專題08 空間幾何體-2025年春季高考數(shù)學(xué)沖刺總復(fù)習(xí)（江蘇專用）

PAGE1專題06空間幾何體目錄TOC\o"1-2"\h\u考情解讀 1知識(shí)梳理 1考點(diǎn)精講 4考點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 4考點(diǎn)二：空間幾何體的表面積 8考點(diǎn)三：空間幾何體的體積 11考點(diǎn)四：球的表面積與體積 15實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練 18明晰學(xué)考要求本部分包括兩個(gè)重要內(nèi)容：幾何體的結(jié)構(gòu)特征、幾何體的表面積和體積，其中球的結(jié)構(gòu)特征和體積表面積計(jì)算是重點(diǎn)，識(shí)記公式并能準(zhǔn)確應(yīng)用是得分的關(guān)鍵.基礎(chǔ)知識(shí)梳理1、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱記作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底)：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐記作：棱錐S－ABCD底面(底)：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c(diǎn)的各個(gè)三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐棱臺(tái)用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺(tái)記作：棱臺(tái)ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)2、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征圖形表示圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓柱記作圓柱O′O圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐圓錐也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓錐記作圓錐SO圓臺(tái)用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)圓臺(tái)也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓臺(tái)記作圓臺(tái)O′O球半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.半圓的圓心叫做球的球心，連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑球常用表示球心的字母來表示，左圖可表示為球O3、直觀圖用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟4、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積(1)多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.(2)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和.5、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積(1)棱柱：棱柱的底面面積為S，高為h，則V＝Sh.(2)棱錐：棱錐的底面面積為S，高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh.(3)棱臺(tái)：棱臺(tái)的上、下底面面積分別為S′，S，高為h，則V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h.5、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積圓柱底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl表面積：S＝2πrl＋2πr2圓錐底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πrl表面積：S＝πrl＋πr2圓臺(tái)上底面面積：S上底＝πr′2下底面面積：S下底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πl(wèi)(r＋r′)表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)6、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積V圓柱＝πr2h(r是底面半徑，h是高)，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h(r是底面半徑，h是高)，V圓臺(tái)＝eq\f(1,3)πh(r2＋r′r＋r′2)(r′、r分別是上、下底面半徑，h是高).7、球的表面積與體積公式前提條件球的半徑為R球的表面積公式S球＝4πR2球的體積公式V球＝eq\f(4,3)πR3球的表面積公式與體積公式的聯(lián)系V球＝eq\f(1,3)S球R考點(diǎn)精講講練基礎(chǔ)知識(shí)梳理考點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【典型例題】例題1．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）如圖所示，在三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分是（

）A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．四棱柱【答案】B【分析】根據(jù)錐體、柱體、臺(tái)體等知識(shí)確定正確答案.【詳解】截去三棱錐，則剩余的部分是四棱錐.故選：B例題2．（2024年江蘇省揚(yáng)州市學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬）已知圓錐的母線長為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，列出方程，求解即可．【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，則，所以，所以.故選：A.例題3．如圖、以矩形的邊所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是（

）A．圓錐 B．圓臺(tái) C．圓柱 D．球【答案】C【分析】根據(jù)圓柱的形成即可得到答案.【詳解】以矩形的邊所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是圓柱.故選：C.注意區(qū)分棱錐和棱臺(tái)：棱錐棱臺(tái)定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長后相交于一點(diǎn)【即時(shí)演練】1.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，，則BD1=（）A．6 B．7 C．10 D．11【答案】A【分析】利用勾股定理計(jì)算即可【詳解】故選：A2．如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是（

）A．棱柱 B．棱臺(tái) C．棱柱與棱錐的組合體 D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)棱柱的定義進(jìn)行判斷【詳解】如圖.∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C，∴有水的部分始終有兩個(gè)平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形(水面與兩平行平面的交線)，因此呈棱柱形狀.故選：A3．有一個(gè)多面體，共由四個(gè)面圍成，每一個(gè)面都是三角形，則這個(gè)幾何體為（

）A．四棱柱 B．四棱錐C．三棱柱 D．三棱錐【答案】D【分析】由柱體和錐體的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】四個(gè)面都是三角形的幾何體只能是三棱錐．故選：D.4．在三棱錐中，平面，垂足為，且，則點(diǎn)一定是的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理，求得，即可求得答案.【詳解】如圖所示，分別連接，因?yàn)槠矫?，可得又因?yàn)?，利用勾股定理，可得，所以點(diǎn)一定是的外心.故選:B.考點(diǎn)二：空間幾何體的表面積【典型例題】例題1．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）若圓柱的上?下底面的圓周都在一個(gè)半徑為2的球面上，則該圓柱側(cè)面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)底面圓半徑為，則圓柱的高為，圓柱側(cè)面積為，利用均值等式計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)底面圓半徑為，則圓柱的高為，圓柱側(cè)面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：B.例題2．已知圓錐的底面半徑為1，母線與底面所成的角是，則該圓錐的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐的母線長，再利用圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算即得.【詳解】由圓錐的母線與底面所成的角是，得圓錐軸截面等腰三角形且底角為，所以圓錐軸截面等腰三角形是正三角形，因此圓錐母線長為2，所以該圓錐的側(cè)面積是.故選：B例題3．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）如圖1是一棟度假別墅，它的屋頂可近似看作一個(gè)多面體，圖2是該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖，其中四邊形和四邊形是兩個(gè)全等的等腰梯形，和是兩個(gè)全等的正三角形．已知該多面體的棱與平面成的角，，則該屋頂?shù)膫?cè)面積為（

）A．80 B． C．160 D．【答案】D【分析】先求兩個(gè)等腰梯形的高，進(jìn)而計(jì)算出屋頂?shù)膫?cè)面積.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，根據(jù)對(duì)稱性可知，在平面的射影在上，設(shè)其為，連接，則平面，而平面，所以，所以是與平面成的角，即，所以，過作，垂足為，連接，由于平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，，所以，所以，所以，所以該屋頂?shù)膫?cè)面積為：.故選：D求多面體的表面積和側(cè)面積二者不同，要分清二者區(qū)別.【即時(shí)演練】1.已知棱長為2，各面均為等邊三角形的四面體，則其表面積為（）A．12 B． C． D．【答案】C【分析】利用三角形面積公式及四面體表面積的意義計(jì)算即得.【詳解】棱長為2，各面均為等邊三角形的四面體，其表面積為：.故選：C2.已知圓柱的底面半徑為，母線長為，則該圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圓柱側(cè)面積公式直接求解即可.【詳解】圓柱的側(cè)面積.故選：B.3.底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長為5，它的體對(duì)角線的長分別是9和15，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積為（

）A．160 B．80 C．100 D．120【答案】A【分析】由已知條件求得底面菱形的兩條對(duì)稱線長，從而求得菱形的邊長，由側(cè)面積公式可得側(cè)面積．【詳解】設(shè)底面邊長是a，底面的兩條對(duì)角線分別為l1，l2，所以＝152－52，＝92－52.又，即152－52＋92－52＝4a2，所以a＝8，所以S側(cè)＝ch＝4×8×5＝160.故選：A．考點(diǎn)三：空間幾何體的體積【典型例題】例題1．（江蘇省南京市2025屆高三學(xué)業(yè)水平調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷）在正四棱臺(tái)中，，，，則該棱臺(tái)的體積為．【答案】/【分析】由正四棱臺(tái)的對(duì)角面為是等腰梯形，求得棱臺(tái)的高，結(jié)合棱臺(tái)的體積公式，即可求解.【詳解】正四棱臺(tái)的對(duì)角面為是等腰梯形，其高為該正四棱臺(tái)的高，在等腰梯形中，，因?yàn)椋瑒t該梯形的高，所以該棱臺(tái)的體積為.故答案為：.例題2．已知圓錐的母線長為2，母線與底面所成的角是，則該圓錐的體積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓錐的性質(zhì)求得圓錐的高和底面半徑，再由體積公式計(jì)算．【詳解】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，又母線長為，而母線與底面所成的角是，則，，所以體積為，故選：A．例題3．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）如圖，三棱錐的底面和側(cè)面都是邊長為2的等邊三角形，分別是的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可求證；（2）先證明平面，即可求出三棱錐的體積【詳解】（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)槭堑冗吶切?，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面都是邊長為2的等邊三角形，所以.利用公式直接法求幾何體的體積時(shí)，要弄清幾何體的結(jié)構(gòu)類型，準(zhǔn)確求出底面積和高.有些三棱錐問題，需要注意等體積轉(zhuǎn)化和分割求解的方法.【即時(shí)演練】1．小明同學(xué)在通用技術(shù)課上，制作了一個(gè)半正多面體模型．他先將正方體交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)分別記為，如圖1所示，然后截去以為底面的正三棱錐，截后幾何體如圖2所示，按照這種方法共截去八個(gè)正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型．若原正方體的棱長為6，則此半正多面體模型的體積為（

）A．108 B．162 C．180 D．189【答案】C【分析】正方體的體積減掉8個(gè)以為底面的正三棱錐的體積即得此半正多面體模型的體積.【詳解】設(shè)此半正多面體模型的體積為，則.故選：C.2.上、下底面圓的半徑分別為、，高為的圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為、，高為，所以.故選：A3.如圖，在三棱柱中，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，平面.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，設(shè)，連接，即可得到，從而得證；（2）利用勾股定理逆定理說明，再說明平面，最后根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，由三棱柱的性質(zhì)可知，側(cè)面為平行四邊形，∴為的中點(diǎn)，又∵為中點(diǎn)，∴在中，，又∵平面，平面，∴平面．（2）因?yàn)?，，，，∴，即，又，平面，所以平面，?考點(diǎn)四：球的表面積與體積【典型例題】例題1．（2024高二上·江蘇揚(yáng)州·學(xué)業(yè)考試）若長方體的長、寬、高分別為，，，且它的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由長方體外接球直徑為體對(duì)角線，結(jié)合球體體積公式求體積.【詳解】由題設(shè)，長方體外接球直徑為體對(duì)角線為，所以該球體積為.故選：D例題2．（江蘇省徐州市2024屆高三上學(xué)期合格考試學(xué)情調(diào)研）一個(gè)圓錐的底面直徑和高都同一個(gè)球的直徑相等，那么圓錐與球的體積之比是（

）A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9【答案】C【分析】設(shè)球體的半徑，根據(jù)已知條件把圓錐和球體的體積表示出來相比就可以了.【詳解】設(shè)球體的半徑為，圓錐底面半徑為，高為則圓錐的體積為：球體的體積：所以圓錐與球的體積之比為：1∶2故選：C.例題3．（2022高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知一個(gè)實(shí)心銅質(zhì)的圓錐形材料的底面半徑為4，側(cè)面積為，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個(gè)實(shí)心銅球，不計(jì)損耗，則銅球的半徑為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用圓錐的體積公式和球的體積公式即可求得半徑.【詳解】由已知圓錐底面半徑為4，所以底面周長為，圓錐的母線長為：，所以圓錐的高，所以圓錐的體積為：，設(shè)球的半徑為,所以，解得.故選：A.(1)球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑.(2)球外接于正方體或長方體，正方體和長方體的體對(duì)角線長等于球的直徑.【即時(shí)演練】1．在三棱錐中，側(cè)棱、、兩兩垂直，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為．【答案】【分析】將三棱錐補(bǔ)全為長方體，長方體的外接球就是所求的外接球，長方體的對(duì)角線就是外接球直徑，計(jì)算出半徑后可得表面積．【詳解】將三棱錐補(bǔ)全為長方體，則長方體的外接球就是所求的外接球，設(shè)球半徑為R，則，所以球的表面積為．故選答案為：．2.若球的表面積為，則該球的半徑是．【答案】【分析】根據(jù)球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)球的半徑為，依題意，解得（負(fù)值已舍去）.故答案為：3.一個(gè)半徑為的球和一個(gè)上，下底面邊長分別為和的正四棱臺(tái)的體積相同，則正四棱臺(tái)的高為．【答案】/【分析】利用球和正四棱臺(tái)的體積公式直接建立等式計(jì)算即可．【詳解】解：球的體積為①，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則正四棱臺(tái)的體積為②，由，解得：．故答案為：．實(shí)戰(zhàn)能考點(diǎn)精講講練力訓(xùn)練1.圓錐的底面半徑是1，高是2，則這個(gè)圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓錐體積公式直接計(jì)算.【詳解】由題意知，圓錐底面積為，圓錐的高，則圓錐的體積為.故選：A2水平放置的的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知，則的面積是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)直觀圖與斜二測(cè)畫法的定義求解.【詳解】由題可知，為直角三角形，且,所以,故選：C.3如圖，在長方體中，（）

A．60 B．30 C．20 D．10【答案】D【分析】利用錐體的體積公式求解.【詳解】解：在長方體中，點(diǎn)到面ABCD的距離為，，所以，故選：D4如圖正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．2833【答案】B【分析】根據(jù)臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合臺(tái)體的體積公式運(yùn)算求解.【詳解】如圖，過作下底面的投影，垂足為，上底面對(duì)角線長，下底面對(duì)角線長，則，可得正四棱臺(tái)的高，所以正四棱臺(tái)的體積.故選：B5.如圖，在長方體中，，，則（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)求解.【詳解】在長方體中，，故選：B6.已知球O的體積為，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)球的體積公式求出半徑，即可求出表面積.【詳解】設(shè)球的體積為，則由題可得，解得，則該球的表面積為.故選：D.7.下列說法正確的是（

）A．通過圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，有無數(shù)條母線B．圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余的部分是圓臺(tái)C．圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓，母線都與底面垂直D．位于上方的面是棱臺(tái)的上底面，位于下方的面是棱臺(tái)的下底面【答案】B【分析】利用圓臺(tái)的定義判斷A，B；利用圓錐、圓臺(tái)的定義判斷C；利用棱臺(tái)的定義判斷D作答.【詳解】根據(jù)圓臺(tái)母線的定義