2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2.2向量的減法學(xué)案含解析北師大版必修4

PAGE2．2向量的減法學(xué)問(wèn)點(diǎn)一相反向量[填一填]1．與a長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，記作－a.零向量的相反向量仍是零向量．關(guān)于相反向量有：－(－a)＝a；a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.[答一答]1．兩個(gè)相反向量的和等于什么？提示：由向量加法的定義可知：兩個(gè)相反向量的和為零向量．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二向量減法[填一填]2．定義：向量a加上b的相反向量，叫作a與b的差，即a－b＝a＋(－b)．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫作向量的減法．幾何意義：如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，即a－b表示從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量．[答一答]2．為什么對(duì)于隨意兩個(gè)向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|?提示：其幾何意義是三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．依據(jù)向量a，b共線(xiàn)與不共線(xiàn)兩種狀況探討．若a，b中有一個(gè)為零向量，則不等式明顯成立．若a，b都不是零向量，記eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.(1)當(dāng)a，b不共線(xiàn)時(shí)，如圖所示，則有||eq\o(OA,\s\up6(→))|－|eq\o(AB,\s\up6(→))||<|eq\o(OB,\s\up6(→))|<|eq\o(OA,\s\up6(→))|＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|，即||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.(2)當(dāng)a，b共線(xiàn)時(shí)，若a，b同向，如圖①所示，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|，即|a＋b|＝|a|＋|b|.若a，b反向，如圖②所示，||eq\o(OA,\s\up6(→))|－|eq\o(AB,\s\up6(→))||＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|，即||a|－|b||＝|a＋b|.綜上，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.同理可證明||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.綜上，||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.1．相反向量滿(mǎn)意的兩個(gè)條件(1)兩個(gè)向量的方向相反．(2)兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等．2．相反向量的意義(1)在相反向量的基礎(chǔ)上，可以通過(guò)向量加法定義向量減法．(2)為向量的“移項(xiàng)”供應(yīng)依據(jù)．利用(－a)＋a＝0在向量等式的兩端加上某個(gè)向量的相反向量，實(shí)現(xiàn)向量的“移項(xiàng)”．3．對(duì)向量減法的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)減法的幾何意義a－b的幾何意義是：當(dāng)向量a，b的始點(diǎn)相同時(shí)，從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量．(2)與向量加法的關(guān)系a－b＝a＋(－b)，減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量．類(lèi)型一向量減法的幾何意義【例1】如圖，已知向量a，b，c，求作a－b－c.【思路探究】eq\x(任選起點(diǎn))→eq\x(平移向量)→eq\x(共起點(diǎn)，連終點(diǎn))→eq\x(方向指向被減向量)【解】如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，則由向量減法的三角形法則，得eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝a－b－c.規(guī)律方法應(yīng)用三角形法則進(jìn)行向量減法時(shí)，必需平移向量使之共起點(diǎn)，那么終點(diǎn)與終點(diǎn)所確定的向量就是兩個(gè)向量的差向量，此時(shí)差向量的方向指向被減向量的終點(diǎn)．對(duì)于多個(gè)向量的減法運(yùn)算，一般通過(guò)“兩兩”相減依次運(yùn)算．如圖所示，已知向量a和b，畫(huà)圖作出下列向量．(1)－b；(2)a－b；(3)b－a；(4)－a－b.解：如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))為鄰邊作?ABCD.(1)eq\o(DA,\s\up6(→))＝－b.(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b.(3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a.(4)eq\o(CA,\s\up6(→))＝－a－b.類(lèi)型二向量的加減法的基本運(yùn)算【例2】化簡(jiǎn)：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝________.【解析】解法一：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.解法二：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.解法三：設(shè)O為平面內(nèi)隨意一點(diǎn)，則有(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))－(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.【答案】0規(guī)律方法解法一是將向量減法轉(zhuǎn)化為向量加法進(jìn)行化簡(jiǎn)的．解法二是利用eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))進(jìn)行化簡(jiǎn)的．解法三是利用eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)的．(1)化簡(jiǎn)：(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝0.解析：(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))－(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.(2)在五邊形ABCDE中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AE,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，eq\o(ED,\s\up6(→))＝d，用a，b，c，d表示eq\o(CD,\s\up6(→)).解：因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，即b＋d＝a＋c＋eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋d－a－c.類(lèi)型三證明與向量有關(guān)的恒等式【例3】如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相互平分，求證：四邊形ABCD為平行四邊形．(用向量的方法證明)【思路探究】要證明四邊形ABCD為平行四邊形，只要證明一組對(duì)邊平行且相等即可，利用向量法證明時(shí)，只需證明eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).【證明】證明：如圖，設(shè)四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，依據(jù)題意，得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).依據(jù)向量加法的三角形法則，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)).∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴AB與DC平行且相等，∴四邊形ABCD為平行四邊形．規(guī)律方法利用向量解決平面幾何問(wèn)題的一般方法如下：利用數(shù)形結(jié)合思想將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．解題的關(guān)鍵是利用向量的加法和減法的幾何意義，視察所涉及的向量在圖形中的位置關(guān)系，運(yùn)用平面幾何的相關(guān)性質(zhì)來(lái)找尋它們之間的平行關(guān)系或者比例關(guān)系．若干脆找尋向量間的關(guān)系有困難，則應(yīng)考慮作協(xié)助線(xiàn)．若O、E、F是不共線(xiàn)的隨意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是(B)A.eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)) B.eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))C.eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)) D.eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))解析：由向量的運(yùn)算法則得eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EO,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→)).故選B.類(lèi)型四向量和與差的?！纠?】若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝8，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝5，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|的取值范圍是()A．[3,8] B．(3,8)C．[3,13] D．(3,13)【思路探究】【解析】因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，故當(dāng)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))共線(xiàn)且同向時(shí)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|－|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝3；當(dāng)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))共線(xiàn)且反向時(shí)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝13；當(dāng)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線(xiàn)時(shí)，由||eq\o(OA,\s\up6(→))|－|eq\o(OB,\s\up6(→))||<|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))|<|eq\o(OA,\s\up6(→))|＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|，可得3<|eq\o(AB,\s\up6(→))|<13.綜上可得3≤|eq\o(AB,\s\up6(→))|≤13.【答案】C規(guī)律方法解與向量的模有關(guān)問(wèn)題的方法(1)利用三角不等式，即||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求解，用此法求解模的范圍時(shí)，肯定要留意等號(hào)成立的條件．(2)依據(jù)圖形的特點(diǎn)，適當(dāng)運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將模的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形的邊長(zhǎng)的計(jì)算問(wèn)題．設(shè)點(diǎn)M是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線(xiàn)BC外，|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝16，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，則|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝(C)A．8 B．4C．2 D．1解析：以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))為鄰邊作平行四邊形ACDB，則由向量加、減法的幾何意義可知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)).因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|.又四邊形ACDB為平行四邊形，所以四邊形ACDB為矩形，故AC⊥AB.則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線(xiàn)，因此，|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2.——易錯(cuò)警示——向量加減法的幾何意義應(yīng)用中的誤區(qū)【例5】已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0B.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝0D.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(FC,\s\up6(→))＝0【錯(cuò)解】選B或C或D【正解】因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))①，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝0，故A成立．eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))≠0，故B不成立．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))②＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))≠0，故C不成立．eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))②＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))≠0，故D不成立．【錯(cuò)解分析】①處簡(jiǎn)單忽視利用幾何圖形的性質(zhì)和相等向量的定義，不能推出相等向量而導(dǎo)致推導(dǎo)無(wú)法進(jìn)行；②處向量減法的幾何意義應(yīng)用時(shí)字母依次出錯(cuò)，則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤．【答案】A【防范措施】1.重視向量學(xué)問(wèn)與平面幾何學(xué)問(wèn)的結(jié)合利用平面幾何中線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)段相等可以推出向量共線(xiàn)，向量相等等結(jié)論，為向量式的變形供應(yīng)依據(jù)．如本例中，利用線(xiàn)段中點(diǎn)及三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)可以推出eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))等結(jié)論．2．記準(zhǔn)向量減法的幾何意義依據(jù)向量減法的幾何意義作兩個(gè)向量的差的基本步驟：作平移，共始點(diǎn)，兩尾連，指被減．本例中eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))，肯定要留意指向被減向量．如圖所示，已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝a－b＋c(用a，b，c表示)．解析：由題意，在平行四邊形ABCD中，因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－b＋c.一、選擇題1．在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)，則eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))等于(D)A.eq\o(FD,\s\up6(→)) B.eq\o(FC,\s\up6(→)