重難點突破：專題06 平行四邊形（解析版）

專題06平行四邊形重點1．平行四邊形的性質(zhì)及判定2．三角形的中位線定理難點添加輔助線將平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題平行四邊形性質(zhì)及判定的靈活運用易錯對平行四邊形性質(zhì)與判定的區(qū)分一、平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．【例1】在四邊形ABCD中，O是對角線交點，下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BCC．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB【答案】C【解析】解：A、∵AD∥BC，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），不符合題意；

B、∵AB=DC，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形），不符合題意；

C、AB∥DC，AD=BC，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，符合題意；

D、∵OA=OC，OD=OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），不符合題意；

故答案為：C.【例2】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，要使四邊形ABCD是平行四邊形，下列可添加的條件不正確的是（）A．AD=BC B．AB=CD C．AD∥BC D．∠A=∠C【答案】A【解析】解：A、AB∥CD，AD=BC，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，錯誤，符合題意；

B、∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，正確，不符合題意；

C、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，正確，不符合題意；

D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，正確，不符合題意；

故答案為：A.二、平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的對邊平行且相等，對角相等，鄰角互補(bǔ)，對角線互相平分．【例3】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BE交AD于點E，∠AEB=25°，則∠A的大小為（)A．100° B．120° C．130° D．150°【答案】C【解析】解：∵平行四邊形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠A+∠ABC=180°，∠AEB=∠EBC=25°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠EBC=2×25°=50°，

∴∠A=180°-∠ABC=180°-50°=130°.

故答案為：C.

【例4】已知□ABCD的周長為36，且AB:AD=1:2，則AB的長為（）A．3 B．6 C．12 D．24【答案】B【解析】解：∵平行四邊形ABCD的周長為36，

∴AB=CD，AD=BC

∴2（AB+AD）=36，

∴AB+AD=18；

∵AB:AD=1:2，

∴AD=2AB，

∴3AB=18，

解之：AB=6.

故答案為：B.

三、兩條平行線之間的距離兩條平行間的距離處處相等．【例5】已知直線，，互相平行，直線與的距離是，直線與的距離是，那么直線與的距離是（）A．或 B． C． D．【答案】A【解析】解：①當(dāng)與在同側(cè)時，∵直線，，互相平行，直線與的距離是，直線與的距離是，∴與的距離為5-2=3cm，②當(dāng)與在兩側(cè)時，∵直線，，互相平行，直線與的距離是，直線與的距離是，∴與的距離為5+2=7cm，綜上所述：與的距離是3cm或7cm，故答案為：A.【例6】如圖，直線.則直線,之間的距離是（）A．線段的長度 B．線段的長度C．線段 D．線段【答案】B【解析】解：∵直線a∥b，CD⊥b，∴直線a，b之間距離是線段CD的長度，故答案為：B．四、平行四邊形的判定平行四邊形的判定有：①兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．【例7】在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠ADB=∠CBD，添加下列一個條件后，仍不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．∠ABD=∠CDB B．∠DAB=∠BCD C．∠ABC=∠CDA D．∠DAC=∠BCA【答案】D【解析】解：如圖

∵∠ADB=∠CBD，

∴AD∥BC，

A、∵∠ABD=∠CDB，

∴AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故A不符合題意；

B、∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°，

∵∠DAB=∠BCD，

∴∠BCD+∠ABC=180°，

∴AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故B不符合題意；

C、∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°，

∵∠ABC=∠CDA，

∴∠DAB+∠CDA=180°，

∴AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故C不符合題意；

D、∵∠DAC=∠BCA，

∴AD∥BC，

只有一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，故D符合題意；

故答案為：D.【例8】小玲的爸爸在釘制平行四邊形框架時，采用了一種方法：如圖所示，將兩根木條AC，BD的中點重疊，并用釘子固定，則四邊形ABCD就是平行四邊形，這種方法的依據(jù)是（）A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形C．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形D．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形【答案】A【解析】解：由題意得：OA=OC，OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

故答案為：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

五、平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合平行四邊形的性質(zhì)的條件和結(jié)論正好與判定的條件和結(jié)論相反，它們構(gòu)成互逆的關(guān)系．由平行四邊形這一條件，得到邊、角或?qū)蔷€的關(guān)系，這是平行四邊形的性質(zhì)；反之，由邊、角或?qū)蔷€的關(guān)系，得到平行四邊形的結(jié)論，這是平行四邊形的判定．【例9】如圖，在△ABC中，延長BC至點D，使得CD=BC，過AC的中點E作EF∥CD(點F位于點E右側(cè))，且EF=2CD，連結(jié)DF.若AB=8，則DF的長為（）

A．3 B．4 C．2 D．3【答案】B【解析】解：取BC的中點G，連接EG，

∵E是AC的中點，

∴EG是△ABC的中位線，

∴EG=AB=4，

設(shè)CD=x，則EF=BC=2x，

∴BG=CG=x，

∴EF=2x=DG，

∴EF∥CD，

∴四邊形EGDF是平行四邊形，

∴DF=EG=4.

故答案為：B.【例10】如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，按下列條件得到的四邊形BFDE是平行四邊形的有（）①圖甲，DE⊥AC，BF⊥AC；②圖乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC；③圖丙，E是AB的中點，F(xiàn)是CD的中點；④圖丁，E是AB上一點，EF⊥AB。A．3個 B．4個 C．1個 D．2個【答案】A【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC∥AB，DC=AB，∠ADC=∠ABC

∴∠DCE=∠BAE，

圖甲：

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴DE∥BF，∠DEC=∠AFB=90°，

在△CDE和△ABF中

∠DEC=∠AFB∠DCE=∠BAEDC=AB

∴△CDE≌△ABF（AAS）

∴DE=BF，

∵DE∥BF

∴四邊形BFDE是平行四邊形；

圖乙

∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，

∴∠CDE=∠ADC，∠ABE=∠ABC，

∴∠CDE=∠ABF，

在△CDE和△ABF中

∠CDE=∠ABF∠DCE=∠BAEDC=AB

∴△CDE≌△ABF（AAS）

∴DE=BF，∠DEC=∠AFB，

∴DE∥BF，

∴四邊形BFDE是平行四邊形；

圖丙

∵E是AB的中點，F(xiàn)是CD的中點

∴DF=DC，BE=BA，

∴DC=BE，DC∥BE，

∴四邊形BFDE是平行四邊形；

圖丁

∵EF⊥AB，

∴∠DFE=∠FEB=90°，不能證明△DFE≌△BEF，

六、三角形的中位線及其定理利用三角形的中位線不僅可以證明直線平行，也可以證明線段的倍分關(guān)系．【例11】如圖所示，在△ABC中，D，E分別是邊AC，AB的中點，連結(jié)BD.若BD平分∠ABC，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．BC=2BE B．∠A=∠EDA C．BC=2AD D．BD⊥AC【答案】C【解析】解：∵D，E分別是邊AC，AB的中點，

∴DE為△ABC為中位線，

∴DE=BC，即BC=2BE，DE∥BC，

∵∠EDB=∠DBC，

∵∠ABD=∠CBD，

∴∠EDB=∠ABD，

∴EB=ED，

∴EA=EB=ED，

∴∠A=∠ADE，∠DBE=∠EDB，

∵∠A+∠ADE+∠DBE+∠EDB=180°，

∴∠ADE+∠EDB=∠ADB=90°，即BD⊥AC，

∵AD=DC，

∴BD為AC的垂直平分線，

∴BA=BC，

∴∠A=∠C，

∵ED∥BC，

∴∠EDA=∠C，

∴∠A=∠EDA.

綜上，正確的有BC=2BE，∠A=∠EDA，BD⊥AC.

故答案為：C.

【例12】如圖，在中，分別是邊上的中線，于點O，點F是的中點，若，則的長是（）A．7 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】解：如圖，取的中點，連接，，，分別是邊上的中線，是的中位線，，同理可得：，，四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是菱形，，故答案為：B．一、單選題1．如圖，在中，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴．∵，∴，∴．故選B．2．如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若∠B=40°，則∠BDE的度數(shù)為（

）A．40° B．50° C．140° D．150°【答案】C【解析】解：∵點D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，即：∠B+∠BDE=180°，∴∠BDE=180°-∠B=180°-40°=140°．故選：C．3．下列條件中不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】解：A．根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故選項正確，不符合題意；B．根據(jù)平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；故選項正確，不符合題意；C．一組對邊平行，另一組對邊相等不能判斷這個四邊形是平行四邊形，故選項錯誤，符合題意；D．如圖，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項正確，不符合題意；故選：C．4．如圖，已知矩形ABCD中，R、P分別是DC、BC上的點，E、F分別是AP、RP的中點，當(dāng)P在BC上從B向C移動而R不動時，那么下列結(jié)論成立的是（

）A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸減小C．線段EF的長不改變 D．線段EF的長不能確定【答案】C【解析】解：連接AR．因為E、F分別是AP、RP的中點，則EF為的中位線，所以，為定值．所以線段的長不改變．故選：C．5．在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，平行四邊形ABCD的周長為40，則平行四邊形ABCD的面積是（

）A．36 B．48 C．40 D．24【答案】B【解析】解：設(shè)BC=x，∵?ABCD的周長為40，∴CD=20-x，∵?ABCD的面積=BC?AE=CD?AF，∴4x=6（20-x），解得x=12，∴?ABCD的面積=BC?AE=12×4=48．故選：B．6．在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，△BOC的周長為20cm，BC＝12cm，則AC+BD的長是（）A．8cm B．16cm C．24cm D．32cm【答案】B【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝COAC，BO＝DOBD，∴BO+COACBD（AC+BD），∵△BOC的周長＝OB+OC+BC＝20cm，BC＝12cm，∴BO+CO＝20﹣12＝8（cm），∴AC+BD＝2×8＝16（cm），故選：B．二、填空題7．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，若以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，則此平行四邊形的周長為______．【答案】28或32或36【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，若以AC，BC為邊，則平行四邊形的周長=2（AC+BC）=2×（6+8）=28，若以AC，AB為邊，則平行四邊形的周長=2（AC+AB）=2×（6+10）=32，若以AB，BC為邊，則平行四邊形的周長=2（AB+BC）=2×（10+8）=36，綜上，此平行四邊形的周長為28或32或36．故答案為：28或32或36．8．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位線，點E在AB上，若AD：BC＝2：3，AD＝a，則用a表示FE＝________．【答案】a【解析】∵AD：BC＝2：3，AD＝a，∴BCa，∵EF是梯形ABCD的中位線，∴EFa，故答案為：a．三、解答題9．如圖，?ABCD中，E為BC邊的中點，連AE并與DC的延長線交于點F，求證：DC＝CF．【答案】見詳解【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB=DC，∴∠BAE=∠CFE，∵點E是BC的中點，∴BE=CE，在△ABE和△FEC，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB=FC，∴DC=CF．10．如圖，在□ABCD中，點O是對角線AC、BD的交點，EF過點O且垂直于AD．(1)求證：OE＝OF；(2)若S?ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的長．【答案】(1)證明見解析(2)9【解析】(1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，O是AC與BD的交點，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF；(2)解：由（1）得OE=OF=3.5，∴EF=7，∵AD∥BC，EF⊥AD，∴EF的長即為平行四邊形ABCD中AD邊上的高，∵四邊形ABCD的面積為63，∴，∴AD=9．一、單選題1．如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，且AC=8，BD=10，則邊AB的長可以是（

）A．1 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=8，BD=10，∴OA=OC=4，OB=OD=5，在△AOB中，由三角形三邊關(guān)系定理得：5-4＜AB＜5+4，即1＜AB＜9，所以，只有選項B符合題意，故選：B．2．如圖：△ABC中，DE是△ABC的中位線，連接DC，BE相交于點F，若S△DEF＝1，則S△ADE為（

）A．3 B．4 C．9 D．12【答案】A【解析】解：∵DE是△ABC的中位線，連接DC，BE相交于點F，∴點F是△ABC的重心，AD＝DB，∴FB＝2FE，∴S△DBF＝2S△DEF＝2×1＝2，∴S△DEB＝S△DEF+S△DBF＝1+2＝3，∵AD＝DB，∴S△ADE＝S△DEB＝3．故選：A．3．如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點P、Q分別是AC和BC上的動點，在點P和點Q運動的過程中，PB+PQ的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．4【答案】C【解析】解：取BC的中點G，連接AG．在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等邊三角形，∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，作點B關(guān)于AC的對稱點F，連接GF，

交AC于點P，由對稱可知，B、A、F在一條直線上，AG＝AF，∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，∴∠F＝∠AGF＝30°，∴∠FGB＝90°，當(dāng)點Q與點G重合時，PB+PQ=PF+PG=FG，F(xiàn)G的長即為PB+PQ的最小值，∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，∴BF＝4，，∴BP+PQ的最小值為2．故選：C．4．在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD＝2AD，E、F、G分別是OC、OD、AB的中點，下列結(jié)論：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，AB＝CD，∵E、F、G分別是OC、OD、AB的中點，∴CD＝2EF，，AB＝2BG，∴BG＝EF，，∴四邊形BGFE是平行四邊形，∴GN＝NE，故①正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝BC，∵BD＝2AD＝2BC，∴BO＝BC，又∵點E是OC的中點，∴BE⊥AC，∵四邊形BGFE是平行四邊形，∴，∴GF⊥AC，即GF⊥AE，故②正確；∵BO＝BC，∴∠BOC＝∠BCO，∵∠BOC＝∠ACD+∠BDC，∴∠BOC＞∠ACD，∴∠BCO≠∠ACD，∴AC不平分∠BCD，故③錯誤；∵BO＝BC，點E是OC的中點，∴BE⊥AC，∴∠BOE＜90°，∴AC與BD不垂直，故④錯誤，故選：B．5．在△ABC中，AD是角平分線，點E、F分別是線段AC、CD的中點，若△ABD、△EFC的面積分別為21、7，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：過點A作△ABC的高，設(shè)為x，過點E作△EFC的高為，∴，∴，，∵點E、F分別是線段AC、CD的中點，∴，∴，∵，∴，∴,過點D作DM⊥AB，DN⊥AC，∵AD為平分線，∴DM=DN，∵，∴，即：∴，故選：B．6．下列圖形中，三角形ABC和平行四邊形ABDE面積相等的是（）A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④【答案】C【解析】解：①三角形ABC的面積＝，平行四邊形ABDE的面積＝4×2＝8，不相等；②三角形ABC的面積＝，平行四邊形ABDE的面積＝4×2＝8，相等；③三角形ABC的面