專題03 三角函數(shù)的應(yīng)用5大題型-備戰(zhàn)2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末好題分類匯編（河南專用）

PAGE1PAGE2專題03三角函數(shù)的應(yīng)用5大題型題型一仰俯角問題1．（23-24九年級上·河南平頂山·期末）如圖是某建筑物的側(cè)面圖形．已知建筑物坡度為，總長為米，斜坡和平臺形成為，從E點(diǎn)看D點(diǎn)的仰角為，斜坡長15米．求長度為米．（結(jié)果保留根號）

【答案】【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，延長交于點(diǎn)G，作于點(diǎn)N，設(shè)，則，利用勾股定理可得，從而求得，根據(jù)題意可得，利用勾股定理求得，從而求得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，延長交于點(diǎn)G，作于點(diǎn)N，則中，設(shè)，則，∴，解得，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，在中，，則，故答案為：．

2．（22-23九年級上·河南周口·期末）如圖，某無人機(jī)愛好者在一小區(qū)外放飛無人機(jī)，當(dāng)無人機(jī)飛行到一定高度處時(shí)，無人機(jī)測得操控者的俯角為，測得小區(qū)樓房頂端點(diǎn)處的俯角為．已知操控者和小區(qū)樓房之間的距離為，小區(qū)樓房的高度為，求此時(shí)無人機(jī)的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】此時(shí)無人機(jī)的高度為【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形運(yùn)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，設(shè)未知數(shù)構(gòu)建等式求解．過點(diǎn)做的平行線，在平行線上取兩點(diǎn)，，使，，根據(jù)矩形的性質(zhì)和解直角三角，可得，設(shè)，代入數(shù)據(jù)求解，得到的值，即可求得無人機(jī)的高度．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)做的平行線，在平行線上取兩點(diǎn)，，使，，由題易得四邊形為矩形，，，可得：，設(shè)，可得：，解得：，此時(shí)無人機(jī)的高度為：．3．（21-22九年級上·河南南陽·期末）為了響應(yīng)國家“雙減”政策，適當(dāng)改變作業(yè)的方式，某校內(nèi)數(shù)學(xué)興趣小組組織了一次測量探究活動．如圖，大樓的頂部豎有一塊廣告牌，同學(xué)們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為，沿坡面向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為，已知山坡的坡度，米，米，求廣告牌的高度．（測角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，【答案】廣告牌CD的高約為7.4米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，仰俯角的問題，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的前提，理解坡度的意義是解決問題的關(guān)鍵．在中求出，，進(jìn)而求出，即，再在中，得出，在中由邊角關(guān)系求出，最終求出，取近似值得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，，垂足分別為、，由題意可知，，，，米，米，，，，，，，，，在中，，米，（米，，答：廣告牌CD的高約為7.4米．4．（22-23九年級上·河南鶴壁·期末）鶴壁市新世紀(jì)廣場，是鶴壁市為了打造“火焰般的活力，鉆石般的晶瑩，田園般的美麗”的城市品牌，聘請清華大學(xué)設(shè)計(jì)建造的高起點(diǎn)、高品味的大型綜合性廣場．其中，鐘塔是廣場的主題，也是鶴壁市新區(qū)城市的標(biāo)志性建筑，他默默的陪伴著鶴壁人民走過了20多年的歲月．如圖所示，小明在鐘塔一側(cè)的水平面上的處測得塔頂?shù)难鼋菫?，在某建筑物頂部處，又測得塔頂?shù)难鼋菫?，已知建筑物的總高度為米，水平距離的長度為10米，試求鐘塔的高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）【答案】鐘塔的高度約為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明四邊形是矩形，求出，，然后在中，根據(jù)列式計(jì)算即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，設(shè)，，四邊形是矩形．，在中，，，，，在中，，，，解得，答：鐘塔的高度約為．5．（23-24九年級上·河南濮陽·期末）如圖，學(xué)校從教學(xué)樓頂懸掛了一幅長為的勵(lì)志條幅，已知樓頂?shù)降孛娴木嚯x為，在樓前點(diǎn)A處，測得條幅底端N的仰角為，在距A點(diǎn)處的B點(diǎn)（點(diǎn)A，B，C在一條直線上），測得條幅頂端M的仰角為，若忽略測量儀器的高度，請你計(jì)算條幅的長度．（結(jié)果保留根號）【答案】的長度為【分析】本題考查解直角三角形．熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，熟記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．在中，利用，求出的長，利用求出的長，在中，利用，求出的長，利用求出的長即可．【詳解】解：由題意，得：，，，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴．答：的長度為．6．（23-24九年級上·河南平頂山·期末）某數(shù)學(xué)興趣小組想測量電視塔的高度，如圖，在A處D用測角儀測得電視塔最高點(diǎn)D的仰角為，沿方向前進(jìn)13到達(dá)B處，又測得電視塔最高點(diǎn)D的仰角為，已知測角儀的高度為，測量點(diǎn)A、B與電視塔的底部C在同一水平線上．求電視塔的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】電視塔的高度約為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．延長交于點(diǎn)H，設(shè)，根據(jù)列方程并解方程即可解決．【詳解】解：延長交于點(diǎn)H，由題意知，設(shè)，在中，，∴，在中，，，又∵，∴，∴，解得，∴，答：電視塔的高度均為．7．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）河南省科技館（新館）位于鄭州市鄭東新區(qū)象湖湖畔，是河南省有史以來規(guī)模最大、投資最多的公益性投資項(xiàng)目．新館設(shè)計(jì)方案由主體場館、圭表塔、室外科學(xué)廣場等組成，設(shè)計(jì)靈感源自河洛交匯文化意向，建筑形態(tài)宛如黃河與洛河自然交匯形成的天然造型，又如展翅雄鷹、飛機(jī)螺旋槳，寓意河南騰飛、中原崛起鄭東新區(qū)某數(shù)學(xué)興趣小組在去科技館游玩時(shí)，嘗試用所學(xué)的知識測量圭表塔的高度，以下是他們的測量方案：先站在地面的A點(diǎn)處用測傾器測得圭表塔的頂端N點(diǎn)的仰角為，接著沿圭表塔的方向前進(jìn)33米到達(dá)C處測得頂端N的仰角為（點(diǎn)A、C、M在同一直線上）．(1)已知測傾器的高度為1.3米，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出圭表塔的高度；（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：，，，）(2)通過查看科技館的介紹，發(fā)現(xiàn)圭表塔的高度是100米，則計(jì)算結(jié)果的誤差為多少？請你說出一條可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差的原因．【答案】(1)圭表塔的高度約為100.3米(2)見解析【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：，米，米，然后設(shè)米，則米，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算，然后說出可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差的原因，即可解答．【詳解】（1）延長交于點(diǎn)，由題意得：，米，米，設(shè)米，米，在中，，米，在中，，（米，，解得：，米，（米，圭表塔的高度約為100.3米；（2）由題意得：（米，計(jì)算結(jié)果的誤差為0.3米，可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差的原因?yàn)椋壕沓邲]有拉直（答案不唯一）．題型二方位角問題8．（23-24九年級上·河南平頂山·期末）現(xiàn)在手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，嘉琪一家自駕到風(fēng)景區(qū)游玩，到達(dá)地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西方向行駛4千米至地，再沿北偏東方向行駛一段距離到達(dá)風(fēng)景區(qū)，嘉琪發(fā)現(xiàn)風(fēng)景區(qū)在地的北偏東方向，那么B，C兩地的距離為（

）

A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形性質(zhì)和計(jì)算，方位角的表示，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵；過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，根據(jù)，，利用三角形內(nèi)角和定理求出，在得出長度，，利用勾股定理求出，即再次利用勾股定理求出的長．【詳解】如圖所示：過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，

由題意得：，，，，，，，（千米），，（千米），（千米），故選：A9．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖，某海警船向正西方向航行，在處望見一艘正在作業(yè)的漁船在南偏西方向，海警船航行到處時(shí)望見漁船在南偏東方向，又航行了一小時(shí)到達(dá)處，望見漁船在南偏東方向，若海警船的速度為25海里時(shí)，則，之間的距離為多少海里．（，結(jié)果精確到0.1海里）【答案】海里【分析】本題主要考查解直角三角形、方向角、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．如圖：作于M，設(shè),在中，根據(jù)列出方程求解即可．【詳解】解：如圖：作于M，∵，∴，∵，∴，設(shè),在中，（海里），∴，∴，解得：，∴（海里）．10．（23-24九年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）小明和小紅相約周末游覽合川釣魚城，如圖，為同一平面內(nèi)的五個(gè)景點(diǎn)．已知景點(diǎn)位于景點(diǎn)的東南方向米處，景點(diǎn)位于景點(diǎn)的北偏東方向米處，景點(diǎn)位于景點(diǎn)的北偏東方向，若景點(diǎn)與景點(diǎn)，都位于東西方向，且景點(diǎn)在同一直線上．(1)求景點(diǎn)與景點(diǎn)之間的距離．（結(jié)果保留根號）(2)小明從景點(diǎn)出發(fā)，從到到，小紅從景點(diǎn)出發(fā)，從到到，兩人在各景點(diǎn)處停留的時(shí)間忽略不計(jì)．已知兩人同時(shí)出發(fā)且速度相同，請通過計(jì)算說明誰先到達(dá)景點(diǎn)．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)景點(diǎn)與景點(diǎn)之間的距離為米(2)小紅先到達(dá)景點(diǎn)，理由見解析【分析】（）過點(diǎn)作于點(diǎn)，解直角三角形求出，即可求出點(diǎn)與景點(diǎn)之間的距離；（）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，解直角三角形求出，分別計(jì)算出兩人所走的路程，即可判斷求解；本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，矩形的性質(zhì)，根據(jù)題意，作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，∴，在中，，∴，，∴，答：景點(diǎn)到景點(diǎn)的距離為米；（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∴四邊形為矩形，在中，，∴，∴，，又∵四邊形為矩形，∴，在中，，∴，，∴，∴小明所走的路程為米，小紅所走的路程為米，∵且兩人速度相同，∴小紅先到達(dá)景點(diǎn)．11．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，海中有一個(gè)小島A，該島四周內(nèi)有暗礁．今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西的B處，往東行后到達(dá)該島的南偏西的C處之后，貨輪繼續(xù)向東航行．（，）

(1)請用尺規(guī)作圖，找到貨輪距離小島A最近時(shí)的位置點(diǎn)P（不寫過程，需保留作圖痕跡）；(2)當(dāng)貨輪航行到P點(diǎn)位置時(shí)，距離小島A有多遠(yuǎn)，貨輪有觸礁危險(xiǎn)嗎？【答案】(1)見解析(2)貨輪航行到P點(diǎn)位置時(shí)，距離小島A，貨輪沒有觸礁危險(xiǎn)【分析】本題考查作圖一作垂線，解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．（1）根據(jù)要求畫出圖形；（2）設(shè)，則，根據(jù)，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)P即為所求，

（2）在中，設(shè)，則，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解，，，貨輪航行到P點(diǎn)位置時(shí)，距離小島A，貨輪沒有觸礁危險(xiǎn)．12．（22-23九年級上·河南濮陽·期末）某地修建了一個(gè)半徑為的圓形公園，如圖，公園的中心點(diǎn)A位于C地南偏西，B地南偏東方向上．C地在B地的正東方向，且兩地相距．有關(guān)部門計(jì)劃在B，C兩地之間修一條筆直的公路來連接兩地，問該公路是否穿過公園？試通過計(jì)算加以說明（參考數(shù)據(jù)：，，)．

【答案】該公路不穿過公園，見解析【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，設(shè)，在中，，在中，，在根據(jù)可求解的長，進(jìn)而可求解．【詳解】解：不穿過．如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，

設(shè)．由題意得，，．在中，，（）．在中，，∴（）．∵，∴．解得．，∴該公路不穿過公園．13．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在東西方向的海岸線上有A，B兩個(gè)港口，甲貨船從A港沿東北方向出發(fā)，同時(shí)乙貨船從B港口沿北偏西方向出發(fā)，甲貨船行駛10海里后和乙貨輪相遇在點(diǎn)P處．則A港與B港相距多少海里？【答案】A港與B港相距海里．【分析】先作于點(diǎn)C，根據(jù)題意求出，從而得出的值，得出的值，即可求出答案．【詳解】解：作于點(diǎn)C，由題意得，∴海里，∵乙貨船從B港沿西北方向出發(fā)，∴，，∴海里，∴海里，答：A港與B港相距海里．14．（22-23九年級上·河南南陽·期末）習(xí)近平總書記指出“沒有全民健康，就沒有全面小康”，全民健身被越來越多的人接納，人們的健身方式更加多元，健身場地更加豐富，沿河跑步也成為一種時(shí)尚．九年級學(xué)生小明在河邊跑步時(shí)，決定用數(shù)學(xué)知識計(jì)算河的寬度，如圖是一條河的示意圖，小明沿河岸跑步，對岸EF上有兩棵大樹A，B，當(dāng)小明跑到C處時(shí)，測得大樹A在北偏東方向，小明繼續(xù)跑步5分鐘到達(dá)D處，此時(shí)大樹B剛好在北偏西方向，已知，，小明跑步的平均速度是每分鐘，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出該段河的寬度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】該段河的寬度約是．【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作于點(diǎn)N，得，四邊形是矩形，則，設(shè)，在中，則，在中，，根據(jù)的長度列方程求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作于點(diǎn)N，則，∵，∴，四邊形是矩形，∴，設(shè)，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴，即該段河的寬度約是．15．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）“一方有難，八方支援”，新冠疫情期間，各地醫(yī)療隊(duì)星夜馳援鄭州抗疫．一名醫(yī)務(wù)工作者從賓館C出發(fā)，沿北偏東的方向行走1000米到達(dá)A處，后又從A處沿正南方向行走一段距離到達(dá)位于賓館南偏東方向的B處，如圖所示，若這名工作者以100米/分的速度從B處返回賓館，那么他在10分鐘內(nèi)能否到達(dá)賓館？（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】能到達(dá)賓館【分析】過作于，由含角的直角三角形的性質(zhì)求得的長，再在中，求出的長，然后由時(shí)間路程速度求出他到達(dá)賓館需要的時(shí)間，與10分鐘比較即可．【詳解】解：過作于，由題意可得：，，米，（米），在中，，（米），這名工作者以100米分的速度從處返回賓館，他到達(dá)賓館需要的時(shí)間為（分）分，這名工作者在10分鐘內(nèi)能到達(dá)賓館．題型三坡度問題16．（23-24九年級上·河南濮陽·期末）河堤橫斷面迎水坡的坡度，若水平寬度為24米，則鉛垂高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．根據(jù)坡度的概念計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵迎水坡的坡度，水平寬度為24米，∴鉛垂高度為：（米），故選A．17．（23-24九年級上·河南南陽·期末）國慶期間，小明陪媽媽去爬山，兩人走到山腳下A處時(shí)，看見A處一標(biāo)語牌上寫著“溫馨提示：此山坡的坡度”，兩人沿坡前行，到達(dá)C處時(shí)，又發(fā)現(xiàn)C處標(biāo)語牌上寫著“恭喜你已上升50米”，愛思考的小明很快告訴媽媽：“我們至少走坡路（

）米了”．A．50 B．120 C．130 D．170【答案】C【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，根據(jù)坡度的概念解直角三角形即可．【詳解】由題意可得，坡度，（米），∴（米），∴（米），即至少走坡路130米，故選：C．18．（23-24九年級上·河南南陽·期末）為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市大力開展植樹造林活動．如圖，若在坡比為的山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為，那么斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，由坡比為，株距（相鄰兩樹間的水平距離）為，則上升的高度為米，根據(jù)勾股定理即可求解，掌握坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵坡比為，株距（相鄰兩樹間的水平距離）為，∴鉛直高度為米，由勾股定理得，斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離為，故選：．19．（23-24九年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，滑雪場有一坡角為的滑雪道，滑雪道AC長為150米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，根據(jù)正弦的定義計(jì)算即可，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：在中,（米）．故選：．20．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖是簡化后的冬奧會跳臺滑雪的雪道示意圖，段為助滑道，段為著陸坡，著陸坡的坡角為，點(diǎn)與點(diǎn)的高度差為米，點(diǎn)與點(diǎn)的高度差為米，則著陸坡的長度為（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，可得四邊形矩形，從而得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，則四邊形矩形，，米，米，米，在中，米，故選：D．21．（23-24九年級上·河南平頂山·期末）如圖是某建筑物的側(cè)面圖形．已知建筑物坡度為，總長為米，斜坡和平臺形成為，從E點(diǎn)看D點(diǎn)的仰角為，斜坡長15米．求長度為米．（結(jié)果保留根號）

【答案】【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，延長交于點(diǎn)G，作于點(diǎn)N，設(shè)，則，利用勾股定理可得，從而求得，根據(jù)題意可得，利用勾股定理求得，從而求得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，延長交于點(diǎn)G，作于點(diǎn)N，則中，設(shè)，則，∴，解得，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，在中，，則，故答案為：．

22．（23-24九年級上·河南周口·期末）如圖，在外力作用下，一個(gè)滑塊沿坡度為的斜坡向上移動了，此時(shí)滑塊上升的高度是．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意設(shè)滑塊沿斜坡向上移動了時(shí)，上升的高度為，利用坡度的定義，由勾股定理計(jì)算，得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)：滑塊沿斜坡向上移動了時(shí)，上升的高度為，斜坡的坡度為，滑塊水平距離為，由勾股定理得：，解得：（負(fù)值舍去），滑塊上升的高度為，故答案為：．23．（22-23九年級上·河南開封·期末）某小區(qū)開展了“行車安全，方便居民”的活動，對地下車庫作了改進(jìn)．如圖，，測得米，米，為了居民行車安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改為，即（此時(shí)點(diǎn)、、在同一直線上）．（參考數(shù)據(jù)：）(1)求這個(gè)車庫的斜坡的長；(2)求斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)與原起點(diǎn)的距離（結(jié)果精確到0.1米）．【答案】(1)米(2)米【分析】（1）在中，勾股定理即可求解；（2）在中，根據(jù)，求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴（米）答：這個(gè)車庫的斜坡的長米；（2）解：在中，，∴（米）∴（米）斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)與原起點(diǎn)的距離約為米．題型四不規(guī)則圖形問題24．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，河岸、互相平行，橋垂直于兩岸，橋長，在C處看橋兩端A、B，夾角（，，），則B、C間的距離為（

）mA． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形，在中，利用直角三角形的邊角間關(guān)系可得結(jié)論．【詳解】解：由題意可知：，，在中，，故選：A．25．（22-23九年級上·河南南陽·期末）疫情網(wǎng)課期間，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實(shí)踐探究活動．如圖，當(dāng)張角時(shí)，頂部邊緣A處離桌面的高度的長為，此時(shí)用眼舒適度不太理想．小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究，最后聯(lián)系黃金比知識，發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角時(shí)（點(diǎn)是A的對應(yīng)點(diǎn)），用眼舒適度較為理想．求此時(shí)頂部邊緣處離桌面的高度的長．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】此時(shí)頂部邊緣處離桌面的高度的長約為【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，得到，再根據(jù)，得到，在中根據(jù)三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：∵，∴，在中，，∴，由題意得：，∵，∴，在中，∴此時(shí)頂部邊緣處離桌面的高度的長約為．26．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，東西走向的水平海岸線上有A，B兩個(gè)碼頭，小島C在碼頭A正北方向20海里處，輪船行駛到D時(shí)觀測到小島C在船的西南方向50海里處，碼頭B在船的南偏東方向上．求出碼頭A和碼頭B的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，）．【答案】74海里．【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、方向角概念、銳角三角函數(shù)的定義等知識點(diǎn)，正確作出輔助線構(gòu)建背靠背的直角三角形是解題的關(guān)鍵．如圖，過點(diǎn)D作，垂足為E，過點(diǎn)C作，垂足為F．然后解直角三角形求得，進(jìn)而得到，證明四邊形AEFC為矩形求得海里，即海里，最后在中解直角三角形以及線段的和差即可解答．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作，垂足為E，過點(diǎn)C作，垂足為F．在中，，，，∴海里．∵為等腰直角三角形，∴海里．根據(jù)題意得：四邊形AEFC為矩形，∴海里．∴海里，即海里．在中，，，∴，，∴海里．答：碼頭A和碼頭B的距離AB約為74海里．27．（23-24九年級上·河南周口·期末）小藝在某大學(xué)藝術(shù)學(xué)院就讀，她想借助學(xué)院前的臺階，測量學(xué)院對面雕塑的高度，如圖為雕塑和學(xué)院門口臺階的側(cè)面示意圖，為雕塑，為雕塑下端的平臺，為學(xué)院門口的臺階，已知B，D在同一水平線上（即），此時(shí)測得等于，點(diǎn)D距離地面高度為米，已知臺階的坡角為，米，求該雕塑的高度．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：）【答案】雕塑的高度約為米【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形函數(shù)的定義，先根據(jù)題意得出為等腰直角三角形，求出米，得出（米），根據(jù)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：在中，米，臺階的坡角為，∴為等腰直角三角形，米，（米），由題意得，四邊形為矩形，米，在中，，，，解得米．答：雕塑的高度約為米28．（23-24九年級上·河南鶴壁·期末）在學(xué)習(xí)過“解直角三角形”一章的知識后，九年級某班的同學(xué)們?yōu)榱遂柟虒W(xué)習(xí)成果，就地取材，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決身邊問題．如圖1所示是教室內(nèi)一只酒精消毒用的噴霧瓶的實(shí)物圖，其示意圖如圖2所示，．求按壓柄下端到導(dǎo)管的距離．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則四邊形是矩形．根據(jù)題先利用平角定義求出，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再利用平角定義求出，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則四邊形是矩形．由題意得，．在Rt中，，∴．∵，∴．在Rt中，，∴．∴．答：按壓柄下端到導(dǎo)管的距離約為．29．（23-24九年級上·河南洛陽·期末）風(fēng)力發(fā)電是風(fēng)靡全球的自然能源應(yīng)用綠色設(shè)備，在我國應(yīng)用更加廣泛．如圖是某風(fēng)力發(fā)電設(shè)備示意圖，其相同的三個(gè)葉片均勻分布，水平地面上的點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)中心的正下方．某一時(shí)刻，太陽光線恰好與扇葉在同一平面上，在地上設(shè)置高的標(biāo)桿影長．此時(shí)太陽光垂直照射葉片（如左圖），整個(gè)風(fēng)力發(fā)電設(shè)備的影子最長達(dá)到．已知風(fēng)力發(fā)電桿高為，求扇葉的長和此時(shí)點(diǎn)到地面的距離．

【答案】扇葉的長為，點(diǎn)到地面的距離為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵；過B作于N，過O作于G；則可得四邊形是矩形，有；由同一時(shí)刻物高與影長的比相等，得，設(shè)，則可表示出，由，得，其正切值相等，得到關(guān)于x的方程，求得x，即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，過B作于N，過O作于G；∵，∴四邊形是矩形，∴；∵同一時(shí)刻物高與影長的比相等，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，解得：，∴，，，由勾股定理得：；∴扇葉的長為，點(diǎn)到地面的距離為．

30．（23-24九年級上·河南洛陽·期末）暴雨過后，校園的兩棵風(fēng)景柏樹同時(shí)側(cè)傾在一起，如圖，較低的正好抵著高樹的中點(diǎn)．救援的小明等想知道高樹比低樹高多少（即的值），就通過測量得到了以下數(shù)據(jù)并進(jìn)行計(jì)算：

(1)米，，取，他們設(shè)米，則用含的代數(shù)式表示______米，______米．由此列方程求解得______．(2)應(yīng)用（1）的數(shù)據(jù)，求高樹比低樹高多少米（取1.4）．【答案】(1)(2)高樹比低樹高米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用；（1）由正切關(guān)系求得，由列出方程即可求解；（2）由勾股定理求得，可求得，即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：由題意知，，∴（米），米，∵，∴，解得：；故答案為：；（2）解：由（1）知，米，米，在中，由勾股定理得：米，（米）∴米，∴（米）即高樹比低樹高米．31．（2023·河南·中考真題）綜合實(shí)踐活動中，某小組用木板自制了一個(gè)測高儀測量樹高，測高儀為正方形，，頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘M．如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點(diǎn)D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線交于點(diǎn)H．經(jīng)測量，點(diǎn)A距地面，到樹的距離，．求樹的高度（結(jié)果精確到）．【答案】樹的高度為【分析】由題意可知，，，易知，可得，進(jìn)而求得，利用即可求解．【詳解】解：由題意可知，，，則，∴，∵，，則，∴，∵，則，∴，∴，答：樹的高度為．32．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）某設(shè)計(jì)師結(jié)合數(shù)學(xué)知識設(shè)計(jì)一款沙發(fā)，沙發(fā)三視圖如圖一所示，將沙發(fā)側(cè)面展示圖簡化后，得到圖二所示圖形．為了解沙發(fā)相關(guān)性能，設(shè)計(jì)師將圖形放入平面直角坐標(biāo)系，其中曲線AB是反比例函數(shù)的一段圖像，線段BD是一次函數(shù)：的一段圖像，點(diǎn)，沙發(fā)腿軸．請你根據(jù)圖形解決以下問題：(1)請求出反比例函數(shù)表達(dá)式和一次函數(shù)表達(dá)式（不要求寫x的取值范圍）；(2)過點(diǎn)A向x軸作垂線，交x軸于點(diǎn)F．已知，，，設(shè)計(jì)師想用一個(gè)長方體箱子將沙發(fā)放進(jìn)去，則這個(gè)長方體箱子長、寬、高至少分別是多少？【答案】(1)反比例函數(shù)表達(dá)式為，一次函數(shù)表達(dá)式為(2)長方體箱子的長、寬、高至少應(yīng)該是60、52、80【分析】（1）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出k的值，進(jìn)而求出反比例函數(shù)表達(dá)式，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式求出b的值，進(jìn)而求出一次函數(shù)表達(dá)式；（2）作軸于M，先根據(jù)三角函數(shù)求出的值，進(jìn)而求出高的值，將代入一次函數(shù)表達(dá)式即可求出長和寬．【詳解】（1）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式：∴反比例函數(shù)表達(dá)式為代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，解得，∴一次函數(shù)表達(dá)式為（2）如圖，作軸于M，∵，∴，∵∴∵∴當(dāng)時(shí)，∴∴∵∴把代入一次函數(shù)表達(dá)式得∴，即長為60∴根據(jù)三視圖可得：長方體箱子的長、寬、高至少應(yīng)該是60、52、80．題型五三角函數(shù)測高33．（20-21九年級上·河南信陽·期末）下表是小亮填寫的實(shí)踐活動報(bào)告的部分內(nèi)容：題目測量樹頂?shù)降孛娴木嚯x測量目標(biāo)示意圖相關(guān)數(shù)據(jù)米，，設(shè)樹頂?shù)降孛娴母叨让?，根?jù)以上條件，可以列出求樹高的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)∠β=45°，得出BC＝CD＝x，再根據(jù)，用它的正切列方程即可．【詳解】解：∵，∴BC＝CD＝x，∵AB＝30，∴AC＝x+30，∴tan28°＝，∴x＝（x+30）tan28°，故選：B．34．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖是攔水壩的橫斷面．斜坡AB的坡度為1：2，BC⊥AE，垂足為點(diǎn)C，AC長為12米，則斜坡AB的長為米．【答案】6．【詳解】試題分析：根據(jù)坡度的概念和已知求出BC，根據(jù)勾股定理求出斜坡AB的長．解：∵斜坡AB的坡度為1：2，∴=，又AC=12，∴BC=6，∴AB==6，故答案為6．35．（22-23九年級上·河南安陽·期末）小敏同學(xué)測量一建筑物CD的高度，她站在B處仰望樓頂C，測得仰角為30°，再往建筑物方向走30m，到達(dá)點(diǎn)F處測得樓頂C的仰角為45°（BFD在同一直線上）．已知小敏的眼睛與地面距離為1.5m，求這棟建筑物CD的高度（參考數(shù)據(jù)：，．結(jié)果保留整數(shù)）【答案】42．【詳解】試題分析：延長AE交CD于點(diǎn)G，設(shè)CG=xm，在Rt△CGE中利用x表示出EG，在Rt△ACG中，利用x表示出AG，根據(jù)AE=AG﹣EG即可列方程求得x的值，進(jìn)而球兒CD的長．試題解析：延長AE交CD于點(diǎn)G．設(shè)CG=xm，在直角△CGE中，∠CEG=45°，則EG=CG=xm．在直角△ACG中，AG==m．∵AG﹣EG=AE，∴，解得：x=≈15×2.732≈40.98（m）．則CD=40.98+1.5=42.48（m）．答：這棟建筑物CD的高度約為42m．36．（22-23九年級上·河南鶴壁·期末）如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測得校園里旗桿AB的高度，在操場的平地上選擇一點(diǎn)C，測得旗桿頂端A的仰角為30o，再向旗桿的方向前進(jìn)16米，到達(dá)點(diǎn)D處(C，D，B三點(diǎn)在同一直線上)，又測得旗桿頂端A的仰角為45o，請計(jì)算旗桿AB的高度(結(jié)果保留根號)．【答案】旗桿AB的高度是（8+8）米．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可得（CD+DB）×=BD×1，解得BD，從而可以求得AB的高度．【詳解】，解：由題意可得，CD=16米，∵AB=CB?tan30°，AB=BD?tan45°，∴CB?tan30°=BD?tan45°，∴（CD+DB）×=BD×1，解得BD=8+8，∴AB=BD?tan45°=（8+8）米，即旗桿AB的高度是（8+8）米．37．（22-23九年級上·河南周口·期末）縣某初中興趣小組在實(shí)踐課上計(jì)劃用所學(xué)到的知識測量學(xué)校附近一樓房的高度，由于到樓房底部的水平距離不易測量，他們通過實(shí)地觀察、分析，制訂了可行的方案，并進(jìn)行了實(shí)地測量．已知樓房前有一斜坡，它的坡度．他們先在坡面處測量樓房頂部的仰角，接著沿坡面向下走到坡腳處，然后向樓房的方向繼續(xù)行走至處，再次測量樓房頂部的仰角，并測量了、之間的距離，最后測量了坡面、之間的距離．為了減少測量誤差，小組在測量仰角以及距離時(shí)，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果（測角儀高度忽略不計(jì)），如下表：項(xiàng)目內(nèi)容課題測量學(xué)校附近樓房的高度測量示意圖說明：測點(diǎn)D、E與點(diǎn)C、B都在同一水平面上測量數(shù)據(jù)測量項(xiàng)目第一次第二次平均值仰角的度數(shù)30.2°29.8°30°仰角的度數(shù)60.1°59.9°60°、之間的距離5.1米4.9米5米、之間的距離9.8米10.2米……任務(wù)一：兩次測量，之間的距離的平均值是________米；任務(wù)二：請你幫助該小組根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，求出學(xué)校附近樓房的高．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：，）【答案】任務(wù)一：10；任務(wù)二：樓房的高為19.3米．【分析】任務(wù)一：直接用平均數(shù)公式計(jì)算即可；任務(wù)二：過點(diǎn)作于點(diǎn)；作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)坡比求，解△DCG、△EHP、△AFH即可．【詳解】解：任務(wù)一：（米），故答案