2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.1.7柱錐臺(tái)和球的體積學(xué)案新人教B版必修2

PAGEPAGE11．1．7柱、錐、臺(tái)和球的體積1．了解祖暅原理．2．理解柱、錐、臺(tái)體的體積公式的推導(dǎo)．3．會(huì)求柱、錐、臺(tái)、球的體積．1．長方體的體積公式V長方體＝abc＝Sh．其中a、b、c分別是長方體的長、寬和高，S、h分別是長方體的底面積和高．2．祖暅原理冪勢(shì)既同，則積不容異．這就是說，夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的隨意平面所截，假如截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．3．祖暅原理的應(yīng)用等底面積、等高的兩個(gè)柱體或錐體的體積相等．4．柱、錐、臺(tái)、球的體積其中S表示底面積，h表示高，r′和r分別表示上、下底面的半徑，R表示球的半徑．名稱體積(V)柱體棱柱Sh圓柱πr2h錐體棱錐eq\f(1,3)Sh圓錐eq\f(1,3)πr2h臺(tái)體棱臺(tái)eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)圓臺(tái)eq\f(1,3)πh(r2＋rr′＋r′2)球eq\f(4,3)πR3把錐體用平行于底面的平面截開，截得的小錐體的體積與原錐體的體積之比等于截得小錐體的高度與原錐體的高度之比的立方．1．已知長方體過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長的比是1∶2∶3，體對(duì)角線的長為2eq\r(14)，則這個(gè)長方體的體積是()A．6 B．12C．24 D．48答案：D2．若圓錐的母線長是8，底面周長為6π，則其體積是()A．9eq\r(55)π B．9eq\r(55)C．3eq\r(55)π D．3eq\r(55)答案：C3．把直徑分別為6cm，8cm，10cm的三個(gè)鐵球熔成一個(gè)大鐵球，則這個(gè)大鐵球的半徑為()A．3cm B．6cmC．8cm D．12cm解析：選B．設(shè)大鐵球的半徑為R，則有eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))eq\s\up12(3)＋eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))eq\s\up12(3)＋eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,2)))eq\s\up12(3)，解得R＝6．柱體的體積棱柱ABC-A′B′C′的側(cè)面AA′C′C的面積為S，且這個(gè)側(cè)面到與它相對(duì)的側(cè)棱BB′之間的距離為a，求這個(gè)棱柱的體積．【解】如圖，過側(cè)棱BB′、CC′分別作側(cè)面AC′、AB′的平行平面，DD′是交線，再伸展兩底面，得到平行六面體ABDC-A′B′D′C′．因?yàn)閭?cè)面AA′C′C的面積為S，設(shè)此面為底面，則平行六面體BDD′B′-ACC′A′的高為a，所以V平行六面體＝Sa．又V棱柱ABC-A′B′C′＝eq\f(1,2)V平行六面體，所以V棱柱ABC-A′B′C′＝eq\f(Sa,2)．eq\a\vs4\al()當(dāng)所給幾何體的體積不易求出時(shí)，我們可以通過“割補(bǔ)法”，使之變形為我們熟識(shí)的幾何體去解決．正三棱柱側(cè)面的一條對(duì)角線長為2且與該側(cè)面內(nèi)的底邊所成角為45°，求此三棱柱體積．解：如圖為正三棱柱ABC-A1B1C1，則有AB1＝2，∠B1AB＝45°，所以AB＝BB1＝eq\r(2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(3),2)，所以V三棱柱＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2)，即此三棱柱的體積為eq\f(\r(6),2)．錐體、臺(tái)體的體積四邊形ABCD中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積．【解】因?yàn)镃(2，1)，D(0，3)，所以圓錐的底面半徑r＝2，高h(yuǎn)＝2．所以V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(8,3)π，因?yàn)锽(1，0)，C(2，1)，所以圓臺(tái)的兩個(gè)底面半徑R＝2，R′＝1，高h(yuǎn)′＝1．所以V圓臺(tái)＝eq\f(1,3)πh′(R2＋R′2＋RR′)＝eq\f(1,3)π×1×(22＋12＋2×1)＝eq\f(7,3)π，所以V＝V圓錐＋V圓臺(tái)＝5π．eq\a\vs4\al()在多面體和旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)計(jì)算中通常將其轉(zhuǎn)化為平面圖形(三角形或特殊的四邊形)來計(jì)算．對(duì)于棱錐中的計(jì)算問題往往要構(gòu)造直角三角形，即棱錐的高、斜高以及斜高在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形，或者由棱錐的高、側(cè)棱以及側(cè)棱在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形；對(duì)于棱臺(tái)往往要構(gòu)造直角梯形和直角三角形；在旋轉(zhuǎn)體中通常要過旋轉(zhuǎn)軸作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．已知正四棱臺(tái)兩底面邊長分別為20cm和10cm，側(cè)面積是780cm2．求正四棱臺(tái)的體積．解：如圖所示，正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm．取A1B1的中點(diǎn)E1，AB的中點(diǎn)E，則E1E是側(cè)面ABB1A1的高．設(shè)O1、O分別是上、下底面的中心，則四邊形EOO1E1是直角梯形．由S側(cè)＝4×eq\f(1,2)(10＋20)·E1E＝780得EE1＝13(cm)．在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5(cm)，OE＝eq\f(1,2)AB＝10(cm)，所以O(shè)1O＝eq\r(E1E2－(OE－O1E1)2)＝12(cm)，V正四棱臺(tái)＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．故正四棱臺(tái)的體積為2800cm3．球的體積過球面上三點(diǎn)A，B，C的截面到球心O的距離等于球的半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的體積和表面積．【解】如圖，設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的截面為圓O′，連接OO′、AO、AO′．因?yàn)锳B＝BC＝CA＝3cm，所以O(shè)′為正三角形ABC的中心，所以AO′＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\r(3)(cm)．設(shè)OA＝R，則OO′＝eq\f(1,2)R，因?yàn)镺O′⊥截面ABC，所以O(shè)O′⊥AO′，所以AO′＝eq\f(\r(3),2)R＝eq\r(3)，所以R＝2(cm)，所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)．即球的體積為eq\f(32,3)πcm3，表面積為16πcm2．eq\a\vs4\al()球的體積的求法及留意事項(xiàng)(1)要求球的體積，必需知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入體積公式求解．(2)半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握住了這兩點(diǎn)，計(jì)算球的體積的相關(guān)題目也就易如反掌了．(3)由三視圖計(jì)算球或球與其他幾何體的組合體的體積，最重要的是還原組合體，并弄清組合體的結(jié)構(gòu)特征和三視圖中數(shù)據(jù)的含義．依據(jù)球與球的組合體的結(jié)構(gòu)特征及數(shù)據(jù)計(jì)算其體積．此時(shí)要特殊留意球的三種視圖都是直徑相同的圓．若球的大圓面積擴(kuò)大為原來的3倍，則它的體積擴(kuò)大為原來的()A．3倍 B．9倍C．27倍 D．3eq\r(3)倍解析：選D．設(shè)改變前、后兩球的半徑分別為r、R，則有eq\f(πr2,πR2)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(r,R)＝eq\f(1,\r(3))．所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(4,3)πr3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(r3,R3)＝eq\f(1,3\r(3))．故選D．1．多面體與旋轉(zhuǎn)體的體積公式只要求我們了解，但結(jié)論“等底面積、等高的兩個(gè)棱錐的體積相等”必需記熟且學(xué)會(huì)對(duì)它的熟識(shí)運(yùn)用，柱體、錐體、臺(tái)體的體積關(guān)系如下：2．在推導(dǎo)棱錐的體積公式時(shí)，是將三棱柱分成三個(gè)三棱錐，這三個(gè)三棱錐變換它們的底面和頂點(diǎn)，可以得到它們兩兩之間等底面積、等高，因此它們的體積相等，都等于三棱柱體積的三分之一．在這個(gè)過程中，一是運(yùn)用了等體積轉(zhuǎn)換的方法，二是運(yùn)用了割補(bǔ)法，這些方法在今后解題時(shí)要敏捷運(yùn)用．1．求幾何體的體積，須要求與其體積有關(guān)的各個(gè)量，但有時(shí)各個(gè)量不肯定都要求出，而只需求出與其體積有關(guān)的各量的組合．2．“割補(bǔ)”是求體積的一種常用策略．運(yùn)用時(shí)，要留意弄清“割補(bǔ)”前后幾何體體積之間的數(shù)量關(guān)系．3．解答組合體問題要留意學(xué)問的橫向聯(lián)系，擅長把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，運(yùn)用方程思想與函數(shù)思想解決，融計(jì)算、推理、想象于一體．1．已知一個(gè)圓柱底面直徑和母線長均為4，則該圓柱的體積為()A．2π B．4πC．8π D．16π解析：選D．V圓柱＝πR2h＝π×22×4＝16π．2．將半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積是()A．eq\f(\r(3),24)πR3 B．eq\f(\r(3),8)πR3C．eq\f(\r(5),24)πR3 D．eq\f(\r(5),8)πR3答案：A3．若正方體的棱長為eq\r(2)，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為________．答案：eq\f(\r(2),3)4．若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是________cm3．解析：題圖為一四棱臺(tái)和長方體的組合體的三視圖，由題中所給公式計(jì)算得體積為V＝eq\f(1,3)×(4×4＋eq\r(16×64)＋64)×3＋4×4×2＝144(cm3)．答案：144,[學(xué)生用書P89(單獨(dú)成冊(cè))])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．若一個(gè)長方體有相同頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是eq\r(2)、eq\r(3)、eq\r(6)，則這個(gè)長方體的體積為()A．2eq\r(3) B．3eq\r(2)C．6 D．eq\r(6)解析：選D．因?yàn)閍b＝eq\r(2)，ac＝eq\r(3)，bc＝eq\r(6)．所以a2b2c2＝6，所以V＝abc＝eq\r(6)．2．已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為V1和V2，則V1∶V2＝()A．1∶3 B．1∶1C．2∶1 D．3∶1解析：選D．V1∶V2＝(sh)∶(eq\f(1,3)sh)＝3∶1．3．若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．1 D．2解析：選C．該幾何體的直觀圖為直三棱柱ABC-A1B1C1，如圖所示，其體積為V＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)×eq\r(2)＝1．故選C．4．把一個(gè)鐵制的底面半徑為r，高為h的實(shí)心圓錐熔化后鑄成一個(gè)鐵球，則這個(gè)鐵球的半徑為()A．eq\f(r\r(h),2) B．eq\f(r2h,4)C．eq\r(3,\f(r2h,4)) D．eq\f(r2h,2)解析：選C．因?yàn)閑q\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πR3，所以R＝eq\r(3,\f(r2h,4))．5．用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為()A．eq\f(32π,3) B．eq\f(8π,3)C．8eq\r(2)π D．eq\f(8\r(2)π,3)解析：選D．設(shè)截面圓的半徑為r，則πr2＝π，故r＝1，由勾股定理求得球的半徑為eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，所以球的體積為eq\f(4,3)π(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2)π,3)，故選D．6．已知正方體外接球的體積是eq\f(32,3)π，那么正方體的棱長等于________．解析：V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，所以R＝2．設(shè)正方體的棱長為a，則eq\r(a2＋a2＋a2)＝2R，所以3a2＝16，所以a＝eq\f(4,3)eq\r(3)．答案：eq\f(4,3)eq\r(3)7．正四棱臺(tái)的斜高與上、下底面邊長之比為5∶2∶8，體積為14cm3，則棱臺(tái)的高為________．解析：如圖所示，設(shè)正四棱臺(tái)AC′的上底面邊長為2a，則斜高EE′和下底面邊長分別為5a、8a．高OO′＝eq\r((5a)2－(4a－a)2)＝4a．又因?yàn)閑q\f(1,3)×4a×(64a2＋4a2＋eq\r(4a2×64a2))＝14，所以a＝eq\f(1,2)，即高為4a＝2cm．答案：2cm8．圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好沉沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm．解析：設(shè)球的半徑為xcm，由題意得πx2×8＝πx2×6x－eq\f(4,3)πx3×3，解得x＝4．答案：49．依據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，求各幾何體的體積．解：(1)該幾何體是圓錐，高h(yuǎn)＝10，底面圓半徑r＝3，所以底面積S＝πr2＝9π，則V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×9π×10＝30π．(2)該幾何體是正四棱臺(tái)，底面中心連線就是高h(yuǎn)＝6，上底面積S上＝64，下底面積S下＝144，則V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h＝eq\f(1,3)×(64＋144＋eq\r(64×144))×6＝608．10．一個(gè)正三棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為eq\r(15)，求這個(gè)正三棱錐的體積．解：如圖，正三棱錐S-ABC中，設(shè)H為△ABC的中心，連接SH，則SH的長即為該正三棱錐的高．連接AH，延長后交BC于E，則E為BC的中點(diǎn)，且AE⊥BC．由于△ABC是邊長為6的正三角形，所以AE＝eq\f(\r(3),2)×6＝3eq\r(3)．所以AH＝eq\f(2,3)AE＝2eq\r(3)．在Rt△SHA中，SA＝eq\r(15)，AH＝2eq\r(3)，所以SH＝eq\r(SA2－AH2)＝eq\r(15－12)＝eq\r(3)．在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AE＝eq\f(1,2)×6×3eq\r(3)＝9eq\r(3)．所以VS-ABC＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×eq\r(3)＝9．[B實(shí)力提升]11．圓臺(tái)的軸截面等腰梯形的腰長為a，下底邊長為2a，對(duì)角線長為eq\r(3)a，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是()A．eq\f(7\r(3),4)πa3 B．eq\f(7,12)eq\r(3)πa3C．eq\f(7,8)eq\r(3)πa3 D．eq\f(7\r(3),24)πa3解析：選D．如圖，由AD＝a，AB＝2a，BD＝eq\r(3)a，知∠ADB＝90°．取DC中點(diǎn)E，AB中點(diǎn)F，分別過D點(diǎn)、C點(diǎn)作DH⊥AB，CG⊥AB，知DH＝eq\f(\r(3),2)a．所以HB＝eq\r(3a2－\f(3,4)a2)＝eq\f(3,2)a．所以DE＝HF＝eq\f(1,2)a．所以V圓臺(tái)＝eq\f(π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a2＋\f(1,2)a2＋a2))·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(7,24)eq\r(3)πa3．12．球的一個(gè)內(nèi)接圓錐滿意：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為________．解析：①當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心兩側(cè)時(shí)，如圖所示，設(shè)球半徑為r，則球心到該圓錐底面的距離是eq\f(r,2)，于是圓錐的底面半徑為eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3)r,2)．高為eq\f(3r,2)．該圓錐的體積為eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)r,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(3r,2)＝eq\f(3,8)πr3，球體積為eq\f(4,3)πr3，所以該圓錐的體積和此球體積的比值為eq\f(\f(3,8)πr3,\f(4,3)πr3)＝eq\f(9,32)．②同理，當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心同側(cè)時(shí)，該圓錐的體積和此球體積的比值為eq\f(3,32)．答