【教無憂】高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修一）第46講 專題2-11 雙曲線解答題十一大題型

專題2-11雙曲線解答題十一大題型匯總題型1弦長問題 1題型2求直線方程問題 9題型3面積問題 19題型4中點(diǎn)弦問題 26題型5取值范圍問題 33題型6最值問題 47題型7定點(diǎn)問題 59題型8定值問題 73題型9定直線問題 83題型10向量相關(guān)問題 92題型11探索性問題 103題型1弦長問題【方法總結(jié)】有關(guān)圓錐曲線弦長問題的求解方法涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．【例題1】（22·23下·遂寧·階段練習(xí)）已知雙曲線x2a2(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)F且傾斜角為π4的直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，求AB【答案】(1)x(2)8【分析】（1）由題意可知得2c=6，且b=2a，再結(jié)合b2（2）由題意可得直線l的方程為y=x?3，設(shè)A(x1,【詳解】（1）由雙曲線x2a2得2c=6，且b=2a，又解得c=3,a所以b2所以雙曲線方程為x2（2）由（1）可知雙曲線C的右焦點(diǎn)F為(3,0)，所以直線l的方程為y=x?3，設(shè)A(x由x23?所以x1所以AB=

【變式1-1】1.（22·23下·河南·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求C的方程；(2)證明：MN⊥F1N【答案】(1)x(2)證明見解析，4【分析】（1）根據(jù)題意，表示出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合三角形的面積公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx?2【詳解】（1）根據(jù)題意有F22a,0將x=2a代入兩個(gè)漸近線方程得到交點(diǎn)坐標(biāo)為2a,l與C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為12所以a=2，C的方程為x（2）

設(shè)Mx1,y1，N由（1）可知F1?2,0，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，顯然MN與F1當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx?21?k2x2+4F1N=當(dāng)MN⊥F1N時(shí)有：由x1x2=4整理有k2?1由①，②可得k2所以MN=【變式1-1】2.（22·23上·南京·階段練習(xí)）如圖，已知圓C:(x+

(1)求軌跡E的方程：(2)過點(diǎn)A作傾斜角為π4【答案】(1)x(2)BD【分析】（1）根據(jù)定義得出雙曲線的方程；（2）設(shè)方程聯(lián)立方程組應(yīng)用弦長公式計(jì)算弦長即可.【詳解】（1）由題意得M在CQ的延長線上，MC?M在QC的延長線上，MA?∴軌跡E是以A,C為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為22∴軌跡E的方程為x2（2）設(shè)切線的方程為y=x?3，代入x22設(shè)B,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1則x所以BD=【變式1-1】3.（22·23上·遼寧·期末）已知雙曲線C的漸近線為y=±3x，且過點(diǎn)(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線y=ax+1與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA與OB垂直，求a的值以及弦長AB．【答案】(1)3(2)a=±1，AB【分析】（1）根據(jù)漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為3x2?y2（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，故可得【詳解】（1）由雙曲線漸近線方程為y=±3x，可設(shè)雙曲線方程為：又雙曲線過點(diǎn)M1,2∴雙曲線的方程為：3（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2∵直線y=ax+1與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，∴Δ=4a2∴x1+x∵OA⊥OB，∴OA?OB又y1=ax1+1，把（*）代入上式得?21+a23?a2+2由弦長公式可得AB【變式1-1】4.（22·23上·江西·期中）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為3，雙曲線C的左(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)D4,0的直線l交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O，求弦長AB【答案】(1)x(2)8【分析】（1）由雙曲線定義得到a=2，結(jié)合離心率得到c=23，求出b（2）先分析得到直線l的斜率不為0，設(shè)出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)AB為直徑的圓過原點(diǎn)O，得到OA⊥OB，從而列出方程，代入兩根之和，兩根之積，得到【詳解】（1）由雙曲線的定義可得PF1?因?yàn)殡p曲線C的離心率為3，所以ca=c因?yàn)閏2=a故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x（2）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，此時(shí)A,B兩點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)，故以AB為直徑的圓不過原點(diǎn)，不合題意，舍去；直線l的斜率不為0，則設(shè)直線l:x=my+4,Ax聯(lián)立x=my+4,x24則y1故x1因?yàn)橐訟B為直徑的圓過原點(diǎn)O，所以O(shè)A⊥OB所以m2+1y化簡整理得8?8m2=0則y1故AB=【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線結(jié)合問題，通常要設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再根據(jù)題目條件列出方程，或得到弦長或面積，本題中以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O，所以O(shè)A⊥OB，從而由向量數(shù)量積為0列出方程，注意考慮直線【變式1-1】5.（22·23下·撫順·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：x2a2?y(1)求C的方程；(2)若線段PF與C的左支交于點(diǎn)Q，與兩條漸近線交于點(diǎn)A，B，且3AB=PQ【答案】(1)x(2)9【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得曲線C的方程；（2）設(shè)直線PF的方程為x=my?2，再與曲線C聯(lián)立方程組，再利用韋達(dá)定理以及弦長公式即可得出結(jié)論>【詳解】（1）由題意得ca=2又a2+b設(shè)Px1,y所以a2b2=34c（2）由（1）知F?2,0，設(shè)直線PF的方程為x=my?2，Qx2,y聯(lián)立x23?則y1+y因?yàn)镻是C右支上的點(diǎn)，所以m2PQ=聯(lián)立x23?則y3+yAB=又3AB=PQ，所以2所以PQ=2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第（2）小問求AB的運(yùn)算能力是關(guān)鍵，本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，以及雙曲線的綜合應(yīng)用，屬于較難題.題型2求直線方程問題【方法總結(jié)】（1）解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線方程聯(lián)立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.【例題2】（20·21下·漳州·階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0與雙曲線x29?v(1)求橢圓C的方程．(2)是否存在直線y=2x+t與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，使得直線HM與HN的斜率之和為1？若存在，求此時(shí)的直線方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)x(2)存在，且直線方程為y=2x+3【分析】（1）根據(jù)已知條件求出a、b、c的值，即可得出橢圓C的方程；（2）分析可得t≠±1，設(shè)點(diǎn)Mx1,y1、Nx2,y2，將直線(1)解：由題可知，橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線x29?v?y2S△HF1F2因此，橢圓C的方程為x2(2)解：因?yàn)橹本€HM、HN的斜率都存在，則t≠±1，設(shè)點(diǎn)Mx1,y1、NΔ=362t2?36×37由韋達(dá)定理可得x1+xk=4?4tt+1=1因此，存在直線y=2x+3，使得直線HM與HN的斜率之和為1.【變式2-1】1.（22·23下·浙江·二模）已知雙曲線C:x24?y2b2=1的漸近線方程為x±2y=0，左右頂點(diǎn)為A,B(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)△ABP,△MNP的面積分別為S1,S2，若【答案】(1)x(2)5x+6y+45=0，或5x?6y+45【分析】(1)由雙曲線的方程求出漸近線方程，再結(jié)合題目已知條件即可求出b2(2)先由A,B,P點(diǎn)的坐標(biāo)得到kPA=?3kPB，把M,N的坐標(biāo)代入得到y(tǒng)1x1+2=?3?y2x2?2，再結(jié)合雙曲線的方程，化簡得y1x1+2?y2x2+2=?【詳解】（1）如圖，

由題意知雙曲線C:x24?y所以b2=1，所以雙曲線的方程（2）由(1)得A?2,0,B2,0，所以k設(shè)點(diǎn)Mx1,由x224?y設(shè)直線MN:x=my+n，與雙曲線方程聯(lián)立得：m2因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以m2所以由①式代入變形得y1將韋達(dá)定理代入消去m化簡得n=?4，即直線MN恒過定點(diǎn)?4,0.由此可得y1由于圖像的對稱性，不妨設(shè)t>0，則y1y2所以S2S1將韋達(dá)定理代入后得到S2解得m=±655所以，直線MN方程為5x+6y+45=0或7x+23y+4【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：求解直線或曲線過定點(diǎn)問題的基本思路：（1）把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)．（2）由直線方程確定其過定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)?y0=k(x?x0)，則直線必過定點(diǎn)【變式2-1】2.（21·22上·鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2(1)求C的方程：(2)若斜率為1的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，△POQ面積為6，求直線l方程.【答案】(1)x2(2)y=x+2或y=x?【分析】（1）利用離心率以及點(diǎn)在雙曲線上，列出關(guān)于a，b的關(guān)系，求解a，b，即可得到雙曲線的方程；（2）設(shè)直線方程為y=x+m，聯(lián)立直線和雙曲線的方程得到韋達(dá)定理，求出|PQ|,d即得解.【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線離心率為2，則e=ca=又點(diǎn)P(2,3)在C上，則22由①②可得，a2=1，所以雙曲線C的方程為x2（2）解：設(shè)直線方程為y=x+m，聯(lián)立x2?y所以Δ=4因?yàn)閨PQ|=1+點(diǎn)O到直線l的距離d=|所以6=所以直線l的方程為y=x+2或y=x?【變式2-1】3.（23·24上·株洲·階段練習(xí)）已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)P2,?(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)Q0,2的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為22（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線【答案】(1)x(2)y=2x+2【分析】（1）根據(jù)題意可知雙曲線C為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線C的方程為x2?y（2）可設(shè)直線l的方程為l:y=kx+2,Ax1,y1,Bx2,【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線C的兩條漸近線相互垂直，可知雙曲線C為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線C的方程為x2代入P2,?2，可得所以雙曲線C的方程為x2?y（2）由題意可知：直線l的斜率存在，設(shè)l:y=kx+2,Ax聯(lián)立方程y=kx+2x2?可得1?k2≠0Δ=16則x1可得EF=且O到直線l:kx?y+2=0的距離d=2由題意可得：S△OEF解得k2=2或k2所以直線l的方程為y=2x+2或【變式2-1】4.（23·24上·金華·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x22?y22=1，直線l過雙曲線C的右焦點(diǎn)F且交右支于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)S為線段(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)若TS?TB=【答案】(1)y=±x(2)y=2x?4或y=?2x+4或x=2【分析】（1）根據(jù)等軸雙曲線方程即可求解漸近線方程，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義將其轉(zhuǎn)化為TS?【詳解】（1）由題知，a=b=2，所以雙曲線C的漸近線方程為y=±（2）雙曲線C:x22由題知，直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB方程為x=ty+2，代入雙曲線C:x化簡可得：t2設(shè)Ax1,則x∴線段AB中點(diǎn)S的坐標(biāo)為?2t直線ST方程為y+2t（i）當(dāng)t=0時(shí)，S點(diǎn)恰好為焦點(diǎn)F，此時(shí)存在點(diǎn)T2+453,0此時(shí)直線AB方程為x=2．（ii）當(dāng)t≠0時(shí)，令y=0可得x=?4t2?1，可得點(diǎn)T由于ST⊥AB所以TS?由TS?TB=809化簡可得20t4?49由于直線AB要交雙曲線右支于兩點(diǎn)，所以?4t2?1>0，即可得直線AB的方程為x=±1綜上：直線AB方程為y=2x?4或y=?2x+4或x=2．

【點(diǎn)睛】【變式2-1】5.（23·24上·江西·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?(1)求雙曲線C的方程；(2)已知點(diǎn)B0，b，過點(diǎn)P?b2，0作直線l與雙曲線【答案】(1)x(2)y=0，y=?3x?332【分析】（1）先利用焦點(diǎn)到漸近線的距離求得b=3，再根據(jù)離心率求得a=1（2）分類討論，當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，y=0滿足題意，當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+mk≠0，與雙曲線聯(lián)立，韋達(dá)定理，結(jié)合BQ⊥MN及點(diǎn)P在直線l【詳解】（1）由題知Fc,0，雙曲線C的一條斬近線為bx+ay=0，則bc+0又e=ca=1+b2a（2）由（1）知，B0，3，P當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，直線l的方程為y=0，此時(shí)直線l與雙曲線C的交點(diǎn)為?1，0和1，當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+mk≠0設(shè)Mx1，y1,Nx整理得3?k2x即3?k2≠0m2+3?k2>0因?yàn)锽M=BN，所以BQ⊥MN，所以所以3?k2=433m，又點(diǎn)P解得k=?3或k=1，滿足3?k所以直線l的方程為y=?3x?332綜上，直線l的方程為y=0，y=?3x?332

【變式2-1】6.（22·23上·駐馬店·期末）已知圓C1:(x+3)2+y2=9，C2:(x?3)(1)求曲線C的方程；(2)直線l過點(diǎn)C2，且與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，滿足AC2【答案】(1)x(2)y=±【分析】（1）根據(jù)兩圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解；（2）不妨設(shè)l:x=my+3m<24，Ax1,【詳解】（1）由題意可知：圓C1的圓心C1?3,0，半徑r1=3，圓C由條件可得MC1?3=則根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)M是以C1，C則a=1,c=3，可得b2所以曲線C的方程為x2

（2）由（1）可知：雙曲線的漸近線方程為y=±22x，即由于C23,0且直線不妨設(shè)l:x=my+3m<24，則AC2=由AC2=3聯(lián)立方程x=my+3x2則Δ>0，由韋達(dá)定理可得y由y1+y代入y1y2解得m2=1因此直線l:x=±3535y+3

題型3面積問題【例題3】（22·23上·西寧·期末）已知雙曲線C1:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線為y=±3(1)求雙曲線C1(2)求△AFB的面積．【答案】(1)13(2)48【分析】（1）結(jié)合拋物線的定義，列出方程，求得p的值，即可得到本題答案；（2）聯(lián)立漸近線方程和拋物線方程，求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可得到本題答案.【詳解】（1）由題意．雙曲線C1:x2a所以雙曲線C1的離心率e（2）拋物線C2:x2=2py的準(zhǔn)線方程為l:y=?p2，所以|PF|=2+p2聯(lián)立y=±32x,x2=4y,得A(?6,9),B(6,9)，所以所以點(diǎn)F到直線AB的距離為8，所以△AFB的面積為S=1【變式3-1】1.（22·23上·煙臺·期末）已知雙曲線C與y24?x2(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1且傾斜角為45°的直線與C相交于A、【答案】(1)x(2)4【分析】（1）設(shè)雙曲線C的方程為y24?x216=λ，將點(diǎn)2（2）設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2【詳解】（1）解：設(shè)雙曲線C的方程為y24?x2所以雙曲線C的方程為y24?x2（2）解：在雙曲線C中，a=2，b=1，則c=a則F1?5,0，所以直線AB的方程為y=x+5聯(lián)立x=y?5x2?4y由韋達(dá)定理可得y1+y則y1所以，S△AB【變式3-1】2.（22·23上·江西·期中）已知雙曲線x2a2?y2b(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l:y=kx(0<k<2)與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)且∠AF2B=【答案】(1)x(2)4【分析】（1）根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想即可求解；（2）連接AF1，BF1，則由雙曲線與直線l的對稱性易知：四邊形AF【詳解】（1）∵雙曲線的離心率e=5∴ca=52b=4a2+∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）如圖，連接AF1，則由雙曲線與直線l的對稱性易知：四邊形AF又∠AF2B=根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：△AF2B設(shè)AF1=m，A則根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)及余弦定理可得：m?n=2am2∴△F1AF由（1）知b2=4，又∴△F1AF∴△AF2B【變式3-1】3.（23·24上·徐匯·階段練習(xí)）已知兩定點(diǎn)F1?2,0，F(xiàn)2(1)求曲線E的方程；(2)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)如果AB=63，且曲線E上存在點(diǎn)C，使OA+OB=m【答案】(1)x(2)?(3)m=4，面積為3.【分析】（1）由雙曲線的定義得其方程為x2（2）由于直線和雙曲線相交于左支，且有兩個(gè)交點(diǎn)，故聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程的判別式大于零，且韋達(dá)定理兩根的和小于零，兩根的積大于零，由此列不等式組，求解的k的取值范圍；（3）利用弦長公式計(jì)算得直線斜率為k=?52.由題設(shè)向量關(guān)系，得到C?45m【詳解】（1）由雙曲線的定義可知，曲線E是以F1?2,0,故曲線E的方程為x2（2）設(shè)Ax1,消去y，得1?k又直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A、B，有1?k2≠0（3）∵==21+依題意得21+k2∴k2=57或k2故直線AB的方程為52設(shè)Cx0,y0∴x0又x1∴點(diǎn)C?4將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入曲線E的方程，得80m2?但當(dāng)m=?4時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意，∴m=4，點(diǎn)的坐標(biāo)為?5,2，C到AB的距離為∴△ABC的面積S=1

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是首先利用弦長公式求出k=?52，從而得到直線AB的方程，再設(shè)Cx【變式3-1】4.（23·24上·江蘇·階段練習(xí)）已知雙曲線E:x2a2?(1)求雙曲線E的離心率；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過雙曲線上一點(diǎn)P22,1作直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(diǎn)（A，B【答案】(1)5(2)9【分析】（1）根據(jù)漸近線方程可得ba（2）根據(jù)雙曲線過點(diǎn)P22,1可得雙曲線方程，由已知可設(shè)點(diǎn)Ax1,x12，Bx2,?x22，再由PB=2AP，可得x【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為l1:y=x所以ba=1所以雙曲線E的離心率為52（2）由（1）得ba則可設(shè)雙曲線E:x因?yàn)镻2所以λ=2?1=1，則雙曲線E的方程為x2又點(diǎn)A，B分別在l1:y=x設(shè)Ax1,因?yàn)镻B=2所以x2則x1=3+3又OA=x1設(shè)OA的傾斜角為θ，且tanθ=ba所以S△AOB【點(diǎn)睛】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為x2【變式3-1】5.（23·24上·江西·階段練習(xí)）已知圓O1：x+52+y2=1的圓心為O1，圓O2：x?52+y2=9(1)求C的方程；(2)若P是C上一點(diǎn)，且O1P⊥O【答案】(1)x(2)24【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合雙曲線的定義即可求解；（2）設(shè)O1P=x，則O2P=2+x，由【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，因?yàn)閳AM與圓O1和圓O所以MO1=r+1則MO根據(jù)雙曲線的定義可知，M的軌跡是以O(shè)1，O設(shè)方程為x2由O1O2所以b2所以C的方程為x2（2）設(shè)O1P=x因?yàn)镺1P⊥O即x2+(2+x)2=故△O1O題型4中點(diǎn)弦問題【方法總結(jié)】弦中點(diǎn)問題的解法點(diǎn)差法在解決有關(guān)弦中點(diǎn)、弦所在直線的斜率、弦中點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率問題時(shí)可簡化運(yùn)算，但要注意直線斜率是否存在【例題4】（20·21上·西安·期中）已知橢圓與雙曲線y24?(1)求橢圓方程；(2)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)M1,1作一條弦AB，使該弦被點(diǎn)M平分，求弦AB【答案】(1)y(2)25x+9y?34=0【分析】（1）求出雙曲線的焦點(diǎn)和離心率，進(jìn)而得到橢圓的離心率和焦點(diǎn)，再由橢圓的a,b,c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；（2）設(shè)出弦AB的端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，運(yùn)用作差，結(jié)合平方差公式和斜率公式，由點(diǎn)斜式方程即可得到直線AB的方程.【詳解】（1）由雙曲線y24?故橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,?4,0,4，離心率則c2=4a故橢圓方程為y2（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則弦AB的中點(diǎn)在x軸上，不合題意；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)Ax1,由題意可得y1225整理得y12?y2故直線AB的方程為y?1=?259x?1綜上所述：直線AB的方程為25x+9y?34=0.【變式4-1】1.（21·22下·浦東新·期中）已知雙曲線Γ:(1)若離心率為5，求b的值，Γ的頂點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程；(2)若b=5，是否存在被點(diǎn)M【答案】(1)b=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)±1,0，漸近線y=±2x；(2)不存在，理由見解析.【分析】(1)根據(jù)離心率和a、b、c的關(guān)系即可求出b，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可求其頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；(2)假設(shè)存在被M平分的弦，利用點(diǎn)差法求出弦的斜率和方程，將弦的方程代入雙曲線方程判斷是否有兩個(gè)解即可．【詳解】（1）e=ca＝1，故雙曲線頂點(diǎn)為±1,0，漸近線方程為y=±2x；（2）當(dāng)b=5時(shí)，雙曲線為x假設(shè)雙曲線存在被點(diǎn)M1,1平分的弦，設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為Ax1則x1+x∵A、B在雙曲線上，∴x1①－②得：x1則kAB∴弦AB所在直線方程為：y?1=5x?1代入雙曲線方程得20x∵Δ=40故不存在被點(diǎn)M1,1【變式4-1】2.（19·20上·唐山·階段練習(xí)）已知一動(dòng)圓與圓C1：x+32+y2（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程C；（2）過點(diǎn)Q4,1能否作一條直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q是線段AB的中點(diǎn)，若存在，求出直線l【答案】(1)x24【分析】（1）利用圓與圓外切時(shí)，圓心距等于半徑之和，圓與圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于半徑之差的絕對值，從而得到方程組，再利用雙曲線定義得到圓心的軌跡為雙曲線的右支；（2）利用設(shè)而不求、點(diǎn)差法、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得直線AB的斜率.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心Px,y，半徑為r根據(jù)題意得：MC1=r+3則動(dòng)點(diǎn)M軌跡為雙曲線（右支），所以a=2，c=3，b=5所以軌跡方程C為x2（2）設(shè)A(x1兩式相減得5(x因?yàn)镼4,1是線段AB的中點(diǎn)，所以所以kAB所以AB的方程為5x?y?19=0.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義，點(diǎn)差法的應(yīng)用，注意求出的雙曲線方程要進(jìn)行驗(yàn)證，只是雙曲線的右支，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.【變式4-1】3.（23·24上·連云港·期中）已知雙曲線E：x2a2?y2b(1)求E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，求直線OP的方程.【答案】(1)x(2)y=【分析】（1）根據(jù)雙曲線中AF2?AF（2）設(shè)Ax1,【詳解】（1）因?yàn)樵陔p曲線E：x2a2所以2a=4，即a=2.雙曲線E：x2a2因?yàn)樾甭蕿?的直線l與E的一條漸近線垂直，所以ba=所以E的方程為x2（2）設(shè)Ax1,y1線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為x1+x又點(diǎn)A，B在雙曲線E上，所以x1②－①得，x2兩邊同時(shí)除以x2?x又kAB=2，a=2，b=1，所以所以直線OP的方程為：y=1【變式4-1】4.（23·24上·鹽城·期中）雙曲線C：x2a2(1)求C的方程；(2)是否存在直線l，經(jīng)過點(diǎn)M1,4且與雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，若存在，求l【答案】(1)x(2)存在，x?4y+15=0.【分析】（1）利用雙曲線的性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即可；（2）利用點(diǎn)差法計(jì)算即可.【詳解】（1）令x2a2又由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)c,0到漸近線的距離d=c所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2（2）假設(shè)存在，由題意知：該直線的斜率存在，設(shè)Ax1,y1，B則x1+x又有x12?兩式相減得x12即y1+y2y所以直線l的方程為y?4=14(x?1)聯(lián)立直線與雙曲線方程x?4y+15=0x4y?152即直線l:x?4y+15=0與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，所以存在直線l，其方程為x?4y+15=0.【變式4-1】5.（22·23·全國·專題練習(xí)）已知A?2,0,B2,0(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)N2,3能否作一條直線m與軌跡C交于兩點(diǎn)P，Q，且點(diǎn)N是線段PQ【答案】(1)x(2)不能，理由見解析【分析】（1）利用兩點(diǎn)連線斜率公式整理kAM（2）利用點(diǎn)差法可求得直線m的斜率，得直線m的方程，與C的方程聯(lián)立可知Δ<0【詳解】（1）設(shè)Mx,y∵kAM=y?0∴y?0x+2?即點(diǎn)M的軌跡C的方程x2（2）若能作出直線m，則直線m的斜率存在，設(shè)為k，設(shè)P(則x12整理可y∵N是線段PQ的中點(diǎn)，∴y1?故直線m的方程為y?3=2x?2，即2x?y?1=0將直線方程代入雙曲線方程可得xΔ=故不能作出這樣的直線m．題型5取值范圍問題【方法總結(jié)】圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.【例題5】（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2(1)若直線l過點(diǎn)0,1，且點(diǎn)M，N都在雙曲線的左支上，求k的取值范圍；(2)若△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為812，且k≠0【答案】(1)5(2)?【分析】（1）利用雙曲線的漸近線及點(diǎn)在雙曲線上，將直線與雙曲線聯(lián)立方程組，利用直線與雙曲線相交的條件及韋達(dá)定理，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線的左支的條件即可求解；（2）將直線與雙曲線聯(lián)立方程組，利用直線與雙曲線相交的條件及韋達(dá)定理，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線的點(diǎn)斜式方程，結(jié)合三角形的面積公式及一元二次不等式的解法可得答案.【詳解】（1）∵ba=5∴a=2，b=5故雙曲線C:x設(shè)Mx1,當(dāng)直線l過點(diǎn)0,1時(shí)，t=1，直線l的方程為y=kx+1，如圖所示由y=kx+1x24由5?4k2≠0，Δ=64kx1+x因?yàn)辄c(diǎn)M，N都在左支上，∴x1<0，∴x1+x2=所以k的取值范圍為52（2）將y=kx+t代入x24?由5?4k2≠0，Δx1+x設(shè)線段MN的中點(diǎn)為x0,y0，則所以線段MN的垂直平分線的方程為y?5t所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為9kt5?4k2因?yàn)椤鰽OB的面積為812，所以129kt所以5?4k所以4k2?54k所以k的取值范圍為?∞【變式5-1】1.（23·24上·全國·階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且△APB的內(nèi)心恒在直線x=2上，求l在y軸上的截距的取值范圍．【答案】(1)x(2)1,3【分析】（1）先將P的坐標(biāo)代入雙曲線方程，再用a，b表示出P到兩條漸近線的距離之積，聯(lián)立求解即可；（2）由題意畫出圖形，將內(nèi)心和點(diǎn)P恒在直線x=2上，轉(zhuǎn)化為直線PA與直線PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線方程為y=kx+m，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合圖形，求得m與k的關(guān)系及m的取值范圍即可.【詳解】（1）∵點(diǎn)P2,1在雙曲線C上，∴4a2又∵雙曲線C：x2a2?y2b∴P2,1到兩條漸近線的距離分別為d1=∴由已知，d1d2代入①，解得a2=2，∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）

如圖，設(shè)△APB的內(nèi)心為I，∵I恒在直線x=2上，且P2,1在直線x=2∴∠API=∠BPI，直線PA與PB關(guān)于直線x=2對稱，∴設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB，則由題意易知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，則y=kx+mx22?y令Δ=16k2設(shè)Ax1,y1，B∴kPA化簡得2kx∴2k2整理得2k2+k?1+km+m=0∴k+12k?1+m由題意，直線l：y=kx+m不過點(diǎn)P2,1，∴1≠2k+m，即2k?1+m≠0∴k+1=0，即k=?1，∴直線l的方程為y=?x+m，如圖可知，l與C的右支相交于兩點(diǎn)，且l在點(diǎn)P的下方，∴m2>2k∴l(xiāng)在y軸上的截距的取值范圍是1,3．【點(diǎn)睛】解析幾何中處理與三角形的“心”有關(guān)的問題，需要將有關(guān)“心”的條件，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)、斜率、向量等關(guān)系進(jìn)行求解.【變式5-1】2.（23·24上·金華·階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，A,B是雙曲線C:x24?y2=1(1)求AB的最小值；(2)設(shè)P是直線AB與C的一個(gè)交點(diǎn)且AP=λPB.記C上的點(diǎn)到C的焦點(diǎn)的距離的取值集合為S，若λ5【答案】(1)2(2)13【分析】（1）設(shè)直線AB方程及點(diǎn)A、B坐標(biāo)，分別聯(lián)立雙曲線方程及漸近線方程得m2（2）先由雙曲線的性質(zhì)得λ≥55?2，再由向量關(guān)系得出P、A、B三點(diǎn)橫縱坐標(biāo)關(guān)系式，結(jié)合漸近線方程及雙曲線方程消元轉(zhuǎn)化得?4y【詳解】（1）設(shè)lAB

聯(lián)立直線AB與雙曲線方程x=my+tx2?4所以Δ=4聯(lián)立直線AB與漸近線方程x=my+tx2?4所以y1又點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，所以m2故AB=由m2+t顯然當(dāng)m2=0時(shí)①式取得最小值2，此時(shí)故AB的最小值為2；（2）設(shè)雙曲線上一點(diǎn)Mx0,則x0因?yàn)閤0≥2，所以MF因?yàn)棣?∈S，所以設(shè)Px3,y3即x1+λx又x12?4y1由（1）可得O到AB的距離d=t1+m2，所以t2由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知y=λ2+故y≥5所以△AOB面積的取值范圍為135【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是：①利用弦長公式表示AB時(shí)含有兩個(gè)參數(shù)，此時(shí)需要利用直線與雙曲線相交得出參數(shù)間的關(guān)系來消元求最值；②根據(jù)向量式用λ來表示點(diǎn)P、A、B的坐標(biāo)關(guān)系，再利用點(diǎn)P、A、B的特征，將面積式化為含λ的函數(shù)求其值域即可.【變式5-1】3.（23·24上·朝陽·階段練習(xí)）設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，(1)若b<22，求C的離心率(2)若∠AOB恒為銳角，求C的實(shí)軸長的取值范圍.【答案】(1)1,(2)5【分析】（1）根據(jù)已知條件代入離心率公式計(jì)算取值范圍即可；（2）設(shè)直線l的方程x=my+1，與雙曲線方程聯(lián)立，以雙曲線C的實(shí)半軸長a和m表示A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)∠AOB恒為銳角，轉(zhuǎn)化為OA?【詳解】（1）因?yàn)閎<22，所以因?yàn)閍2+b2=1，所以c=1則C的離心率e=c又e>1，所以C的離心率的取值范圍是1,2（2）因?yàn)镕1,0，直線l的斜率不為零，所以可設(shè)其方程為x=my+1結(jié)合b2聯(lián)立x=my+1,x2a設(shè)Ax1,y由于A,B兩點(diǎn)均在C的右支上，故y1y2則OA===m由∠AOB恒為銳角，得對?m2<即m2由于a21?a所以只需m2=0時(shí)，?a結(jié)合0<a<1，可知a的取值范圍是5?1綜上所述，C的實(shí)軸長的取值范圍是5?1,2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算Δ；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x2、x1（5）代入韋達(dá)定理求解.【變式5-1】4.（23·24上·深圳·開學(xué)考試）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(1)求C的方程；(2)若過點(diǎn)M的直線l與C的兩條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，且MP=（i）證明：l與C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；（ii）求1OP【答案】(1)x(2)（i）證明見解析（ii）2【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義以及幾何性質(zhì)即可求解，（2）（i）根據(jù)點(diǎn)差法以及中點(diǎn)弦可得kPQ【詳解】（1）由雙曲線定義可知MF1?又由F1F2∵a2+b∴雙曲線C的方程為x2（2）（i）設(shè)Mx0,y0雙曲線的漸近線方程為y1=3將①＋②可得y1+y由于x12?y1∴y1+y由題可知MP=MQ，∴x1∴y0x0∴直線PQ的方程為y?y0=又∵點(diǎn)M在C上，∴3x02將方程聯(lián)立x2?y∴?3x2+6∴l(xiāng)與C有且僅有一個(gè)交點(diǎn).（ii）由（2）（i）聯(lián)立y=3x3x0∴OP?∴1OP+2OQ=又∵OP∈∴1OP+2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.【變式5-1】5.（22·23·福州·三模）已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線MA與直線y=x垂直，A為垂足且位于第三象限；直線MB與直線y=?x垂直，B為垂足且位于第二象限.四邊形OAMB(O為原點(diǎn))的面積為2，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)點(diǎn)E22,0，直線PE，QE與C分別交于P，Q兩點(diǎn)，直線PE，QE，PQ的斜率分別為k1，k2【答案】(1)x(2)16,+【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式分析運(yùn)算；（2）直線PQ:y=kx+m，根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理分析可得m=22【詳解】（1）因?yàn)橹本€x?y=0、x+y=0相互垂直，則四邊形OAMB為矩形，設(shè)Mx,y，且x?y<0x+y<0，可得則點(diǎn)M到直線x?y=0、x+y=0的距離分別為2x?y2、可得2x?y2×所以C的方程為x2（2）設(shè)直線PQ:y=kx+m,Px聯(lián)立方程y=kx+mx2?由題意可得：1?k因?yàn)?k1+整理得8k即?8整理得3m2?22km?16若m=?423k，則直線此時(shí)①式為1?k當(dāng)m=22k時(shí)，則直線PQ:y=kx+22此時(shí)①式為1?k2≠0Δ=16k2則PQ=因?yàn)閗2>1，則k2所以PQ=4又因?yàn)镋,F為雙曲線x2則PE?PF=4,可得△PQE周長為PE+所以△PQE周長的取值范圍16,+∞

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法（1）動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題．解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動(dòng)直線過定點(diǎn)(－m,0)；（2）動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．【變式5-1】6.（22·23下·煙臺·三模）已知雙曲線C:x2a2?(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，斜率為kk≠0且不過F1的直線l與C交于點(diǎn)A,B，若k為直線AF【答案】(1)x(2)d∈【分析】（1）將6,1（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立雙曲線方程消元，韋達(dá)定理結(jié)合k為直線AF【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)6,1在C上，所以6由題意知，2c=4,c=2，所以a2由①②解得a2故雙曲線C的方程為x2（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立得y=kx+mx23?y有韋達(dá)定理可得，x1且Δ=36k2因?yàn)閗為直線AF所以y1x1kx整理可得，m?2kx當(dāng)m?2k=0時(shí)，直線l為y=kx+2所以x1+x2=?4代入m2+1>3k2化簡可得，9k又因?yàn)?，d=2k+m令1+1k2所以，d=143t?所以，d∈0,+【點(diǎn)睛】本題是直線與圓錐曲線的綜合性問題，一般步驟：1、設(shè)直線和點(diǎn)坐標(biāo)；2、聯(lián)立直線和曲線方程消元，利用韋達(dá)定理得兩根和與兩根積；3、將相關(guān)條件和問題利用韋達(dá)定理表示即可求解.題型6最值問題【方法總結(jié)】圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用．另外在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)共線得到點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而為消去變量起到了重要的作用【例題6】（22·23上·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：x2?my(1)求雙曲線C的方程；(2)若∠AMB=90°，求點(diǎn)M到直線l距離的最大值．【答案】(1)x2(2)2【分析】（1）由雙曲線方程求得右焦點(diǎn)F21m（2）由∠AMB=90°得MA?MB=0，分別討論直線斜率存在、不存在的情況，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)x=x0，直接求出交點(diǎn)，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算可解出x【詳解】（1）由曲線為雙曲線得m>0，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)形式為x2?y21m=1當(dāng)x=1m+1時(shí)，代入雙曲線方程得y=±由OA?OB=故雙曲線C的方程為x2（2）由∠AMB=90°得MA?i.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)為x=x0，聯(lián)立x2?2y2=1得y2=x0故點(diǎn)M到直線l距離為2；ii.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為y=kx+b，聯(lián)立x2?2y故當(dāng)1?2k設(shè)Ax1,故MA?MB=即?1+k22b2+1①當(dāng)b=?k時(shí)，直線l為y=kx?1過1,0②當(dāng)b=?3k時(shí)，代入（*）可得k2∴點(diǎn)M到直線l距離為?2kk綜上，點(diǎn)M到直線l距離的最大值為2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）根據(jù)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，注意討論個(gè)數(shù)成立的條件；（2）結(jié)合韋達(dá)定理可以表示MA?【變式6-1】1.（23·24上·溫州·期中）已知△ABC,B?2,0,C2,0,AB與(1)求三角形△ABC重心的軌跡G方程；(2)若E?3,0,F3,0，點(diǎn)Q在直線x=32上，連結(jié)EQ,FQ，與軌跡G的【答案】(1)x(2)2+【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義求解即可；（2）求出動(dòng)直線MN的方程，再求的所過定點(diǎn)，即可知E與定點(diǎn)間的距離為最大值.【詳解】（1）設(shè)AB與AC的中點(diǎn)為D,H，則由題意可得DC?∴由重心性質(zhì)得GC?由雙曲線的定義可知G的軌跡為雙曲線，易得2a=23∴b∴（2）如圖，設(shè)Mx令x=32，得yQ=∴3兩邊同時(shí)平方可得32又由x123?y代入①式得3兩邊交叉相乘化簡可得7x當(dāng)lNM斜率存在時(shí)，可設(shè)直線為y=kx+m與x23?由根與系數(shù)關(guān)系可得：x1代入②式，得6解得k=?12m當(dāng)k=?12m時(shí)，直線當(dāng)k=?23m時(shí)，直線l由32若當(dāng)lNM斜率不存在時(shí)，則直線lNM:綜上，直線MN恒過定點(diǎn)R所以點(diǎn)E到直線MN距離d≤【變式6-1】2.（23·24上·安徽·階段練習(xí)）已知雙曲線x2a2?y2b2=1(1)求雙曲線的方程；(2)過右焦點(diǎn)F2作直線交雙曲線于M，N兩點(diǎn)(M，N均在雙曲線的右支上)，過原點(diǎn)O作射線OP，其中OP⊥MN，垂足為E,P為射線OP與雙曲線右支的交點(diǎn)，求4【答案】(1)x(2)12【分析】（1）根據(jù)已知條件求得a,b，從而求得雙曲線的方程.（2）根據(jù)直線MN的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，先求得4MN【詳解】（1）由題意得16a2?9b2=1，c=雙曲線的方程為：x2（2）當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，MN=3，OP=2，則當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，假設(shè)直線方程為y=kx?聯(lián)立雙曲線方程得3?4k則x1+x2=∵直線與雙曲線交于右支，∴k2則MN=設(shè)射線OP方程為：y=?1∴x2=12k2∴1MN∴4≤125?2當(dāng)且僅當(dāng)OP2=4MN綜上，4MN?OP

【點(diǎn)睛】求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求得a,b，a,b是兩個(gè)未知數(shù)，所以求解需要兩個(gè)條件.求解圓錐曲線中的最值問題，可先求得需要求最值的式子的表達(dá)式，然后根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)選取合適的方法來求最值.【變式6-1】3.（22·23下·浙江·期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0離心率為2，A1，A2分別是左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M是直線x=1上一點(diǎn)，且滿足3tan∠MA1(1)求雙曲線C的方程；(2)求S1【答案】(1)x(2)1【分析】（1）設(shè)M1,mm>0，可判斷a>1，表示出tan∠MA1A2，tan（2）由（1）可知直線MA1，MA2的方程。聯(lián)立直線與雙曲線方程求出xB、x【詳解】（1）依題意設(shè)M1,mm>0，A1若0<a<1，此時(shí)0<∠MA1A2<π2，∠M則tan∠MA1A2所以3m1+a=ma?1，解得a=2，又e=c所以雙曲線C的方程為x2（2）由（1）可知直線MA1：y=m3x+2由y=m3x+2x2所以xB=?21+54m由y=?mx?2x24?所以xC=21+6m綜上可得3<m所以xB+x又S1又x=3所以S1S2令m2+9=t，則所以S1令λ=1t，則λ∈1所以當(dāng)λ=118時(shí)即m=±3時(shí)S1

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算Δ；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x（5）代入韋達(dá)定理求解.【變式6-1】4.（22·23·淄博·三模）已知雙曲線C：x2a2?y(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)M，Q是雙曲線C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，其中M位于第一象限，∠F1Q【答案】(1)x(2)1【分析】（1）由題意可知：△ARS是正三角形，則利用點(diǎn)A到漸近線bx?ay=0的距離為32（2）方法①設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)，寫出直線MN方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理把MEMN【詳解】（1）由題意可知：△ARS是正三角形，所以點(diǎn)A到漸近線bx?ay=0的距離為32所以abc=3所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是：x（2）方法①：由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可知點(diǎn)Q處的切線即為∠F設(shè)點(diǎn)M(x0,y設(shè)直線l的方程是：y=kx+t，由y=kx+tx23∴3k2∴?x∵?y0=?kx0+t，x023即：x0由點(diǎn)到直線的距離公式得：ME=直線MN方程：y?y0由y=?3y所以x0+xN所以y所以MN所以MEMN=6(24y0當(dāng)1t=13，即y0方法②：如圖，由題意知點(diǎn)Q在雙曲線左支上，設(shè)M(x0,易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，記a=1,k，又l2為∠因?yàn)閤023?y同理QF2=2代入QF1?化簡得x0=3ky0.又x0由x0=3ky0x023所以M3k3k所以直線l的方程為y=kx+3k2由點(diǎn)到直線的距離公式得：ME=又直線MN的斜率為?1k，且過點(diǎn)M，所以直線x=?ky+4k將其與x23?設(shè)Nx1,y1易知點(diǎn)N在第四象限，所以y0y1MN=故MEMN當(dāng)且僅當(dāng)3?k2=3所以當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)，MEMN的最大值為1

【點(diǎn)睛】【變式6-1】5.（22·23下·淮安·模擬預(yù)測）已知雙曲線M：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為52，點(diǎn)F(1)求雙曲線M的方程；(2)若y0≥1，此時(shí)直線F1【答案】(1)x(2)4【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及PF2⊥（2）寫出直線PQ的方程，聯(lián)立橢圓方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及三角形的面積公式得出面積表達(dá)式，換元后利用二次函數(shù)求最值.【詳解】（1）根據(jù)題意可得e2=c當(dāng)PF2⊥F1∴a=2，∴b2∴雙曲線M的方程為x2（2）設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)N，如圖，

則PF又2a=4，∴PF∵PQ為∠F1P∴xN=4令x=0，得Q0,?∴直線F1Q的方程為y=1聯(lián)立y=1?5易得Δ>0，設(shè)Ax1,y1，B又y0≥1，∴∴S△令5y02∴△F2AB題型7定點(diǎn)問題【方法總結(jié)】求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)x0,y0，常利用直線的點(diǎn)斜式方程【例題7】（22·23·石家莊·模擬預(yù)測）雙曲線x2a2?y(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)A,B分別為雙曲線的左，右頂點(diǎn)，若點(diǎn)P為直線x=13上一點(diǎn)，直線PA與雙曲線交于另一點(diǎn)M，直線PB與雙曲線交于另一點(diǎn)N，求直線【答案】(1)x(2)直線MN恒過定點(diǎn)3,0【分析】（1）由題意可得1816a2（2）由題意可得A?1,0,B1,0，設(shè)P13,t，從而得到直線PA的方程為y=3t4x+1，直線PB的方程為y=?32tx?1，分別與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求得M9t2+128128?9t2,192t128?9t2【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)324,1在雙曲線x又離心率e=ca=所以a2所以雙曲線的方程為x2（2）設(shè)P13,t，因?yàn)锳,B所以A?1,0,B1,0，所以直線PA由x2?y28因?yàn)橹本€PA與雙曲線交于點(diǎn)A,M，所以128?9t2≠0因?yàn)閤A?x所以yM所以M9因?yàn)橹本€PB的方程為y=?3由x2?y28因?yàn)橹本€PB與雙曲線交于點(diǎn)B,N，所以32?9t2≠0因?yàn)閤BxNyN所以N?9所以當(dāng)t≠±423直線MN的斜率為k==當(dāng)t≠0時(shí)，直線MN的方程為y?令y=0，得1所以x=所以直線MN過定點(diǎn)3,0.當(dāng)t=0時(shí)，P13,0，直線MN的方程為y=0當(dāng)t=±423或t=±82綜上，直線MN恒過定點(diǎn)3,0.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:與圓錐曲線相交的直線過定點(diǎn)問題，設(shè)出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出直線斜率與縱截距的關(guān)系即可解決問題.【變式7-1】1.（22·23下·佛山·階段練習(xí)）已知F1?2，0，F(xiàn)22，0，點(diǎn)(1)求軌跡E的方程；(2)若直線l過點(diǎn)F2，且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)．在x軸上是否存在定點(diǎn)M，無論直線l繞點(diǎn)F2怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，使MP?【答案】(1)x(2)存在，M【分析】（1）根據(jù)雙曲線定義即可得a=1，c=2，即可得到雙曲線方程，注意軌跡為雙曲線右支；（2）設(shè)直線l的方程為y=kx?2，將其與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，同時(shí)列出不等式解出k2>3，設(shè)存在點(diǎn)Mm,0滿足條件，計(jì)算【詳解】（1）由PF1?PF2=2<且2a=2，即a=1，c=2，故b2軌跡方程為x2（2）若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx?2聯(lián)立得y=kx?2x2設(shè)Px1，y1解得k2設(shè)存在點(diǎn)Mm,0由MP?=3?4m+5k對任意k2>3恒成立，所以1?m因此存在定點(diǎn)M?1若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=2，聯(lián)立x=2x2?y2將M?1綜上所述，x軸上存在定點(diǎn)M?1，0【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問設(shè)直線l的方程為y=kx?2，將之與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，同時(shí)解出其中k的范圍，設(shè)存在點(diǎn)Mm,0滿足條件，計(jì)算MP?MQ=k2+1x【變式7-1】2.（22·23下·武漢·三模）已知雙曲線C1：x2a2?y2b2=1的一條漸近線為y=?12x，橢圓C2：(1)求雙曲線C1和橢圓C(2)是否存在定點(diǎn)Q，使得四條直線QA，QB，QM，QN的斜率之和為定值?若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)雙曲線C1的方程為：x24?(2)存在，點(diǎn)Q坐標(biāo)為2,0.【分析】（1）由橢圓及雙曲線的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）兩直線與橢圓、雙曲線的交點(diǎn)沒有聯(lián)系，故可分開單獨(dú)計(jì)算各斜率之和即可，設(shè)點(diǎn)A、B、Q坐標(biāo)及直線l1：y=kx+m與雙曲線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理化簡計(jì)算得：kQA+kQB【詳解】（1）已知雙曲線漸近線為y=±bax因?yàn)闄E圓C2的長軸長2a=4，即a=2，b=1所以雙曲線C1的方程為：x橢圓C2的方程為：x（2）

當(dāng)直線l1、l故直線l1的方程設(shè)為：y=kx+m，直線l1過點(diǎn)P2,1與雙曲線方程聯(lián)立y=kx+mx24故1?4k2≠0設(shè)Ax1,y1，B設(shè)QxkQA化簡得kQA代入韋達(dá)定理得：kQA將2k+m=1代入其中消去m化簡得：kQA由動(dòng)直線l1、l2互不影響可知，要滿足則kQA+k因此要滿足kQA①若16y0?8x0y0經(jīng)檢驗(yàn)滿足Q2,0，此時(shí)k②若16y0?8x0有16y無解.綜上，當(dāng)Q2,0，k下面只需驗(yàn)證當(dāng)Q2,0時(shí)，k設(shè)直線l2方程為：y=tx+n，直線l2過點(diǎn)P2,1橢圓方程聯(lián)立y=tx+nx24故Δ>0設(shè)Mx3,y3，NkQM化簡得kQM代入韋達(dá)定理化簡可得：kQM將2t+n=1代入其中可得：kQM所以當(dāng)Q2,0，kQA+kQB所以點(diǎn)Q坐標(biāo)為2,0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問斜率定值問題，關(guān)鍵在于待定系數(shù)化簡計(jì)算上，即設(shè)點(diǎn)A、B、Q的坐標(biāo)及直線l1的方程，利用韋達(dá)定理消元化簡兩斜率之和可得：kQA+【變式7-1】3.（21·22·全國·專題練習(xí)）設(shè)直線x=m與雙曲線C：x2?y23=m(m>0)的兩條漸近線分別交于A，(1)求m的值；(2)已知直線l與x軸不垂直且斜率不為0，l與C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為M'，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，若M'，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，證明：直線l經(jīng)過【答案】(1)m=1(2)證明見解析【分析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，從而得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到三角形OAB的面積為3m（2）設(shè)出直線方程y=kx?pk≠0，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)三點(diǎn)共線，得到斜率相等，列出方程，代入后求解出【詳解】（1）雙曲線C：x2?y不妨設(shè)Am,3因?yàn)槿切蜲AB的面積為3，所以12所以3m2=3，又（2）雙曲線C的方程為C：x2?y23依題意，設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)p,0，直線l的方程為y=kx?p設(shè)Mx1,y1聯(lián)立y=kx?px23?k2≠0化簡得k2≠3且所以x1+x因?yàn)橹本€MN的斜率存在，所以直線M'因?yàn)镸'，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，所以k即?y1x所以?kx因?yàn)閗≠0，所以x1所以2x所以2??化簡得p=12，所以MN經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是設(shè)直線l的方程為y=kx?pk≠0，Mx1,y1，N【變式7-1】4.（22·23·云南·模擬預(yù)測）已知圓C：x+52+y2=4，定點(diǎn)D5,0，如圖所示，圓C上某一點(diǎn)D1恰好與點(diǎn)D

(1)求證：TC?TD為定值，并求出點(diǎn)T的軌跡(2)設(shè)A?1,0，M為曲線E上一點(diǎn)，N為圓x2+y2=1上一點(diǎn)（M，N均不在x軸上）.直線AM，AN的斜率分別記為k1【答案】(1)證明見解析，x(2)證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為1,0【分析】（1）根據(jù)對稱性求得TC?TD為定值，結(jié)合雙曲線定義求得軌跡（2）解一：根據(jù)M，A在雙曲線上，用點(diǎn)差法得y1x1+1=4?x1?1y1，解二：分別聯(lián)立直線與雙曲線、圓，求出M，N的坐標(biāo)，設(shè)定點(diǎn)Tt,0，由三點(diǎn)共線得t=1【詳解】（1）證明：由圖，由點(diǎn)D1與D關(guān)于PQ對稱，則T所以TC?由TC?由雙曲線定義知，點(diǎn)T的軌跡為以C?5,0，D所以a=1，c=5，b所以雙曲線E的方程為x2（2）解一：因?yàn)锳?1,0

令Mx1,x12?同理，x22+k1=?4k由題知直線MN斜率一定存在，設(shè)直線MN方程y=kx+m則x1整理得mx1?故直線MN恒過定點(diǎn)1,0.解二：由已知得lAM：y=k1x+1，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程y=k1x+1,x由韋達(dá)定理得xAxM=?所以Mk聯(lián)立直線方程與圓的方程y=k2x+1,x由韋達(dá)定理得xAxN=k因?yàn)閗AN=?14k若直線MN過定點(diǎn)，則由對稱性得定點(diǎn)在x軸上，設(shè)定點(diǎn)Tt,0由三點(diǎn)共線得kMT即8k所以直線MN過定點(diǎn)T1,0【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中直線過定點(diǎn)問題通法，是先設(shè)出直線方程y=kx+m，通過韋達(dá)定理和已知條件若能求出m為定值可得直線恒過定點(diǎn)，若得到k和m的一次函數(shù)關(guān)系式，代入直線方程即可得到直線恒過定點(diǎn).此題中由于兩點(diǎn)分別是直線與雙曲線、圓的交點(diǎn)，故只能求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合直線方程得到直線恒過定點(diǎn).【變式7-1】5.（23·24上·連云港·階段練習(xí)）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(?25,0)，離心率為5，點(diǎn)A1，A2為C的左，右頂點(diǎn)．P為直線x=1上的動(dòng)點(diǎn)，(1)求C的方程；(2)證明：直線MN過定點(diǎn)．【答案】(1)x(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程，求得a,b，即可得到C的方程；（2）根據(jù)題意，分別得到M,N的坐標(biāo)，然后分直線MN的斜率存在以及不存在分別討論，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意可設(shè)雙曲線方程為x2a2?y離心率為5，則e=ca=25則C的方程為x2（2）

因?yàn)辄c(diǎn)A1，A2為C的左，右頂點(diǎn)，P為直線所以A1?2,0,A2則直線PA1的方程為聯(lián)立直線PA1與雙曲線的方程可得y=t36?t2x由韋達(dá)定理可得?2x1=4t即M2設(shè)直線PA2方程為聯(lián)立直線PA2與雙曲線的方程可得y=?tx?24?t2x由韋達(dá)定理可得2x2=4t即N2由對稱性可知，若直線MN過定點(diǎn)，則定點(diǎn)在x軸上，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，2t2+72此時(shí)，x1=x2=4當(dāng)t2≠12時(shí)，kME所以M,N,E三點(diǎn)共線，即直線MN經(jīng)過點(diǎn)E4,0綜上，直線MN經(jīng)過定點(diǎn)4,0.題型8定值問題【方法總結(jié)】直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定值問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于x或y的一元二次方程的形式；②利用Δ>0③結(jié)合韋達(dá)定理表示出所求量，將所求量轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的函數(shù)的形式；④化簡所得函數(shù)式，消元可得定值.【例題8】（23·24上·南陽·期中）已知雙曲線C：x2a2?y(1)求C的方程；(2)若直線l過點(diǎn)P4,0且與C的右支交于M，N兩點(diǎn)，記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，直線MA1，NA2【答案】(1)x(2)證明見解析；【分析】（1）利用離心率的概念求出a,b即可；（2）根據(jù)直線過定點(diǎn)設(shè)出直線，聯(lián)立，分別求出斜率，最后得到斜率的比值即可.【詳解】（1）因?yàn)镃的右焦點(diǎn)為F5,0，所以C的半焦距又離心率為e=52，所以ca=5故C的方程為x2（2）易知A1?2,0，設(shè)Mx1,y1，Nx2由x=ty+4x24Δ=64t又因?yàn)橹本€l與C的右支交于M，N兩點(diǎn)，所以?2<t<2所以kMA=ty1即kMA1【變式8-1】1.（23·24上·南昌·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)Q3,4【答案】(1)x(2)斜率之積為定值4，證明見解析【分析】（1）由雙曲線的實(shí)軸長和離心率，求出a與b，可得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分直線l斜率存在和不存在兩種類型，通過聯(lián)立方程組，設(shè)點(diǎn)，利用韋達(dá)定理表示直線QA，QB的斜率之積，化簡得定值.【詳解】（1）雙曲線C:x2a2?雙曲線離心率為2，則雙曲線是等軸雙曲線，得b=a=2．所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）當(dāng)直線QA，QB的斜率均存在，其斜率之積為定值4，證明如下：過點(diǎn)P4,2的直線l，若斜率不存在，則直線方程為x=4與雙曲線方程聯(lián)立解得A4,23，B4,?2直線l斜率存在，設(shè)直線斜率為k，直線方程為y?2=kx?4雙曲線漸近線方程為y=±x，當(dāng)k≠±1時(shí)，直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，由x24?y2設(shè)Ax1,y1，By1y1當(dāng)直線QA，QB的斜率均存在，k===4所以當(dāng)直線QA，QB的斜率均存在，其斜率之積為定值4.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況，強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．【變式8-1】2.（23·24上·廣西·階段練習(xí)）已知雙曲線x2a2?y(1)求雙曲線的離心率；(2)過M0,1的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，過雙曲線的右焦點(diǎn)F且與PQ平行的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，試問MP【答案】(1)3(2)是，定值為65【分析】（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)立方程可得雙曲線方程，進(jìn)而由離心率公式即可求解.（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)弦長公式分別求解AB,【詳解】（1）將點(diǎn)3,52和點(diǎn)4,15得9a2所以雙曲線的離心率e=1+（2）依題意可得直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ：y=kx+1．聯(lián)立y=kx+1,x24設(shè)Px1,y1，Q所以MP?MQ=F3,0，直線AB：y=kx?3．設(shè)Ax聯(lián)立y=kx?3,x則x3+x則AB=1+所以MP?MQAB=24

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍或者定值問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等或者等量關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.【變式8-1】3.（22·23下·河南·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2a2(1)求C的方程；(2)證明：MF【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，直接列出方程求解a，可得答案.（2）根據(jù)題意，分類討論當(dāng)l垂直于x軸和l不垂直于x軸時(shí)的情況，對于l垂直于x軸的情況，直接列方程計(jì)算；對于l不垂直于x軸時(shí)的情況，直線與雙曲線聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，計(jì)算化簡可證明成立.【詳解】（1）根據(jù)題意有F22a,0將x=2a代入C的方程有M2所以M，N到直線y=x的距離之和為2a?a所以a=2，C的方程為x（2）

方法1：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，MF且由雙曲的定義可知MF1=當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，由雙曲線的定義可知MF1=故MF設(shè)l:y=kx?2，代入C的方程有：1?設(shè)Mx1,y1，N所以1MF2所以MF綜上，MF方法2：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，MF且由雙曲的定義可知MF故MF當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l:y=kx?2代入C的方程有：1?k設(shè)Mx1,y1，N所以MF1M綜上，MF【變式8-1】4.（23·24上·長沙·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線C的方程；(2)若F為雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線l交C的左支于A,B兩點(diǎn).點(diǎn)P?4,2，直線AP交直線x=?2于點(diǎn)Q.設(shè)直線QA,QB的斜率分別k1,【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）由已知條件，列方程組求a2（2）設(shè)直線l的方程與雙曲線聯(lián)立方程組，設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出直線AP，得點(diǎn)Q坐標(biāo)，表示出k1,k【詳解】（1）由題意，雙曲線C:x2a2?y2可得9a2?1b2=1（2）雙曲線C的左焦點(diǎn)為F?4,0當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線為y=0，與雙曲線C左支只有一個(gè)交點(diǎn)，舍去；當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)l:x=my?4，聯(lián)立方程組x=my?4x2?y2=8，消由于過點(diǎn)F作直線l交C的左支于A,B兩點(diǎn)，設(shè)Ax1,y1，B由直線AP:y?2=k1x+4所以k2=y所以k=?2m因?yàn)閗1=y1?2所以k1?k【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．【變式8-1】5.（21·22上·大連·階段練習(xí)）已知雙曲線x2a2?y2=1的漸近線傾斜角分別為30°(1)求雙曲線方程．(2)過點(diǎn)P分別作兩漸近線的垂線，垂足分別為Q,R，求證：|PQ|?|PR|為定值．【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）由漸近線方程求解b，即可得雙曲線方程；（2）設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)，由點(diǎn)線距離公式用【詳解】（1）雙曲線漸近線方程為y=±33x，又b=1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)P(x0,則|PQ|?|PR|=又x023?y【變式8-1】6.（23·24上·漢中·階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線l與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：△OPQ的面積為定值.【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦距和焦點(diǎn)到近線的距離，求出a,b可得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）討論直線l的斜率是否存在，且當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)Δ=0，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用弦長公式求得|PQ|【詳解】（1）依題意得2c=26，c=6，一條漸近線為y=bax所以|6b|b2+a2所以a2所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，若動(dòng)直線l與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則直線l經(jīng)過雙曲線的頂點(diǎn)，不妨設(shè)l:x=5，又漸近線方程為y=±將x=5代入y=55x，得y=1，將x=5則|PQ|=2，S△OPQ當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線l:y=kx+t，且k≠±5聯(lián)立y=kx+tx25?y因?yàn)閯?dòng)直線l與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，所以1?5k2≠0設(shè)動(dòng)直線l與y=55x的交點(diǎn)為P，與y=?聯(lián)立y=kx+ty=55x，得則|PQ|=1+k2|因?yàn)樵c(diǎn)O到直線l的距離d=|t|所以S△OPQ=12|PQ|d又因?yàn)?k2=t2+1，所以故△OPQ的面積為定值，且定值為5.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用Δ=0，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用弦長公式求得|PQ|題型9定直線問題【例題9】（22·23下·荊門·期末）已知雙曲線C：x2a2(1)求雙曲線C的方程：(2)當(dāng)a<b時(shí)，記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，動(dòng)直線l：x=my+2與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)（異于A2），直線A1M，A【答案】(1)C：x2?3y2(2)證明見解析，定直線x=【分析】（1）根據(jù)實(shí)軸長度確定a的取值，再根據(jù)漸近線夾角確定漸近線斜率，從而確定b的取值，寫出解析式；（2）首先聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理確定M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立方程，再利用點(diǎn)斜式表示出直線A1M，A2N的方程，代入【詳解】（1）由題知2a=2，得a=1，ba=tanπ6或b所以雙曲線C的方程為C：x2?3y2=1（2）由（1）知，當(dāng)a<b時(shí)，C：x2設(shè)Mx1,聯(lián)立直線l與雙曲線C得：x=my+23Δ=36m2+1>0，方程的兩根為y1，A1?1,0，A21,0，則A1M：因?yàn)橹本€A1M，A2故y0=y消去y0，整理得：xx=9m因此x0故點(diǎn)T在定直線x=1【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解雙曲線方程的題型一般步驟：（1）判斷焦點(diǎn)位置；（2）設(shè)方程；（3）列方程組求參數(shù)；（4）得結(jié)論.【變式9-1】1.（22·23下·安慶·一模）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線E:x24?y2b2=1b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，從F2

(1)求雙曲線E的方程；(2)設(shè)A1、A2為雙曲線E實(shí)軸的左、右頂點(diǎn)，若過P4,0的直線l與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，試探究直線A1M【答案】(1)x(2)在直線x=1上【分析】（1）延長CA與DB交于F1，分析可得BF1AB=34，令BF1=3tt>0，則AB（2）分析可知，直線l不與x軸垂直，設(shè)直線l的方程為x=my+4，設(shè)點(diǎn)Mx1,y1、Nx2,y2，將直線【詳解】（1）解：如圖所示：

延長CA與DB交于F1，因?yàn)锳B⊥AD，tan則tan∠F1令BF1=3t所以，AF由雙曲線的定義可得AF1?BF1?又因?yàn)锳B=AF2+所以，BF1=3t=6由勾股定理可得2c=F1F故b=c因此，雙曲線E的方程為x2（2）解：若直線l與x軸重合，則直線l與雙曲線E的交點(diǎn)為雙曲線E的兩個(gè)頂點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線l的方程為x=my+4，設(shè)點(diǎn)Mx1,聯(lián)立x=my+43x2

由題意可得3m2?2≠0由韋達(dá)定理可得y1+y易知點(diǎn)A1?2,0、A22,0，則直線A1M的方程為y=y1m聯(lián)立直線A1M、A2N的方程并消去可得x+2=?108m3因此，直線A1M與直線A2N的交點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算Δ；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x2、x1（5）代入韋達(dá)定理求解.【變式9-1】2.（22·23·廣西·一模）如圖，已知雙曲線C:x2a2?y2b2(1)求C的方程；(2)設(shè)A1,A2是C的左?右頂點(diǎn)，過點(diǎn)12【答案】(1)x(2)是，S在定直線x=2上【分析】（1）計(jì)算得到OQ=233PQ，OP=3（2）直線MN的方程為x=ty+12，Mx【詳解】（1）雙曲線右焦點(diǎn)為F(2,0)，故c=2，漸近線方程為y=±baxOP⊥PQ，故OQ2?OP|OP|+|OQ|=3|PQ|，故解得OQ=233PQ，OP故tan∠POF=ba=3，c=2，a故雙曲線方程為x2（2）A1(?1,0)，A2(1,0)，設(shè)直線MN的方程為聯(lián)立x=ty+123故y1+y直線A1M:y=y聯(lián)立兩直線方程，解得x=2t故直線A1M與直線A2N的交點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線方程，雙曲線中的定直線問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到ty【變式9-1】3.（22·23上·福州·期末）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知A?2,0，B2,0，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件：直線PA與直線PB的斜率之積等于14，記動(dòng)點(diǎn)P(1)求E的方程；(2)過點(diǎn)C4,0作直線l交E于M，N兩點(diǎn)，直線AM與BN交點(diǎn)Q【答案】(1)x24(2)點(diǎn)Q在直線x=1上【分析】（1）設(shè)Px,yx≠±2（2）依題意直線MN的斜率不為0，設(shè)直線MN的方程為x=my+4，M(x1,y1)，N(x2,y2)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，表示出直線AM、BN的方程，即可得到直線【詳解】（1）解：設(shè)Px,yx≠±2，則yx+2?yx?2=1故軌跡E的方程為：x24?（2）解：根據(jù)題意，直線MN的斜率不為0，設(shè)直線MN的方程為x=my+4，由x=my+4x24?y其中Δ=6