【教無憂】高中數(shù)學同步講義（人教B版2019選擇性必修一）第39講 專題2-4 橢圓離心率取值十八大題型

專題2-4橢圓離心率取值十八大題型匯總題型1直接型 2題型2通徑型 6題型3坐標法 12題型4焦點弦定比分點 20題型5焦點三角已知頂角型 23題型6焦點三角已知底角型 28題型7焦點三角形雙余弦定理型 32題型8焦點四邊形 36題型9利用圖形求離心率 42題型10利用橢圓的對稱性 48題型11中點弦公式 54題型12點差法 63題型13角平分線相關(guān) 68題型14焦點圓問題 72題型15內(nèi)切圓相關(guān) 78題型16橢圓與圓問題 84題型17橢圓與雙曲線共焦點問題 88題型18橢圓與四心問題 94知識點.求橢圓離心率常用公式橢圓公式1e=公式2e=證明：e====公式3已知橢圓方程為兩焦點分別為設焦點三角形，則橢圓的離心率證明：由正弦定理得：由等比定理得：，即∴。公式4點F是橢圓的焦點，過F的弦AB與橢圓焦點所在軸的夾角為θ,θ?(0,π2)，k為直線AB的斜率，且，則e當曲線焦點在y軸上時，e=注：λ=AFBF或者λ=BFAF,題型1直接型【方法總結(jié)】直接運用公式e=ca【例題1】（2023·江蘇·高二專題練習）已知橢圓C:x22+yA．22 B．12 C．63【答案】A【分析】將點0,2的坐標代入橢圓C的方程，求出m的值，可得出a、b、c，由此可得出橢圓C的離心率的值.【詳解】因為圓C:x22+y2m故橢圓C的標準方程為x22+y24=1因此，橢圓C的離心率為e=c故選：A.【變式1-1】1.（2023秋·廣東廣州·高三廣州市真光中學校考階段練習）直線l經(jīng)過橢圓的兩個頂點，若橢圓中心到l的距離為其長軸長的16A．23 B．35 C．64【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)求得直線l為bx?ay+ab=0，利用點線距離公式列方程求離心率即可.【詳解】不妨設橢圓為x2a2+y由橢圓對稱性，令l過(?a,0),(0,b)，則y=ba(x+a)所以aba2+b2=2a故選：D【變式1-1】2.（2023秋·高二課時練習）已知橢圓C：x2a2+yA．23 B．12 C．25【答案】A【分析】根據(jù)題意列式解得a=3，進而可得.【詳解】由題意可得：PF=a+c=a+2=5，解得a=3所以C的離心率為e=c故選：A.【變式1-1】3.（2023春·四川涼山·高二寧南中學?？茧A段練習）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1A．12 B．25 C．13【答案】B【分析】根據(jù)點Px,y在橢圓上得x2a2+y2b2=1，且【詳解】設橢圓的半焦距為c，若橢圓上一點Px,y，則x2a又F1(?c,0)，則P由于?a≤x≤a，所以PF于是可得a=5，c=2，所以橢圓C的離心率e=c故選：B.【變式1-1】4.（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C:x2aA．5?14 B．5?12 C．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即等比數(shù)列概念即可得出a,b,c的關(guān)系式，解方程即可得離心率.【詳解】由題意可得，長軸長2a、短軸長2b、焦距2c成等比數(shù)列，所以2b2=2a×2c得e2+e?1=0，解得e=5故選：B【變式1-1】5.（2023·全國·高三專題練習）橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，左焦點為F，A．55 B．C．3?12 【答案】D【分析】由橢圓的性質(zhì)可得|AF|=a?c，|FO|=c，|OB|=a，再根據(jù)等比中項的性質(zhì)列方程求離心率即可.【詳解】設F(?c,0)，則|AF|=a?c，|FO|=c，|OB|=a，根據(jù)題意，可得a(a?c)=c2，整理得e2+e?1=0且故選：D【變式1-1】6.（2023·全國·高三專題練習）橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點為F1，F(xiàn)A．12 B．22 C．32【答案】C【分析】根據(jù)F1M=MP，2ON=OP+OF2【詳解】因為F1M=MP，所以點因為2ON=OP即PN=NF2，所以點又因點O為線段F1所以OM//PF2且OM=所以四邊形MONP的周長為PF又因點P為橢圓上不在坐標軸上的一點，所以PF所以2a=4b，即ba故橢圓C的離心率為e=c故選：C.

題型2通徑型【方法總結(jié)】橢圓的半通徑是b2a【例題2】（2021秋·河北邯鄲·高二?？茧A段練習）已知過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．53 B．32 C．22【答案】D【分析】把x=?c代入橢圓方程求得P的坐標，進而根據(jù)∠F1PF2【詳解】由題意知點P的坐標為（?c，b2a∵∠F∴2cb即2ac=3∴3e∴e=33或故選D．【點睛】】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查了考生綜合運用橢圓的基礎知識和分析推理的能力，屬中檔題．【變式2-1】1.（2023秋·高二課時練習）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2A．12 B．13 C．14【答案】A【分析】根據(jù)題意列關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，解得離心率.【詳解】根據(jù)題意易知tan∠P∴b∴b∴2∴e=12（故選：A【變式2-1】2.（2023·全國·高三對口高考）設橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P【答案】2【詳解】設P到位于x軸上方，坐標為c,b∵△F∴|PF2|=|即a2∵e=c∴1?e2=2e∴e=2【變式2-1】3.（2022秋·安徽·高二校聯(lián)考期末）從橢圓x2a2+y【答案】2【詳解】由已知，點P(－c，y)在橢圓上，且在第二象限，代入橢圓方程，得P?c，b2a.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－ba＝－b2ac，則b＝c，∴a2＝b2＋c2答案：2點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.【變式2-1】4.（2019春·北京海淀·高二統(tǒng)考期中）已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的兩個焦點，過點F1作x軸的垂線，交橢圓C于P，Q兩點．當△F2PQ為等腰直角三角形時，橢圓C的離心率為e1，當△F2PQ為等邊三角形時，橢圓C的離心率為e2【答案】＜【分析】把x=?c代入橢圓方程可得y=±b2a，當ΔF2PQ為等腰直角三角形時，可得：b2a=2c【詳解】把x=?c代入橢圓方程可得：c2a①當ΔF2PQ為等腰直角三角形時，可得：化為：e12解得：e②當ΔF2PQ為等邊三角形時，化為：3e2解得：e則e1，e2本題正確結(jié)果：<【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、等腰直角三角形與等邊三角形的性質(zhì)、一元二次方程的解法，關(guān)鍵是能夠建立起關(guān)于a,c的齊次方程，從而解出離心率，屬于中檔題．【變式2-1】5.（2020秋·吉林·高二?？茧A段練習）橢圓C：x2a2+yA．5?2 B．3?1 C．5?1【答案】C【分析】根據(jù)題意得出A,B兩點的坐標，利用OA?【詳解】過Fc,0作x軸的垂線交橢圓C于A,B兩點，故Ac,b2a,Bc,?b2a，由于三角形OAB是直角三角形，故OA⊥【點睛】本小題主要考查直線與橢圓的交點，考查橢圓離心率的計算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.【變式2-1】6.（2023·江蘇·高二專題練習）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，A．3?52 B．3?5 C．2【答案】A【分析】由題意可得PF22=F【詳解】因為PF2⊥所以PF22在Rt△PF1由橢圓的定義可得PF1+所以e=ca=故選:A.

【變式2-1】7.（2021秋·福建福州·高三福建省福州高級中學?？茧A段練習）已知A?B為橢圓的左、右頂點，F(xiàn)為左焦點，點P為橢圓上一點，且PF⊥x軸，過點A的直線與線段PF交于M點，與y軸交于E點，若直線BM經(jīng)過OE中點，則橢圓的離心率為（

）A．12 B．32 C．13【答案】C【解析】根據(jù)已知條件求出B,H,M三點坐標，再由三點共線可得斜率相等，從而得出a=3c可得答案.【詳解】由題意可設F(?c,0),A(?a,0),B(a,0)，設直線AE的方程（由題知斜率存在）為y=k(x+a)，令x=?c，可得M?c,k(a?c)，令x=0，可得E(0,ka)，設OE的中點為H，可得H0,ka2，由B,H,M三點共線，可得kBH=k故選：C.【點睛】本題考查求橢圓的離心率，解題關(guān)鍵是根據(jù)三點共線找到關(guān)于a,c的等量關(guān)系.題型3坐標法【方法總結(jié)】方法：求出點的坐標帶入橢圓方程建立等式【例題3】（2023秋·陜西西安·高二長安一中校考期末）已知過橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點F?2,0的直線與橢圓交于不同的兩點A，B【答案】5【分析】由點C，F(xiàn)是線段AB的三等分點,得出AF2//OC【詳解】由已知可知，點C，F(xiàn)是線段AB的三等分點，則C為AF的中點，右焦點為F2，所以A所以AF2⊥x軸，由橢圓方程c2aC,B關(guān)于F對稱，易知B點坐標?2c,?將其代入橢圓方程x2a2+y所以離心率為e=c故答案為：55【變式3-1】1.（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，【答案】1【分析】設P(m,n)，|m|<a，又F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，運用向量共線的坐標表示，可得M的坐標，再由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，由P的坐標滿足橢圓方程，化簡整理可得m的方程，求得【詳解】解：設P(m,n)，|m|<a，又F1(?c,0)，F(xiàn)2∴MF可得(?c?xM，?y可得M(2m?c3，又OP=(m,n)，MF2由MF可得m(c?2m?c化為n2由P在橢圓上，可得m2即有n2可得m(2c?m)=b化為c2解得m=a2c由a2可得2c>a，即有e=ca>可得12∴該橢圓的離心率的取值范圍是(1故答案為：(12，【點睛】本題考查橢圓的離心率的范圍，注意運用向量的坐標表示和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查橢圓的范圍，以及化簡整理的運算能力．【變式3-1】2.（2021·江蘇揚州·高三開學考試）如圖，在平面直角坐標系xoy中，A1,A2,B1,B2為橢圓x2a2【答案】5?【詳解】由題意可得直線A1B2直線B1F的方程為兩直線聯(lián)立可得交點坐標為T2ac據(jù)此可得M點的坐標為M2ac點M在橢圓上，則：2ac2整理可得：c2則：e2求解關(guān)于離心率的一元二次方程可得：e=5±結(jié)合橢圓離心率的取值范圍可得該橢圓的離心率為5?17點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)【變式3-1】3.（2023春·四川涼山·高二?？茧A段練習）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦點分別為FA．55 B．33 C．105【答案】A【分析】由S△ABC=3S【詳解】由S△ABC=3S△BC令A(?c,b2a4c2可化為a2=5c2，則故橢圓的離心率為5故選：A【變式3-1】4.（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考開學考試）設F1,F2分別為橢圓x2A．321 B．37 C．37【答案】D【分析】設出Mx0,y0，根據(jù)向量的定比分點，將A,B【詳解】如下圖所示：

易知F1?c,0,F2c,0，不妨設Mx0,y同理由MF2=3將Ax1,即9c2+x解得3a所以離心率e=c故選：D【變式3-1】5.（2023秋·高二課時練習）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F，過點F作傾斜角為π4的直線交橢圓C于A、B兩點，弦【答案】12【分析】設直線l的方程,代入橢圓方程,由韋達定理,弦長公式及中點坐標公式,求得中點坐標Q坐標,求得AB垂直平分線方程,當y=0時,即可求得P點坐標,代入即可求得|PF|,即可求得|PF||AB|,即可求得a和c【詳解】因為傾斜角為π4的直線過點F設直線l的方程為:y=x?c,Ax線段AB的中點Qx聯(lián)立y=x?cx2a∴x∴AB=∴∴AB的垂直平分線為:y+b令y=0,解得xP=c∴|PF|=c?x∴|PF||AB|=∴橢圓C的離心率為12故答案為:12【點睛】關(guān)鍵點睛：運算能力是關(guān)鍵；本題考查簡橢圓的簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,直線的垂直平分線的求法,屬于較難題.【變式3-1】6.（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A,B是長軸的左、右端點，動點【答案】22/【分析】設P(x0,y0),M(a,t)(t≠0)，由A,P,M三點共線，可得t=2ay0x0【詳解】由題意設P(x因為A,P,M三點共線，所以y0x0因為x02a所以OP=a=a=2因為OP?OM為常數(shù)，所以所以a2=2b所以a=2c，所以離心率故答案為：2

【變式3-1】7.（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點為A，上頂點為B，O為坐標原點，橢圓上的兩點M【答案】63/【分析】由三角形面積相等得到ayN=bxM，結(jié)合x【詳解】由題意得S△OAN故12a又xM2+xN2=3又xN2a2+

故答案為：6題型4焦點弦定比分點【方法總結(jié)】運用e=1+k【例題4】經(jīng)過橢圓(a＞b＞0)的左焦點F1作傾斜角為60°的直線和橢圓相交于A，B兩點，若，求橢圓的離心率?！窘馕觥恐本€AB的斜率k=tan60°=,帶入公式e==2˙=【變式4-1】1.（2023秋·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0A．12 B．23 C．33【答案】C【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程可得韋達定理，進而根據(jù)向量共線的坐標運算可得a2+3b【詳解】設F1?c,0，Ax1,y1，B所以直線方程可寫為x=3y?c，聯(lián)立方程可得a2+3b根據(jù)韋達定理：y1+y因為AF1=3F1所以y1即3c2a2+3可得a2=3c故選：C【變式4-1】2.（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學校考二模）已知橢圓x2a2+y2b2=1A．12 B．22 C．23【答案】C【分析】根據(jù)題意寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理與GF2=2F2H構(gòu)建出關(guān)于【詳解】設F2c,0，Gx1,y1，H直線方程為y=3x?c，聯(lián)立方程可得a2根據(jù)韋達定理：y1+y因為GF2=2F2所以y1即4c23a2可得4a2=9故選：C.【變式4-1】3.（2023·廣東佛山·校考模擬預測）已知橢圓C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的下焦點為F，右頂點為A，直線A．3?1 B．22 C．33【答案】C【分析】先用AF=2FB求得B的坐標，再將B的坐標代入橢圓方程即可求解【詳解】由AF=2FB得xB=?b把B?b2,?32c則橢圓C的離心率為33故選：C.【變式4-1】4.（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預測）橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點為A,F是A．12 B．35 C．22【答案】A【分析】根據(jù)向量關(guān)系得到A,B,F三點共線，表達出B點坐標，代入橢圓方程，求出離心率.【詳解】因為3AF+5BF=0，所以不妨設Fc,0，B則AF=由3AF+5BF=0故B8c將其代入C:x2a2+故離心率為12故選：A題型5焦點三角已知頂角型【例題5】（2023秋·高二課前預習）已知橢圓C：x2a2+yA．32 B．74 C．134【答案】B【分析】由橢圓定義利用余弦定理得出a,c的等式，變形后可求得離心率．【詳解】由題意PF1+PF在△PF1F4c所以e=c故選：B．【變式5-1】1.（2023秋·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1A．12 B．3?12 C．3【答案】D【分析】根據(jù)題意推出|OP|=c，繼而由△OPF2是等邊三角形求得【詳解】由題意知∠F1PF2△OPF2是等邊三角形，即有又P在橢圓上，故|PF1|+|P即橢圓E的離心率為3?1故選：D【變式5-1】2.（2022秋·四川綿陽·高三鹽亭中學?？茧A段練習）橢圓τ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)?的左、右焦點分別為F1,F2?，焦距為2c?，若直線y=A．3?1? B．5C．5?1? D．3【答案】A【分析】根據(jù)直線方程可得∠MF1F【詳解】由直線y=33x+c可知：過定點F1?c,0則∠F1M又因為F1F2結(jié)合橢圓的定義可得2a=MF1故選：A.

【變式5-1】3.（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點為F1，右焦點為F2，以A．5?12 B．3?1 C．3【答案】B【詳解】因為點P在圓上，所以PF1=c，由勾股定理可得PF2=3c，又因為點【分析】因為以F1為圓心，F(xiàn)1O為半徑的圓與E所以PF1=c，F(xiàn)1F又由定義可得PF2=2a?c，所以故選：B．【變式5-1】4.（2023春·貴州貴陽·高二貴陽一中?？茧A段練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點分別為F1【答案】3【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓定義可得HF【詳解】如圖，F(xiàn)2H=33因為MF1+MF又因為HF12化簡得a2=3c故答案為：33

【變式5-1】5.（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）若雙曲線x2?y23=1的兩條漸近線與橢圓M：A．2?1 B．3?1 C．22【答案】B【分析】利用正六邊形的性質(zhì)和橢圓的定義及離心率公式即可求解.【詳解】由題意知，雙曲線x2?y23橢圓M的左右焦點記為F1、F2，則根據(jù)正六邊形的性質(zhì)知△AF1設F1F2由橢圓的定義AF1+所以橢圓M的離心率e=c故選:B．【變式5-1】6.（2023春·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點為F【答案】3?1/【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義以及離心率的計算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】

設右焦點為F'，連接AF'，由∠OAF=∠OFA=π6在Rt△AFF'中，AF由橢圓的定義可得，AF+AF故離心率e=c故答案為：3【變式5-1】7.（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F，點P，【答案】13【分析】根據(jù)題意，由條件可得△PFF【詳解】

設橢圓的左焦點為F'，設FQ因為OP=OF，所以△PFF因為PF=4FQ，所以因為PF'+PF=2a，Q所以2a?4m2+5m所以PF'=45a，即橢圓的離心率是135故答案為：135題型6焦點三角已知底角型【方法總結(jié)】運用e=【例題6】（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓E的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，點Р為橢圓上一點，且tan∠PF1【答案】13【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理得到可得e=c【詳解】因為tan∠PF1F2=2則sin∠PF1F2=2由正弦定理得：F1可得e=c又由sin∠P所以e=c故答案為：13?

【變式6-1】1.（2022秋·山東青島·高二山東省青島第五十八中學?？计谥校E圓C:x2a2+y2b2A．3?1 B．2?1 C．32【答案】A【分析】先根據(jù)y=3(x+c)的斜率得到∠MF1F2=60°，∠M【詳解】【解法一】因為y=3(x+c)經(jīng)過左焦點，且斜率為3，故所以∠MF1F2=60°設MF1=x由橢圓的定義可知：MF2+解得：x=3所以MF1=由勾股定理得：MF故3?1解得：c2a2故選：A【解法二】===-1?！咀兪?-1】2.（2020秋·貴州貴陽·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點分別為A．3?5 B．5?3 C．3【答案】D【解析】由直線斜率得直線傾斜角，從而ΔF1MF2的三個內(nèi)角都能求出，可確定ΔOMF2【詳解】如圖，由題意得∠MF1O=π6，又∠MF于是ΔOMF2是正三角形，∴點M在橢圓上，∴c24a2+e2=4?23（e故選：D.【點睛】本題考查求橢圓的離心率，解題關(guān)鍵是列出關(guān)于a,b,c的一個等式，本題關(guān)鍵是由直線MF1的傾斜角求出ΔF1MF2【變式6-1】3.（2021秋·廣西百色·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點分別為F【答案】3【解析】由題意∠F1M【詳解】設直線y=?3(x?c)的傾斜角為α，則∵∴α=120°在直角三角F1MF2由橢圓定義得2a=|MF1|+|MF2故答案為：3?1【點睛】熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系、橢圓的定義、離心率的計算公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎題．【變式6-1】4.過橢圓a＞b＞0）的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)2為右焦點，若∠F1PF2=60°，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【解法一】由題意知點P的坐標為（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．【解法二】===。題型7焦點三角形雙余弦定理型【例題7】（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學校聯(lián)考開學考試）已知橢圓C的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P，Q為C上兩點，2PA．35 B．45 C．135【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的焦點三角形，結(jié)合勾股定理即可求解.【詳解】設PF2=3m，則QF2=2m在△PQF1中得：2a?3m2因此PF2=25在△PF1F2中得：6425故選：D【變式7-1】1.（2023秋·廣西百色·高三貴港市高級中學校聯(lián)考階段練習）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)【答案】255【分析】利用余弦定理列方程，化簡求得離心率.【詳解】F1F2=2c，F(xiàn)1故由PF1+因為PF1+PF2在△PF1O中，cos在△PF2O∴4c2+9b2則ca=2故答案為：2

【點睛】求橢圓的離心率，方法有很多，一種是直接求得a,c，進而求得橢圓的離心率；一種是求得a,c的關(guān)系式（齊次式），化簡求得橢圓的離心率；一種是求得a,b的關(guān)系式（齊次式），化簡求得橢圓的離心率.【變式7-1】2.（2023秋·吉林四平·高二?？茧A段練習）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C:x2a2+y2A．34 B．23 C．53【答案】C【分析】設NF1=n，結(jié)合橢圓的定義，在Rt△MNF2中利用勾股定理求得【詳解】連接NF2，設NF1=n，則M

在Rt△MNF2中MN∴9n2+4a2∴MF1在Rt△MF1F2∴36c2=20a2，e故選：C.【變式7-1】3.（2023秋·天津河東·高三天津市第四十五中學?？茧A段練習）設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左，右焦點，過點F1的直線交橢圓C于M，N兩點，若MF1【答案】22/【分析】如圖，設F1N=x，由題意，橢圓定義結(jié)合余弦定理可得x=a3【詳解】如圖，設F1N=x，則M又由橢圓定義可得MF則在△MNFMN?8則F1則在△NFF1又F1故答案為：2

【變式7-1】4.（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，點M,N是橢圓A．32 B．22 C．12【答案】D【分析】設M(x0,y0)，則N(?x【詳解】由題意，橢圓C的左頂點為A(?a,0)，因為點M,N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的兩點，可設M(x0,所以kAM=y又因為x02a代入可得b2a2故選：D.

題型8焦點四邊形【例題8】（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓E的左焦點為F，E上關(guān)于原點對稱的兩點A、B滿足AF⊥BF，若tan∠FAB的最小值為12，則A．33 B．22 C．55【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義，可得tan∠FAB=BFAF=2a?AFAF≥【詳解】解：設橢圓的右焦點為M，連接AM，BM，因為AF⊥BF，由橢圓的對稱性知，四邊形AFBM為矩形，所以AM=

由橢圓的定義知，AF+AM=2a在Rt△ABF中，tan∠FAB=BF而AF≤a+c，所以a+c=4a3，即所以離心率e=c故選：D．【變式8-1】1.（2023·全國·高二專題練習）設點F1、F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點，點M、N在CA．108 B．104 C．58【答案】B【分析】分析可知，四邊形MF1NF2為矩形，設MF2=t，則MF【詳解】如下圖所示：

由題意可知，O為F1F2、MN的中點，則四邊形M又因為MN=F1設MF2=t，則M由勾股定理可得2c=F所以，該橢圓的離心率為e=2c故選：B.【變式8-1】2.（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F，過原點的直線l與A．104 B．105 C．25【答案】A【分析】設橢圓的左焦點為F1，由橢圓的對稱性可得四邊形AFBF1【詳解】如圖，設橢圓的左焦點為F1由橢圓的對稱性可得AF所以四邊形AFBF又AF⊥BF，所以四邊形AFBF1為矩形，所以由AF=3BF，得又AF1+在Rt△AFF1得a24+9a即C的離心率為104故選：A.

【變式8-1】3.（2023秋·高二課時練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點是F【答案】53/【分析】設橢圓的左焦點為E，利用已知條件結(jié)合橢圓的對稱性可得四邊形AEBF為矩形，再利用勾股定理方程組求解即可.【詳解】設橢圓的左焦點為E，連接AE，BE，BF，CE，

由直線y=kx交橢圓于A,B兩點﹐及OAOF結(jié)合橢圓的對稱性可得OA=所以△AEF，△AFB，△BEF均為直角三角形，所以四邊形AEBF為矩形，設AF=2t，則CF=t，AE=2a?2t所以在直角△AEF中AE2+AF在直角△ACE中AE2+AC由②解得t=a將t=a3代入①得209所以e=c故答案為：5【變式8-1】4.（2023春·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習）已知O為坐標原點，Px1,y1是橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0上一點x1A．53 B．175 C．176【答案】A【分析】連接PF'，F(xiàn)'D，DF，F(xiàn)'G，，由橢圓的對稱性可得四邊形PF'QF為矩形，再由DF=4FG及橢圓的定義，可得|P【詳解】設橢圓的左焦點F'，連接PF'，F(xiàn)'D由橢圓的對稱性可知四邊形PF

因為DF?FG=0,所以DF⊥FG因為DF=4FG，所以設|FG|=r，則|PF'|=4r|F'G|=2a?|FG|=2a?r在△PGF'中，|F'G所以可得r=a在△PF'F中，|F所以離心率e=c故選：A【變式8-1】5.（2023秋·山西大同·高三統(tǒng)考開學考試）已知橢圓C1x2a2+y2b2=1?(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，【答案】7【分析】根據(jù)橢圓的對稱性和|PQ|?=?|F【詳解】因為點P,Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|?所以四邊形PF1Q

所以SP由橢圓定義與勾股定理知：|PF所以|PF1|?|PF2|?即C的離心率為73故答案為：7題型9利用圖形求離心率【例題9】（2023·河南開封·校考模擬預測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A，B分別是A．12 B．C．3?52 【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)，在Rt△ABO和Rt△BFO在求出∠FAB，∠BFO的正切值，由兩角差的正切公式求出∠FBA的正切值，結(jié)合題目條件得a，【詳解】由題意作出圖形，如下圖所示：

可知：OA=a，OB=b，在Rt△ABO中可得：tan在Rt△BFO中可得：tan所以tan化簡得：tan因為tan∠FAB=2tan∠FBA又b2=a即e2?3e+1=0，解得又e∈(0,1)，所以e=3?故選：C.【變式9-1】1.（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學?？寄M預測）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點，A是CA．1010 B．714 C．39【答案】B【分析】求得直線AP的方程，根據(jù)題意求得P點坐標，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．【詳解】由題意可知：A0,b，F(xiàn)1?c,0，F(xiàn)2c,0由∠PF1F2=120°代入直線AP方程中得?3c=23則a=b2+故選：B.【變式9-1】2.（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學?？计谀┮阎獧E圓x2a2+y2b2=1【答案】3【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)可推出∠AF2F1=π6，∠A【詳解】因為△ABF所以AB=因為BF2⊥x軸，所以∠A所以AF又AF1+在Rt∠AOF1所以橢圓的離心率為32故答案為：32

【變式9-1】3.（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學?？寄M預測）已知橢圓T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點分別為【答案】55/【分析】（1）由△ABO～△F1PF2可得PF2【詳解】設c為半焦距，因為△ABO～△F1PF2因為△ABO～△F1PF2，所以BO所以b2=4c2=a2故答案為：5

【變式9-1】4.（2023·全國·高二專題練習）設F1，F(xiàn)2是橢圓E:y2a2+x2b2【答案】58【分析】分別表示出PF2、GF2，在【詳解】如圖所示，

由圖知∠PF所以∠GF2P=又因為OG=54所以GF所以在Rt△GF2P中，由解得：ca所以橢圓E的離心率為58故答案為：58【變式9-1】5.（2023·全國·高二專題練習）已知M是橢圓E：x2a2+y2b2=1【答案】2【分析】通過焦點到直線的距離建立a,b,c關(guān)系，解方程即可求解.【詳解】由題知，Mc,0，且MN=cb?a×0∴a4=4c2b2=4故答案為：2

【變式9-1】6.（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)【答案】35/【分析】如圖所示，作F2E⊥MN，垂足為E．由∠F2F1N=∠F2NF【詳解】如圖所示，

作F2E⊥MN∵∠F2F1N=∠∴|F1∵2S△MNF2則MF1=25∴|M∵在Rt△MEF2中，ME2+∴(2c)2?(a?c∴5e2?8e+3=0，故答案為：3【變式9-1】7.（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學?？寄M預測）設△ABC內(nèi)接于橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0，A與橢圓的上頂點重合，邊BC過E的中心O【答案】10【分析】畫出草圖，分析可知F為△ABC的重心，求解即可.【詳解】如圖：邊BC過E的中心O，所以O為BC的中點，則AO為邊BC上的中線，AC邊上中線BD過點F0,c所以兩中線的交點為F，即F為△ABC的重心，所以3OF=OA，即3c=b所以a2?c所以e2=1故答案為：1010題型10利用橢圓的對稱性【例題10】（2023秋·貴州銅仁·高三貴州省思南中學?？茧A段練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，過點【答案】53/【分析】由題意可得F2N//F1M，且F2N=12F1M，延長MF1【詳解】因為PM=2MN，所以F2N//F延長MF1并延長交橢圓于點則由對稱性可設F1Q=F2N=t因為F1M+則QM=a，F(xiàn)2M得QM所以∠QMF在△F1M2a32+4a3所以離心率e=c故答案為：5【點睛】關(guān)鍵點睛：此題考查橢圓的離心率的求法，解題的關(guān)鍵是利用橢圓的對稱性和橢圓的定義表示出各線段的長.【變式10-1】1.（2023春·廣東珠?！じ叨？茧A段練習）設F1，F(xiàn)2為橢圓x2A．22 B．12 C．23【答案】D【分析】由題設及橢圓對稱性，若下頂點為C，則直線F2B必過下頂點C，且|F1A【詳解】由F1A=5F2B且A為橢圓的上頂點，則根據(jù)橢圓對稱性知：直線F2B必過下頂點C，且|F

所以，如上圖有CF2=5F2則(c,b)=5(x?c,y)，故x=65c所以36c225a2+b故答案為：D【變式10-1】2.（2023·江西南昌·校聯(lián)考二模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l經(jīng)過點F1交C于A，A．12 B．33 C．22【答案】B【分析】分別取A，B關(guān)于x軸的對稱點A'，B'，連接A'F1，A'F2，B'F1【詳解】分別取A，B關(guān)于x軸的對稱點A'，B'，連接A'F1，A由AM∥F1F2則A',M關(guān)于原點對稱，則四邊形所以∠F1A又AB=MF1，所以又△A'B所以A'F2△A'F得49a2所以e=c故選：B.【變式10-1】3.（2023春·福建莆田·高二莆田一中?？计谥校┰OF1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x2a2A．22 B．64 C．53【答案】C【分析】思路1：BF2=m，延長AF1與橢圓交于D點，分別求出AD,AF2,DF2，則【詳解】思路1.（對稱性）延長AF1與橢圓交于D點，連接AF由橢圓的對稱性可得：F1D=F設BF2=m，則A由橢圓的定義知：AF所以AF2=4m則F1D=BF2=m.于是AD=3m所以AF12+AF22思路2.（補角余弦）設BF2=m，則A由BF1+B由∠AF1F2，∠BF2F1互補得：cos∠A得4m2+4c2故選：C.【變式10-1】4.（2023春·安徽池州·高二池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）已知橢圓Γ:x2a2+y2bA．33 B．23 C．53【答案】C【分析】作N關(guān)于原點的對稱點C，可得四邊形NF1CF2為平行四邊形，根據(jù)橢圓的定義和勾股定理，可證∠CM【詳解】如圖，作N關(guān)于原點的對稱點C，連接NF1、CFF2N=而|MF2則|MF1|=23a，|因為CF22=在△MF1F2中，F(xiàn)1則e=c故選：C.【變式10-1】5.（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預測）已知A,B,C是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的三個點，F(xiàn)為【答案】3【分析】設橢圓E的右焦點為F',FB=t，則AF=3t,AF【詳解】設橢圓E的右焦點為F',FBBF'=2a?t，∠AFC=在△AFF'中，由余弦定理得：在△ABF'中，由余弦定理得：由①得：12=18由②得：t=把④代入③化簡得：b2a2故答案為：33題型11中點弦公式【方法總結(jié)】焦點在x軸的橢圓：運用kOM【例題11】（2023秋·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知直線y=?12x+2與橢圓C:x2A．32 B．12 C．34【答案】A【分析】由題意，利用點差法，整理方程，根據(jù)斜率公式和中點坐標公式，可得答案.【詳解】設Ax1,y1故y1?y則?4b22a故選：A.【變式11-1】1.（2018·河南鄭州·校聯(lián)考二模）直線3x+4y?7=0與橢圓x2a2+y2b2=1A．12 B．22 C．32【答案】A【分析】中點弦問題可以利用點差法解決.【詳解】設A(x1則有x12a①?②即x1兩邊同時除以x1?x而直線3x+4y?7=0的斜率k=?34且AB的中點為M1,1，所以代入③式得：2a2+所以離心率e=1?故選：A【變式11-1】2.（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點為F，過F作一條傾斜角為45A．33 B．12 C．25【答案】A【分析】設出點A，B的坐標，利用“點差法”求解作答.【詳解】設點A(x1,相減得b2(x1+又M?3,2為線段AB的中點，則x1+x2=?6，所以橢圓C的離心率e=a故選：A【變式11-1】3（2023·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓C：x2a2+yA．1010 B．55 C．55或255【答案】A【分析】根據(jù)向量共線的坐標表示求得B點坐標，利用點差法求得bc，進而求得橢圓C【詳解】設Fc,0，A0,b，Px1,因為AB=3FB，所以AF=2所以x0=3c2，因為B為線段PQ的中點，所以x1+x所以x12a所以kPQ=y又因為a2=b2+即b?3c3b?c=0．所以bc當bc=1此時橢圓方程為x210k所以bc所以離心率e=c故選：A【變式11-1】4.（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考期末）過橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)左焦點F?c,0作傾斜角為π6的直線l，與橢圓C交于A、A．55 B．12 C．32【答案】D【分析】設Ax1,y1、Bx2【詳解】設Ax1,y1由題意得x12a兩式相減，得x1因為P為線段AB的中點，且直線AB的傾斜角為π6，所以x因為F?c,0，直線AB的傾斜角為π6，易知點P在第二象限，則x0=?(c?3所以P?12c,3所以a2=3(a2?故選：D.【變式11-1】5．（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知直線y=?13x+t與橢圓C:A．336 B．346 C．306【答案】BD【分析】設出Ax1,y1，Bx2,y【詳解】設Ax1,y1從而x12?由題意可得x1故y1?y則?2mb2因為m>2，所以b2橢圓C的離心率e=1?所以橢圓離心率范圍為336故346與35故選：BD【變式11-1】6.（2023·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）已知橢圓C：x2a2+y【答案】12/【分析】設Ax1,y1,Bx【詳解】F?c,0設Ax因為點P是線段AB的中點，P的橫坐標為13所以x1則kPF由直線l與C相交于A，B兩點，得x1兩式相減得x1即x1所以y1即kl?y則kl所以b2所以離心率e=c故答案為：12

【變式11-1】7.（2023·江蘇·高二專題練習）設橢圓Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為Fc,0，點A3c,0在橢圓外，【答案】22/【分析】取線段PQ的中點M，連接OM，推導出OM//PF，可得出kOMkPQ【詳解】如下圖所示：

由題意可知，點E?c,0為橢圓Γ因為點A3c,0、Fc,0，易知點F為線段又因為P為AQ的中點，所以，PF//取線段PQ的中點M，連接OM，則APPM=AF所以，kOM=k設點Px1,y1所以，x12a2+所以，kOM所以，橢圓Γ的離心率為e=c故答案為：22【變式11-1】8.（2023·安徽滁州·?？级＃┮阎本€l與橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于M,N兩點，線段MN中點P在直線【答案】3【分析】利用點差法證明二級結(jié)論kMN?kOP=?b2a2【詳解】設Mx1,y1記坐標原點為O，直線l,OP,PQ的斜率分別為kMN又x12a即kMN?kOP=?即y0x0y0所以離心率e=c故答案為：32【變式11-1】9.（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓方程為x2a2+y2b2=1a>b>0，M2,1為橢圓內(nèi)一點，以M為中點的弦與橢圓交于點A,B，與xA．12 B．22 C．32【答案】B【分析】根據(jù)點差法求出直線AB斜率，由直線方程求出P點橫坐標，根據(jù)垂直可得GM斜率，由直線方程得出G點橫坐標，據(jù)此可求出三角形面積，根據(jù)均值不等式求最值，利用等號成立的條件求出對應的離心率即可.【詳解】如圖，

設A(x1,則由以M為中點的弦與橢圓交于點A,B可得x2兩式相減可得y2即kAB所以直線AB方程為y?1=?2令y=0，可得x4由GM⊥AB知，kGM所以直線GM的方程為y?1=a令y=0，可得x3∴S當且僅當a22b此時e2=c故選：B題型12點差法【方法總結(jié)】解決橢圓中點弦問題的兩種方法：（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標公式解決；（2）點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標和斜率的關(guān)系，具體如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的兩個不同的點M(x0，y0)是線段AB的中點，x12a2+y12b2=1,=1\?GB3\?MERGEFORMAT①x22a2+y22b2=1,=2\?GB3\?MERGEFORMAT②由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，變形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，(x1?x2≠0，x1+x2≠0)即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).KAB?K【例題12】（2022·全國·高三專題練習）已知P為橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)在第一象限上一點，P關(guān)于原點的對稱點為A，P關(guān)于x軸的對稱點為E【答案】3【分析】設P(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)PD=34PE，求得D(x1，?12y1)，由P【詳解】解：設P(x1，y1)，由題意可得A(?x1，?y1)因為PD=34PE，設則n?y所以n=?1即D(x1，因為P，B在橢圓上，所以x1兩式相減得：x1所以y1即kPB而k因為PA⊥PB，所以kPA所以?b因為A，D，B三點共線，所以kAD即?12y將其代入(?)中，得b2所以e2即e=3故答案為：32【變式12-1】1.（2022秋·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）已知M、N是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，P是橢圓上任意一點，且直線PM、PN的斜率分別為k1、k2(k1?k2≠0A．55 B．23 C．33【答案】D【分析】設出點P,M的坐標，結(jié)合橢圓方程及斜率坐標公式，借助均值不等式求解作答.【詳解】設橢圓方程為x2a2+y2b

由x2a2+y整理得y?y0x?x0因為|k1|+|k2|≥2|橢圓的離心率為e=a故選：D【變式12-1】2.（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C:x2aA．155 B．105 C．63【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓方程整理得kAP【詳解】由題意可知：Aa,0設Px0,y0則kAP又因為點Px0,y0可得kAP?k所以C的離心率e=1?故選：A.

【變式12-1】3.（2023秋·廣東肇慶·高三德慶縣香山中學?？茧A段練習）橢圓C：x2a2【答案】6【分析】由題可得A?a,0，設Px0,y0,Q?x【詳解】由題可得A?a,0，設Px0,y0,Q則e2故答案為：6【變式12-1】4.（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，過C中心的直線交C于M，N兩點，點P在x軸上，其橫坐標是點M橫坐標的3倍，直線NP交A．22 B．63 C．33【答案】D【分析】利用三條直線的斜率關(guān)系，結(jié)合點差法可得.【詳解】

設Mx1,y1，Q設k1、k2、k3，分別為直線MN、QM則k1=y1x因直線QM是以MN為直徑的圓的切線所以QM⊥MN，k1所以k2又Q在直線NP上，所以k3因M、Q在x2所以x12a兩式相減得x1整理得y2故k2k3e2故e=3故選：D題型13角平分線相關(guān)【方法總結(jié)】1.角平分線“拆”面積：S△ABC=2.角平分線定理性質(zhì)：ABBD=【例題13】（2023秋·高二課時練習）F1，F(xiàn)2是橢圓E：x2a2【答案】5【分析】根據(jù)∠F1MN=∠F2MN=45°，得到F1M⊥F2M【詳解】解：因為∠F所以F1M⊥F2M所以F1又因為3N所以F1MF由橢圓定義得F1即4x+3x=2a，解得x=2則F1則87所以c2a2故答案為：5【變式13-1】1.（2023·山東煙臺·?？寄M預測）設橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點為A．33 B．2?1 C．22【答案】D【分析】作圖，根據(jù)幾何關(guān)系以及橢圓的定義求解.【詳解】依題意作上圖，因為F1Q是∠PF1F又P點在圓x2+y2=根據(jù)橢圓的定義有PF由勾股定理得：F1F2即e2+2e?2=0解得e=3故選：D.【變式13-1】2.（2023春·江西贛州·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．橢圓C在第一象限存在點M，使得MA．6?12 B．5?12 C．【答案】B【分析】根據(jù)題意和橢圓定義可得到MF2，AM和a，c的關(guān)系式，再根據(jù)△MF1F2∽△MF【詳解】由題意得F1又由橢圓定義得MF記∠MF則∠AF2F則AF所以AM=4c?2a故△MF則MF則a?cc=2c?a故選：B．【變式13-1】3.（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右頂點分別為A，B，右焦點為F，P為橢圓上一點，直線AP與直線x=a交于點M，∠PFB的角平分線與直線x=a【答案】1【分析】利用垂直關(guān)系而得出MB=2b2【詳解】由題意知，A?a,0，Ba,0，F(xiàn)c,0，當PF⊥AB由PFAF=MBAB，得又∠PFB的角平分線與直線x=a交于點N，可知NB=BF=a?c，所以MBNBS△MABS△NFB=12×AB×MB故答案為：13【變式13-1】4.（2023·全國·高三專題練習）設橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e≠2【答案】3【分析】根據(jù)題意，作圖，計算得AF2=a?ex0，AF1=a+ex0，再設角平分線交x軸于T(m,0)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到【詳解】由點A在橢圓C上，且∠F1AF2=π則A=c同理AF設角平分線交x軸于T(m,0)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可知S△AS△A∴AF2AF可得直線AB:y=y01?由AB=2BD，可得設AB中點為M，則xM=2點差法的結(jié)論，證明如下：設A(x1,y1)，B(x故x12a又由x1+x2=2最后化簡得，y0進而得到，kOM得2?3e因為∠F1A聯(lián)立x02+所以y02x02故答案為：32題型14焦點圓問題【例題14】（2023春·吉林長春·高二?？奸_學考試）已知F是橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點，點P在橢圓C上，線段A．23 B．12 C．22【答案】D【分析】設橢圓的左焦點為F1，確定PF1⊥PF，|PF【詳解】設橢圓的左焦點為F1，連接F1，設圓心為∵(x?c3)2+y2由于|F1F|=2c,|FC|=∵PQ=2QF，∴P∴|PF|=2a?b,∵線段PF與圓x2a2+y∴CQ⊥PF∴PF∴b2+∴a=32b∴e=c故選：D．

【變式14-1】1.（2022秋·江蘇南京·高三南京師大附中校聯(lián)考階段練習）已知點P在橢圓C:x2a2+A．2?1 B．34 C．23【答案】D【分析】由圓與橢圓的性質(zhì)求解，【詳解】點P在橢圓上，則PF1的最大值為a+c，圓的半徑為則PQ的最大值為a+c+a2=2a故選：D【變式14-1】2.．（2023秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）已知過橢圓E:x2m+y2m?1=1m>5上的動點P作圓C（C為圓心）：x【答案】1【分析】由橢圓方程和圓的方程可確定橢圓焦點、圓心和半徑；當∠ACB最小時，可知∠ACP=π3，此時PCmin=2；根據(jù)橢圓性質(zhì)知【詳解】由橢圓E方程知其右焦點為1,0；由圓C的方程知：圓心為C1,0，半徑為1當∠ACB最小時，則∠ACP最小，即∠ACP=π3，此時此時cos∠ACP=ACPC∵P為橢圓右頂點時，PCmin=m∴橢圓E的離心率e=1故答案為：13【變式14-1】3.（2022·浙江·高三專題練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦點分別是F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，點P是橢圓C上一點，滿足【答案】10【分析】由題意畫出圖形，由已知向量等式可得PF1⊥PF2【詳解】解：如圖，由|PF1即PF12所以PF又以點P為圓心，r為半徑的圓與圓F1:(x+c)∴|PF1|+r=即|PF1|?|P聯(lián)立可得|PF1|=在Rt△PF1F2中，由即94a2故答案為：104【變式14-1】4．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C:y2a2+x2A．35 B．53 C．54【答案】B【分析】記上焦點為F'，圓心為E(0,?c3)，由線段成比例得出EN//F'M【詳解】如圖，記上焦點為F'，圓心為E(0,?c3)，則F'FF'=2c，F(xiàn)E=2所以EN//F'MEN=13由橢圓定義FM=2a?又EN⊥FM，所以F'M⊥FM，所以2(a2?c2c=a2?故選：B【變式14-1】5.（2022秋·貴州黔東南·高二?？计谥校┤鐖D，橢圓E的左右焦點為F1，F(xiàn)2，以F2為圓心的圓過原點，且與橢圓E在第一象限交于點P，若過P?F1的直線l與圓F2相切，則直線l的斜率k=【答案】33【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得∠PF1F【詳解】連接PF2，由于l是圓F2在Rt△PF1F所以PF2=12F1PF根據(jù)橢圓的定義可知e=c故答案為：33；【點睛】本小題主要考查橢圓的定義、橢圓的離心率，屬于中檔題.題型15內(nèi)切圓相關(guān)【例題15】（2023·江蘇·高二專題練習）已知點F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2a2A．89 B．916 C．49【答案】B【分析】根據(jù)給定的面積關(guān)系求出焦點三角形三邊的關(guān)系，利用橢圓定義結(jié)合離心率定義求解作答.【詳解】設點G到△PF1F2各邊的距離為r，由

即|PF1|=169于是2a=169×2c故選：B【變式15-1】1.（2023·全國·高二專題練習）設橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上不與頂點重合的一點，記I為△PFA．12 B．22 C．34【答案】B【分析】先利用角平分線性質(zhì)得到PF1PF2=F【詳解】不妨設點P位于第一象限，如圖所示，

因為I為△PF1F2的內(nèi)心，所以所以PF1PF2設PF1=5t，則P可得t=a4，所以PF又因為PF所以cos∠F1cos∠P所以a2=2c故選：B.【變式15-1】2.（2023春·江西上饒·高二校聯(lián)考階段練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.點P在橢圓C上，圓O1與線段F1P的延長線，線段PF【答案】12【分析】設圓O1、O2與x軸的切點分別為A，B，圓心O1，O2在∠PF1F2的角平分線上，從而切點D也在∠PF1F2的角平分線上，所以【詳解】由已知及平面幾何知識得：圓心O1、O2在設圓O1、O2與x軸的切點分別為A，由平面幾何知識得，直線PF2為兩圓的公切線，切點D也在所以|PF由橢圓的定義知|PF1|+|P有|F2D|=|F1A|=|又圓O1與圓O2的面積之比為9，所以圓O1與圓O因為O2B//即3c?aa+c=13，整理得a=2c，故橢圓故答案為：1【變式15-1】3.（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2，斜率為1的直線經(jīng)過左焦點F1A．13 B．C．33 D．【答案】D【分析】由橢圓定義及三角形面積公式得到y(tǒng)A=?2y【詳解】如圖所示，由橢圓定義可得AF1+設△AF1F2的面積為S1，△B所以122a+2cr設直線l:x=y?c，則聯(lián)立橢圓方程與直線，可得x=y?cb2x所以yA+y聯(lián)立①②③得，2×(?2b2c)2故選：D【變式15-1】4.（2023·全國·高三專題練習）已知O為坐標原點，F(xiàn)1,F2為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，F(xiàn)1F2=6【答案】35【分析】延長F1M交PF2延長線于點N，可得△PF1M?△PNM，OM為△F1【詳解】

因為F1F2=6，即因為點Q是以PF2為底的等腰三角形F1所以PQ為∠F1PF2的角平分線，延長F在△PF1M與△PMN中，∠所以|PF1|=|PN|=6，MF1又O為F1F2的中點，所以OM所以|F2N|=2|OM|=2所以|PF1|+|PF2故答案為：35【變式15-1】5.（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2a2【答案】1【分析】利用橢圓的定義求出三角形的周長，結(jié)合三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得答案.【詳解】由題意可知△BF1F2的周長為2a+2c，△BF平方可得b2=34a解得a=7c，即e=c故答案為：17【變式15-1】6.（2023春·云南大理·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，點【答案】15【分析】取線段AF1的中點N，由已知條件得出2OM=MN，從而O,M,N三點共線，且2【詳解】不妨設點A在x軸上方，設點A的縱坐標為yA，點M的縱坐標為yM，△AF1F

取線段AF1的中點N，設點N的縱坐標為因為3M所以2F1M+M∴O,M,N三點共線，且2OM=MN∵S△AF1S△AS△M∴rc+a=6rc，∴橢圓的離心率故答案為：15【點睛】方法點睛：橢圓離心率的三種求法：（1）若給定橢圓的方程，則根據(jù)焦點位置確定a2,b2，求出（2）求橢圓的離心率時，若不能直接求得ca的值，通常由已知尋求a,b,c的關(guān)系式，再與a2=b2+c（3）求離心率時要充分利用題設條件中的幾何特征構(gòu)建方程求解，從而達到簡化運算的目的．題型16橢圓與圓問題【例題16】（2023春·河南安陽·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:x216+y2b2=1【答案】34/【分析】利用橢圓的定義和三點一線得PF2+|PA|≥8?AF1=8?【詳解】由題可知PF1+PF則PF當點P在F1A的延長線上時，等號成立，所以所以c2=3,c=3，因為a=4故答案為：34

【變式16-1】1.（2021秋·廣東深圳·高三紅嶺中學?？计谀┮阎狥1，F(xiàn)2是橢圓x2【答案】5【分析】由橢圓的定義可得PF2=2a?b【詳解】設橢圓x2a2+由已知PF1=b故PF因為PF2⊥P所以b2+2a?b所以ba所以橢圓x2a2故答案為：53【變式16-1】2.（2023·全國·高三對口高考）在平面直角坐標系中，橢圓x2a2+yA．12 B．13 C．33【答案】D【分析】首先判斷a2【詳解】由題意，a2令一條切線為y=k(x?a2c所以|k|a2c1+k2=a所以e=1故選：D【變式16-1】3.（2023·四川成都·樹德中學?？寄M預測）A、B分別為E:x2a2+y2b2=1左右頂點，點P在圓⊙O:x2+

A．13 B．12 C．32【答案】D【分析】設Qacosθ,bsinθ【詳解】設Qa則tan∠PAB=tan∠QBA=兩式相乘得tan∠PAB?tan因為直徑所對的角是直角，所以∠PAB+∠PBA=所以tan∠PAB?tan①除以②得tan∠QBAtan∠PBA故選：D【變式16-1】4.（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為FA．34 B．C．32 D．12【答案】D【分析】求出直線AF的方程，利用點到直線的距離公式，橢圓離心率公式，即可求得橢圓的離心率．【詳解】設F(c,0)，則直線AF的方程為xc+y圓心O到直線AF的距離d=|?bc|兩邊平方整理得，16(a于是16(1?e2)e2則e=12或故選：D題型17橢圓與雙曲線共焦點問題【例題17】（2023·全國·高三對口高考）已知橢圓C1:x2m2+y2=1(m>1)與雙曲線【答案】e【分析】由題可得m2?1=n【詳解】因為C1,C2的焦點重合，所以所以e1所以e1故答案為：e1【變式17-1】1.（2023秋·全國·高二期中）如圖，已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)

①若a2+3m②若|PF1|?|P③△F1P④若∠F1PF2A．①② B．②③ C．③④ D．