浙江省臺州市三校2024-2025學年高一上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題【含答案解析】

2024學年第一學期臺州三校期中考試試卷高一年級數(shù)學學科一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的定義計算即可.【詳解】因為集合，，故.故選：B.【點睛】本題主要考查了交集的基本運算,屬于基礎題.2.下列關于，的關系式中，能表示是的函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義依次判斷各個選項.【詳解】對于A，，當時，得，即，不滿足函數(shù)定義，故A錯誤；對于B，，當時，得，即，不滿足函數(shù)定義，故B錯誤；對于C，即，滿足函數(shù)的定義，故C正確；對于D，，當時，得，即，不滿足函數(shù)定義，故D錯誤.故選：C.3.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由根式有意義可以列出不等式求解.【詳解】依題意得，解得，所以的定義域為,故選：D.4.若，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性，可得答案.【詳解】由函數(shù)在上單調遞減，且，則；由函數(shù)在上單調遞增，且，則，由，則.故選：A.5.已知，，則a、b、c的大小關系為（）A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.c＜b＜a【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調性即可比較大小作答.【詳解】函數(shù)是定義域R上的單調減函數(shù)，且，則，即，又函數(shù)在上單調遞增，且，于是得，即，所以a、b、c的大小關系為．故選：C6.已知實數(shù)，且“”的一個必要不充分條件是“”，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】分別解不等式可得、，結合充分、必要條件可得，建立不等式組，解之即可求解.【詳解】由，得，即，由，，得，即，因為“”是“”的必要不充分條件，所以，得（等號不能同時成立），解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：A7.過點與圓相切兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知，切線的斜率存在，設切線的方程為，根據(jù)直線與圓的位置關系可得出，設兩條切線的斜率分別為、，則、為關于的方程的兩根，利用根與系數(shù)的關系求出的值，再由結合同角三角函數(shù)的基本關系可求得的值.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，若切線斜率不存在時，則直線方程為，此時，圓心到直線的距離為，不合乎題意；當切線的斜率存在時，設切線的方程為，即，則有，整理可得，則，設兩切線的斜率分別為、，則、為關于的方程的兩根，由韋達定理可得，，所以，，所以，，由題意，，由，解得.故選：D.8.已知正實數(shù)，，滿足，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，由，得到，再利用不等式和一元二次不等式解法求解.【詳解】解：因為，所以，即，因為，則，解得，當且僅當，即或時，等號成立，所以的取值范圍為，故選：C二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上是減函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性及在上的單調性，逐項判斷即得.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，該函數(shù)不具奇偶性，A不是；對于B，函數(shù)的定義域為R，，是偶函數(shù)，當時，在上單調遞減，B是；對于C，函數(shù)的定義域為R，，是偶函數(shù)，在上單調遞減，C是；對于D，函數(shù)的定義域為，，是奇函數(shù)，D不是.故選：BC10.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】用列舉法表示集合，利用集合的基本運算和元素與集合的關系即可判斷選項A，B錯誤，選項C，D正確.【詳解】由題意得，.A.，選項A錯誤.B.，選項B錯誤.由集合與元素的關系得，，，選項C，D正確.故選：CD.11.如圖，在直棱柱中，各棱長均為，則下列說法正確的是（）A.異面直線與所成角的正弦值為B.當點M在棱上運動時，則直線與平面所成角的最大值為C.當點M在棱上運動時，最小值為D.三棱錐外接球的表面積為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)可知所求角為，利用余弦定理可求得結果，即可判斷A；連接交于點，連接，證明平面，可得線段的長度即為點到平面的距離，進而可判斷B；將四邊形與沿著棱展開，可知所求距離之和的最小值即為，即可判斷C；利用正弦定理可求得外接圓半徑，從而確定三棱錐外接球半徑，代入球的表面積公式即可判斷D.【詳解】對于A，連接，，，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角即為，，，，所以異面直線與所成角的正弦值為，故A錯誤；對于B，連接交于點，連接，在菱形中，，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，因為平面，平面，所以平面，所以線段的長度即為點到平面的距離，在等邊三角形中，，則直線與平面所成角的正弦值為，當點與點重合時，取得最小值，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，所以直線與平面所成角的最大值為，故B正確；對于C，將四邊形與沿著棱展開得四邊形，則的最小值即為，故C正確；對于D，，，是邊長為的正三角形，的外接圓半徑，三棱錐外接球半徑，三棱錐外接球表面積，故D正確.故選：BCD.【點睛】思路點睛：求解最短距離問題的基本思路是能夠利用展開圖，將問題轉化為平面上兩點連線距離的求解問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“，”的否定是______．【答案】，【解析】【分析】直接根據(jù)全稱量詞命題的否定是特稱（存在）量詞命題，即可得到.【詳解】因為全稱量詞命題的否定是特稱（存在）量詞命題，所以命題“，”的否定是“，”，故答案為：，.13.已知，若，，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得，，利用基本不等式運算求解即可.【詳解】因為，若，，可知，則，可得，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.14.設函數(shù)，若且，則當取得最小值時__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的特征結合基本不等式計算求參即可.【詳解】因為函數(shù)，又因為且，則,所以，所以,則，則當取得最小值時,所以,所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知全集，集合，.（1）求和；（2）已知，寫出集合的所有非空子集.【答案】（1），（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求出集合，利用交集和并集定義可求得集合和；（2）求出集合，利用子集的定義可得出集合的所有非空子集.【小問1詳解】因為，，則，.【小問2詳解】因為全集，，則，所以，集合的所有非空子集為：、、、、、、.16.設．注：（1）證明：；（2）若，求的最小值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)公式，結合條件，即可求解；（2）首先根據(jù)條件得到，再利用表示，最后根據(jù)基本不等式，即可求解.【小問1詳解】，．均不為0，則，．【小問2詳解】由可知．，當且僅當時，取等號，．的最小值為.17.已知集合，.（1）當時，求；（2）已知“”是“”的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，，再計算并集得到答案.（2）根據(jù)必要條件得到，考慮，，三種情況，分別計算得到答案.【小問1詳解】，得，所以.，當時，，.【小問2詳解】因為“”是“”的必要條件，所以.當時，，不符合題意；當，即時，，符合題意；當時，，所以，解得.綜上所述：.18.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，試判斷的單調性，并用定義證明.【答案】（1）（2）在上為增函數(shù)，證明見解析【解析】【分析】（1）換元令，原不等式可化為，解得，再結合至少函數(shù)單調性運算求解；（2）根據(jù)單調性的定義結合指數(shù)函數(shù)單調性分析證明.【小問1詳解】令，則，原不等式可化為，解得，即，可得，故原不等式的解集為.【小問2詳解】在上為增函數(shù)，證明如下：因為，任取，，且，則.因為，則，，可得，即，所以函數(shù)在上為增函數(shù).19.已知函數(shù)，且.（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）若，試判斷函數(shù)的單調性.并求使不等式在R上恒成立的的取值范圍；（3）若，且在上的最小值為，求的值.【答案】（1）奇函數(shù)；（2）單調遞增，；（3）.【解析】【分析】（1）利用奇偶性定義判斷即可.（2）由，得，結合指數(shù)函數(shù)單調性判斷的單調性，再脫去法則“f”，分離參數(shù)借助基本不等式求出最小值即得.（3）求出值，再換元并構造函數(shù)，求出新函數(shù)的定義域，再結合二次函數(shù)最值分類討論求解.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為R，，所以函數(shù)奇函數(shù).【小問2詳解