2024-2025學年高一數(shù)學同步試題（人教A版2019）4．2 指數(shù)函數(shù)（十大題型）

4．2指數(shù)函數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：指數(shù)函數(shù)定義的判斷 2題型二：利用指數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù) 3題型三：求指數(shù)函數(shù)的表達式 4題型四：指數(shù)型函數(shù)過定點問題 5題型五：指數(shù)函數(shù)的圖象問題 6題型六：指數(shù)函數(shù)的定義域、值域 8題型七：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應用 10題型八：比較指數(shù)冪的大小 12題型九：解指數(shù)型不等式 13題型十：判斷函數(shù)的奇偶性 15【重難點集訓】 17【高考真題】 28【題型歸納】題型一：指數(shù)函數(shù)定義的判斷1．（2024·高一·全國·專題練習）下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】指數(shù)函數(shù)定義為：形如且的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)；對于A，不滿足指數(shù)函數(shù)定義，A錯誤；對于B，不滿足指數(shù)函數(shù)定義，B錯誤；對于C，不滿足指數(shù)函數(shù)定義，C錯誤；對于D，滿足指數(shù)函數(shù)定義，D正確.故選：D.2．（2024·高一·江蘇·專題練習）給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】①中，的系數(shù)是－1，故①不是指數(shù)函數(shù)；②中，的指數(shù)是x＋1，不是自變量x，故②不是指數(shù)函數(shù)；③中，的系數(shù)是1，冪的指數(shù)是自變量x，且只有一項，故③是指數(shù)函數(shù)；④中，的底為自變量，指數(shù)為常數(shù)，故④不是指數(shù)函數(shù)．⑤中，底數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)．綜上，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為1，故選：B.3．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）下列函數(shù)：①；②；③；④．其中為指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】指數(shù)函數(shù)解析式為且，對于①②④，、和不符合指數(shù)函數(shù)解析式特征，①②④錯誤；對于③，符合指數(shù)函數(shù)解析式特征，③正確.故選：B.4．（2024·高一·全國·課堂例題）下列函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義知，可得函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)不是指數(shù)函數(shù).故選：C.題型二：利用指數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)5．（2024·高一·吉林長春·期末）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（

）A．或 B． C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以.故選：C6．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B．且C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則，且，解得，故選：C7．（2024·高一·廣東湛江·階段練習）如果函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則（

）A． B．1 C．9 D．8【答案】D【解析】根據(jù)題意可得，，則.故選：D8．（2024·高三·山東·學業(yè)考試）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)定義知，同時，且，所以解得.故選：C題型三：求指數(shù)函數(shù)的表達式9．（2024·高三·浙江·專題練習）函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當時，，則當時，（）A．﹣2x B．2﹣x C．﹣2﹣x D．2x【答案】C【解析】當時，，當時，，則．又是上的奇函數(shù)，所以當時．故選：C．10．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，設且，因為所以，解得.所以.故選：A.11．（2024·高一·西藏拉薩·期中）若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則A． B． C． D．【答案】A【解析】設指數(shù)函數(shù)且，因為的圖象經(jīng)過點，所以，解得：，即，因此.故選：A12．（2024·高一·吉林·期中）若指數(shù)函數(shù)的圖象過點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設指數(shù)函數(shù)（且），又由函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則，解得或（舍），即，所以，故選B.題型四：指數(shù)型函數(shù)過定點問題13．已知常數(shù)且，假設無論為何值，函數(shù)的圖像恒經(jīng)過一個定點，則這個點的坐標為．【答案】【解析】因為當時，即時，，所以函數(shù)的圖像恒經(jīng)過定點，故答案為：．14．（2024·高一·天津·期末）函數(shù)（且）無論取何值，函數(shù)圖像恒過一個定點，則定點坐標為.【答案】【解析】由函數(shù)（且），令，解得，則，所以函數(shù)恒經(jīng)過定點.故答案為：.15．（2024·高一·上?！卧獪y試）若函數(shù)（且）經(jīng)過的定點是P，則P點的坐標是．【答案】【解析】的圖象過0,1點，圖象由的圖象右移3個單位、上移7個單位得到，故過定點．故答案為：．16．（2024·高一·上?！るS堂練習）函數(shù)（且）的圖像恒過定點P，則點P的坐標為；若點P在直線上，其中，則的最小值為．【答案】【解析】因為恒過定點，所以（且）過定點P（4，1）所以，即，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為9．故答案為：.題型五：指數(shù)函數(shù)的圖象問題17．若函數(shù)（且）的圖像不經(jīng)過第二象限，則有（）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【解析】由指數(shù)函數(shù)圖像的特征可知當時，函數(shù)（且）的圖像必經(jīng)過第二象限，故排除選項B、C．又函數(shù)（且）的圖像不經(jīng)過第二象限，則其圖像與軸的交點不在軸上方，所以當時，，即，故選：D．18．（2024·高一·廣西柳州·期中）要使的圖象不經(jīng)過第一象限，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖象與軸的交點坐標為，且為減函數(shù)，要使圖象不經(jīng)過第一象限，則，解得.故選：B.19．（2024·高二·湖北·學業(yè)考試）設，，，都是不等于1的正數(shù)，函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象如圖所示，則，，，的大小關系是（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】因為當?shù)讛?shù)大于時，指數(shù)函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，當?shù)讛?shù)大于且小于時，指數(shù)函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，所以，大于，，大于且小于，由圖知：，即，，即，所以.故選：B20．（2024·高一·浙江臺州·期末）已知指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：，若均為正數(shù)，則，根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得此時函數(shù)圖象過一、二、三象限，即C正確；若均為負數(shù)，則，此時函數(shù)過二、三、四象限，由選項A、D可知異號，不符合題意排除，選項B可知圖象過原點則也不符合題意，排除.故選：C題型六：指數(shù)函數(shù)的定義域、值域21．（2024·高一·江蘇·專題練習）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）要使函數(shù)式有意義，則，解得.所以函數(shù)的定義域為.因為，所以，即函數(shù)的值域為且.（2）由題意知，所以，所以，所以函數(shù)的定義域為.因為，所以，所以，即，所以函數(shù)的值域為.（3）由題意知函數(shù)的定義域為R.因為，所以，又，所以函數(shù)的值域為.（4）由題意易知函數(shù)的定義域為R，因為，又，所以，故函數(shù)的值域為.22．（2024·高一·山東青島·期中）已知函數(shù)的圖象過點.(1)求實數(shù)的值；(2)判斷的奇偶性，并證明.(3)求的值域.【解析】（1）因為的圖象過點，所以，解得.（2）是奇函數(shù)，證明如下：由（1）得，由，可得，所以函數(shù)的定義域為，又，所以是奇函數(shù).（3）因為，當時，，則；當時，，；所以的值域為.23．（2024·高一·全國·隨堂練習）已知函數(shù)，求的值域；【解析】，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以的值域為.24．（2024·高三·陜西西安·開學考試）已知函數(shù).(1)當時，求的值域；(2)若最小值為，求m的值；(3)在（2）的條件下，若不等式有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）設，，，，其對稱軸方程為，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故所求值域為；（2）∵函數(shù)的最小值為，，若，在R上單調(diào)遞增，沒有最小值；若時，可知當時，y取得最小值；即，解得或舍去，綜上，；（3）由題意，有實數(shù)解，即，可得，要使此不等式有解，只需即可，（當且僅當時取等號），，，解得，即實數(shù)a的取值范圍為.題型七：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應用25．（2024·高三·浙江·開學考試）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則，即.故選：A26．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)（，且）滿足，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以，即，解得或（舍），所以，令，則，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由指數(shù)函數(shù)知，在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故選：B.27．（2024·江西·模擬預測）函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知：的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，又函數(shù)，即函數(shù)為偶函數(shù)，結合圖象，如圖所示，可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和0,1，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和0,1．故選：C．28．（2024·高一·云南·階段練習）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，顯然在上單調(diào)遞增，且的值域為，又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，解得，由復合函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即的取值范圍為.故選：A題型八：比較指數(shù)冪的大小29．（2024·高三·河南濮陽·階段練習）若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，在上單調(diào)遞增，，故，所以，，在上單調(diào)遞增，，故，即，所以．故選：D30．（2024·高一·吉林長春·期中）已知，，，則三個數(shù)的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，，，所以.故選：A31．（2024·高一·吉林長春·期中）設，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，，而，所以.故選：A32．（2024·高一·河南南陽·期中）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，易知在上單調(diào)遞減，又，所以，令，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，故，故選：C.題型九：解指數(shù)型不等式33．（2024·高一·廣東廣州·期末）設是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則關于x的不等式的解集為．【答案】【解析】結合題意：若，則，所以，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，當時，，而，此時不滿足；當時，，而，此時不滿足；當時，要使，只需，即，令，則在上單調(diào)遞增，且,而，解得x∈0,+∞即的解集為0,+∞.故答案為：0,+∞34．（2024·高一·福建三明·期中）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，當時，，則的解集為．【答案】【解析】函數(shù)為上的偶函數(shù)，當時，，當時，，，①當，即時，，由，時，符合題意；時，有，解得，此時；時，有，解得，此時；所以符合題意.②當，即時，，由，，得，解得，所以.綜上所得，的解集為.故答案為：35．（2024·高一·廣東深圳·期中）已知函數(shù)，則的解集是．【答案】【解析】當，即時，，解得，當時，，恒成立，當，即時，，由，得，所以當時，恒成立，綜上所述，的解集是.故答案為：.36．（2024·高一·山西長治·期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為．【答案】【解析】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則由得，解得，即不等式的解集為．故答案為：題型十：判斷函數(shù)的奇偶性37．（2024·高一·浙江·期末）若函數(shù)是奇函數(shù)，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由于函數(shù)是奇函數(shù)，故時，，則，故，故選：B38．（多選題）（2024·高一·黑龍江牡丹江·階段練習）已知函則下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù) B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)在R上是增函數(shù) D．函數(shù)在R上是減函數(shù)【答案】AC【解析】因為，定義域為R，所以，則函數(shù)為奇函數(shù)，而單增，單減，則在R上單調(diào)遞增.故選：AC39．（2024·高一·浙江寧波·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)，(1)求的值；(2)判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義加以證明；(3)求關于的不等式的解集.【解析】（1）因為為奇函數(shù)，且定義域為，所以，則，解得，此時，則，即為奇函數(shù)，所以.（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，則，所以，故在上單調(diào)遞增.（3）因為，所以，則，即，解得，所以的解集為.40．設（、為實常數(shù)），若是奇函數(shù)，求的值．【解析】因為是奇函數(shù)，可得，即對定義域內(nèi)任意實數(shù)成立，整理得，所以，可得或.經(jīng)檢驗，都符合題意，所以的值分別為或.【重難點集訓】1．若函數(shù)在R單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若函數(shù)在R單調(diào)遞增,則，解得.若函數(shù)在R單調(diào)遞減,則，無解綜上所得，實數(shù)a的取值范圍是.故選：B.2．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，，，，即，設，由于，故，故，則，故為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，則，即，故，解得．故選：C3．已知函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可知：在上單調(diào)遞減，又∵關于直線對稱，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴；在上單調(diào)遞減，∴；且即，∴或，∴.故選：A.4．若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】易知，所以，即可得，即，所以，當且僅當時，等號成立.故選：D5．兩個不同的函數(shù)，滿足，，則可能的情況是（

）A．是一次函數(shù)，是二次函數(shù)B．在上遞增，在上遞減C．，都是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)，是偶函數(shù)【答案】B【解析】A：一次函數(shù)圖象兩端分別向正負無窮無限延伸，而二次函數(shù)圖象兩端向正無窮（或負無窮）無限延伸，故，不恒成立，不符題意；B：對于、，，恒成立，符合；C：對于奇函數(shù)，定義域在R上，必有，不符；D：是R上奇函數(shù)，則，則，不符和題意.故選：B6．已知函數(shù)，滿足對任意，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為“對任意，都有成立”，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以：.故選：C7．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【解析】因為定義在上的函數(shù)滿足，所以是奇函數(shù)，且，故，解得，故當時，，由奇函數(shù)性質(zhì)得，而，故，故A正確.故選：A8．若的最大值為，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，，因為是減函數(shù)，在遞減，在遞增，則當時，在遞增，在遞減，故當時，，則當時，恒成立，則當時，恒成立，又當時，，則當時，；當時，，且當時，；當時，則當時，，故m的取值范圍為故選：A9．（廣東省深圳市寶安第一外國語學校2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試題）（多選題）下列說法正確的有（

）A．當時，冪函數(shù)是增函數(shù).B．函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是.C．的圖象恒過定點.D．函數(shù)是偶函數(shù)，則.【答案】BCD【解析】對于A，當時，取，則冪函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯誤；對于B，因為函數(shù)的定義域是，所以在中，，解得，則的定義域為，故B正確；對于C，對于，令，則，，所以的圖象恒過定點，故C正確；對于D，當是偶函數(shù)時，，則，解得，當時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知的圖象關于軸對稱，所以是偶函數(shù)，即，故D正確.故選：BCD.10．（黑龍江省哈爾濱市第三中學校2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試卷）（多選題）下列命題中正確的是（

）A．函數(shù)，的值域是B．函數(shù)的值域是C．函數(shù)的值域是D．函數(shù)的值域是【答案】ACD【解析】對于A，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)，的值域是，故A正確；對于B，令，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)的值域是，故B錯誤；對于C，因為，所以，則函數(shù)的值域是，故C正確；對于D，對于函數(shù)，當時，；當時，，若，則，當且僅當，即時等號成立，則；若，則，當且僅當，即時等號成立，則.綜上所述，函數(shù)的值域是，故D正確.故選：ACD.11．（福建省龍巖市一級校聯(lián)盟2024-2025學年高一上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題）（多選題）已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得對任意的實數(shù)恒成立，稱為“函數(shù)”.下列說法正確的是（

）A．若為“函數(shù)”，且，則B．若，則是“函數(shù)”C．若為“函數(shù)”，則D．若是“函數(shù)”，且當時，，則當時，【答案】ACD【解析】對于A，若為“函數(shù)”，則，當時，，因為，所以，故A正確；對于B，若，假設是“函數(shù)”，則，即，不存在對任意的實數(shù)恒成立，所以假設不成立，故B錯誤；對于C，為“函數(shù)”，即，因為，，所以，即，則，故C正確；對于D，若是“函數(shù)”，則，得，當時，，因為當時，，所以，則，所以，故D正確.故選：ACD.12．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值為.【答案】或【解析】因為在R上單調(diào)遞增，且，由題意可知：在內(nèi)單調(diào)遞增，且，解得，若，則，結合單調(diào)性可得，解得，可得；若，注意到，結合單調(diào)性可知，此時，其圖像如圖所示可得在內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意；綜上所述：或.故答案為：或.13．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則a的取值范圍是.【答案】【解析】因為函數(shù)是上的減函數(shù)，所以，解得，即a的取值范圍是.故答案為：.14．若函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值是4，最小值為m，且函數(shù)在內(nèi)是嚴格增函數(shù)，則.【答案】/【解析】若函數(shù)在內(nèi)是嚴格增函數(shù)，則，，若，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是4，最小值為m，所以，，解得，，不滿足，若，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，最大值是4，最小值為m，所以，，解得，，滿足，所以.故答案為：.15．已知函數(shù)，若是定義域為的奇函數(shù).(1)求出函數(shù)的解析式；(2)判斷的單調(diào)性，并用定義加以證明.【解析】（1）因為是定義域為的奇函數(shù)，則，即，解得，此時，可得，即，可知是定義域為的奇函數(shù)，符合題意，所以.（2）由（1）可知：可知是上的增函數(shù)，證明如下：任取，，且則，因為，則，可得，則，即所以是上的增函數(shù).16．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點.(1)求的值；(2)求不等式的解集；(3)若，成立，求的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的圖象經(jīng)過點，有，即，解得.（2）由（1）知，.，，，為奇函數(shù).在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，∴，∴，即∴或.所以的解集為.（3）因為，∴，∴，即，∴令，則.因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以.17．已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實數(shù)，的值；(2)判斷的單調(diào)性并給出證明；(3)若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，所以，又因為，所以，將代入，整理得，當時，有，即恒成立，又因為當時，有，所以，所以.經(jīng)檢驗符合題意，所以