初一數(shù)學(xué)-《因式分解500題》

因式分解計(jì)算500題

使用說(shuō)明：本專題的制作目的是提高學(xué)生在因式分解這一部分的計(jì)算能力。

共分了十一個(gè)模塊：

①提公因式法（60題）

②公式法（100題）

③十字相乘法（100題）

④分組分解法（50題）

⑤拆添項(xiàng)法（50題）

⑥換元法（30題）

⑦主元法（20題）

⑧雙十字相乘法（30題）

⑨因式定理與試根法（20題）

⑩待定系數(shù)法（20題）

何輪換式與對(duì)稱式（20題）

共500題

建議先仔細(xì)研究方法總結(jié)、易錯(cuò)總結(jié)和例題解析，再進(jìn)行鞏固練習(xí).

易錯(cuò)總結(jié)：因式分解結(jié)果的書(shū)寫(xiě)規(guī)范

①若不特別說(shuō)明，分解因式的結(jié)果必須是每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止;

②結(jié)果一定是乘積的形式；

③每一個(gè)因式都是整式；

④沒(méi)有大括號(hào)和中括號(hào)；

⑤每個(gè)因式中不能含有同類項(xiàng)，若有需要合并的同類項(xiàng)，合并后要注意能否再分解；

⑥單項(xiàng)式因式寫(xiě)在多項(xiàng)式因式前面；

⑦每個(gè)因式第一項(xiàng)系數(shù)一般不為負(fù)數(shù)；

⑧形式相同的因式寫(xiě)成品的形式

模塊一提公因式法

方法總結(jié)：

公因式：一個(gè)多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都含有的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因式

提取公因式法

如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么可以把該公因式提取出來(lái)作為多項(xiàng)式的一個(gè)因式，提出公

因式后的式子放在括號(hào)里，作為另一個(gè)因式，這種分解因式的方法叫做提取公因式法

提取的公因式應(yīng)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)（系數(shù)都是整數(shù)時(shí)）與各項(xiàng)都含有的相同字母的最低次暴

的積

易錯(cuò)總結(jié)：

提公因式時(shí)，可以將全部的公因式一次提出，也可以分多次遑出，但一定要保證最后的結(jié)果不能繼

續(xù)分解

\1/

例題解析：

分解因式：6P(p+q)-4q(p+q)

解：原式=2(p+q)(3p-2q)????【提出公因式2(p+q)】

鞏固練習(xí)：

1.因式分解：a2—6a

2.用提公因式法因式分解：m2+2m

3.分解因式:2a2—6a

4.分解因式：12ab-6b

5.分解因式：16ab2—48。2力

6.分解因式：3a2b+6帥2

7.因式分解：a2x2-ax

8.分解因式：3p2-6pq

9.分解因式：12abe-3加2

10.用提公因式法因式分解：2a2b3+6泌2

11.因式分解：2a(Q-b)-b(b-a)

12.分解因式：a(x-y)-b(y-x)

\2/

13.因式分解：3x(a-b)-6y(b-a)

14.分解因式：3m(b-c)-2n(c—b)

15.分解因式:x(x—a)+y(a—x)

16.因式分解：ap-aq+am

17.分解因式：m2+6mn+9m

18.分解因式：2x2—4xy+2x

19.因式分解：-4m3+16機(jī)2-26m

20.分解因式：6x2-9xy+3x

21.分解因式：一8a2b-2ab+6b2

22.因式分解：-14abe-7必+49ab2c

23.分解因式：—4x2y3+6x2y-8xy2

24.分解因式：&2y+，3y2+，Xy2

\3/

25.因式分解：-4%3y2+6%2y3-12X2y2

26.分解因式：—6abc—14Q2匕3+12。38

27.分解因式：-26xy3z2+13xy2z2十52x5y2z4

28.因式分解:2（〃

29.分解因式：（a-3）2-（2a-6）；

30.分解因式：18b（b-。）2-12（。一匕尸

31.因式分解:10a(x—y)24-5ax(y—x)

32.計(jì)算：(x+y)2-(x+y)(x-y)

33.分解因式：(m+l)(m-1)+(m-1)

\4/

34.分解因式：a-1+a2（i_a）

35.分解因式:4x(a2+x2)—a2—x2

36.分解因式：4a(x—2)2—2b(2—x)3

37.因式分解：4(Q+1)2-2(Q+1)(Q-1)

38.分解因式:a(a+b)(a—b)—a(a+b)2

39.分解因式：(m+n)(x-y)-(m+n)(^+y)

40.分解因式:16m(m—n)2+56(n—m)3

41.分解因式：5a2b(x—y)3-30ab2(y—x)2

42.分解因式:6(m—7i)3+12(n—m)4

\5/

43.分解因式：m(m-n)5+n(n-m)5

44.分解因式：Q(1—b+/?2)-1+8一核

45.將下列各式因式分解：

①5a3b(a-b>-10a4b33-a)2.

②(b-a)2+a(a-b)4-b(b-a)：

③(3a-4b)(7a-8b)+(Ila-126)(86-7a)

46.分解因式：x(b+c-d)-y(d-b-c)-c-b+d

46.分解因式：(2a+3b)[a-2b)-(3a+2b)(2b-a)

48.分解因式：(2x-3y)(3x-2y)+(2y-3x)(2無(wú)4-3y)

49.分解因式：x(x-y)2(a-b)-(y-x)2(b-a)

\6/

50.分解因式：(2x+y)3-(2x+y)2+(2x+y)

32545

51.分解因式：24x2y3z4(a-b)2-20xyz\a-by+8xyz(a-by

52.分解因式：x3(x+y-z)(v+z—a)+x2z(z—x-y)+x2y(^z-x-y)(x—z-a)

53.分解因式：18加+1-24/

54.分解因式:(a—b)2n+1+(b—a)2n-x2

55.分解因式：—2(y—x)2n+4(x—y)2n-1

\7/

56.分解因式：3%2yHi-式盯2nz（n為大于1的自然數(shù)）

57.分解因式:4a2n+1bm-6an+2b,n-1(m>n為分于1的自然數(shù))

58.分解因式：15a(a—b)2"i—10ab(b-a%(n為正整數(shù))

n1n+1

59.分解因式：-4m"?i3n+127n3nzi2n-2-2m~n日為大于3的自然數(shù))

60.分解因式：(％-y)2n+1-(x-z)(x-y)2n+2(y-x)2n(y-z)(其中n是正整數(shù))

\8/

模塊二公式法

公式法共計(jì)100道題，包含：

25道平方差公式（第125題）；

25道和的完全平方公式（第25-50題）：

20道差的完全平方公式（第51-70題）；

8道立方和公式（第70-78題：）；

12道立方差公式（第78-90題）；

10道“完全立方公式/三元完全平方公式/歐拉公式“（第91-100題）.

方法總結(jié)：

1.因式分解時(shí)常先提取公因式，再使用公式法

2.涉及公式：

平方差公式：（a+b）（j）=d-〃

完全平方公式：（a±bf=a2±2ab+lr

立方和公式：（“+”）（J-。Z?+父）=/+分

立方差公式：（a-h）^a2+出?+〃）=/一b3

完全立方公式：±/＞）'=a3±3a~b+3ab2±b3

三項(xiàng)完全平方公式：+匕+c）~=a2+分+c2+2ab+2bc+2ca

歐拉公式：癥+護(hù)+/-3〃/?c=（〃+/?+c）（〃2+b2+c2-ab-bc-cci]

易錯(cuò)總結(jié)：

1.運(yùn)用公式時(shí)，防范公式混淆

2.注意因式分解書(shū)寫(xiě)規(guī)范，尤其是結(jié)果分解要完全，相同因式要寫(xiě)成箱的形式，單項(xiàng)式要寫(xiě)在多項(xiàng)

式前面

例題解析：

分解因式：（1-Q）2—1+2b—

爐.解：

原式=（1-。￥-（1-by……【后三項(xiàng)應(yīng)用“和的完全平方公式”】

=（1-Q+1—b）（l-a-1+b）……【應(yīng)用"平方差公式”】

=（2-Q—bX-a+b）...............【分解要完全】

鞏固練習(xí)：

1.分解因式：a2-4b2

\9/

2.分解因式：%2.9y2

3.分解下列因式：9a2—1.

4.因式分解4%2-9y2.

5.因式分解：25x2-16y2

6.分解因式：a-4ab2.

7.分解因式：一。4+16.

8.因式分解：1一出

9.因式分解：4x2-64.

10.分解因式：9-a2+4ab-4b2.

11.把下列各式因式分解：4(m+n)2-9(m-n)2.

12.因式分解：(a+1)2-。-2)2.

13.分解因式：4n2-(m+ri)2.

\10/

14.分解因式：(4x-3y尸-16y2.

15.分解因式：(3a-2b＞一(2a+3b產(chǎn)

16.分解因式:02+4)2—16m2.

17.分解因式：m2-25+9n2+6mn.

18.分解因式:(Q—4b)(a+b)+3cib.

19.分解因式：16(a+b)2-9(a-b)2.

20.分解因式：a2(x—y)2-b2(y-%)2；

21.因式分解：x4-16.

22.分解因式：a4-81.

23.分解因式：2y4—32.

24.分解因式：(m-n)2m+l—(m-n)2m-l

\11/

25.分解因式：（Q+by+（a+療—（c+d）2一（b+d）2.

26.因式分解：a?+4ab+4b2

27.分自平囚式：16a4+8a2+1.

28.分解因式：-9x2-24xy-16yz.

29.分解因式:16a4+24a2b2+9a.

30.分解因式：2N+2X+L

2

31.分解因式:5+2xy+2y2.

2

32.因式分解:3a2+6ab+3b2.

33.因式分解：QN+4ax+4a

34.因式分解：9a3+6a2b+ab2.

35.因式分解：3%2y2+12初+12.

\12/

36.分解因式：12a2b+12ab2+3〃.

37.因式分解：2axs+Qax3+8ax.

38.(x-y)24-10(%—y)+25.

39.分解因式：x2+2x(y-z)4-(y-z)2.

40.分解因式:9(a+b)2+6(a+b)+1.

41.因式分解:9(a-b)2+123-匕2)+4(Q+瓦)2.

42.因式分解：-Q+l)2-23-1)-(a-1)2.

43.把下面各式分解因式：%2+2x(%-3y)+(x-3y)2.

44.分解因式：(%2-3)2+2(%2-3)(%-3)4-(%-3)2.

45.因式分解：(%+y)2+4(T+y+1)

46.分解因式：%2+2x+1-y2.

\13/

47.分解因式:(%2+2x)2++4%+1.

48.分解因式：(N+4)2+8x(x2+4)+16x2.

49.分解因式；N+(1+%)2+(%+N)2.

50.因式分解:4(%-I)2-4(1-%2)+(1+%)2.

51.因式分解：a2-4ab+4b2

52.因式分解：%2-10xy+25y2.

53.對(duì)下列各式進(jìn)行因式分解：%2-16ax+64a2.

54.分解因式：Q2一。6+工校；

4

55.分解因式：一1+q2—a4

4

56.分解因式：9a2-I2ab+4b2.

57.因式分解:9x2-24xy+16y2.

\14/

58.因式分解：16m4-8m2n2+n4.

59.將下列各式分解因式：一根出+2mab-mb2

60.因式分解：3ab3-30Q2b2+75a3b.

61.分解因式：(Q2+1)2-4a3+1)+4a2.

62.分解因式：(y-l)2+6(l-y)+9.

63.分解因式:(Q+b)2-6c(a+b)+9c2.

64.因式分解：(x+y)2—10(x+y)+25.

65.分解因式:(a-2b乃一2a+4b+1.

66.因式分解：25(x-y)24-10(y-x)+l.

67.因式分解:-9a2+6a(a—b)—(a—b)2.

68.分解因式：(m+n)2-4(m2-n2)+4(m-ri)2.

\15/

69.分解因式：(x2-x)2-12(x2-x)+36.

70.分解因式：16(。+7)2+40(Q+b)(a-b)+25(。-b)2.

71.分解因式：Q6+b6.

72.分解因式：爐+>3+/+2xy+y2.

73.分解因式：%3+y3+2x2+4xy+2y2.

74.若a+b=6,a3+b3=72,求出+振的值.

75.分解因式:出+板+(Q+小

76.分解因式：(ax-by)3+(by—cz)3—(ax—cz)3.

77.分解因式:(a+7尸+Q+c)3+(c+a)3+a3+b3+c3.

78.已知a+b+c=0,求證出+a2c+b2c-abc4-b3=0.

79.分解因式：729x3—8.

\16/

80.分解因式：9x5-72%2y3.

81.分解因式：戶一1.

82.已知％0y,且%3-%=7,y3-y=7,求d++y2的值.

83.分解因式：x(x+1)(%-1)+xy(x-y)-y(y+l)(y-1).

84.分解因式：x6-19x3y3-216y6.

85.分解因式：a6-b6.

86.若a+b=5,求出+板+15ab的值.

87.因式分解：%3+%2+%-y3—y2—y

88.分解因式：x3—y3—3"+3x-1.

89.分解因式：%3+3x2+3x4-2.

90.分解因式：%3-9%+8.

\17/

91.分解因式：8%3+27y3+36%2y+54xy2.

92.分解因式：+%4+%3+%2+%+1

93.分解因式：X15+/2+短+X6+y3+1.

94.分解因式：。3+3a2+3。+〃+3〃+3b+2.

95.分解因式：512a9-192a6+24a3-1.

96.分解因式：4a2+9b2+9c2-I8bc-12ca+12ab.

97.因式分解：x2+4y2+9z2+4xy-6xz—12yz.

98.已知％+y+z=3,%2+y24-z2=29,%34-y34-z3=45,求%yz的值.

99.分解因式：（%—y）3+（y-%—2尸+8.

100.分解因式：爐+丫3+3孫一1.

\18/

模塊三十字相乘法

十字相乘法共計(jì)100道題，包含：

20道二次項(xiàng)系數(shù)為1簡(jiǎn)單題(第1-20題)；

10道高次項(xiàng)系數(shù)為1(第21-30題)；

30道二次項(xiàng)系數(shù)不為1(第31-60題)；

10道較難題(第61-70題)：

20道主要選用整體法進(jìn)行十字相乘(第71-90題)；

10道拓展題(笫91-100題)

方法總結(jié)：

1.對(duì)于二次三項(xiàng)式X2+px+q,如果能將常數(shù)項(xiàng)q分解為兩個(gè)數(shù)a、b的積，并使得。與〃的

和等于一次項(xiàng)系數(shù)p，那么二次三項(xiàng)式f+px+q就可以進(jìn)行因式分解：

x2+px+q=X2+(a+〃)x+“〃=(x+a)(x+h).

在對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，可以借助畫(huà)十字交叉線來(lái)分解，這種方法叫做十字相乘法.

對(duì)一般的二次三項(xiàng)式因式分解，同樣可以用十字相乘法

2.十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中

3.部分題目，對(duì)于重發(fā)出現(xiàn)的部分可視作整體

易錯(cuò)總結(jié)：

1.注意驗(yàn)證，確保交叉相乘后的兩項(xiàng)相加和原式中的中間項(xiàng)相等

2.注意因式分解書(shū)寫(xiě)規(guī)范，尤其是結(jié)果分解要完全，相同因式要寫(xiě)成轅的形式，單項(xiàng)式要寫(xiě)在多項(xiàng)

式前面

例題分析：

分解因式:2(x2-6x+1)24-5(%2-6x+1)(x2+1)+2(x2+1)2

解：

原式=[2(x2-6x+1)+(N+1)][(%2-6x4-1)4-2(x2+1)]……[整體并十字相乘】

=(3%2-I2x+3)(3x2-6x+3).……【合并同類項(xiàng)】

=9(%-1)2(/―4x+1)...................................【分解完全】

【過(guò)程詳細(xì)解析】

把Q2一6x+1)和(無(wú)2+1)視作整體，通過(guò)十字相乘法因式分解2

=原式=[2(x2-6%+1)+(*+1)][(%2-6%+1)+2(x2+1)1

去括號(hào)合并同類項(xiàng)

n原式=(3%2—12%+3)(3x2—6x+3)

(3*-12%+3)=3(x2-4x+1)；(3x2-6%+3)=3(N-2x+1)

=原式=9(x-1)2(N-4%+1)

\19/

鞏固練習(xí)：

1.分解因式：x2-x-6.

2.分解因式：%2+5x-6.

3.分解因式：x2-5x-6.

4.分解因式：%2_7x4-6.

5.分解因式：x2+6x+8.

6.分解因式；x2+7x-8.

7.分解因式：X2+7xy+10y2.

8.分解因式：%2-2x-15.

9.因式分解：x2-6x-16.

10.因式分解：%2-4%-21.

11.分解因式:X2-9%-22.

12.分解因式:X2-10x-24.

13.分解因式：%2-10xy-24y2.

14.分解因式：x2—llx+24.

\20/

15.分解因式：x2+14x+24.

16.分解因式：工4+7%2-30.

17.分解因式：m2-56-36.

18.分解因式：%2+144y2-25xy.

19.分解因式:x2-4xy-96y2.

20.分解因式：%2+4x(3-r)-9

21.分解因式：獷+3x2-28.

22.分解因式：好+7/-30.

23.分解因式：X4-7%2-18.

24.分解因式：Q%4—14ax2_32a.

25.分解因式：戶+/(Q2+1)+a2.

\21/

26.分解因式：—X2(a2+1)+Q2

27.分解因式:巾4-iom2n2+9n4.

28.分解因式：%4-26x2y2+25y匕

29.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：04-5。2一14.

30.分解因式:Xs—x3y2-12xy4.

31.分解因式：12》2+4xy-y2.

32.分解因式：―6工2+12-X.

33.分解因式：6%2-7%+2.

34.分解因式:6x2-7xy+2y2.

35.因式分解：-6N+11X-3.

\22/

36.分解因式：2a2一出,一3b2.

37.分解因式:3N+Qxy-3y2.

38.因式分解：6%2-5%-4.

39.分解因式:-12x2-28x4-5；

40.因式分解：6x2-13%+5.

41.分解因式：5N—17x4-6.

42.因式分解：-2Ny+Qxy-6y=

43.分解因式：lx2-xy-6y2=

3

44.分解因式:—6x2—llx+7.

45.分解因式：12x2-19xy+7y2.

\23/

46.分解因式：3x2+5%—8.

47.因式分解：一戶一2%+8；

48.分解因式：63%2+22%-8.

49.分解因式：5N+12%-9.

50.分解因式：8x2-20x4-12.

51.分解因式：12%2-11%-15.

52.分解因式：12x2-Uxy-15y2.

53.分解因式：27x2-33X-20.

54.分解因式:6x2—7x—24.

55.分解因式：32-12%-27N.

\24/

56.分解因式：5N+4xy-28y2.

57.分解因式：15x2+28y2-47xy.

58.分解因式：Q2爐-5abc-36cz.

59.分解因式：-N+X+56.

60.分解因式；-20xy+64)，2+X2,

61.分解因式：mnx2+(m2+n2)x+mn.

2

62.分解因式：3+a)2-8(a+a)+12.

63.分解因式：kx2+(2/c-3)x+/c-3.

64.分解因式：(a2—6)2—4a(a2—6)—5a2.

65.分解因式：(k+l)x2+(-3/c-l)x+2k—2.

\25/

66.分解因式：2機(jī)3幾+6m2n+4機(jī)幾.

67.分解因式：3a5-12a4+9a3.

68.分解因式：mxd-(m+n)x+n.

69.分解因式：mx2—3(m—l)x+2m—3.

70.因式分解；abcx7+(a?b?+c?)x+abc.

71.因式分解:abx2—(a2+b2)x—(a2—b2).

72.分解因式：x2—(6p+5Q)X+9P2+15Pq+6q2.

73.分解因式：(x-y)2+5a-y)-50.

74.分解因式:(x2+x)2+43+x)-12.

75.分解因式：(x2+4x)2一(％2+4%)-20.

\26/

76.因式分解：(Q2-3a)2-6(Q2-3a)+8.

77.因式分解:(2x—y)2—4(2x—y)—12.

78.分解因式：(Q—2b/-8(a-Zb)+12.

79.分解因式:5+7(Q+1)-6(a+l)2.

80.分解因式：(x+y)2-4x-4y-12.

81.分解因式：(%2-軌)2-8(x2-4x)-48.

82.分解因式:(%2+x)2-8(x2+x)+12.

83.分解因式:12(x+y)2+ll(x+y)(x—y)+2(x—y)2.

84.分解因式：(N-x)2-12(x2-x)+36.

85.因式分解：(m2—2m)2—2(m2—2m)—3.

\27/

86.分解因式:2(%2+6x+I)2+5(%2+6%+l)(x2+1)+2(%2+1)2.

87.分解因式：(N+x+4)2+8x(x2+x+4)+15x2.

88.分解因式：(%2-3)2+2(%2-3)(%一3)+(%—3)2.

89.分解因式:x2-(p2+q2)x_pg(p+g)(p-q).

90.因式分解:4(%-I)2-4(1-%2)+(1+%)2.

91.分解因式:y(y+l)(x2+1)+x(2y2+2y+1)

92.分解因式：(%+I)4+(*-1)2+(%-1)4.

\28/

93.分解因式:(Q+b)2(ab-1)+1.

94.分解因式：%2+2(a+b)x-3a2+10ab-3b2.

95.分解因式：6x2+xy-2y24-2%—8y—8.

96.分解因式：4x3-31x4-15.

97.x2+2xy+y2+x+y-2.

98.分解因式：(2-m)x2-2x+m.

99.分解因式：N+(Q+匕+c)x+(Q+b)c.

100.分解因式：a(6a+lib+4)+b(3b—1)—2.

\29/

模塊四分組分解法

方法總結(jié)：

1.利用分組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法

2.一般地，分組分解大致分為三步：

①將原式的項(xiàng)適當(dāng)分組；

②對(duì)每一組進(jìn)行處理(“提”或“代”)；

③將經(jīng)過(guò)處理的每一組當(dāng)作一項(xiàng)，再采用“提”或“代”進(jìn)行分解

在進(jìn)行分組分解時(shí)，不僅要看到笫二步，而且要看到第三步

3.四項(xiàng)多項(xiàng)式常見(jiàn)的分組方法：

①兩兩分組：一般配合的基本方法是一一提取公因式法和平方差公式；

②一三分組：一般配合的基本方法是一一完全平方公式和平方差公式

易錯(cuò)總結(jié)：

①分組時(shí)要選擇分組方法，要保證分組后各組有公因式或能利用公式法、十字相乘法繼續(xù)分解;

②最后的結(jié)果如果有同類項(xiàng)要合并同類項(xiàng)

例題解析：

分解因式a%+ay+bx+by

解：ax+ay+bx+by

=(ax+ay)+(bx+by)......［觀察題目，合理分組】

=a(x+y)+b(x+y)..................【每一組進(jìn)行因式分解】

=(x+y)(a+b)...........................【繼續(xù)分解】

鞏固練習(xí)：

1.分解因式：Q2-ab+Q-b

2.因式分解：ab—ac+be—b2

3.分解因式：am4-bin+a+b：

4.分解因式：xy-x-y+1

\30/

5.分解因式：x2+3y-xy-3x

6.分解因式：abx2+ab+a2x4-b2x

7.分解因式：5x3—15x2—x4-3

8.分解因式：*3+9+3N+3X

9.分解因式：x44-%34-x2+x

10.分解因式：5a2m-15am4-3abm-9bm

11.分解因式:x2y2z2—x2z-y2z+1

12.因式分解：x2—y2—x+y

13.因式分解：1一%2+2%y-y2

\31/

14.因式分解：x2-y2+2y-l

15.分解因式:x2-x-9y2-3y

16.分解因式：。2一板一2匕一1

17.計(jì)算：4a2+4ab+b2-l

18.分解因式：x2—4+4y2-4xy

19.分解因式：大一”一z，一2yz

20.分解因式：494-14%+x2-y2

21.分解因式：9m2-4%2+4xy-y2

\32/

22.分解因式：x3+x2y-xyL-y3

23.分解因式：xs-x4-x+1

24.分解因式:cP+。3b一式爐一瓶2

25.分解因式:a2b3-abc2d+ab2cd_c3d2

26.分解因式：32ac2+IScx2-48ax2-10c3

27.因式分解：45am2-20ax2+20axy-5ay2

28.分解因式：x2y2—x2z2—y2z2+z4

29.分解因式：QC2+/nP-。斗一bc2

\33/

30.分解因式：戶+y5_(x4,+xy4)

31.分解因式:a(l—b)2—1+28一爐

32.分解因式:x(x-l)(x-2)-6

33.分解因式:(x+y)(x-y)+4(y-1)

34.分解因式：1+(b-a2)x2-abx2

35.分解因式：x(x-1)-y(y-1)

36.分解因式：x(x+1)+y(y-1)-2xy

37.分解因式：x(x+z)-y(j+z)

\34/

38.分解因式：4a2-b2+c2-9d2+4ac+6bd

39.因式分解：m2—4m+4-n2-2n—1

40.分解因式：(a+b)2+(a+c)2—(c+d)2—(b+d)2

41.abc+ab+ac+be+a+b+c+l

42.分解因式：x4+x3y+xz3+yz3

3

43.分解因式：ax+x+Q+1

44.分解因式：x2+2x-15-ax-5a

\35/

45.分解因式：2m2-mn+2m+n-n2

46.分解因式：x3—2x2—x+24-x5-2x4

47.分解因式：x4+2x3+2/+2%+1

48.分解因式：X54-x4+x3+x2+x+1

49.分解因式：x2+y2+m2-2xy+2my-2mx

50.分解因式：x3+x24-x-y3-y2-y

\36/

模塊五拆添項(xiàng)法

方法總結(jié)：1.

拆項(xiàng)與添項(xiàng)

在對(duì)所給多項(xiàng)式直接分組難以進(jìn)行因式分解時(shí)，常?？梢酝ㄟ^(guò)拆項(xiàng)或添項(xiàng)，創(chuàng)造出提取公因式或運(yùn)

用乘法公式進(jìn)行因式分解的條件，使原式的某些項(xiàng)之間能夠建立起聯(lián)系，便于采用分組法進(jìn)行因式

分解.拆項(xiàng)和添項(xiàng)都是代數(shù)式的恒等變形.拆添項(xiàng)法常見(jiàn)于次數(shù)比較高的式子

拆項(xiàng)：把代數(shù)式中的某項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的代數(shù)和，叫做拆項(xiàng)；

添項(xiàng)：在代數(shù)式中添上和為零的幾項(xiàng)，叫做添項(xiàng)

2.拆添項(xiàng)法常常與分組分解法相結(jié)合，使得分成的每?組都有公因式可提或者可以應(yīng)用公式；

對(duì)于按某一字母降’幕排列的三項(xiàng)式，拆開(kāi)中項(xiàng)是最常見(jiàn)的；

當(dāng)所給多項(xiàng)式中出現(xiàn)平方時(shí)，可以考慮通過(guò)拆添項(xiàng)配出完全平方式

易錯(cuò)總結(jié)：

①拆添項(xiàng)的過(guò)程中一定要保證與原式相等，進(jìn)行等量變換；

②最后的結(jié)果要注意觀察是否能繼續(xù)分解，要分解到最后

例題解析：

分解因式：公+4

解：好+4

=X*+4%2+4-4%2……【添項(xiàng)：添加4/湊完全平方，再減去4戶使等式成立】

2

=(婷+2)-4x2...................................【前3項(xiàng)利用完全平方公式進(jìn)行分解】

=(*+2)2-(2x)2.................................【平方差公式繼續(xù)分解】

=(*+2%+2)(/—2%+2).............【觀察是否能繼續(xù)分解，得到最后結(jié)論】

鞏固練習(xí)：

1.把多項(xiàng)式%4+64分解因式

2.分解因式%4+4y4

3.分解因式工2—2。%一爐一2。6

\37/

4.分解因式％2—120%+3456

5.分解因式：x2-140x+4756

6.分解因式：（％—1）（無(wú)—3）+1

7.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：m2-6m4-4

8.分解因式：x4-7x2y2+81^

9.分解因式：x4+14x2y2+81y4

10.分解因式：a*+a2b2+b4

11.分解因式：x4+x2y2+y1

\38/

12.分解因式：x4-23x2+1

13.分解因式：x4-3x2+1

14.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：人4十16y4

15.分解因式：a4+64b4

16.分解因式:a4+4b4

17.分解因式：a+出+1

18.因式分解：述+Q4+1

19.分解因式：Q16+Q8+I

\39/

20.分解因式：y2+4y-X2+2%+3

21.分解因式：4x2-4x-y2+4y-3

22.分解因式：。2—2。8-3板+126-9

23.因式分解：%2+y2-Ny2-4xy-1

24.分解因式：%3-3x-2

25.分解因式：爐+2%+3

26.分解因式：%3_19%-30

\40/

27.分解因式：短一9%+8

28.因式分解：x3-2x2+1

29.分解因式：3x3+2x-5

2

30.分解因式：+2x-5-4x

31.因式分解：%3-X2_5x+6

32.分解因式：+2x2-5x-6

33.分解因式：4x3-4x2-9x-3

\41/

3

34.分解因式：x+9%2+26X+24

35.分解因式：+3X2+3%+2

36.因式分解：6x3_5x2_12%-4

37.分解因式：m+3a2+3Q+爐+3爐+3b+2

38.分解因式：x4-Zx-3

39.分解因式：爐+/-2ax+1-a2

40.分解因式：爐+爐+2N+3%-3

\42/

41.分解因式：x4+2爐一9爐―2x+8

42.分解因式：x4-x3+3x2-2x+2

43.分解因式：9x4-3x3+7/-3x-2

44.分解因式：2d+3x3-6"—3無(wú)+2

45.分解因式：a5+a4+1

46.分解因式：H+%+1

47.分解因式：H-1

\43/

7

48.分解因式：x+%5+1

49.分解因式:(a-b)4+(a+by+@-械)2

50.分解因式：(1+y/-2x2(1+y2)+"Q-yy

\44/

模塊六換元法

方法總結(jié)：

1.換元法

根據(jù)代數(shù)式的特征，把其中的某一部分看成一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母代替，從而使得原代數(shù)式

的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，這就是換元法

2.換元法的基本步驟

(1)找出原多項(xiàng)式中重復(fù)出現(xiàn)的部分；

(2)將重復(fù)出現(xiàn)的部分用新的字母(如t)代昔；

(3)把原多項(xiàng)式整理成關(guān)于新字母的多項(xiàng)式，并對(duì)其進(jìn)行因式分解；

(4)分解完成后要“還元”，射換回原字母

易錯(cuò)總結(jié)：

①換元之后記得“還元”；

②“還元”后的式子需檢驗(yàn)是否可以繼續(xù)因式分解

例題解析：

對(duì)多項(xiàng)式(無(wú)2-2x)(x2-2x+2)+1進(jìn)行因式分

解.解：設(shè)戶一2%=、，則……【設(shè)】

(%2-2x)(x2-2x+2)+1

=y(y+2)+1...【換元】

=y2+2y+1

=(y+l)2……【對(duì)換元之后的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解】

=(x2-2x+I)2……【還元，觀察是否能繼續(xù)分解】

=-1)平

=(x-I)4……【分解到最后】

鞏固練習(xí)：

1.請(qǐng)你對(duì)多項(xiàng)式(N-4%+2)^2-4%+6)+4進(jìn)行因式分解

2.請(qǐng)你用換元法對(duì)多項(xiàng)式(N+2x)(x2+2%+2)+1進(jìn)行因式分解

3.分解因式：(2x-y)2-4x-2y-3

\45/

4.分解因式：(x2+x+l)(x2+x+3)-8

5.分解因式:(N+x+l)(x2+x+2)—6

6.分解因式：3+3a-2)3+3a+4)-16

7.分解因式：(N+2%+5/+3(x2+2%+5)+2

8.分解因式：(戶+4x4-8)2+3(%2+4%+8)+2

9.分解因式：($+%+l)(x2+x+2)-12

10.分解因式：(N+5%+2)(x2+5x4-3)-12

11.分解因式：(x2-x-3)(x2_x_5)-3

\46/

12.分解因式：(/+4x+8)2+3x(x2+4%+8)+2x2

13.分解因式：(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)+1

14.分解因式：(Q—1)(。-2)(a-3)(Q-4)-15

15.分解因式:(a-l)(a-2)(a-3)(a-4)-24

16.分解因式:(x+l)(x+3)(x+5)(x+7)4-15

17.分解因式:16(6x-1)(2%-1)(3%+l)(x-1)+25

18.分解因式:4(%+5)(%+6)(x+10)(%+12)-3x2

\47/

19.分解因式：(x4-4x2+IXX4+3x2+1)+lOx4

20.分解因式：Q2+3x+2)(4x2+8x+3)-90

21.分解因式：(2Q+5)(Q2-9)(2Q-7)-91

22.分解因式：(x2+3x+2)(3+8x4-4d)-72

23.分解因式：(N+6%+8)(x2+14X+48)+12

24.分解因式：(x+l)(2x+l)(3x—l)(4x—1)+6x4

25.分解因式：(%+y)3+2xy(l-x-y)-1

\48/

26.分解因式：4(3%2-X-l)(x2+2無(wú)一3)—(4x2+%-4)2

27.分解因式：_28%3+27

28.分解因式：（y+1尸+3尸一272

29.分解因式：4(a+b-ab)(a+b-1)+(1-aby

30.分解因式：(1-xy)2+(x+y-2)(x+y-2xy)

\49/

模塊七主元法

方法總結(jié)：

1.主元法：在對(duì)含有多個(gè)字母的代數(shù)式進(jìn)行因式分解時(shí)，可以選其中一個(gè)字母作為主要未知數(shù)，其

他字母看成是常數(shù)，把代數(shù)式整理成關(guān)于主元的降哥排列的多項(xiàng)式，再嘗試用公式法、十字相乘法

等方法進(jìn)行因式分解.

2.如果題目中選取的主元不容易因式分解，可以嘗試變更主元解決

例題分析；

因式分解：3"+4xy-4y2+8x-8y-

3.解:

原式=3x2+(4y+8)x-(4y2+8y+3)...【將x看作主元，將y看作工的系數(shù)】

=3x2+(4y+8)x-(2y+l)(2y+3)……【對(duì)關(guān)于y的二次三項(xiàng)式十字相乘】

=(3x-2y-l)(x+2y+3)...【整體應(yīng)用十字相乘法】

鞏固練習(xí)：

2

1.1.分解因式：%-6xy+9y2-z2.

2.分解因式：abc"+(a2b2+c2)x4-abc.

3.因式分解:x2+(2y+l)x-(15y2+19y+6).

4.分解因式：x2-(p2+q2)x-pq(p+q)(p-q).

5.分解因式：x2-y2-4x-6y-5.

\50/

6.分解因式：a3+(1-b)a2-2ba+b2.

7.分解因式：Q2b+a2c+ac2—ab2—b2c—be2.

2

8.分解因式：Q2匕+azc+。振-ac2-62c-be=()

A.(a+c)(b+c)(a-b)B.(a—c)(b+c)(a+b)

C.(a—c)(b—c)(a+b)D.(a+c)(b—c)(a4-b)

9.分解因式：2a2一岳一。匕+2bc+4ac.

10.分解因式：a2+2b2+3c2+3ab+4ac+Sbc.

11.分解因式：%4+3x2+2ax+4-a?.

12.將Q當(dāng)作主元，分解因式出+出+c4_2a2/?2-2b2c2-2c2a2.

13.分解因式：l+a+b+c+ab+Qc+bc+abc.

\51/

14.分解因式：Q2b-+Q2c-ac2-3abe+b2c+be2.

22

15.己知：Q、b、c為三角形的三條邊，且。2+4ac+3c-3ab-7bc+2b=0,

求證：2b=Q+c.

16.分解因式：Q(6Q+11b+4)+b(3b-1)-2.

17.分解因式：Q%3+(a2+l)x2+(a-l)x-a.

18.分解因式:y(y+1)(N+1)+%(2y2+2y+1).

19.分解因式：x3+(2Q+l)x2+(a2+2Q—l)x+Q2—1.

20.分解因式:ab(x2—y2)-(a2—b2)(xy+1)-(a2+b2)(x+y).

\52/

模塊八雙十字相乘法（長(zhǎng)十字相乘法）

方法總結(jié)：

雙十字相乘法（長(zhǎng)十字相乘法）

形如+89+02+。戈+或+/的二元二次式也可以用十字相乘進(jìn)行因式分解.

使得4。2+。2。1=8,c1f2+c2/1=E,a］f2+a2fi=D.

則Ax2+Bxy+Cy2+Dx+&+Z7=(〃工+c\y+/)(〃2X+c”+及).

易錯(cuò)總結(jié)：

驗(yàn)證，即長(zhǎng)十字相乘中含有三個(gè)十字，一般兩個(gè)十字即可確定算式中的六項(xiàng)，第三個(gè)十字相乘作為

檢驗(yàn).

例題分析：

用雙十字相乘法分解因式：6f-Ixy^-lyz-2z2-3j2-

xz.解：

原式=6AT-Ixy-3)2-xz+7yz-Iz2.......［排序］

=(2,v-3y+z)(3x+y-2z).......【雙十字相乘】

【雙十字相乘過(guò)程分析】

尋fJ-2z

6.r=2x?3xf-3)2二-3)，?y,-2z2=z?(-2z)

2xy+(-3y)?3x=-Ixy，(-3y),(-2z)+yz=lyz，2x,(-2z)+3xz=-xz

鞏固練習(xí)：

1.分解因式：x2+2xy-3y2+3x4-y+2.

2.分解因式：x2-3xy-10y2+%+9y-2.

\53/

3.分解因式：6x2-Sxy+y24-x-y-2.

4.分解因式：3x2+4xy-4y2+8x—8y—3.

5.分解因式：2%2-7xy-22y2-5x4-35y-3.

6.對(duì)下列式子進(jìn)行因式分解：6x2—13xy+6y2+5%—10y-4：

7.因式分解：2x2-3xy+y2+8%-5y+6.

8.分解因式：x2+xy-6y2+x+13y-6.

9.分解因式：x2+2xy-15必+x-19y-6.

10.把6利+xy-2y2+2x—Sy—8分解因式.

11.分解因式：6x2-5xy-6y2+2x+23y-20

\54/

12.m為什么數(shù)時(shí)，x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解為兩個(gè)一次因式的積？

13.分解因式：始+2?+b)x-3a2+10ab-3b2.

14.分解因式:2xz—3xy-2yz-3xz+yz+z2.

15.分解因式：x2-6xy+9yz-5xz+15yz+6z2.

16.分解伏I式：x2+2xy—3yz+2x7.+14yz—872.

17.分解因式：6N-5xy-6y2-2xz-23yz-20z2.

18.分解因式：mn+n2+m-n-2.

19.分解因式：x2-y2+5x+3y+4.

20.分解因式：x2-y2-4x-6y-5.

21.分解因式：7%4+20爐+11x2+40%-6

22.因式分解：x4-x3+6%2-x+15.