2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明課時(shí)作業(yè)113.4反證法含解析北師大版選修1-2

PAGEPAGE4課時(shí)作業(yè)11反證法時(shí)間：45分鐘滿分：100分一、選擇題(本大題共7個(gè)小題，每小題5分，共35分)1．用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)正確的是()A．假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)B．假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)是偶數(shù)D．假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)是偶數(shù)【答案】B2．命題“隨意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是()A．沒有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形的面B．沒有一個(gè)是三角形的面C．沒有一個(gè)是四邊形的面D．沒有一個(gè)是五邊形的面【答案】A【解析】“至少有一個(gè)”的反面是“一個(gè)也沒有”．3．若a>b>0，則下列不等式中總成立的是()A．a(chǎn)＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B.eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1)C．a(chǎn)＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b) D.eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)【答案】A【解析】可通過例舉反例說明B、C、D均是錯(cuò)誤的，或干脆論證A選項(xiàng)正確．4．若x，y>0且x＋y>2，則eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)的值滿意()A.eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)中至少有一個(gè)小于2B.eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)都小于2C.eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)都大于2D．不確定【答案】A【解析】假設(shè)eq\f(1＋x,y)≥2和eq\f(1＋y,x)≥2同時(shí)成立．因?yàn)閤>0，y>0，∴1＋x≥2y且1＋y≥2x，兩式相加得1＋x＋1＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，這與x＋y>2相沖突，因此eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)中至少有一個(gè)小于2.5．設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)三個(gè)數(shù)()A．都大于2B．至少有一個(gè)大于2C．至少有一個(gè)不大于2D．至少有一個(gè)不小于2【答案】D【解析】a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＝(a＋eq\f(1,a))＋(b＋eq\f(1,b))＋(c＋eq\f(1,c))∵a、b、c都是正數(shù)∴a＋eq\f(1,a)≥2，b＋eq\f(1,b)≥2，c＋eq\f(1,c)≥2，∴a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)≥6∴a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)至少有一個(gè)不小于2.6．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根【答案】A【解析】至少有一個(gè)實(shí)根的否定為：沒有實(shí)根．7．x、y、z中至少有一個(gè)不小于1的含義是()A．都大于等于1B．有1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)大于等于1C．都小于1D．以上都不對(duì)【答案】B二、填空題(本大題共3個(gè)小題，每小題7分，共21分)8．“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是______．【答案】存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角．9．設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿意a＋b＋c＝1，則a，b，c中至少有一個(gè)不小于________．【答案】eq\f(1,3)【解析】假設(shè)a，b，c都小于eq\f(1,3)，則a＋b＋c<1，與已知條件沖突．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)不小于eq\f(1,3).10．用反證法證明命題“若p1p2＝2(q1＋q2)，則關(guān)于x的方程x2＋p1x＋q1＝0與x2＋p2x＋q2＝0中，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根”時(shí)，假設(shè)為____________．【答案】?jī)蓚€(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根三、解答題(本大題共3個(gè)小題，11,12題每小題14分，13題16分，共44分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)11．設(shè){an}，{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cn＝an＋bn，證明：數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．【證明】假設(shè){cn}為等比數(shù)列，則當(dāng)n≥2時(shí)，(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)·(an＋1＋bn＋1)，所以aeq\o\al(2,n)＋2anbn＋beq\o\al(2,n)＝an－1an＋1＋an－1bn＋1＋bn－1an＋1＋bn－1bn＋1.設(shè){an}，{bn}的公比分別為p，q(p≠q)．因?yàn)閍eq\o\al(2,n)＝an－1·an＋1，beq\o\al(2,n)＝bn－1·bn＋1，所以2anbn＝an－1bn＋1＋bn－1an＋1＝eq\f(an,p)·bn·q＋eq\f(bn,q)·an·p，所以2＝eq\f(q,p)＋eq\f(p,q).因?yàn)楫?dāng)p≠q時(shí)，eq\f(q,p)＋eq\f(p,q)>2或eq\f(q,p)＋eq\f(p,q)≤－2，與eq\f(q,p)＋eq\f(p,q)＝2沖突，所以{cn}不是等比數(shù)列．【規(guī)律方法】當(dāng)結(jié)論為否定形式時(shí)，通過反設(shè)，轉(zhuǎn)化為確定形式，可作為條件進(jìn)行推理，此時(shí)應(yīng)用反證法很便利．12．求證：當(dāng)x2＋bx＋c2＝0有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根時(shí)，bc≠0.【證明】假設(shè)bc＝0，下面分狀況進(jìn)行探討：(1)若b＝0，c＝0，則方程變?yōu)閤2＝0，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根為x1＝x2＝0，這與已知條件方程有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根沖突．(2)若b＝0，c≠0，則方程變?yōu)閤2＋c2＝0，此時(shí)方程無實(shí)數(shù)根，這與已知條件方程有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根沖突．(3)若b≠0，c＝0，則方程變?yōu)閤2＋bx＝0，此時(shí)方程的根為x1＝0，x2＝－b，這與已知條件方程有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根沖突．綜上所述，假設(shè)錯(cuò)誤．所以當(dāng)x2＋bx＋c2＝0有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根時(shí)，bc≠0.13．求證：若兩條平行直線a，b中的一條與平面α相交，則另一條也與平面α相交．【證明】不妨設(shè)直線a與平面α相交，b與a平行，從而要證b也與平面α相交．假設(shè)b不與平面α相交，則必有下面兩種狀況：(1)b在平面α內(nèi)．由a∥b，a?平面α，得a∥平面α，與題設(shè)沖突．