2025年湘教版高一數(shù)學(xué)上冊階段測試試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年湘教版高一數(shù)學(xué)上冊階段測試試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、若函數(shù)f（x）=sinx+g（x）在區(qū)間[]上單調(diào)遞增；則函數(shù)g（x）的表達(dá)式為（）

A.cos

B.-cos

C.1

D.-tan

2、已知函數(shù)的定義域?yàn)椋粒瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，則（）Ａ．Ｂ．A∈BＣ．Ｄ．A∩B=B3、【題文】若關(guān)于的方程在上有根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.4、【題文】如圖所示是某幾何體的三視圖；則該幾何體的表面積是（）

A.B.48C.D.805、【題文】函數(shù)f(x)＝()x與函數(shù)g(x)＝log|x|在區(qū)間(－∞；0)上的單調(diào)性為。

()A.都是增函數(shù)B.都是減函數(shù)C.f(x)是增函數(shù)，g(x)是減函數(shù)D.f(x)是減函數(shù)，g(x)是增函數(shù)6、【題文】若集合則()A.B.C.D.7、若cosα＜0，tanα＞0，則α的終邊在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限8、下列函數(shù)在[1，4]上最大值為3的是（）A.B.y=3x-2C.y=x2D.y=1-x9、若10a=510b=2

則a+b=(

)

A.鈭?1

B.0

C.1

D.2

評卷人得分二、填空題(共8題，共16分)10、設(shè)a，b滿足a2+b2-2a-4=0，則2a-b的最大值與最小值之差為____．11、已知則____。12、已知圓心角為120°的扇形AOB的半徑為1，C為弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在半徑OA，OB上．若則的最大值是.13、【題文】已知函數(shù)若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________．14、【題文】老師給出一個(gè)函數(shù)；請三位同學(xué)各說出了這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì)：

①此函數(shù)為偶函數(shù)；

②定義域?yàn)?/p>

③在上為增函數(shù).

老師評價(jià)說其中有一個(gè)同學(xué)的結(jié)論錯(cuò)誤，另兩位同學(xué)的結(jié)論正確。請你寫出一個(gè)(或幾個(gè))這樣的函數(shù)____15、【題文】函數(shù)y=＋的值域?yàn)開___16、下列結(jié)論中：

①若（x；y）在映射f的作用下的象是（x+2y，2x﹣y），則在映射f下，（3，1）的原象為（1，1）；

②若函數(shù)f（x）滿足f（x﹣1）=f（x+1）；則f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；

③函數(shù)y=|3﹣x2|﹣a（a∈R）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為m；則m的值不可能為1；

④函數(shù)f（x）=log2（3x2﹣ax+5）在（﹣1；+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣8，﹣6]．

其中正確結(jié)論的序號是____（請將所有正確結(jié)論的序號都填上）17、把鈭?sin婁脕+3cos婁脕

化成Asin(婁脕+婁脮)(A>0,婁脮隆脢(0,2婁脨))

的形式為______．評卷人得分三、作圖題(共8題，共16分)18、如圖A、B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設(shè)管道費(fèi)用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省，并求出其費(fèi)用．19、如圖A、B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設(shè)管道費(fèi)用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省，并求出其費(fèi)用．20、作出下列函數(shù)圖象：y=21、畫出計(jì)算1++++的程序框圖．22、以下是一個(gè)用基本算法語句編寫的程序；根據(jù)程序畫出其相應(yīng)的程序框圖．

23、某潛艇為躲避反潛飛機(jī)的偵查，緊急下潛50m后，又以15km/h的速度，沿北偏東45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏東60°前行8min，最后擺脫了反潛飛機(jī)的偵查．試畫出潛艇整個(gè)過程的位移示意圖．24、繪制以下算法對應(yīng)的程序框圖：

第一步；輸入變量x；

第二步，根據(jù)函數(shù)f（x）=

對變量y賦值；使y=f（x）；

第三步，輸出變量y的值．25、已知簡單組合體如圖；試畫出它的三視圖（尺寸不做嚴(yán)格要求）

評卷人得分四、計(jì)算題(共4題，共36分)26、已知拋物線y=2x2-4x-1

（1）求當(dāng)x為何值時(shí)y取最小值；且最小值是多少？

（2）這個(gè)拋物線交x軸于點(diǎn)（x1，0），（x2，0），求值：

（3）將二次函數(shù)的圖象先向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度后，所得二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A，請你直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)．27、如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩個(gè)點(diǎn)A（-1，-1），B（2，3），若M為x軸上一點(diǎn)，且使MB-MA最大，求M點(diǎn)的坐標(biāo)，并說明理由．28、解方程

（1）3x2-32x-48=0

（2）4x2+x-3=0

（3）（3x+1）2-4=0

（4）9（x-2）2=4（x+1）2．29、如圖，已知在△ABC中，若AC和BC邊的長是關(guān)于x的方程x2-（AB+4）x+4AB+8=0的兩個(gè)根，且25BC?sinA=9AB．求△ABC三邊的長？評卷人得分五、證明題(共3題，共6分)30、如圖；已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點(diǎn)，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求證：

（1）AD=AE

（2）PC?CE=PA?BE．31、如圖；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點(diǎn)，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點(diǎn)G．

求證：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．32、初中我們學(xué)過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時(shí)也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設(shè)計(jì)一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設(shè)AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．評卷人得分六、綜合題(共1題，共6分)33、先閱讀下面的材料再完成下列各題

我們知道，若二次函數(shù)y=ax2+bx+c對任意的實(shí)數(shù)x都有y≥0，則必有a＞0，△=b2-4ac≤0；例如y=x2+2x+1=（x+1）2≥0，則△=b2-4ac=0，y=x2+2x+2=（x+1）2+1＞0，則△=b2-4ac＜0．

（1）求證：（a12+a22++an2）?（b12+b22++bn2）≥（a1?b1+a2?b2++an?bn）2

（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值；

（3）若2x2+y2+z2=2；求x+y+z的最大值；

（4）指出（2）中x2+y2+z2取最小值時(shí)，x，y，z的值（直接寫出答案）．參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、B【分析】

∵y=sinx在區(qū)間[]上沒有單調(diào)性；故g（x）≠1，排除選項(xiàng)C．

當(dāng)g（x）=cosx時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx+g（x）=sin（x+），在區(qū)間[]上沒有單調(diào)性；故排除選項(xiàng)A．

當(dāng)g（x）=-cosx時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx+g（x）=sin（x-），在區(qū)間[]上單調(diào)遞增；滿足條件．

由于y=-tanx在區(qū)間[]上沒有沒有單調(diào)性且在處無意義；故排除選項(xiàng)D．

綜上；只有選項(xiàng)B正確．

故選B．

【解析】【答案】經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)g（x）等于cosx、1、tanx時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx+g（x）在區(qū)間[]上都不是單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)g（x）等于-cosx時(shí)，函數(shù)f（x）=sin（x-），在區(qū)間[]上單調(diào)遞增；滿足條件．

2、D【分析】【解析】試題分析：因?yàn)閯t集合A={x|x1}，而y=f（f(x)）的定義域即為f(x)1，且得到故得到集合B，那么A∩B=B，選D.考點(diǎn)：本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解的運(yùn)用?！窘馕觥俊敬鸢浮緿3、C【分析】【解析】

試題分析：根據(jù)題意，由于關(guān)于的方程在上有根，則可知在給定區(qū)間上有交點(diǎn)，則利用只要滿足函數(shù)的極大值大于等于m即可，最小值小于等于m，而極大值即為x=1時(shí)，得到為2，最小值為-2，故可知實(shí)數(shù)的取值范圍選C.

考點(diǎn)：函數(shù)與方程。

點(diǎn)評：解決含有參數(shù)的方程根的問題，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖像與圖像的交點(diǎn)問題來解決，屬于基礎(chǔ)題?！窘馕觥俊敬鸢浮緾4、C【分析】【解析】由三視圖得空間幾何體是一個(gè)正方體挖去兩個(gè)三棱柱，其表面積為

故選

考點(diǎn)：空間幾何的三視圖；空間幾何體的表面積.【解析】【答案】C5、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D6、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C7、C【分析】【解答】解：∵cosα＜0；∴α的終邊在第二；第三象限或x軸負(fù)半軸上；

又tanα＞0；∴α的終邊在第一；第三象限．

取交集得；α的終邊在第三象限．

故選：C．

【分析】由已知cosα＜0，tanα＞0分別得到α的終邊所在象限，取交集得答案．8、A【分析】解：由題意，對于A，函數(shù)在[1；4]上單調(diào)減，所以x=1時(shí)，函數(shù)有最大值為3；

對于B；函數(shù)y=3x-2在[1，4]上單調(diào)增，所以x=4時(shí)，函數(shù)有最大值為10；

對于C，函數(shù)y=x2在[1；4]上單調(diào)增，所以x=4時(shí)，函數(shù)有最大值為16；

對于D；函數(shù)y=1-x在[1，4]上單調(diào)減，所以x=1時(shí)，函數(shù)有最大值為0；

故選A．

分別研究函數(shù)在[1；4]上的單調(diào)性，從而可確定函數(shù)的最大值．

本題考查的重點(diǎn)是函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．【解析】【答案】A9、C【分析】解：因?yàn)?0a=510b=2

所以a=lg5b=lg2

所以a+b=lg2+lg5=1

故選C．

要求a+b

則需要將a

與b

從指數(shù)上拿下來，所以先指對互化，再觀察a+b

是考察結(jié)論lg2+lg5=1

的．

該題主要考察指對互化和結(jié)論的應(yīng)用，只要能想到先化為對數(shù)問題就迎刃而解了．【解析】C

二、填空題(共8題，共16分)10、略

【分析】【分析】設(shè)t=2a-b，故b=2a-t，把b=2a-t代入a2+b2-2a-4=0，化簡得到5a2-（4t+2）a+t2-4=0，方程有根，利用根的判別式求出t的取值范圍，進(jìn)而求出2a-b的最大值與最小值之差．【解析】【解答】解：設(shè)t=2a-b，故b=2a-t；

∵a2+b2-2a-4=0；

∴a2+4a2-4at+t2-2a-4=0；

即5a2-（4t+2）a+t2-4=0；

△=（4t+2）2-20（t2-4）≥0；

解得-3≤t≤7；

故2a-b的最大值與最小值之差為7-（-3）=10．

故答案為10．11、略

【分析】【解析】試題分析：因?yàn)樗钥键c(diǎn)：本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算。【解析】【答案】12、略

【分析】試題分析：在△COD中，由余弦定理得CD2＝1＋OD2－OD，同理在△EOC、△DOE中，由余弦定理分別得CE2＝1＋OE2－OE，DE2＝OE2＋OD2＋OD·OE，代入整理得由基本不等式得所以解得即OD＋OE的最大值是考點(diǎn)：正余弦定理，基本不等式.【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

試題分析：將函數(shù)的圖像向左移動一個(gè)單位，可得函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)且因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞增且在上單調(diào)遞減且故若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與函數(shù)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，所以所求的取值范圍為

考點(diǎn)：1.對數(shù)函數(shù)；2.二次函數(shù)；3.分段函數(shù)；4.函數(shù)的零點(diǎn).【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】或或15、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】[1,+∞)/16、①③④【分析】【解答】解：①設(shè)（3，1）的原象（a，b），∵（x，y）在映射f的作用下的象是（x+2y，2x﹣y），∴a+2b=3，2a﹣b=1，∴a=1，b=1；故（3，1）的原象為（1，1），正確；

②若函數(shù)f（x）滿足f（x﹣1）=f（x+1）；則f（x）的周期為2，不正確；

③函數(shù)y=|3﹣x2|﹣a（a∈R）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；2，3，4，則m的值不可能為1，正確；

④設(shè)g（x）=3x2﹣ax+5，g（x）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，g（﹣1）≥0，∴∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣8，﹣6]，正確．

故答案為：①③④．

【分析】對4個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．17、略

【分析】解：由鈭?sin婁脕+3cos婁脕=1+(3)2sin(婁脕+婁脮)tan婁脮=鈭?3

隆脽婁脮隆脢(0,2婁脨))

隆脿婁脮=2婁脨3

則鈭?sin婁脕+3cos婁脕=2sin(婁脕+2婁脨3)

故答案為：2sin(婁脕+2婁脨3).

根據(jù)輔助角公式化解可得答案．

本題主要考察了輔助角公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．【解析】2sin(婁脕+2婁脨3)

三、作圖題(共8題，共16分)18、略

【分析】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于河CD的對稱點(diǎn)A′，當(dāng)水廠位置O在線段AA′上時(shí)，鋪設(shè)管道的費(fèi)用最?。窘馕觥俊窘獯稹拷猓鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于河CD的對稱點(diǎn)A′；連接A′B，交CD與點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為水廠位置，此時(shí)鋪設(shè)的管道長度為OA+OB．

∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于CD對稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

過點(diǎn)A′作A′E⊥BE于E；則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：鋪設(shè)管道的最省費(fèi)用為10000元．19、略

【分析】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于河CD的對稱點(diǎn)A′，當(dāng)水廠位置O在線段AA′上時(shí)，鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省．【解析】【解答】解：作點(diǎn)A關(guān)于河CD的對稱點(diǎn)A′；連接A′B，交CD與點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為水廠位置，此時(shí)鋪設(shè)的管道長度為OA+OB．

∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于CD對稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

過點(diǎn)A′作A′E⊥BE于E；則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：鋪設(shè)管道的最省費(fèi)用為10000元．20、【解答】冪函數(shù)y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定義域是[0；+∞），圖象在第一象限，過原點(diǎn)且單調(diào)遞增，如圖所示；

【分析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分別畫出題目中的函數(shù)圖象即可．21、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)計(jì)的程序框圖時(shí)需要分別設(shè)置一個(gè)累加變量S和一個(gè)計(jì)數(shù)變量i，以及判斷項(xiàng)數(shù)的判斷框．22、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】根據(jù)題目中的程序語言，得出該程序是順序結(jié)構(gòu)，利用構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用，即可畫出流程圖．23、解：由題意作示意圖如下；

【分析】【分析】由題意作示意圖。24、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】該函數(shù)是分段函數(shù)，當(dāng)x取不同范圍內(nèi)的值時(shí)，函數(shù)解析式不同，因此當(dāng)給出一個(gè)自變量x的值時(shí)，必須先判斷x的范圍，然后確定利用哪一段的解析式求函數(shù)值，因?yàn)楹瘮?shù)解析式分了三段，所以判斷框需要兩個(gè)，即進(jìn)行兩次判斷，于是，即可畫出相應(yīng)的程序框圖．25、

解：幾何體的三視圖為：

【分析】【分析】利用三視圖的作法，畫出三視圖即可．四、計(jì)算題(共4題，共36分)26、略

【分析】【分析】（1）把函數(shù)解析式利用配方法；由一般式變?yōu)轫旤c(diǎn)式，根據(jù)a大于0，拋物線開口向上，頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，y有最小值，當(dāng)x等于頂點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，y的最小值為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)；

（2）令y=0，得到一個(gè)一元二次方程，由拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可得方程的兩個(gè)根為x1，x2，由a，b及c的值；利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩個(gè)根之和與兩個(gè)根之積，把所求的式子通分后，分子再利用完全平方公式化簡，把求出的兩根之和與兩根之積代入即可求出值；

（3）根據(jù)平移規(guī)律“上加下減，左加右減”，由已知拋物線的解析式，可得出平移后拋物線的解析式．【解析】【解答】解：（1）y=2x2-4x-1=2（x2-2x+1）-2-1=2（x-1）2-3；

當(dāng)x為1時(shí)；y最小值為-3．

（2）令y=0，得2x2-4x-1=0；

由題意得：方程的兩個(gè)根為x1，x2；

∵a=2，b=-4；c=-1；

∴x1+x2=-=2，x1x2==-；

則===-10；

（3）二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位長度；

得到解析式為y=2（x-1-2）2-3，即y=2（x-3）2-3；

再向下平移1個(gè)單位長度，得y=2（x-3）2-3-1，即y=2（x-3）2-4；

則平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-4）．27、略

【分析】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'，作直線BA'交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得出MA'=MA，MB-MA=MB-MA'=A'B，再用待定系數(shù)法求出直線A'B的解析式，根據(jù)x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】【解答】解：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'；

作直線BA'交x軸于點(diǎn)M；

由對稱性知MA'=MA；MB-MA=MB-MA'=A'B；

若N是x軸上異于M的點(diǎn)；

則NA'=NA；這時(shí)NB-NA=NB-NA'＜A'B=MB-MA；

所以；點(diǎn)M就是使MB-MA的最大的點(diǎn)，MB-MA的最大值為A'B；

設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b；

則解得，，即直線A'B的解析式為；

令y=0，得，故M點(diǎn)的坐標(biāo)為（；0）．

故答案為：（，0）．28、略

【分析】【分析】（1）方程左邊的多項(xiàng)式利用十字相乘法分解因式；然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（2）方程左邊的多項(xiàng)式利用十字相乘法分解因式；然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（3）將常數(shù)項(xiàng)移到右邊；開方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（4）利用兩數(shù)的平方相等，兩數(shù)相等或互為相反數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解析】【解答】解：（1）3x2-32x-48=0；

分解因式得：（x-12）（3x+4）=0；

可得x-12=0或3x+4=0；

解得：x1=12，x2=-；

（2）4x2+x-3=0；

分解因式得：（4x-3）（x+1）=0；

可得4x-3=0=或x+1=0；

解得：x1=，x2=-1；

（3）（3x+1）2-4=0；

變形得：（3x+1）2=4；

開方得：3x+1=2或3x+1=-2；

解得：x1=，x2=-1；

（4）9（x-2）2=4（x+1）2；

開方得：3（x-2）=2（x+1）或3（x-2）=-2（x+1）；

解得：x1=8，x2=．29、略

【分析】【分析】首先由根與系數(shù)的關(guān)系可以得到AC+BC=AB+4（1），AC?BC=4AB+8（2），然后由（1）2-2（2）得AC2+BC2=AB2；

然后利用勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形，且∠C=90°，接著利用三角函數(shù)可以得到=sinA；

由25BC?sinA=9AB可以得到sinA?=，然后就可以求出sinA=，也就求出=，設(shè)BC=3k，AB=5k，由勾股定理得AC=4k，這樣利用（1）即可解決問題．【解析】【解答】解：依題意得：AC+BC=AB+4（1）

AC?BC=4AB+8（2）；

由（1）2-2（2）得：AC2+BC2=AB2；

∴△ABC是直角三角形；且∠C=90°；

在Rt△ABC中，=sinA；

由題意得：sinA?=；

∵∠A是Rt△ABC的銳角；

∴sinA＞0；

∴sinA=；

∴=；

設(shè)BC=3k；AB=5k，由勾股定理得AC=4k；

結(jié)合（1）式得4k+3k=5k+4；解之得：k=2．

∴BC=6，AB=10，AC=8．五、證明題(共3題，共6分)30、略

【分析】【分析】（1）連AC；BC；OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥PD，而AD⊥PC，則OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，則∠DAC=∠CAO，根據(jù)三角形相似的判定易證得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形相似的判定易證Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到結(jié)論．【解析】【解答】證明：（1）連AC、BC，OC，如圖，

∵PC是⊙O的切線；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB為⊙O的直徑；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC?CE=PA?BE．31、略

【分析】【分析】（1）連接AF，并延長交BC于N，根據(jù)相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，=；再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A；F、D、C四點(diǎn)共圓即可；

（2）根據(jù)已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點(diǎn)共圓，推出∠EGF=∠AND，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）證明：連接AF，并延長交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

則=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四點(diǎn)共圓；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四點(diǎn)共圓；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．32、略

【分析】【分析】（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαc