福建省寧德市福安第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

福建省寧德市福安第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.關(guān)于的一元二次不等式的解集為，且，則a=

A、;

B、;

C、;

D、;參考答案：C略2.如果函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，那么的最小值為(▲)A． B．

C．

D．參考答案：【知識點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；余弦函數(shù)的對稱性．C4

【答案解析】A

解析：∵函數(shù)y=3cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點中心對稱．∴∴由此易得．故選A【思路點撥】先根據(jù)函數(shù)y=3cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點中心對稱，令x=代入函數(shù)使其等于0，求出φ的值，進而可得|φ|的最小值．3.已知，，，則的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思,通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6個單位,遞減的比例為40%,今共有糧石,按甲、乙、丙、丁的順序進行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和為164石,則“衰分比”與m的值分別為（

）A.20%369 B.80%369C.40%360 D.60%365參考答案：A【分析】設(shè)“衰分比”為,甲衰分得石,由題意列出方程組,由此能求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)“衰分比”為,甲衰分得石,由題意得,解得,,．故選：A．

5.函數(shù)（其中A＞0,）的圖象如圖所示，為了得到圖象，則只需將的圖象（

）A．向右平移個長度單位B．向左平移個長度單位C．向右平移個長度單位D．向左平移個長度單位參考答案：A．試題分析：由已知中函數(shù)的圖像過點和點，易得：，即，即，將點代入可得，，又因為，所以，所以．設(shè)將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，則，解得．所以將函數(shù)的圖像向右平移個單位得到函數(shù)的圖像．故應(yīng)選A．考點：由函數(shù)的部分圖像確定其解析式．6.已知圓的方程為x2+y2-6x-8y＝0.設(shè)該圓過點（3，5）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（A）10（B）20（C）30（D）40參考答案：【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系。，過點的最長弦為最短弦為答案：B7.“”是“”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B8.直線與曲線相切，則b的值為(

)A．﹣2 B．﹣1 C． D．1參考答案：B【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】先設(shè)出切點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在切點處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切點橫坐標(biāo)，再根據(jù)切點既在直線的圖象上又在曲線上，即可求出b的值．【解答】解：設(shè)切點坐標(biāo)為（m，n）y′|x=m=﹣=解得m=1∵切點（1，n）在曲線的圖象上，∴n=﹣，∵切點（1，﹣）又在直線上，∴b=﹣1．故答案為：B【點評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．9.已知圓C的方程為x2+y22x=0，若以直線y=kx2上任意一點為圓心，以l為半徑的圓與圓C沒有公共點，則k的整數(shù)值是

A．l

B．0

C．1

D．2參考答案：A10.等比數(shù)列中an>0,且,則=（

）參考答案：6二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.化簡：=．參考答案：4sinθ【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】直接由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡計算得答案．【解答】解：==4sinθ，故答案為：4sinθ．12.已知，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍為

；參考答案：13.設(shè)滿足約束條件，則的最大值為

．參考答案：214.已知向量，，若，則實數(shù)等于

．參考答案：因為，所以，故答案為．15.某產(chǎn)品的廣告費用與銷售額的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:根據(jù)上表可得回歸方程為9.4，據(jù)此模型預(yù)測廣告費用為6萬元時銷售額為

。參考答案：65．516.函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是________．參考答案：考點：1.函數(shù)的零點；2.分段函數(shù)；3.分類討論.【方法點睛】本題主要考查的是函數(shù)的零點,分段函數(shù),分類討論，屬于中檔題，對于分段函數(shù)最常見的方法就是分類討論，因此本題要分為和兩種情況討論，每一種注意其定義域的范圍，通過分類分析出方程，解出方程，舍掉不合題意的值，在分析過程中最容易忽略的是這種情況，因此解這類題目最主要的問題就是分類分清楚，每種討論完全，即可得到不重不漏的解.17.若在等腰Rt△ABC中，||=||=2，則?=

．參考答案：﹣4【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】由向量的加減運算和向量的垂直的條件，以及向量的平方即為模的平方，即可得到．【解答】解：在等腰Rt△ABC中，||=||=2，且AB⊥AC，即有?=?（﹣）=?﹣=0﹣22=﹣4．故答案為：﹣4．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=﹣時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）a=時，令h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣．求h（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函數(shù)f（x）≤x﹣1對?x∈[1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣時，f（x）=﹣（x﹣1）2+lnx，（x＞0）…f'（x）=﹣x++=﹣，…①當(dāng)0＜x＜2時，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）單調(diào)遞增；②當(dāng)x＞2時，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．…（Ⅱ）當(dāng)a=時，h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣=x2﹣2lnx，∴h′（x）=x﹣令h′（x）=0解得x=，…當(dāng)x∈[1，]時，h′（x）＜0，當(dāng)x∈[，e）時，h′（x）＞0，故x=是函數(shù)h（x）在[1，e]上唯一的極小值點，…故h（x）min=h（）=1﹣ln2，又h（1）=，h（e）=e2﹣2，所以h（x）max=e2﹣2．…

（Ⅲ）由題意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1對x∈[1，+∞）恒成立，…設(shè)g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），則g（x）max≤0，x∈[1，+∞），∴，…①當(dāng)a≤0時，若x＞1，則g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，∴g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；…②當(dāng)時，，g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，則不成立；…③當(dāng)時，x=＞1，則f（x）在[1，]上單調(diào)遞減，[，+∞）單調(diào)遞增，則存在∈[，+∞），有g(shù)（）=a（﹣1）2+ln﹣+1=﹣lna+a﹣1＞0，所以不成立，…（13分）綜上得a≤0．…（14分）考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出；（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為設(shè)g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），則g（x）max≤0，x∈[1，+∞），根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系分類討論即可．解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣時，f（x）=﹣（x﹣1）2+lnx，（x＞0）…f'（x）=﹣x++=﹣，…①當(dāng)0＜x＜2時，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）單調(diào)遞增；②當(dāng)x＞2時，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．…（Ⅱ）當(dāng)a=時，h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣=x2﹣2lnx，∴h′（x）=x﹣令h′（x）=0解得x=，…當(dāng)x∈[1，]時，h′（x）＜0，當(dāng)x∈[，e）時，h′（x）＞0，故x=是函數(shù)h（x）在[1，e]上唯一的極小值點，…故h（x）min=h（）=1﹣ln2，又h（1）=，h（e）=e2﹣2，所以h（x）max=e2﹣2．…

（Ⅲ）由題意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1對x∈[1，+∞）恒成立，…設(shè)g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），則g（x）max≤0，x∈[1，+∞），∴，…①當(dāng)a≤0時，若x＞1，則g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，∴g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；…②當(dāng)時，，g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，則不成立；…③當(dāng)時，x=＞1，則f（x）在[1，]上單調(diào)遞減，[，+∞）單調(diào)遞增，則存在∈[，+∞），有g(shù)（）=a（﹣1）2+ln﹣+1=﹣lna+a﹣1＞0，所以不成立，…（13分）綜上得a≤0．…（14分）點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值的關(guān)系，以及函數(shù)恒成立的問題，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，運算能力，屬于難題．19.已知函數(shù).（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點個數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)時，證明：.參考答案：解：(Ⅰ)的定義域為，若，由，沒有零點；若或，由，，，有一個零點；若，由，，沒有零點．綜上所述，當(dāng)或時有一個零點；當(dāng)時沒有零點．(Ⅱ)由（1）知，，時當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以在取得最大值，最大值，即.所以等價于，即，其中．設(shè)，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故當(dāng)時取得最大值，最大值為所以當(dāng)時，.從而當(dāng)時，即．

20.已知橢圓的左、右焦點分別是，Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足．（Ⅰ）設(shè)為點P的橫坐標(biāo)，證明；

（Ⅱ）求點T的軌跡C的方程；（Ⅲ）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由．參考答案：解（Ⅰ）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得又由知，所以

（Ⅱ）當(dāng)時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上．當(dāng)且時，由，得．又，所以T為線段F2Q的中點．在△QF1F2中，，所以有綜上所述，點T的軌跡C的方程是

（Ⅲ）C上存在點M（）使S=的充要條件是由③得，由④得

所以，當(dāng)時，存在點M，使S=；當(dāng)時，不存在滿足條件的點M．當(dāng)時，，由，，，得略21.在直角坐標(biāo)系xOy中，過點P（2，1）的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2cosθ，已知直線l與曲線C交于A、B兩點．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求|PA|?|PB|的值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．（2）把直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程可得：t2+（2﹣2）t﹣3=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義即可得出．【解答】解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2cosθ，即為ρ2sin2θ=2ρcosθ，化為普通方程為：y2=2x；（2）把直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程可得：t2+（2﹣2）t﹣3=0．∴t1t2=﹣3．∴|PA|?|PB|=|t1t2|=3．22.（本小題滿分12分）已知點，圓是以的中點為圓心，為半徑的圓。

(Ⅰ)若圓的切線在軸和軸上截距相等,求切線方程；

(Ⅱ)若是圓外一點，從P向圓引切線,為切點,為坐標(biāo)原點，且有,求使最小的點的坐標(biāo).參考答案：(Ⅰ)設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，依題意得

∴圓的方程為

（2分）（1）若截距均為0,即圓的切線過原點,則可設(shè)該切線為即,

則有,解得,此時切線方程為或.