第09講 四邊形（含答案詳解）-全國重點(diǎn)高中自主招生大揭秘

四邊形一、單選題1．（2023春·浙江寧波·九年級校聯(lián)考競賽）已知：a、b是正數(shù)，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2020·江西南昌·八年級競賽）如圖，四邊形是菱形，對角線，，于點(diǎn)，則的長（

）A． B． C． D．3．（2020·江西南昌·八年級競賽）在四邊形ABCD中，將下列條件中的任意兩個進(jìn)行組合，可以判定它是平行四邊形的有（）組．（1）AB∥CD（2）AD∥BC（3）AB=CD（4）AD=BC（5）∠A=∠C（6）∠B=∠DA．7 B．8 C．9 D．104．（2017·全國·八年級競賽）梯形ABCD中，AD//BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，則梯形的面積為（

）A． B． C． D．5．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考三模）如圖，矩形的邊在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊，點(diǎn)C，D在第一象限，，，點(diǎn)P在邊上運(yùn)動，若b取某個確定的值時，使得是等腰三角形的點(diǎn)P有三個可能位置，則b的取值范圍是（

）A． B．C． D．，且6．（2023春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形的邊長為1，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且，點(diǎn)F是邊上一個動點(diǎn)，連接EF，以為邊作菱形，且，連接，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，在點(diǎn)F從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中，點(diǎn)運(yùn)動所走的路徑長為（

）A． B．1 C． D．二、解答題7．（2023春·浙江寧波·九年級校聯(lián)考競賽）如圖，在△ABC外分別以AB，AC為邊作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，AM是△ABC中BC邊上的中線，延長MA交EG于點(diǎn)H．求證：（1）AMEG；（2）AH⊥EG；（3）EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．8．（2022春·湖南長沙·八年級校聯(lián)考競賽）某同學(xué)對矩形紙片ABCD進(jìn)行了如下的操作：如圖，先沿直線AG折疊，使點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)P處，再沿直線CH折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)Q處．若，，求四邊形的面積．9．（2020·江西南昌·八年級競賽）如圖，在中，，，，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動的時間是秒（）．過點(diǎn)作于點(diǎn)F，連接DE，EF．(1)求證：；(2)四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的值，如果不能，說明理由；(3)當(dāng)為何值時，為直角三角形？請說明理由．10．（2020·江西南昌·八年級競賽）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，連接CE，把△BCE沿CE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．（1）當(dāng)B′在邊CD上時，如圖①所示，求證：四邊形BCB′E是正方形；（2）當(dāng)B′在對角線AC上時，如圖②所示，求BE的長．11．（2020·江西南昌·八年級競賽）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：AB=CF；(2)當(dāng)BC與AF滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABFC是矩形，并說明理由．12．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考一模）已知正方形和等腰直角三角形，，連接，，，，點(diǎn)G，H，I分別為線段，，的中點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B，A，F(xiàn)在一條直線上時，請直接寫出線段與的關(guān)系；(2)如圖2，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，判斷線段與的關(guān)系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，，，，的面積分別為，，．①請直接寫出與大小關(guān)系；②直接寫出的值．13．（2023春·四川德陽·八年級四川省德陽市第二中學(xué)校校考期中）如圖，四邊形為矩形，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)坐標(biāo)是，點(diǎn)坐標(biāo)是，矩形沿直線折疊，點(diǎn)落在邊上的處，、分別在、上，直線解析式為，點(diǎn)的坐標(biāo)是．(1)求出的值；(2)若直線平行于直線，交軸于點(diǎn)，求直線的解析式；(3)點(diǎn)在軸上，直線上是否存在點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．14．（2023春·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的直角頂點(diǎn)在軸的正半軸上，A點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)以每秒個單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)向終點(diǎn)運(yùn)動，同時動點(diǎn)以每秒個單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)向終點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)，同時到達(dá)終點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，以，為邊構(gòu)造?設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為秒．(1)______，點(diǎn)的坐標(biāo)是______（用含的代數(shù)式表示）；(2)在點(diǎn)，運(yùn)動過程中，是否存在直線將?的面積分成：的兩部分？若存在，則求出此時的值；若不存在，請說明理由．(3)若，交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，的值是______（直接寫出答案）．15．（2023春·湖南長沙·八年級湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）定義：對于給定的一次函數(shù)（，k、b為常數(shù)），把形如（，k、b為常數(shù)）的函數(shù)稱為一次函數(shù)（，k、b為常數(shù)）的衍生函數(shù)．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．(1)點(diǎn)在一次函數(shù)的衍生函數(shù)圖象上，則________；(2)如圖，一次函數(shù)（，k、b為常數(shù)）的衍生函數(shù)圖象與交于M、N、P、Q四點(diǎn)，其中P點(diǎn)坐標(biāo)是，并且，求該一次函數(shù)的解析式．(3)一次函數(shù)（，k、b為常數(shù)），其中k、b滿足．①請問一次函數(shù)的圖象是否經(jīng)過某個定點(diǎn)，若經(jīng)過，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由；②一次函數(shù)（，k、b為常數(shù)）的衍生函數(shù)圖象與恰好有兩個交點(diǎn)，求b的取值范圍．三、填空題16．（2022春·湖南長沙·八年級校聯(lián)考競賽）已知長分別為14，13，9，7的四條線段可以構(gòu)成梯形，則在所有可能構(gòu)成的梯形中，連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段長度的最大值是_______．17．（2022春·湖南長沙·八年級校聯(lián)考競賽）如圖，P為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，其中∠BAC=90°，并且PA=3，PB=7，PC=9，則BC的最大值為________．18．（2022春·湖南長沙·八年級長沙市長郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？几傎悾┤鐖D，P為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，其中，并且，，，則的最大值為_______．19．（2020·江西南昌·八年級競賽）若順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得四邊形為矩形，則四邊形ABCD的對角線AC、BD之間的關(guān)系為_____．20．（2020·江西南昌·八年級競賽）如圖，P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且△PAB是等邊三角形，則∠PDC的度數(shù)為______．21．（2020·江西南昌·八年級競賽）如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在線段CB的延長線上，連接DE交AB于點(diǎn)F，∠AED=2∠CED，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，若BE=2，DF=8，則AB的長為______．22．（2020·江西南昌·八年級競賽）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一定點(diǎn)，且BE=5，EC=7，點(diǎn)P是BD上的一動點(diǎn)，則PE+PC的最小值是______．23．（2023春·浙江舟山·八年級校聯(lián)考期中）如圖，有一張平行四邊形紙條，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，．現(xiàn)將四邊形沿折疊，使點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)，上．當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時，線段的長為___________．在點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，若邊與邊交于點(diǎn)M，則點(diǎn)相應(yīng)運(yùn)動的路徑長為___________．24．（2023春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，平行四邊形的對角線，交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，且．設(shè)，連接；若，，則平行四邊形的面積為______；設(shè)，則與滿足的關(guān)系式為______．參考答案：1．A【分析】如圖，將的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值問題，利用軸對稱的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，代入，得：，構(gòu)造如下圖形，如圖，其中，，，在上取一點(diǎn)使，可得，在中，根據(jù)勾股定理得：，在中，根據(jù)勾股定理得：，則，∴當(dāng)?shù)闹底钚r，的值最小，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，則：，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，的值最小，即為的長，延長，過作垂直于的延長線，垂足為，則，四邊形為矩形，∴，，∴，在中，由勾股定理，得：；∴的最小值為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵，是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何模型，利用軸對稱的性質(zhì)，解決線段和最小問題．2．A【分析】由菱形對角線和邊長組成一個直角三角形，由勾股定理可得菱形的邊長，再利用面積相等建立等式，即可求解高DH的長．【詳解】解：∵在菱形ABCD中：AC⊥BD，OA=AC=4cm，OB=BD=3cm，∴,在Rt△AOB中，OA=4cm，OB=3cm，∴AB==5（cm），菱形的面積S=AC?BD=AB?DH，即×8×6=5×DH，解得DH=cm，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)和菱形的面積，熟練掌握“菱形的對角線互相垂直平分，菱形的面積等于對角線乘積的一半”是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】根據(jù)平行四邊形的5種判定方法，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有(1)(2)，(1)(3)，(1)(5)，(1)(6)，(2)(4)，(2)(5)，(2)(6)，(3)(4)，(5)(6)；【詳解】能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有：(1)(2)，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；(1)(3)，(2)(4)，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(3)(4)，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(5)(6)，兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；(1)(5)，(1)(6)，(2)(5)，(2)(6)，這幾組都是一組對邊平行，一組對角相等，由這個條件可以推導(dǎo)出另一組對邊平行(或另一組對角相等)，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形(或兩組對角分別相等的四邊形)是平行四邊形可得到平行四邊形；綜上，共有9組，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢的障礙，運(yùn)用發(fā)散思維，多方思考，探究問題在不同條件下的不同結(jié)論，挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系，向“縱、橫、深、廣”拓展，從而尋找出添加的條件和所得的結(jié)論．在四邊形中如果有：①四邊形的兩組對邊分別平行；②一組對邊平行且相等；③兩組對邊分別相等；④對角線互相平分；⑤兩組對角分別相等．則四邊形是平行四邊形．4．A【分析】作梯形的兩條高線，根據(jù)勾股定理求出高的長度，由梯形面積公式求解.【詳解】如圖，過A、D作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足為E、F.∴AD=EF=1,AE=DF,設(shè)BE=x，則CF=4-1-x=3-x,在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE2=AB2-BE2,∴AE2=32-x2,在Rt△DFC中，由勾股定理得，DF2=DC2-CF2,∴DF2=22-(3-x)2,∴32-x2=22-(3-x)2,解得，x=，∴AE=,S梯形ABCD=故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查梯形面積公式，涉及高線的求法，用勾股定理求高是解答此題的關(guān)鍵.5．D【分析】矩形中，，則，得，由是等腰三角形，分、、討論，找到臨界值，再分析是等邊三角形的情況，即可求解．【詳解】解：矩形中，，，則，，，是等腰三角形，如圖：當(dāng)，且重合時，在中，，，，，，解得：或（不合題意，舍去）；如圖：當(dāng)，且重合時，在中，，，，，，解得：或（不合題意，舍去）；如圖：當(dāng)，在的垂直平分線上，與恒有一個交點(diǎn)，如圖：當(dāng)為等邊三角形時，即，過作軸于，根據(jù)等邊三角形三線合一易得：，；綜上所述：，且，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意分類討論并排除等邊三角形的情況．6．A【分析】當(dāng)與重合時為，當(dāng)與重合時為，當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動到時，的運(yùn)動軌跡為線段，連接，，，，可證，從而可證，由、分別是、的中點(diǎn)，即可求解．【詳解】解：如圖，當(dāng)與重合時為，當(dāng)與重合時為，當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動到時，的運(yùn)動軌跡為線段，連接，，，，四邊形和四邊形是菱形，，，，均是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，同理可證：，，在和中，，，，、分別是、的中點(diǎn)，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，根據(jù)題意找出動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．7．（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析【分析】（1）延長AM到點(diǎn)N，使MN＝MA，連接BN，先證得△MBN≌△MCA，得到∠BNM＝∠CAM，NB＝AC，從而得到BN∥AC，NB＝AG，進(jìn)一步得到∠NBA＝∠GAE，根據(jù)SAS證得△NBA≌△GAE，即可證得結(jié)論；（2）由△NBA≌△GAE得∠BAN＝∠AEG，進(jìn)一步求得∠HAE+∠AEH＝90°，即可證得∠AHE＝90°，得到AH⊥EG；（3）連接CE、BG，易證△ACE≌△ABG，得出CE⊥BG，根據(jù)勾股定理得到EG2+BC2＝CG2+BE2，從而得到2（AB2+AC2）．【詳解】（1）證明：延長AM到點(diǎn)N，使MN＝MA，連接BN，∵AM是△ABC中BC邊上的中線，∴CM＝BM，在△MBN和△MCA中∴△MBN≌△MCA（SAS），∴∠BNM＝∠CAM，NB＝AC，∴BN∥AC，NB＝AG，∴∠NBA+∠BAC＝180°，∵∠GAE+∠BAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠NBA＝∠GAE，在△NBA和△GAE中∴△NBA≌△GAE（SAS），∴AN＝EG，∴AMEG；（2）證明：由（1）△NBA≌△GAE得∠BAN＝∠AEG，∵∠HAE+∠BAN＝180°﹣90°＝90°，∴∠HAE+∠AEH＝90°，∴∠AHE＝90°，即AH⊥EG；（3）證明：連接CE、BG，∵四邊形ACFG和四邊形ABDE是正方形，∴AC=AG，AB=AE，∠CAG=∠BAE=90°，∴∠BAG=∠CAE，∴△ACE≌△ABG∴CE⊥BG，∴EG2+BC2＝CG2+BE2，∴EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．8．【分析】由折疊的性質(zhì)可知AP=AB=5，BG=PG，∠B=∠APG=90°，CQ=CD=5，由勾股定理可得AC=13，然后可得CP=8，設(shè)CG=x，則BG=PG=12-x，進(jìn)而根據(jù)勾股定理建立方程求解x，最后問題可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，，，∴，，∴，由折疊的性質(zhì)可知AP=AB=5，BG=PG，∠B=∠APG=90°，CQ=CD=5，∴CP=8，∠CPG=90°，設(shè)CG=x，則BG=PG=12-x，∴由勾股定理可得：，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．(1)證明見解析；(2)t=10；(3)當(dāng)t=或12時，△DEF為直角三角形，理由見解析．【分析】（1）由題意得∠BCA=30°，CD=4tcm，AE=2tcm，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得DF=DC=2tcm，即可得到AE=DF；（2）由AE=AD，得四邊形AEFD為菱形，得2t=60-4t，進(jìn)而求得t的值；（3）分∠EDF=90°、∠DEF=90°兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列出算式，計算即可．【詳解】（1）證明：由題意可知CD=4tcm，AE=2tcm，∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠C=30°，∴DF=DC=2tcm．∵AE=2tcm，DF=2tcm，∴AE=DF．（2）解：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴．∵AE=DF，，∴四邊形AEFD為平行四邊形，∴要使平行四邊形AEFD為菱形，則需AE=AD，即2t=60-4t，解得t=10，∴當(dāng)t=10時，四邊形AEFD為菱形，故答案為：10．（3）當(dāng)∠EDF=90°時，如圖①，∵DF⊥BC，AB⊥BC，∴，∴四邊形DFBE為矩形．∴∴AD=2AE，即60-4t=2t×2，解得，t=，當(dāng)∠DEF=90°時，如圖②，∵，∴DE⊥AC，∴．∴AE=2AD，即2t=2×（60-4t），解得，t=12，綜上所述，當(dāng)t=或12時，△DEF為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（1）證明見解析；（2）3【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得BE＝E，BC＝C，∠BCE＝∠CE，然后根據(jù)等角對等邊證出BC＝BE＝C＝B'E，從而證出四邊形BCE是菱形，然后根據(jù)正方形的判定即可證出結(jié)論；（2）利用勾股定理求出AC，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)可得C＝BC＝6，BE＝E，然后利用勾股定理即可求出結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵BCE沿CE折疊，∴BE＝E，BC＝C，∠BCE＝∠CE，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DCB＝90°＝∠B．∴∠BCE＝45°且∠B＝90°．∴∠BEC＝∠BCE＝45°．

∴BC＝BE．∵BE＝E，BC＝C，∴BC＝BE＝C＝B'E．∴四邊形BCE是菱形．又∵∠B＝90°，

∴四邊形BCE是正方形．（2）∵AB＝8，BC＝6，

∴根據(jù)勾股定理得：AC＝10．∵BCE沿CE折疊，

∴C＝BC＝6，BE＝E，∴A＝4，AE＝AB﹣BE＝8﹣E，在RtAE中，AE2＝A2+E2，∴（8﹣E）2＝16+E2，解得：E＝3，

∴BE＝E＝3．【點(diǎn)睛】此題考查的是矩形與折疊問題，掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、正方形的判定和勾股定理是解決此題的關(guān)鍵．11．(1)見解析；(2)當(dāng)BC=AF時，四邊形ABFC是矩形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到兩角一邊對應(yīng)相等，利用AAS判定△ABE≌△FCE，從而得到AB=CF；（2）由已知可得四邊形ABFC是平行四邊形，BC=AF，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，可得到四邊形ABFC是矩形．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴，，∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE=EC，∴△ABE≌△FCE，∴AB=CF；(2)解∶當(dāng)BC=AF時，四邊形ABFC是矩形．理由如下∶∵AB∥CF，AB=CF，∴四邊形ABFC是平行四邊形，∵BC=AF，∴四邊形ABFC是矩形．12．(1)且(2)且，理由見詳解(3)①，②【分析】（1）連接，延長交于，可證，結(jié)合三角形中位線即可求解；（2）連接交于，與交于，可證，結(jié)合三角形中位線即可求解；（3）①過作，交的延長線于，過作，可證，即可求解；②可求，由即可求解．【詳解】（1）解：且，如圖，連接，延長交于，四邊形是正方形，，，，是等腰直角三角形，，在和中，()，，，點(diǎn)G，H，I分別為線段，，的中點(diǎn)，，，，，；，，，，，，；故且．（2）解：且，如圖，連接交于，與交于，由（1）得：，，，在和中，()，，，點(diǎn)G，H，I分別為線段，，的中點(diǎn)，，，，，；，，，，，，；故且．（3）解：①，如圖，過作，交的延長線于，過作，，，，，在和中，（），，，，又，．②，由（2）得：，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形中位線定理，面積轉(zhuǎn)換，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(1)(2)(3)存在，或或【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線解析，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)直線平行于直線，可設(shè)直線解析式，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理確定，再代入即可；（3）本問關(guān)鍵是確定平行四邊形的位置與形狀．因?yàn)椤⒕鶠閯狱c(diǎn)，只有已經(jīng)確定，所以可從此入手，按照為平行四邊形的一邊、為平行四邊形的對角線的思路，順序探究可能的平行四邊形的形狀．確定平行四邊形的位置與形狀之后，利用全等三角形求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用直線解析式求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵直線解析式為，點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴，∴，∴直線解析式為，∴的值為．（2）∵點(diǎn)坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴，，，∵矩形沿直線折疊，點(diǎn)落在邊上的處，∴，，，∴，∴，∴，∵直線平行于直線，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為．（3）若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則可能存在以下情形：①如圖1所示，為平行四邊形的一邊，且點(diǎn)在軸正半軸上，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，延長交軸于點(diǎn)，設(shè)，∴，∵，，∴，∵四邊形為矩形，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，∴，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)：，∵直線解析式為，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)：，∴；②如圖1所示，為平行四邊形的一邊，且點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，延長交軸于點(diǎn)，設(shè)，∴，∵，，∴，∵四邊形為矩形，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，∴，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)：，∵直線解析式為，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)：，∴；③如圖3所示，為平行四邊形的對角線，過點(diǎn)作延長線的垂線，垂足為，設(shè)，∴，∵，，∴，∵四邊形為矩形，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，∴，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，∵直線解析式為，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，∴；綜上所述，存在點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)系中一次函數(shù)與平面圖形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)（直線）解析式，矩形，平行四邊形，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)．難點(diǎn)在于第（3）問，這是一個存在性問題，注意平行四邊形有三種可能的情形，需要一一分析并求解，避免遺漏．根據(jù)題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．14．(1)(2)存在，的值為或(3)或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得，再根據(jù)題意可得、，進(jìn)而求得、即可解答；（2）先根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)確定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后構(gòu)造平行四邊形，進(jìn)而求得點(diǎn)N的坐標(biāo)；然后分直線與交于點(diǎn)和直線與交于點(diǎn)兩種情況，分別根據(jù)面積和中點(diǎn)的定義即可解答；（3）由平行四邊形的性質(zhì)可得，進(jìn)而確定、；再根據(jù)旋轉(zhuǎn)和對稱的性質(zhì)可得，再求直線的解析式；然后說明是以為腰的等腰三角形，再分和兩種情況，分別列方程求解即可．【詳解】（1）解：點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，由題意得：，，，，．故答案為：，．（2）解：存在．理由如下：點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，以，為邊構(gòu)造平行四邊形，，，，當(dāng)直線與交于點(diǎn)時，如圖，直線將?的面積分成：的兩部分，，，，，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，點(diǎn)在直線上，，解得：．當(dāng)直線與交于點(diǎn)時，如圖，直線將?的面積分成：的兩部分，，，，，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，，直線的解析式為，點(diǎn)在直線上，，解得：．綜上所述，的值為或．（3）解：∵四邊形是平行四邊形，，，，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得，且，直線的解析式為，、關(guān)于對稱，，，直線的解析式為，把代入，得，解得：，直線的解析式為，設(shè)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，直線的解析式為，把代入，得：，解得：，，，，，是以為腰的等腰三角形，或，當(dāng)時，，解得：，，，當(dāng)時，，解得：，綜上所述，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，的值是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、平行四邊形的性質(zhì)、求一次函數(shù)解析式、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合和分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．15．(1)1或(2)(3)①過定點(diǎn)，；②或且【分析】（1）根據(jù)衍生函數(shù)的定義可知一次函數(shù)的衍生函數(shù)為．再分類討論：當(dāng)時和當(dāng)時，求解即可；（2）根據(jù)題意可求出一次函數(shù)的衍生函數(shù)圖象過點(diǎn)，即得出，從而得出一次函數(shù)的衍生函數(shù)為．由題意可知，，即可求出點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為、、，進(jìn)而可求出，，，結(jié)合三角形和梯形的面積公式可列出關(guān)于k的方程，解出k的值，即可求解；（3）①根據(jù)題意可得，代入并整理，得：，即說明過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為；②由①可知：一次函數(shù)的衍生函數(shù)圖象經(jīng)過定點(diǎn)和，其解析式為：，且點(diǎn)在內(nèi)．設(shè)衍生函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)沿軸向上平移過程中，當(dāng)衍生函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A時，與有三個交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知時，衍生函數(shù)圖象恰好與有兩個交點(diǎn)，符合題意；點(diǎn)沿軸繼續(xù)向上平移，當(dāng)衍生函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)時，與有三個交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知且時，衍生函數(shù)圖象恰好與有兩個交點(diǎn)，符合題意．【詳解】（1）解：根據(jù)衍生函數(shù)的定義可知一次函數(shù)的衍生函數(shù)為．分類討論：當(dāng)時，則，解得：；當(dāng)時，則，解得：．∴或．故答案為：1或；（2）解：根據(jù)題意得，當(dāng)時，一次函數(shù)的衍生函數(shù)圖象過點(diǎn)代入得：，即，∴一次函數(shù)的衍生函數(shù)為．∵，，∴，，，解得：，，，∴點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為、、，∴，，∴，．，，解得：，代入檢驗(yàn)是方程的解，將代入，解得，該一次函數(shù)的解析式為；（3）解：①，，代入，得：，∵當(dāng)時，，過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為；②由①可知：一次函數(shù)的衍生函數(shù)圖象經(jīng)過定點(diǎn)和，其解析式為：，且點(diǎn)在內(nèi)．設(shè)衍生函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)沿軸向上平移過程中，當(dāng)衍生函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A時，與有三個交點(diǎn)，如圖，將代入，解得：，，時，衍生函數(shù)圖象恰好與有兩個交點(diǎn)，符合題意；點(diǎn)沿軸繼續(xù)向上平移，當(dāng)衍生函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)時，與有三個交點(diǎn)，如圖，且時，衍生函數(shù)圖象恰好與有兩個交點(diǎn)，符合題意．當(dāng)或且時，衍生函數(shù)圖象恰好與有兩個交點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，分式方程的實(shí)際應(yīng)用等知識．理解衍生函數(shù)的定義，并利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．16．10.5【分析】分別以這四條線段為梯形的四條邊進(jìn)行分類討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)這個梯形的上底和下底分別為7和9時，則如圖所示：過點(diǎn)A、C分別作AF⊥BC，CE⊥AD，由題意得：AD∥BC，AD=7，BC=9，AB=14，CD=13，∴AF=CE，AE=CF，設(shè)AE=CF=x，則有DE=7-x，BF=9-x，在Rt△AFB中，由勾股定理得：，在Rt△DEC中，由勾股定理得：，∴，解得：，∴此情況符合題意，則取AB、CD的中點(diǎn)M、N，∴；當(dāng)這個梯形的上底和下底分別為7和13時，則AB=14，CD=9，如圖所示：同理可得：，解得：，∴此種情況符合題意，即；當(dāng)這個梯形的上底和下底分別為7和14時，則AB=13，CD=9，如圖所示：同理可得：，解得：，∴此種情況符合題意，即；當(dāng)這個梯形的上底和下底分別為9和13時，則AB=14，CD=7，如圖所示：同理可得：，解得：，∴此種情況不符合題意；當(dāng)這個梯形的上底和下底分別為9和14時，則AB=13，CD=7，同理可知也不符合題意；當(dāng)這個梯形的上底和下底分別為14和13時，則AB=9，CD=7，同理可知也是不符合題意；∴綜上所述：當(dāng)以這四條邊作為梯形的邊長，兩腰的中線最大值為10.5；故答案為10.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查梯形中位線及勾股定理，熟練掌握梯形中位線及勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．14【分析】過P點(diǎn)分別作PD⊥AB于D、PF⊥AC于F，再過B作BG⊥PF于G，過C作CE⊥PD于E，交BG于H，再結(jié)合矩形的性質(zhì)和勾股定理即可求BC的最大值．【詳解】解：如圖，過P點(diǎn)分別作PD⊥AB于D、PF⊥AC于F，再過B作BG⊥PF于G，過C作CE⊥PD于E，交BG于H，連接AH、PH∵∠BAC=90°，∴四邊形ADPF、四邊形ADEC、四邊形ABGF、四邊形PGHE、四邊形ABHC都是矩形∴PD=BG，PF=AD=EC，PG=HE，BC=AH∴∴∵PA=3，PB=7，PC=9∴，解得∵△PAH中，PA=3，∴∵當(dāng)A、P、H三點(diǎn)共線時∴當(dāng)A、P、H三點(diǎn)共線時最大故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和勾股定理，構(gòu)造矩形是解題的關(guān)鍵．18．【分析】如圖所示，作矩形ABDC，連接AD，過點(diǎn)P作PG⊥BD，延長GP交AC于H，作PF⊥CD于F，延長FP交AB于E，先證明四邊形AEFC，四邊形EFDB是矩形，得到AE=CF，BE=DF，然后利用勾股定理證明，求出，再由進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示，作矩形ABCD，連接AD，過點(diǎn)P作PG⊥BD，延長GP交AC于H，作PF⊥CD于F，延長FP交AB于E，∴四邊形AEFC，四邊形EFDB是矩形，∴AE=CF，BE=DF，∴，，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)P、A、D三點(diǎn)共線時，BC有最大值，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確作出輔助線，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出．19．AC⊥BD．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)、三角形的中位線定理和平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】解：如圖，設(shè)四邊形EFGH是符合題意的中點(diǎn)四邊形，則四邊形EFGH是矩形，∴∠FEH＝90°，∵點(diǎn)E、F分別是AD、AB的中點(diǎn)，∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD，∴∠FEH＝∠OMH＝90°，又∵點(diǎn)E、H分別是AD、CD的中點(diǎn)，∴EH是△ACD的中位線，∴EH∥AC，∴∠OMH＝∠COB＝90°，即AC⊥BD．故答案為AC⊥BD．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形的中位線定理和平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理是解此題的關(guān)鍵.20．15°【分析】先求得∠PAB=60°，從而可得到∠DAP=30°，然后依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求得∠ADP的度數(shù)，最后由∠PDC=∠ADC-∠ADP求解即可．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∵△PAB是等邊三角形，∴∠PAB=∠PBA=60°，PA=PB=AB，∴∠DAP=∠CBP=30°，AD=AP，∴∠ADP=×(180°-30°)=75°，∴∠PDC=90°