2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章復(fù)數(shù)7.2.2復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算習(xí)題含解析新人教A版必修第二冊

.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.(2024全國Ⅱ高考)設(shè)z=i(2+i),則=()A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i解析z=2i+i2=-1+2i,則=-1-2i.故選D.答案D2.若z=1+2i,則=()A.1 B.-1 C.i D.-i解析=i,故選C.答案C3.(2024全國Ⅲ高考)若z(1+i)=2i,則z=()A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i解析z==1+i.故選D.答案D4.已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)a等于()A. B. C.- D.-解析z1=(3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i,因?yàn)閦1是實(shí)數(shù),所以4a-3=0,即a=.答案A5.(2024黑龍江哈爾濱高三模擬)設(shè)z=+2i,則|z|=()A.0 B. C.1 D.解析z=+2i=+2i=-i+2i=i,則|z|=1,故選C.答案C6.已知復(fù)數(shù)z滿意=1+i,則在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限解析∵=1+i,∴z-2==-i,∴z=2-i,∴z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(2,-1).故選D.答案D7.已知復(fù)數(shù)z=(i是虛數(shù)單位),則z2=;|z|=.

解析z==-1-i,∴z2=(-1-i)2=2i,|z|=.答案2i8.計(jì)算:(1)(2-i)(3+i);(2).解(1)(2-i)(3+i)=(7-i)=i.(2)=-2-2i.9.已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一個(gè)根(b,c為實(shí)數(shù)).(1)求b,c的值;(2)試推斷x=1-i是否為方程的根.解(1)因?yàn)?+i是方程x2+bx+c=0的根,所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,于是解得故b的值為-2,c的值為2.(2)由(1)方程可化為x2-2x+2=0,把x=1-i代入方程左邊得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,明顯方程成立,所以x=1-i也是方程的根.實(shí)力提升練1.(多選題)設(shè)z1,z2是復(fù)數(shù),則下列命題中是真命題的是()A.若|z1-z2|=0,則B.若z1=,則=z2C.若|z1|=|z2|,則z1=z2D.若|z1|=|z2|,則解析A,|z1-z2|=0?z1-z2=0?z1=z2?,真命題;B,z1==z2,真命題;C,|z1|=|z2|?|z1|2=|z2|2?z1=z2,真命題;D,當(dāng)|z1|=|z2|時(shí),可取z1=1,z2=i,明顯=1,=-1,即,假命題.答案ABC2.(2024河南開封測試)若復(fù)數(shù)z=,其中i為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是()A.z的虛部為-i B.|z|=2C.z的共軛復(fù)數(shù)為-1-i D.z2為純虛數(shù)解析z==1-i.z的虛部為-1,A錯(cuò)誤;|z|=,B錯(cuò)誤;=1+i,C錯(cuò)誤;z2=(1-i)2=-2i,為純虛數(shù),D正確.答案D3.若復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)(a∈R,i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z+1+i的虛部為()A.2i B.2 C.3i D.3解析∵為純虛數(shù),∴=0且≠0,解得a=1,∴z=i,∴z+1+i=1+2i,其虛部為2.故選B.答案B4.關(guān)于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的值等于.

解析設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為x=m,則原方程可變?yōu)?m2-m-1=(10-m-2m2)i,所以解得a=11或-.答案11或-5.已知復(fù)數(shù)z滿意(1+2i)=4+3i.(1)求復(fù)數(shù)z;(2)若復(fù)數(shù)(z+ai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解∵(1+2i)=4+3i,∴=2-i.∴z=2+i.(2)(z+ai)2=(2+i+ai)2=4-(a+1)2+4(a+1)i,∵復(fù)數(shù)(z+ai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,∴解得-1<a<1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,1).6.已知復(fù)數(shù)z=2+i(i是虛數(shù)單位)是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+px+q=0的根.(1)求p+q的值;(2)復(fù)數(shù)w滿意zw是實(shí)數(shù),且|w|=2,求復(fù)數(shù)w的值.解(1)關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+px+q=0的虛根是互為共軛復(fù)數(shù)的,所以它的另一根是2-i,依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得p=-4,q=5,p+q=1.(2)設(shè)w=a+bi(a,b∈R).由(a+bi)(2+i)=(2a-b)+(a+2b)i∈R,得a+2b=0.又|w|=2,則a2+b2=20,解得a=4,b=-2或a=-4,b=2,因此w=4-2i或w=-4+2i.素養(yǎng)培優(yōu)練設(shè)z是虛數(shù),ω=z+是實(shí)數(shù),且-1<ω<2.(1)求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍;(2)設(shè)u=,證明u為純虛數(shù).(1)解因?yàn)閦是虛數(shù),所以可設(shè)z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.所以ω=z+=x+yi+=x+yi+=x+i.因?yàn)棣厥菍?shí)數(shù)且y≠0,所以y-=0,所以x2+y2=1,即|z|=1.此時(shí)ω=2x