北京市2024年高考數(shù)學試卷

北京市2024年高考數(shù)學試卷一、選擇題

1.若函數(shù)f(x)=x^3-3x+2在x=1處取得極值，則此極值是（）

A.極大值

B.極小值

C.非極值

D.無法確定

2.已知等差數(shù)列{an}的前三項分別為1,4,7，則該數(shù)列的通項公式an=（）

A.3n-2

B.3n+1

C.3n

D.3n-3

3.下列不等式組中，無解的是（）

A.\{\begin{matrix}x+2y>1\\y<3\end{matrix}\}

B.\{\begin{matrix}x+2y<1\\y<3\end{matrix}\}

C.\{\begin{matrix}x+2y>1\\y>3\end{matrix}\}

D.\{\begin{matrix}x+2y<1\\y>3\end{matrix}\}

4.若復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）在復平面內(nèi)對應的點為P(a,b)，則下列哪個點在直線y=-x上？（）

A.P(a,-b)

B.P(-a,b)

C.P(-a,-b)

D.P(a,b)

5.已知函數(shù)f(x)=|x|+1，則f(-1)=（）

A.0

B.1

C.2

D.3

6.若等比數(shù)列{an}的前三項分別為3,6,12，則該數(shù)列的公比q=（）

A.1

B.2

C.3

D.6

7.若函數(shù)y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖像開口向上，且頂點坐標為（1，-2），則a、b、c的取值范圍是（）

A.a>0，b<0，c>0

B.a>0，b>0，c>0

C.a>0，b>0，c<0

D.a<0，b<0，c>0

8.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，若f(x)的圖像與x軸的交點分別為A、B，且|AB|=2，則f(x)的圖像與y軸的交點C的坐標是（）

A.(0,-3)

B.(0,3)

C.(0,-1)

D.(0,1)

9.若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d，首項為a1，則Sn=（）

A.(n^2+n)d

B.(n^2+n)a1

C.(n^2-n)d

D.(n^2-n)a1

10.若函數(shù)y=log2(x+3)的圖像經(jīng)過點P(-2,2)，則該函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標是（）

A.(-1,0)

B.(1,0)

C.(-3,0)

D.(3,0)

二、判斷題

1.在直角坐標系中，若點A(-2,3)關于y軸的對稱點為A'，則A'的坐標為(2,3)。（）

2.一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像是一條直線，且斜率k表示直線的傾斜程度。（）

3.在等差數(shù)列{an}中，若公差d=0，則該數(shù)列是常數(shù)列。（）

4.二次函數(shù)y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖像開口向上，當a>0時，函數(shù)在x=0處取得最小值。（）

5.等比數(shù)列{an}的任意三項an,an+1,an+2滿足an+2=an*r^2，其中r是公比。（）

三、填空題

1.若函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x-1在x=2處取得極值，則此極值為______。

2.等差數(shù)列{an}的首項a1=3，公差d=2，則第10項an=______。

3.在直角坐標系中，點P(3,4)關于原點的對稱點坐標為______。

4.二次函數(shù)y=-2x^2+4x+3的圖像頂點坐標為______。

5.若函數(shù)y=log3(x-1)的圖像與y軸的交點坐標為______。

四、簡答題

1.簡述函數(shù)f(x)=|x-2|的性質(zhì)，并畫出其圖像。

2.解釋等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，并舉例說明如何求出給定項的值。

3.如何判斷一個二次函數(shù)的圖像是開口向上還是開口向下？請舉例說明。

4.簡要說明直角坐標系中，點關于x軸、y軸、原點的對稱點的坐標變化規(guī)律。

5.討論一次函數(shù)和二次函數(shù)在圖像上的特點，以及它們在解決實際問題中的應用。

五、計算題

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。

2.在直角坐標系中，已知點A(-4,3)和點B(2,-1)，求線段AB的中點坐標。

3.一個等差數(shù)列的前5項和為15，公差為3，求該數(shù)列的首項。

4.已知函數(shù)y=2x-5，求該函數(shù)在x軸上的截距。

5.若等比數(shù)列{an}的前三項分別為2,4,8，求該數(shù)列的公比和第6項。

六、案例分析題

1.案例背景：某城市為了緩解交通擁堵，決定對公共交通系統(tǒng)進行優(yōu)化。已知該城市居民上下班高峰時段的出行需求，以及現(xiàn)有公共交通線路的運行情況。

案例分析要求：

（1）根據(jù)居民出行需求，設計一條新的公交線路，使其能夠有效連接主要居住區(qū)和商業(yè)區(qū)。

（2）假設新線路的運行時間為早上7:00至晚上9:00，每班車的發(fā)車間隔為15分鐘。計算新線路至少需要多少輛公交車才能滿足居民高峰時段的出行需求。

（3）分析現(xiàn)有公共交通線路的優(yōu)缺點，并提出改進建議。

2.案例背景：某公司為了提高員工的工作效率，決定對辦公區(qū)域進行重新布局。已知公司現(xiàn)有員工人數(shù)為200人，辦公室面積為3000平方米。

案例分析要求：

（1）根據(jù)員工的工作性質(zhì)和職責，將員工分為不同的小組，并確定每個小組所需的辦公空間大小。

（2）假設每個員工的辦公空間最小面積為10平方米，計算公司需要多少間辦公室才能滿足所有員工的需求。

（3）分析現(xiàn)有辦公區(qū)域的空間利用率，并提出改進方案以提高空間利用效率。

七、應用題

1.應用題：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每個產(chǎn)品的成本為10元，售價為20元。假設該產(chǎn)品的市場需求函數(shù)為Q=100-2P，其中Q為需求量，P為售價。求該工廠在利潤最大化時的售價和產(chǎn)量。

2.應用題：一個班級有學生30人，成績分布如下：60分以下的有5人，60-70分的有10人，70-80分的有10人，80-90分的有5人。求該班級的平均成績。

3.應用題：一個正方體的棱長為a，求該正方體的表面積和體積。

4.應用題：某城市計劃在一條長度為10公里的公路上進行綠化，計劃種植樹木，要求每兩棵樹之間的距離為5米。問該公路最多可以種植多少棵樹？

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題

1.A

2.B

3.D

4.A

5.C

6.B

7.A

8.A

9.A

10.B

二、判斷題

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

三、填空題

1.-1

2.21

3.(-4,-3)

4.(1,-1)

5.(0,-1)

四、簡答題

1.函數(shù)f(x)=|x-2|的性質(zhì)包括：定義域為全體實數(shù)，值域為[0,+∞)，圖像在x=2處有拐點，左側為下降的直線，右側為上升的直線。圖像如下：

```

|

|__

|/\

|/\

|_____/\

```

2.等差數(shù)列的通項公式為an=a1+(n-1)d，其中a1為首項，d為公差，n為項數(shù)。例如，等差數(shù)列1,4,7,10,...的首項a1=1，公差d=3，第5項an=1+(5-1)*3=13。

等比數(shù)列的通項公式為an=a1*r^(n-1)，其中a1為首項，r為公比，n為項數(shù)。例如，等比數(shù)列2,4,8,16,...的首項a1=2，公比r=2，第5項an=2*2^(5-1)=64。

3.二次函數(shù)y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖像開口向上當且僅當a>0，此時頂點坐標為(-b/2a,c-b^2/4a)。開口向下當a<0，頂點坐標同理。例如，函數(shù)y=-x^2+4x+3的圖像開口向下，頂點坐標為(2,-1)。

4.點關于x軸的對稱點坐標為(x,-y)，關于y軸的對稱點坐標為(-x,y)，關于原點的對稱點坐標為(-x,-y)。例如，點P(3,4)關于原點的對稱點坐標為(-3,-4)。

5.一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像是一條直線，斜率k表示直線的傾斜程度，k>0時直線向右上方傾斜，k<0時直線向右下方傾斜。二次函數(shù)y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖像是一個拋物線，開口向上或向下取決于a的正負。一次函數(shù)和二次函數(shù)在解決實際問題中廣泛應用于描述線性增長或減少的過程，以及拋物線運動等。

五、計算題

1.解：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上的導數(shù)為f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，得x=2。將x=2代入f(x)，得f(2)=4-8+3=-1。所以f(x)在x=2處取得最小值-1。由于f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，在[2,3]上單調(diào)遞增，所以f(x)在[1,3]上的最大值為f(1)=0。

2.解：中點坐標為((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，代入A(-4,3)和B(2,-1)，得中點坐標為((-4+2)/2,(3-1)/2)=(-1,1)。

3.解：等差數(shù)列的前5項和為15，即(5/2)(a1+a5)=15，解得a1+a5=6。由于公差d=3，所以a5=a1+4d，代入得2a1+12=6，解得a1=-3。首項a1=-3。

4.解：令y=0，得0=2x-5，解得x=2.5。所以函數(shù)在x軸上的截距為2.5。

5.解：公比r=a2/a1=4/2=2。第6項an=a1*r^(6-1)=2*2^5=64。

七、應用題

1.解：需求函數(shù)Q=100-2P，售價P=20，所以Q=100-40=60。利潤函數(shù)L(P)=P*Q-成本=P*(100-2P)-10*(100-2P)=-P^2+20P-1000。求導得L'(P)