2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊(cè)

PAGE章末整合學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)·理脈絡(luò)要點(diǎn)梳理·晰精華1．集合中元素的三個(gè)特性特征含義示例確定性作為一個(gè)集合的元素，必需是確定的，不能確定的對(duì)象就不能構(gòu)成集合，也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素也就確定了集合A＝{1,2,3}，則1∈A,4?A互異性對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素肯定是不同的(或者說(shuō)是互異的)，這就是說(shuō)，集合中的任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入同一集合時(shí)只能算集合的一個(gè)元素集合{x，x2－x}中的x應(yīng)滿(mǎn)意x≠x2－x，即x≠0且x≠2無(wú)序性構(gòu)成集合的元素間無(wú)先后依次之分集合{1,0}和{0,1}是同一個(gè)集合2．集合描述法的兩種形式(1)符號(hào)描述法：用符號(hào)把元素的共同屬性描述出來(lái)，其一般形式為{x|P(x)}或{x∈I|P(x)}，其中x代表元素，I是x的取值集合，P(x)是集合中元素x的共同屬性，豎線不行省略，如大于1且小于4的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合可以表示為{x∈R|1<x<4}．在不會(huì)產(chǎn)生誤會(huì)的狀況下，x的取值集合可以省略不寫(xiě)，如在實(shí)數(shù)集R中取值，“∈R”常省略不寫(xiě)，于是上述集合可表示為{x|1<x<4}．(2)文字描述法：用文字把元素的共同屬性敘述出來(lái)，并寫(xiě)在花括號(hào)內(nèi)，如{參與平昌冬奧會(huì)的運(yùn)動(dòng)員}，但花括號(hào)內(nèi)不能出現(xiàn)“全部”“全體”“全部”等字樣．3．全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的否定對(duì)含有全稱(chēng)(存在)量詞的命題進(jìn)行否定需兩步操作：第一步，將全稱(chēng)(存在)量詞改寫(xiě)成存在(全稱(chēng))量詞；其次步，將結(jié)論加以否定．含有全稱(chēng)量詞的命題的否定是含有存在量詞的命題，含有存在量詞的命題的否定是含有全稱(chēng)量詞的命題．如：①“全部的正方形都是矩形”的否定為“至少存在一個(gè)正方形不是矩形”，其中，把全稱(chēng)量詞“全部的”變?yōu)榇嬖诹吭~“至少存在一個(gè)”．②“存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得|x|≤0”的否定為“對(duì)全部的實(shí)數(shù)x，都有|x|>0”，其中，把存在量詞“存在一個(gè)”變?yōu)槿Q(chēng)量詞“全部的”．4．條件關(guān)系判定的常用結(jié)論條件p與結(jié)論q的關(guān)系結(jié)論p?q，且qpp是q的充分不必要條件q?p，且pqp是q的必要不充分條件p?q，且q?p，即p?qp是q的充要條件pq，且qpp是q的既不充分也不必要條件素養(yǎng)突破·提技能專(zhuān)題集合與方程、不等式的聯(lián)系┃┃典例剖析__■1．集合與方程的聯(lián)系典例1已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，C＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A∪B＝A，A∩C＝C，求實(shí)數(shù)a，m的值或取值范圍．思路探究：在C?A中含有C＝?這種狀況，所以在解題時(shí)要考慮集合C為空集的狀況，避開(kāi)漏解．解析：由題意可知A＝{1,3}．∵A∪B＝A，∴B?A，∴a－1＝3或a－1＝1，∴a＝4或a＝2.又A∩C＝C，∴C?A，若C＝?，則Δ＝m2－4<0，即－2<m<2；若1∈C，則12－m＋1＝0，即m＝2，此時(shí)C＝{1}，A∩C＝C，符合題意；若3∈C，則9－3m＋1＝0，即m＝eq\f(10,3)，此時(shí)方程為x2－eq\f(10,3)x＋1＝0，∴x＝3或x＝eq\f(1,3)，即C＝{3，eq\f(1,3)}eq\o(?,/)A，∴m≠eq\f(10,3).綜上可知，a＝4或a＝2，－2<m≤2.2．集合與不等式的聯(lián)系典例2已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋1，m∈A}．(1)求圖中陰影部分表示的集合C；(2)若非空集合D＝{x|4－a<x<a}，且D?(A∪B)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：(1)因?yàn)锳＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋1，m∈A}，所以B＝{x|2≤x≤4}，由圖可得，C＝A∩(?UB)，因?yàn)锽＝{x|2≤x≤4}，則?UB＝{x|x>4或x<2}，而A＝{x|1≤x≤3}，則C＝A∩(?UB)＝{x|1≤x<2}．(2)因?yàn)榧螦＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，所以A∪B＝{x|1≤x≤4}．若非空集合D＝{x|4－a<x<a}，且D?(A∪B)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－a<a，,4－a≥1，,a≤4，))解得2<a≤3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為2<a≤3.歸納提升：解決集合與方程、不等式綜合的參數(shù)問(wèn)題時(shí)，要特殊留意兩點(diǎn)：(1)不要忽視集合中元素的互異性，即求出參數(shù)后應(yīng)滿(mǎn)意集合中的元素是互異的，尤其要留意含參數(shù)的方程的解的集合．(2)空集是一個(gè)特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，當(dāng)題設(shè)中隱含有空集參與的集合關(guān)系與運(yùn)算時(shí)，其特殊性簡(jiǎn)潔被忽視，如解決有關(guān)A?B，A∩B＝?，A∪B＝B等集合問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先考慮空集的狀況．專(zhuān)題與集合有關(guān)的新定義問(wèn)題┃┃典例剖析__■1．類(lèi)比集合定義型典例3在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的全部整數(shù)組成一個(gè)“類(lèi)”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.給出如下四個(gè)結(jié)論．①2019∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類(lèi)’”的條件是“a－b∈[0]”．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是__③④__.思路探究：由整數(shù)集Z中“類(lèi)”的定義可得出，[0]表示5的倍數(shù)組成的集合，[1]＝{5n＋1|n∈Z}，[2]＝{5n＋2|n∈Z}等，然后結(jié)合題目逐一推斷．解析：因?yàn)?019＝5×403＋4，所以2019?[1]，故結(jié)論①不正確；因?yàn)椋?＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故結(jié)論②不正確；因?yàn)槿康恼麛?shù)被5除所得余數(shù)只能為0,1,2,3,4，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故結(jié)論③正確；設(shè)a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，若a－b∈[0]，則a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]，所以k1＝k2，則整數(shù)a，b屬于同一“類(lèi)”，故結(jié)論④正確．2．類(lèi)比集合間運(yùn)算型典例4定義集合A與B的運(yùn)算：A⊙B＝{x|x∈A或x∈B，且x?A∩B}，已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7}，則(A⊙B)⊙B為(B)A．{1,2,3,4,5,6,7} B．{1,2,3,4}C．{1,2} D．{3,4,5,6,7}解析：方法一：利用維恩圖，如圖，由題意可知(A⊙B)⊙B為陰影部分所示，即{1,2,3,4}．方法二：由新定義的運(yùn)算，得A⊙B＝{1,2,5,6,7}，則(A⊙B)⊙B＝{1,2,5,6,7}⊙{3,4,5,6,7}＝{1,2,3,4}．歸納提升：在集合的新定義問(wèn)題中，出現(xiàn)較多的是在現(xiàn)有運(yùn)算法則和運(yùn)算律的基礎(chǔ)上定義一種新的運(yùn)算．解題時(shí)，要抓住兩點(diǎn)：(1)分析新定義的特點(diǎn)，把新定義中所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清晰，并且能夠應(yīng)用到詳細(xì)的解題過(guò)程中．(2)集合中元素的特性及集合的基本運(yùn)算是解題的突破口，要嫻熟駕馭．專(zhuān)題充分條件與必要條件的推斷與探求┃┃典例剖析__■典例5對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6，那么p是q的__充分不必要__條件．解析：設(shè)U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}．命題p：x＋y≠8，對(duì)應(yīng)集合為A＝{(x，y)|x＋y≠8}，命題q：x≠2或y≠6，對(duì)應(yīng)集合為B＝{(x，y)|x≠2或x≠6}，命題?p：x＋y＝8，對(duì)應(yīng)集合為?UA＝{(x，y)|x＋y＝8}，命題?q：x＝2且y＝6，對(duì)應(yīng)集合為?UB＝{(x，y)|x＝2且y＝6}＝{(2,6)}，明顯?UB?UA，所以AB，即p是q的充分不必要條件．典例6已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|a≤x≤8}．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件；(2)求實(shí)數(shù)a的一個(gè)值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個(gè)充分但不必要條件；(3)求一個(gè)實(shí)數(shù)a的取值集合，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個(gè)必要但不充分條件．思路探究：由M∩P＝{x|5<x≤8}，求得－3≤a≤5.(1)充要條件即－3≤a≤5.(2)找尋充分但不必要條件，a可取滿(mǎn)意－3≤a≤5的隨意一個(gè)值．(3)找尋必要但不充分條件，此時(shí)a的取值集合應(yīng)真包含{a|－3≤a≤5}．解析：(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件是－3≤a≤5，即a的取值范圍為{a|－3≤a≤5}．(2)求實(shí)數(shù)a的一個(gè)值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個(gè)充分但不必要條件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一個(gè)值，如取a＝0，此時(shí)必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是所求的一個(gè)充分但不必要條件．(答案不唯一)(3)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個(gè)必要但不充分條件就是另求一個(gè)集合Q，使{a|－3≤a≤5}是集合Q的一個(gè)真子集．易知當(dāng)a≤5時(shí)，未必有M∩P＝{x|5<x≤8}，但是M∩P＝{x|5<x≤8}時(shí)，必有a≤5，故{a|a≤5}是所求的一個(gè)a的取值集合．(答案不唯一)歸納提升：已知條件p，結(jié)論q對(duì)應(yīng)的集合分別為A，B.用集合觀點(diǎn)來(lái)理解充要條件，有如下三類(lèi)：一是兩個(gè)集合相等，那么p，q互為充要條件；二是兩個(gè)集合有包含關(guān)系，若AB，則p是q的必要不充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件；三是兩個(gè)集合沒(méi)有包含關(guān)系，那么p是q的既不充分也不必要條件．專(zhuān)題思想方法歸納┃┃典例剖析__■1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想典例7已知集合A＝{x|－4<x<2}，B＝{x|x<－5或x>1}，C＝{x|m－1<x<m＋1，m∈R}．(1)若A∩C＝?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若(A∩B)?C，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．思路探究：借助于數(shù)軸把集合表示出來(lái)，找出滿(mǎn)意條件的m的取值范圍．解析：(1)如圖1所示．∵A∩C＝?，且A＝{x|－4<x<2}，C＝{x|m－1<x<m＋1}，∴m＋1≤－4或m－1≥2，解得m≤－5或m≥3.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤－5或m≥3}．(2)∵A＝{x|－4<x<2}，B＝{x|x<－5或x>1}，∴A∩B＝{x|1<x<2}．又(A∩B)?C，如圖2所示，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤1，,m＋1≥2，))解得1≤m≤2.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|1≤m≤2}．歸納提升：數(shù)形結(jié)合的思想是充分運(yùn)用“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)和“形”的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過(guò)代數(shù)的論證、圖形的描述來(lái)探討和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使困難問(wèn)題簡(jiǎn)潔化，抽象問(wèn)題詳細(xì)化，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的性質(zhì)，有利于達(dá)到優(yōu)化解題的目的．在解答有關(guān)集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算以及抽象集合問(wèn)題時(shí)，一般要借助數(shù)軸或Venn圖求解，這都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．2．分類(lèi)探討思想典例8已知集合A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|－4≤x≤3}，C＝{x|2x－3a－1>0}，試求C∩(A∪B)．思路探究：對(duì)集合C的端點(diǎn)值分類(lèi)探討，探討時(shí)做到不重不漏．解析：∵A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|－4≤x≤3}，∴A∪B＝{x|－4≤x<5}．∵2x－3a－1>0，∴x>eq\f(3a＋1,2).當(dāng)eq\f(3a＋1,2)<－4，即a<－3時(shí)，C∩(A∪B)＝{x|－4≤x<5}；當(dāng)－4≤eq\f(3a＋1,2)<5，即－3≤a<3時(shí)，C∩(A∪B)＝{x|eq\f(3a＋1,2)<x<5}；當(dāng)eq\f(3a＋1,2)≥5，即a≥3時(shí)，C∩(A∪B)＝?.綜上可知，當(dāng)a<－3時(shí)，C∩(A∪B)＝{x|－4≤x<5}；當(dāng)－3≤a<3時(shí)，C∩(A∪B)＝{x|eq\f(3a＋1,2)<x<5}；當(dāng)a≥3時(shí)，C∩(A∪B)＝?.歸納提升：分類(lèi)探討就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一探討時(shí)，就須要對(duì)探討對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，然后對(duì)每一類(lèi)分別探討得出每一類(lèi)的結(jié)論，最終綜合各類(lèi)問(wèn)題的結(jié)論得到整個(gè)問(wèn)題的解答．分類(lèi)與整合就是化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整的數(shù)學(xué)思想．求解此類(lèi)問(wèn)題的步驟：(1)確定分類(lèi)探討的對(duì)象，即對(duì)哪個(gè)參數(shù)進(jìn)行探討；(2)對(duì)所探討的對(duì)象進(jìn)行合理的分類(lèi)(分類(lèi)時(shí)要做到不重不漏，標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，分層不越級(jí))；(3)逐類(lèi)探討，即對(duì)各類(lèi)問(wèn)題逐類(lèi)探討，逐步解決；(4)歸納總結(jié)，即對(duì)各類(lèi)狀況總結(jié)歸納，得出結(jié)論．3．化歸與轉(zhuǎn)化思想典例9設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)意a<x<3a(a>0)，q：2<x≤3，若?p是?q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．思路探究：?p是?q的充分不必要條件可轉(zhuǎn)化為q是p的充分不必要條件．解析：∵?p是?q的充分不必要條件，∴q是p的充分不必要條件，∴q?p，pq.令A(yù)＝{x|a<