx2=lt

當(dāng)x變化時(shí)'(M,F(x)的變化情況如下表：

2

X-W1(L+8)

卜8,[)3而)

/(X)+3一0+

7極大值極小值/

?：函數(shù)/*5)的遞增區(qū)間為(-8,-§與(1,+8),遞減區(qū)間為(J,i).

(2)f(x)=x~^x-2x-f-c,[-1,2],

當(dāng)戶5時(shí)，(I)=黑，為極大值,而A2)*c,則A2)*c為最大值，要使4)</(彳￡[-1,2])恒

成立,只需。2>f(2)=2+c,解得c<-\或c>2.

?：c的取值范圍為(-8,-1)u⑵+吟.

2.⑴證明當(dāng)a-1時(shí),f(x)21等價(jià)于(V+l)eTWO.

設(shè)函數(shù)g(x)=(x-f-l)e'x-l,則g'(x)=~(xe-x=-(x-l)2e'x.

當(dāng)xWl時(shí),g'(x)<0,所以g(x)在區(qū)間(0,+2內(nèi)單調(diào)遞減.而g(0)R,故當(dāng)*20時(shí),g(x)WO,即

f(x)2L

⑵解設(shè)函數(shù)力(x)=lFfe”.

/U)在區(qū)間(0,#期內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)力J)在區(qū)間(o,+8)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).

⑴當(dāng)aWO時(shí)，力(x)刀,力⑺沒有零點(diǎn);

(ii)當(dāng)時(shí)，力'(x)-C?X(A-2)e'\

當(dāng)jrG(0,2)時(shí)，力'(06;當(dāng)xW(2,+2時(shí)，力，(力為.

所以力5)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,，㈤內(nèi)單調(diào)遞增.

故力(2)=1'是方(x)在區(qū)間［0,+8)內(nèi)的最小值.

濾力⑵為,則在區(qū)間(0,+8)內(nèi)沒有零點(diǎn)；

彝力⑵4),則在區(qū)間(0,2內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；

彝力(2)<0,則ag.由于A(0)=1,所以力(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).

由⑴知，當(dāng)才為時(shí),e>xt

所以Ma)?與'送吟^口,見

故力(力在區(qū)間(2,4a)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).因此力(才)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上,FJ)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),

4

3.⑴解療(切『

?"'⑵?：aN.

⑵證明令以x)=4ln-1+—),

則g'(x)=介■-2).

令g'(x)不得x>l；

4'(才)<0,得oa<i；

所以g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,f8)內(nèi)單調(diào)遞增.

所以以X)的最小值為g(l)=o,

所以人才)211-上).

⑶解要使一一)1在區(qū)間(1,e)內(nèi)恒成立，即使」VTY在區(qū)間(1,e)內(nèi)恒成立,即m丁加在區(qū)

-1-1-1

間(l,e)內(nèi)恒成立.

令力(才)=aln戶1-%

則方'(*)=—1.

令h'(x)zX),解得x<a.

當(dāng)a>e時(shí),A(x)在(1,e)內(nèi)單調(diào)遞增,所以力(而)力(1)=0.

當(dāng)1QW。時(shí)，力(x)在(1,a)內(nèi)單調(diào)遞增，在(a,e)內(nèi)單調(diào)遞減，

所以只需A(e)20,即a^e-1,所以eTWaWe;

當(dāng)0QW1時(shí)"(力在(1,e)內(nèi)單調(diào)遞減,則需A(e)20,而A(e)=a"<0,不符合題意.

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[e-l,+8).

4.⑴解F(x)的定義域?yàn)?0,，-J+1

Q若aW2,則6(x)W0,當(dāng)且僅當(dāng)a2x=\時(shí)f\x)R,所以F(x)在區(qū)間(0,+2內(nèi)單調(diào)遞減.

:

含喏a>2,令/(X)4得X-7J或x-+J2T.

當(dāng)x￡(°，~u(+,',+8)時(shí),/?'(*)<0；

當(dāng)聞一曰時(shí),〃(x)X.

所以/(*)在區(qū)間(0,+'：7,+8)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間上上)內(nèi)單調(diào)遞增.

⑵證明由(1)知,F(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.

由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)X\,也滿足x-ax+\^),

所以汨及=1.不妨設(shè)X\<Xly則X2>1.

由于(M(2)=一4n「In2=_2+擔(dān)」之？=一2尋」,

1-2i21-2r2--2

2

所以(7—等價(jià)于工-彳2+2111矛2<0.

!"22

設(shè)函數(shù)g(x)」-x+21nx,由⑴知,g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.又g(i)R,從而當(dāng)(1,+8)

時(shí),g(x)<0.

所以'-陶吆5及。即(聲(2)Q_2.

2「2

5.(1)解因?yàn)閒(x)=a](+bx-c-\.nx(xzX)),

所以F'(x)=2ax+6」~(XzX)).

因?yàn)楹瘮?shù)F(x)在x=\處取極值,所以r(D所以力=1-2a,

所以/''(x)=2ax+\-

=U-l)(-+2)UX)).

當(dāng)a?0時(shí),則當(dāng)xG(0,1)時(shí)，f'(x)<0;

當(dāng)x￡(l,*9)時(shí)，/''(QW.

所以函數(shù)FJ)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,f8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1］.

⑵解由(1)知F(x)=ajf+(1-2a)x-c-lnx.

因?yàn)楹瘮?shù)F(x)在x=\處取極值T-c,所以/(I)=-a+l-c=-\-ct可得a=2.

因?yàn)閍0,由(1)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間H,,8)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞減,所以

f(x)^=fW=-1-c.

因?yàn)椴坏仁绞?力2-2°2恒成立，

所以有解得或。〈士

2

故實(shí)數(shù)C的取值范圍是或CW*

(3)證明由(1)知f(x)%x2+(i—2a)>-c-lnx,函數(shù)f(x)在(0,1］上單調(diào)遞減，在(1,+=)內(nèi)單調(diào)遞增.

因?yàn)楹瘮?shù)人力有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)M,X2,

所以其必)=/(照)=0.

若設(shè)x《X2,則為￡(0,1),xW(1,+8),

構(gòu)造函數(shù)。(力=f(x)-f(2-x),x￡(0,l),

2

則。(x)=2x-2+ln(2-x)-1nx,</>f(x)=2"----“<0,

所以尸。(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,所以，當(dāng)XG(0,1)時(shí)，0(>)>0(1)=0.

所以f(x)(2-X).

因?yàn)殂琛?0,1),所以八小)"(2-汨).

又因?yàn)閒(Xx)=F(X2)=0,

所以F(X2)"(2-汨)，

而2-擊，蒞￡(1,f8),

函數(shù)/Xx)在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,所以上)2-汨，即x\+xz論,得證.

6.解(1)：'/*(*)=V+bx-a\nx,

."'(x)4tx+b—(x無).

:,肝2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，

?"'(2)NM=R.

:'1是函數(shù)/?(?的零點(diǎn)，

?：用1)=1班=0.

叫：：「4=°'解得｛：6i.

?：f(x)=x-x-^lnx,F'(x)=2x-i2.

令尸(x)<0,得oa<2,

令F'(x)為，得x>2,

?：F(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，在(2,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

故函數(shù)F5)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，其中1￡(0,2),劉￡(2,+8).

：T(2)<f(l)<0,f(3)=6(l-ln3)<0,f(4)=6(2-ln4)=12(1-ln2)加,

二加(=(3,4),故〃=3.

⑵令g(b)=xb+jMx,b￡[-2,-1],則以8)為關(guān)于b的一次函數(shù),且為增函數(shù),

根據(jù)題意,對(duì)任意^€[-2,-1],都存在xe(1,e),使得f(x)<0成立，

-

則^(Z?)nax5^(0=x~x-a\.nx<^在xG(1,e)有解，

令力(x)-x-x-alnx,只需存在(1,e)使得方(加)<0即可，

由于力'(x)=2x-l-=--

令。(x)=2x~x-a,(1,e),

則0'(*)N*TX,

故。(x)在(1,e)內(nèi)單調(diào)遞增，0(x))@(l)=l-a

媽1-侖0,即aWl時(shí)，0(力丸即力'(力為"(力在(l,c)內(nèi)單調(diào)遞增,

?"(*))力(1)4不符合題意.

酒1,<0,即a>l時(shí)，0(1)口一打<0,</>(e)=2e-e-a,

若a^2e~~e>l,則小(e)<0,

?:在(l,e)內(nèi)。(力<0恒成立,即方'(見<0恒成立,

."(*)在(1,e)內(nèi)單調(diào)遞減,

,：存在照￡(1,e)，使得力(8)6(1)或符合題意.

若2e2PM>1,則O(e)X),,：在(1,e)內(nèi)一定存在實(shí)數(shù)m,使得。(加)4),

?:在(1,/〃)內(nèi)<i>(x)<0恒成立，即力'(X)<0恒成立,。(*)在(1,勿)內(nèi)單調(diào)遞減，?:存在刖￡(1,勿)，使得

力(施)<7?(1)4),符合題意.

綜上所述，當(dāng)a>\時(shí),對(duì)任意代[-2,-1],都存在(1,e),使得f[x)<0成立.

7.解(1)設(shè)切點(diǎn)為做照,/U)),切線方程為y-A%o);klx-xj.

:T(力=aj

?：k=f'(xj即切線方程為y-a照-十)(x-劉).

又切線過原點(diǎn)Q?：-axo+ln劉二-axo,L

由].nxo=l,解得加氣，.：切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為e.

(2):'不等式axTnx2a(2萬-汗2)恒成立，

?:等價(jià)于a(V-x)對(duì)V/￡[1,*8)恒成立.

設(shè)yi=a(^-x),y2=lnx,由于xW[1,+°°),且當(dāng)aWO時(shí),yW%故a?0.

設(shè)g(x)=a^-ax~\.nx,

當(dāng)OQ<1時(shí),g(3)與aTn320不恒成立,當(dāng)x=\時(shí),g(x)20恒成立；

x)\時(shí),?恒成立,令力(x).

又x>\H'J",lnx<￥-l<r(A-1),

即力(切二?<1恒成立，

綜上所述,a2l.

8.解(1)由己知，可得&才)"(xT)知“)循-修故武(力才1-1.因此&0)R,f'(O)=T.又因?yàn)榍€

尸/V)在點(diǎn)(o,Ao))處的切線方程為y-f(o)=r(o)(x-O),故所求切線方程為廣片0.

⑵由己知可得

fix)=(>-七+3)(才一場()一片2-3)=(x-t2)3-9(才一七)=^-3七/*(3I⑼x-鄉(xiāng)用E故f'(*)=3/-

6上戶3考4?令，'(X)電解得或x二

當(dāng)*變化時(shí)，/J),/(4)的變化情況如下表：

/2-\^

1^2-73）（，2一\/5,121tV5）（6^/3,"）

r(x)+0一0+

人力/極大值極小值/

所以函數(shù)F(x)的極大值為/U