八五年湖南高考數(shù)學試卷

八五年湖南高考數(shù)學試卷一、選擇題

1.在下列各數(shù)中，屬于有理數(shù)的是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{3}$

D.無理數(shù)

2.已知等差數(shù)列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=3$，公差$d=2$，則第10項$a_{10}$等于（）

A.15

B.16

C.17

D.18

3.若函數(shù)$f(x)=x^{2}-4x+3$的圖像的對稱軸為（）

A.$x=2$

B.$y=2$

C.$x=-2$

D.$y=-2$

4.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}$，則$f(1)$的值是（）

A.0

B.1

C.2

D.無意義

5.若平行四邊形ABCD的對角線交于點O，則AO與BC的關(guān)系是（）

A.垂直

B.平行

C.相等

D.無關(guān)系

6.已知三角形ABC的邊長分別為a，b，c，且滿足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，則三角形ABC是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等邊三角形

D.鈍角三角形

7.若等比數(shù)列$\{a_{n}\}$的首項$a_{1}=2$，公比$q=\frac{1}{2}$，則第5項$a_{5}$等于（）

A.1

B.2

C.4

D.8

8.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$，若$f(a)=\frac{1}{3}$，則a的值是（）

A.1

B.3

C.$\frac{1}{3}$

D.無解

9.在下列各式中，正確的是（）

A.$(-a)^{2}=a^{2}$

B.$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

C.$(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}$

D.$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

10.若等差數(shù)列$\{a_{n}\}$的首項$a_{1}=1$，公差$d=-2$，則第n項$a_{n}$小于0的項數(shù)是（）

A.無限多個

B.有限個

C.無法確定

D.無解

二、判斷題

1.在平面直角坐標系中，點（1，0）是x軸和y軸的交點。（）

2.函數(shù)$y=x^{2}-4x+4$的圖像是一個開口向上的拋物線，且頂點坐標為（2，0）。（）

3.在三角形ABC中，若a、b、c分別為三邊長，則根據(jù)勾股定理，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$時，三角形ABC一定是直角三角形。（）

4.任何兩個非零實數(shù)的積為正數(shù)。（）

5.在一次函數(shù)$y=kx+b$中，若k>0，則函數(shù)圖像隨著x的增大而y的值也增大。（）

三、填空題

1.若等差數(shù)列$\{a_{n}\}$的首項$a_{1}=5$，公差$d=3$，則第n項$a_{n}$的表達式為______。

2.函數(shù)$f(x)=x^{3}-3x+2$的零點個數(shù)是______。

3.在平面直角坐標系中，點P(2，3)關(guān)于y軸的對稱點坐標是______。

4.若等比數(shù)列$\{a_{n}\}$的首項$a_{1}=8$，公比$q=\frac{1}{2}$，則前5項的和$S_{5}$等于______。

5.若等腰三角形ABC的底邊BC上的高為AD，且AB=AC=6，則AD的長度為______。

四、簡答題

1.簡述一次函數(shù)圖像與系數(shù)k和b的關(guān)系，并舉例說明。

2.如何求一個數(shù)的平方根？請簡述步驟并舉例說明。

3.簡述勾股定理的表述及其在解決實際問題中的應用。

4.簡述等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，并舉例說明。

5.簡述三角形內(nèi)角和定理的表述及其證明思路。

五、計算題

1.計算下列數(shù)列的前10項和：$1,2,4,8,\ldots$，并寫出數(shù)列的通項公式。

2.解下列方程組：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

4x-y=1

\end{cases}

\]

3.已知函數(shù)$f(x)=2x^{2}-3x+2$，求函數(shù)的對稱軸方程。

4.計算下列三角函數(shù)的值：$\sin60^\circ$，$\cos45^\circ$，$\tan30^\circ$。

5.已知等邊三角形ABC的邊長為10，求三角形ABC的外接圓半徑R。

六、案例分析題

1.案例分析：某班級的學生參加數(shù)學競賽，成績?nèi)缦拢ǚ謹?shù)從高到低排序）：100，95，90，88，85，82，80，78，75，70，65，60。請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計算該班級學生的平均成績、中位數(shù)、眾數(shù)，并分析這組數(shù)據(jù)的分布情況。

2.案例分析：某公司生產(chǎn)的零件，其直徑長度服從正態(tài)分布，平均直徑為20mm，標準差為2mm。某日隨機抽取10個零件進行直徑測量，得到的直徑長度分別為19.8mm，20.2mm，21.0mm，19.6mm，20.5mm，20.1mm，20.3mm，19.9mm，21.1mm，20.4mm。請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，分析該公司生產(chǎn)的零件直徑的合格率，并計算不合格零件的個數(shù)。

七、應用題

1.應用題：某商品原價為200元，現(xiàn)進行打折促銷，打八折后顧客需支付多少元？如果再購買兩件相同商品，顧客可以再享受一次八折優(yōu)惠，此時每件商品的實際支付價格是多少？

2.應用題：一輛汽車以60公里/小時的速度行駛，行駛了3小時后，因為交通擁堵，速度降低到40公里/小時，又行駛了2小時后，終于到達目的地。求這輛汽車從起點到目的地的總路程。

3.應用題：一個長方形的長是寬的兩倍，若長方形的周長是40厘米，求長方形的面積。

4.應用題：一個班級有學生50人，要組織一次籃球比賽，每場比賽需要4人，問最多可以組織多少場比賽？如果要求每場比賽都必須有新的球員參加，那么最多可以組織多少場比賽？

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下：

一、選擇題

1.C

2.B

3.A

4.A

5.C

6.B

7.A

8.B

9.B

10.B

二、判斷題

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

三、填空題

1.$a_{n}=5+3(n-1)$

2.3

3.(-2,3)

4.19

5.5$\sqrt{3}$

四、簡答題

1.一次函數(shù)圖像與系數(shù)k和b的關(guān)系：一次函數(shù)的圖像是一條直線，斜率k表示直線的傾斜程度，當k>0時，直線向右上方傾斜；當k<0時，直線向右下方傾斜；當k=0時，直線平行于x軸。截距b表示直線與y軸的交點，即當x=0時的函數(shù)值。

2.求一個數(shù)的平方根的步驟：首先判斷該數(shù)是否為正數(shù)，若不是正數(shù)，則沒有實數(shù)平方根；若是正數(shù)，則計算該數(shù)的平方根，可以使用平方根的定義或者計算器。例如，求16的平方根，可以先判斷16是正數(shù)，然后計算$\sqrt{16}=4$。

3.勾股定理的表述：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。在直角三角形ABC中，若a、b、c分別為三邊長，且$\angleC$是直角，則有$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

4.等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義：等差數(shù)列是指從第二項起，每一項與它前一項的差是常數(shù)d的數(shù)列；等比數(shù)列是指從第二項起，每一項與它前一項的比是常數(shù)q的數(shù)列。例如，等差數(shù)列1，4，7，10，...，等比數(shù)列2，6，18，54，...

5.三角形內(nèi)角和定理的表述：三角形的三個內(nèi)角之和等于180度。證明思路：將三角形的一個內(nèi)角平分，得到兩個三角形，利用已知的三角形內(nèi)角和定理，即可證明原三角形的內(nèi)角和等于180度。

五、計算題

1.數(shù)列的前10項和：$1+2+4+8+...+2^{9}$，這是一個等比數(shù)列，首項$a_{1}=1$，公比$q=2$，項數(shù)$n=10$，前n項和$S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{1(1-2^{10})}{1-2}=1023$，數(shù)列的通項公式為$a_{n}=2^{n-1}$。

2.解方程組：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

4x-y=1

\end{cases}

\]

從第二個方程得到$y=4x-1$，將其代入第一個方程得到$2x+3(4x-1)=8$，解得$x=1$，再代入$y=4x-1$得到$y=3$，所以方程組的解為$x=1$，$y=3$。

3.函數(shù)的對稱軸方程：$f(x)=2x^{2}-3x+2$的對稱軸為$x=-\frac{2a}=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。

4.三角函數(shù)的值：

\[

\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}

\]

5.等邊三角形的外接圓半徑：等邊三角形ABC的邊長為10，外接圓半徑R等于邊長的一半，即$R=\frac{10}{2}=5$。

六、案例分析題

1.平均成績：(100+95+90+88+85+82+80+78+75+70+65+60)/12=82.5

中位數(shù)：將成績排序后，中間的數(shù)為82

眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的成績?yōu)?5和75，各有2個

分布情況：成績分布較為均勻，沒有明顯的集中趨勢。

2.合格率：零件直徑的合格范圍為18mm到22mm，計算得到合格零件的個數(shù)為8個，所以合格率為8/10=80%，不合格零件的個數(shù)為2個。

知識點總結(jié)：

本試卷涵蓋了中學數(shù)學中的基礎(chǔ)知識點，包括數(shù)列、函數(shù)、三角函數(shù)、幾何圖形、方程、不等式等。以下是對各題型所考察的知識點的詳解及示例：

一、選擇題：考察對基礎(chǔ)概念的理解和應用，如數(shù)列、函數(shù)、幾何圖形等。

二、判斷題：考察對基礎(chǔ)概念的正確判斷，如數(shù)列的性質(zhì)、三角函數(shù)的值、幾何圖形的性質(zhì)等。

三、填空題：考察對基礎(chǔ)知識的記憶和應