2022年北京市首都師大附中初三（上）期中數學試卷及答案

第1頁/共1頁2022北京首都師大附中初三（上）期中數學班級：____________________姓名：____________________學號：____________________一、選擇題（本題共24分，每小題3分，第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個）1.拋物線的對稱軸是直線（）A. B. C. D.2.圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．2017年5月，世界圍棋冠軍柯潔與人工智能機器人AlphaGoi進行圍棋人機大戰(zhàn)截取首局對戰(zhàn)棋譜中的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是（）A. B. C. D.3.若關于x的一元二次方程的一個根是，則m的值是（）A. B. C. D.04.在平面內，已知，若點P在上，那么點Q與的位置關系是（）A.點Q在內 B.點Q在⊙O上 C.點Q在外 D.無法判斷5.如圖，，是⊙的半徑，若，則的度數是（）A. B. C. D.6.如圖，在正方形中，點E在邊上，且，將繞點A逆時針旋轉至，使點B與點D重合，則點E，F之間的距離為（）A. B.2 C. D.37.二次函數的部分圖象如圖所示，則關于x的不等式的解集是（）A. B. C. D.或8.在一次足球比賽小組賽中，每兩支隊伍之間都要各進行一次主場比賽、一次客場比賽，主辦方共投入使用個球場，每天每個球場共安排場比賽，若連續(xù)天才能保證小組賽全部比完，則本次小組賽參賽球隊有（）A.15支 B.16支 C.17支 D.18支二、填空題（本題共24分，每小題3分）9.將拋物線向下平移2個單位長度，所得新拋物線的表達式為___________．10.設分別是一元二次方程的兩個不相等的實數根，則的值為___________．11.如圖，是的直徑，C是的中點，若，則的度數為___________．12.請寫出一個開口向下，且經過點的拋物線的表達式為___________．13.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，點D在AC上，且AD=2，將點D繞著點A順時針方向旋轉，使得點D的對應點E恰好落在AB邊上，則旋轉角的度數為________，CE的長為_______．

14.如圖，點O為線段的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接，．請寫出圖中任意一組互補的角為___________和___________（不添加輔助線，不添加數字角標和字母）15.關于x的方程有兩個不相等的實根，則k的取值范圍是__________；若該方程的兩個實根均為有理數，則整數k的最小值為___________．16.我們將滿足等式的每組x，y的值在平面直角坐標系中畫出，便會得到如圖所示的“心形”圖形．下面三個結論中，①“心形”圖形軸對稱圖形；②“心形”圖形所圍成的面積一定大于2；③“心形”圖形上任意一點到原點距離都小于，所有正確結論的序號是___________．三、解答題（本題共52分，17-18題每題4分，19-23題每題5分，2425題每題6分，26題7分）17.解方程：．18.解方程：．19.若a是關于x的一元二次方程的根，求代數式的值．20.如圖，是內接三角形，于點D．下面是借助直尺，畫出中的平分線的步驟：①延長OD交于點M；②連接AM交BC于點N．所以．即線段AN為所求中的平分線．（1）依據題意，補全圖形：（2）請回答，得到的兩個主要依據是___________．（填寫序號）①垂直于弦的直徑平分弦所對的劣??；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；③直徑所對的圓周角是直角；④等弧所對的圓周角相等．21.如圖，在平面直角坐標系中，．（1）將點B向上平移4個單位長度，得到點C，則點C的坐標是___________．（2）將繞點B順時針旋轉得到，其中點A與點D對應，點D在線段上，請在圖中畫出；（3）經過A，B，E三點___________確定一個圓．（填寫“能”或“不能”）22.已知拋物線，（1）直接寫出該拋物線與x軸的交點坐標為___________．（2）求該拋物線的頂點坐標；（3）畫出它圖象；（4）若在拋物線上，且，直接寫出m的取值范圍是___________．23.如圖1是博物館展出的古代車輪實物，《周禮·考工記》記載：“……故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸……”據此，我們可以通過計算車輪的半徑來驗證車輪類型，請將以下推理過程補充完整．如圖2所示，在車輪上取A，B兩點，設所在圓的圓心為O，半徑為．作弦AB的垂線OC，D為垂足，則___________．經測量，，則___________；用含r代數式表示___________．在中，由勾股定理可列出關于r的方程：___________．解得．通過換算，車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為___________之輪．（填“兵車”或“田車”）24.已知拋物線經過點．（1）用含a的代數式表示b；（2）當拋物線與x軸交于點時，求此時a的值；（3）設拋物線與x軸兩交點之間的距離為d．當時，求a的取值范圍．25.已知，點B為射線AN上一定點，點C為射線AM上一動點（不與點A重合），點D在線段BC的延長線上，且．過點D作于點E．（1）當點C運動到如圖1的位置時，點E恰好與點C重合，此時與的數量關系是___________；（2）當點C運動到如圖2的位置時，依題意補全圖形，并證明：；（3）在點C運動的過程中，點E能否在射線AM的反向延長線上？若能，直接用等式表示線段，，之間的數量關系；若不能，請說明理由．26.定義：在平面直角坐標系xOy中，點P為圖形M上一點，點Q為圖形N上一點．若存在OP＝OQ，則稱圖形M與圖形N關于原點O“平衡”．（1）如圖1，已知⊙A是以（1，0）為圓心，2為半徑的圓，點C（﹣1，0），D（﹣2，1），E（3，2）．①在點C，D，E中，與⊙A關于原點O“平衡”的點是；②點H為直線y＝﹣x上一點，若點H與⊙A關于原點O“平衡”，求點H的橫坐標的取值范圍；（2）如圖2，已知圖形G是以原點O為中心，邊長為2的正方形．⊙K的圓心在x軸上，半徑為2．若⊙K與圖形G關于原點O“平衡”，請直接寫出圓心K的橫坐標的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共24分，每小題3分，第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個）1.【答案】A【解析】【分析】根據二次函數的頂點式可直接得出答案．【詳解】解：拋物線的對稱軸是直線，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數的頂點式，解題關鍵是明確頂點式的對稱軸為直線，頂點坐標為．2.【答案】A【解析】【分析】根據中心對稱圖形的定義：一個平面圖形，繞一點旋轉180°，與自身重合，這樣的圖形叫做中心對稱圖形．逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、是中心對稱圖形，符合題意；B、不是中心對稱圖形，不符合題意；C、不是中心對稱圖形，不符合題意；D、不是中心對稱圖形，不符合題意；故選A．【點睛】本題考查中心對稱．熟練掌握中心對稱的定義是解題的關鍵．3.【答案】B【解析】【分析】把代入已知方程，列出關于m方程，通過解方程可以求得m的值．【詳解】解：把代入得：，解得：，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程解的定義，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．4.【答案】C【解析】【分析】由題意得出的半徑，再根據得出點Q與的位置關系．【詳解】解：∵，點P在上，∴的半徑，∵，∴點Q與位置關系是點Q在外，故選：C．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，注意：已知的半徑為r，點P到圓心O的距離是d，①當時，點P在內，②當時，點P在上，③當時，點P在外．5.【答案】A【解析】【分析】由題意及圓周角定理可直接進行排除選項．【詳解】解：∵，∴；故選A．【點睛】本題主要考查圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．6.【答案】C【解析】【分析】連接，根據含30度直角三角形的性質和勾股定理求出，進而可得和，然后利用勾股定理求出即可．【詳解】解：連接，∵在正方形中，，，，∴，∴，∴，∴，∵將繞點A逆時針旋轉至，使點B與點D重合，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，含30度直角三角形的性質，勾股定理，二次根式的混合運算，求出正方形的邊長是解題的關鍵．7.【答案】C【解析】【分析】由函數圖象得對稱軸為，然后可得點關于的對稱點的坐標，進而可得答案．【詳解】解：由函數圖象得：二次函數的對稱軸為，∴點關于的對稱點的坐標為，∴關于x的不等式的解集是故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的對稱性，二次函數與不等式，掌握數形結合思想的應用是解題的關鍵．8.【答案】B【解析】【分析】每個隊與其他隊都要進行主、客場比賽，即每兩個隊之間要進行兩場比賽，設有個足球隊，比賽場次共有場，再根據共有場比賽活動來列出方程，從而求解．【詳解】解：設有x個足球隊參加，依題意，，整理，得，，解得：，舍去；即：共有個足球隊參加比賽．故選B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．二、填空題（本題共24分，每小題3分）9.【答案】【解析】【分析】根據拋物線的平移規(guī)律：左加右減，上加下減，進行計算即可．【詳解】解：由題意得：；故答案為：【點睛】本題考查拋物線的平移．熟練掌握平移規(guī)律是解題的關鍵．10.【答案】【解析】【分析】利用一元二次方程根與系數的關系求出兩根之和與兩根之積，代入原式計算即可求出值．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個不相等的實數根，，故答案為：．【點睛】此題考查了根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解本題的關鍵．一元二次方程的根與系數的關系為：，．11.【答案】##40度【解析】【分析】根據圓心角、弧、弦的關系求出的度數，進而可得的度數．【詳解】解：∵C是的中點，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等12.【答案】（答案不唯一）．【解析】【分析】可以把點作為拋物線的頂點，根據開口向下可知二次項系數取一個負數即可．【詳解】解：寫出一個開口向下，且經過點的拋物線的表達式為，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．13.【答案】①.②.【解析】【分析】由題意可知為等腰直角三角形，，旋轉的性質可得，，根據勾股定理即可求解．【詳解】解：由題意可知為等腰直角三角形，由旋轉的性質可得，為旋轉角，，旋轉角的度數為連接，如下圖：則，由勾股定理可得：故答案為，【點睛】此題考查了旋轉的性質，涉及了勾股定理，掌握旋轉的有關性質以及勾股定理是解題的關鍵．14.【答案】①.②.【解析】【分析】首先判斷出點A，B，C，D四點共圓，然后根據圓內接四邊形對角互補得出答案．【詳解】解：∵點B，C，D到點O的距離相等，且，∴點A，B，C，D四點共圓，∴，，∴圖中互補的角為和，和，故答案為：，（或，）．【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質，掌握圓內接四邊形對角互補是解題的關鍵．15.【答案】①.且，②.2【解析】【分析】根據一元二次方程的定義和根的判別式的意義列式求出k的值，然后根據兩個實根均為有理數得出是有理數，進而可得答案．【詳解】解：∵關于x的方程有兩個不相等的實根，∴且，解得：且，∵該方程的兩個實根均為有理數，∴是有理數，∵，，∴整數k的最小值為2，故答案為：且；2．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，根的判別式的意義，公式法解一元二次方程，熟練掌握方程解的情況與判別式的關系是解題的關鍵．16.【答案】①②③【解析】【分析】①根據等式的特點，用代替，計算后可知“心形”圖形關于y軸對稱；②如圖，求出點A、B、C、D、F的坐標，可得四邊形是矩形，求出矩形的面積為2可得結論正確；③當時，求出，可得，則，，可得“心形”圖形右側部分的點到原點的距離都不超過，再根據對稱性可得結論．【詳解】解：①在中，用代替得，即，所以“心形”圖形關于y軸對稱，故①正確；②如圖，“心形”圖形與x軸交于A、D，與y軸交于點F，過A作軸交“心形”于點B，過點D作軸交“心形”于點C，令時，可得，即，∴，令，可得，即，∴，，令，可得，則或，∴，令，可得，則或，∴，∴，，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴“心形”圖形的面積，故②正確；③當時，∵，即，∴，∴，∴，∴，∴，∴“心形”圖形右側部分的點到原點的距離都不超過，∵“心形”圖形關于y軸對稱，∴“心形”圖形上所有的點到原點的距離都不超過，故③正確；故答案為：①②③．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的性質，坐標與圖形，矩形的判定和性質，完全平方式的應用以及勾股定理的應用，對學生的數形結合能力要求較高，屬于綜合題．三、解答題（本題共52分，17-18題每題4分，19-23題每題5分，2425題每題6分，26題7分）17.【答案】，【解析】【分析】用因式分解法解一元二次方程即可詳解】解：因式分解得，∴或，∴，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能夠根據方程特點靈活選用不同的解法是解題關鍵．18.【答案】，．【解析】【分析】首先提取公因式，得到，再解兩個一元一次方程即可．【詳解】解：，，或，，．【點睛】本題主要考查了因式分解法，解題的關鍵是掌握因式分解法解方程的步驟．19.【答案】【解析】【分析】將a代入方程可得：，再將代數式化簡，整體代入求值即可．【詳解】解：∵a是關于x的一元二次方程的根，∴，整理可得：，，∵，∴原式．【點睛】本題考查一元二次方程根的定義和代數式求值，注意整體代入思想的應用，一元二次方程的根是指滿足方程成立的未知數的值．20.【答案】（1）見解析；（2）①④．【解析】【分析】（1）根據所給步驟補全圖形即可；（2）根據垂直于弦的直徑平分弦所對的劣弧可得，再根據在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等可得，據此可得答案．【小問1詳解】解：如圖所示：【小問2詳解】解：延長OD交于點M，∵，垂直于弦的直徑平分弦所對的劣弧，∴，∵在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，∴，∴線段為所求中的平分線．即得到的兩個主要依據是：①垂直于弦的直徑平分弦所對的劣??；④等弧所對的圓周角相等；故答案為：①④．【點睛】本題考查了基本作圖，垂徑定理的推論，圓周角定理，解題的關鍵在于掌握垂直于弦（非直徑）的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．21.【答案】（1）；（2）見解析；（3）不能．【解析】【分析】（1）根據平移的性質可得答案；（2）先作出，由旋轉后點D在線段上可知繞點B順時針旋轉，根據旋轉的性質確定點D、E的位置，然后順次連接即可；（3）根據A、B、E三點共線可得答案．【小問1詳解】解：∵，∴點B向上平移4個單位長度，得到點C，點C的坐標是，故答案為：；【小問2詳解】解：如圖，即為所求；【小問3詳解】解：由圖可得，A、B、E三點共線，∴經過A，B，E三點不能確定一個圓，故答案為：不能．【點睛】本題考查了平移的性質，畫旋轉圖形，旋轉的性質，確定圓的條件等知識，熟練掌握旋轉的性質，作出旋轉后的圖形，得出A、B、E三點共線是解答本題的關鍵．22.【答案】（1），；（2）；（3）見解析；（4）．【解析】【分析】（1）根據交點式可直接得出與x軸的交點坐標；（2）將交點式化為頂點式可得答案；（3）先列表，然后畫出函數圖象即可；（4）根據函數圖象可得點和是拋物線上的對稱點，且橫坐標之差為2，進而可得答案．【小問1詳解】解：∵拋物線，∴該拋物線與x軸的交點坐標為，，故答案為：，；【小問2詳解】解：∵，∴該拋物線的頂點坐標為；【小問3詳解】解：列表：x…0123…y…00…函數圖象如圖：【小問4詳解】解：由函數圖象得，點和是拋物線上的對稱點，且橫坐標之差為2，∴若在拋物線上，且，則m的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的交點式，頂點式，畫函數圖象，二次函數與不等式等知識，會畫函數圖象，并利用函數圖象解決問題是解題的關鍵．23.【答案】，，，，兵車【解析】【分析】根據垂徑定理，進行作答即可．【詳解】解：根據垂直弦的直徑平分弦可知：，∵，∴，，∴，解得：，∴此車輪為：兵車之輪；故答案為：，，，，兵車．【點睛】本題考查垂徑定理．熟練掌握：垂直于弦的直徑，平分弦，是解題的關鍵．24.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）把代入拋物線解析式，整理后可得答案；（2）把代入拋物線解析式可得，然后根據（1）中結論進行計算即可；（3）令，求出，，然后根據得出含絕對值的不等式，解不等式可得答案．【小問1詳解】解：把代入得：，整理得：；【小問2詳解】解：把代入得：，∵，∴，∴；【小問3詳解】解：由（1）知，，∴，令，即，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查待定系數法求二次函數解析式，二次函數與坐標軸的交點，解不等式等知識，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．25.【答案】（1）；（2）作圖見解析，證明見解析；（3）能，．【解析】【分析】（1）先證明是的垂直平分線，可得，求出，從而可得結論；（2）根據題意補全圖形，過作于證明，可得，再證明，從而可得，，于是可得結論；（3）如圖，過作于，同（2）可得：，，可得，，，再根據線段的和差，等量代換得出答案．【小問1詳解】解：當重合時，點在線段的延長線上，，，是的垂直平分線，，，，，，，，，故答案為：；【小問2詳解】補全圖形如圖所示