2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 章末題型歸納總結(jié)

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式章末題型歸納總結(jié)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖 2模塊二：典型例題 3題型一：不等式的性質(zhì)及應(yīng)用 3題型二：利用不等式求值或范圍 5題型三：利用基本不等式求最值 8題型四：證明不等式 14題型五：含參數(shù)與不含參數(shù)一元二次不等式的解法 19題型六：由一元二次不等式的解確定參數(shù) 22題型七：不等式在實際問題中的應(yīng)用 25題型八：恒成立與有解問題 29模塊三：數(shù)學(xué)思想方法 32①分類討論思想 32②轉(zhuǎn)化與化歸思想 34③數(shù)形結(jié)合思想 36

模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題題型一：不等式的性質(zhì)及應(yīng)用【典例1-1】（2024·高一·山東臨沂·階段練習(xí)）若，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】選項A，若，則結(jié)論錯誤，故選項A錯誤；選項B，根據(jù)糖水不等式可知，，故選項B錯誤；選項C，當時，，故選項C錯誤；選項D，可知，，故選項D正確.故選：D【典例1-2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）不等式的整數(shù)解的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】解不等式，得，故整數(shù)解有，，0，共3個整數(shù)解.故選：B.【變式1-1】（2024·高二·江西贛州·期中）已知實數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，B，由可得，則由可得，即A錯誤，B正確；對于C,D,不妨取，滿足，但，故C,D均錯誤.故選：B．【變式1-2】（2024·高一·廣東湛江·期中）已知，，則，，的大小關(guān)系式（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，∴，，，∴，∴，故選：D．【變式1-3】（2024·高一·上海·期中）對于任意實數(shù)a，b，c，下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對于A，若，則，故A錯誤；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，因為，所以，所以，故C正確；對于D，若，則，故D錯誤.故選:C.【變式1-4】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）對于實數(shù)a,b,c，下列錯誤的命題是（

）．A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．【答案】C【解析】對于A，因為，則，所以，故A正確；對于B，因為，則，所以，故B正確；對于C，取，，，則，，，即，故C錯誤；對于D，因為，所以，故D正確.故選：C．題型二：利用不等式求值或范圍【典例2-1】（2024·高一·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，，則下列代數(shù)式的范圍錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，，則，則有，A正確；對于B，，則，則有，B正確；對于C，，，則有，C錯誤；對于D，，，則有，D正確；故選：C【典例2-2】（多選題）（2024·高一·四川成都·階段練習(xí)）若實數(shù)、滿足：，則下列敘述正確的是（

）A．的取值范圍是 B．的取值范圍是C．的范圍是 D．的范圍是【答案】ABC【解析】因為實數(shù)、滿足：，由不等式的可加性可得，解得，A對；由題意可得，由不等式的可加性可得，解得，B對；設(shè)，則，解得，所以，，因為，由不等式的可加性可得，C對D錯.故選：ABC.【變式2-1】（多選題）（2024·高一·山東·階段練習(xí)）已知，．則（

）A． B．C．的最大值為24 D．【答案】AD【解析】對于A，因為，，所以，即，即，故A正確；對于B，由，可得，又，則，即，即，故B錯誤；設(shè)，則，解得，，因為，，所以，D正確；若的最大值為24，又，，則，，此時，C錯誤．故選：AD.【變式2-2】（多選題）（2024·高一·江蘇徐州·階段練習(xí)）不等式組：的解集記為，有下面四個命題：

其中真命題是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】對于A，設(shè)，則，故，故，故成立，成立，不成立，成立故選：ABD.【變式2-3】（多選題）（2024·高一·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A選項，，故，即，A正確；B選項，，故，，B錯誤；C選項，，故，即，C正確；D選項，因為，且，故，D錯誤.故選：AC【變式2-4】（多選題）（2024·高二·浙江嘉興·期中）已知實數(shù)x，y滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】實數(shù)x，y滿足，，由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有，，AC選項正確；由，得，B選項錯誤；由，得，D選項正確.故選：ACD【變式2-5】（多選題）（2024·高一·青海海東·階段練習(xí)）已知，則的取值可以為（

）A．1 B． C．3 D．4【答案】BC【解析】因為，兩式相加可得，所以，故選：BC．【變式2-6】（多選題）（2024·高一·安徽滁州·階段練習(xí)）已知，，則下列正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由，可得，又，所以，故A正確；由，可得，又，所以，故B錯誤；由，可得，又，所以，故C正確；因為，又，所以，故D錯誤.故選：AC.題型三：利用基本不等式求最值【典例3-1】（多選題）（2024·高三·江蘇南通·階段練習(xí)）已知為正實數(shù)，，則（

）A．的最大值為B．的最小值C．的最小值為D．的最小值為【答案】AB【解析】對選項A，，當且僅當時取“=”，故A正確；對選項B，，當且僅當時取“=”，故B正確；對選項C，，令，則，所以，當且僅當，即，時取“=”，所以的最小值為，故選項C錯誤.對選項D，，當且僅當時取“=”，故D錯誤；故選：AB.【典例3-2】（多選題）（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】顯然，故，A正確；因為，則，即，故B錯誤；，且，故由均值不等式知，C正確；，D正確.故選：ACD【變式3-1】（多選題）（2024·高三·四川成都·階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則下列選項正確的是（

）A．的最小值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最大值是【答案】AB【解析】對于A：因為正數(shù)，滿足，所以，當且僅當，即時取等號，故A正確；對于B：，所以，當且僅當時等號成立，故B正確；對于C：因為，即，且，，由拋物線的性質(zhì)可得，當時，最小值為，故C錯誤；對于D：由C可得，當時，最大值為，故D錯誤；故選：AB.【變式3-2】（多選題）（2024·高二·安徽·開學(xué)考試）已知正數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值【答案】ABD【解析】因為正數(shù)，滿足，所以，當且僅當，即，時等號成立，解得，所以，故的最大值為，故A正確；，即，又，所以，所以的最小值為，當且僅當，即，時等號成立，故B正確；由可得，所以，當且僅當時等號成立，此時，，又為正數(shù)，矛盾，故C錯誤；，當且僅當，即，時等號成立，故D正確.故選：ABD【變式3-3】（多選題）（2024·高三·四川成都·開學(xué)考試）已知為正實數(shù)，，則（

）A．的最小值為4 B．的最小值為C．的最小值為8 D．的最小值為2【答案】BCD【解析】對A：因為為正實數(shù)，且，所以，因為，所以，故A錯誤.對B：因為為正實數(shù)，且，所以（）.所以（當且僅當，即時取“”），故B正確；對C：因為（都是當且僅當時取“”），故C正確；對D：因為，故，所以（當且僅當時取“”），故D正確.故選：BCD【變式3-4】（多選題）（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）若正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A．有最大值為 B．有最小值為C．有最小值為 D．有最大值為【答案】ABC【解析】對于A：因為，則，當且僅當，即時取等號，故A正確，對于B，，當且僅當，即時取等號，故B正確，對于C：因為，則，當且僅當，即時取等號，故C正確，對于D：因為，當且僅當，即，時取等號，這與均為正實數(shù)矛盾，故D錯誤，故選：ABC．【變式3-5】（廣東省部分學(xué)校大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三模擬（二）數(shù)學(xué)試題）已知正數(shù)滿足，則的最小值為．【答案】【解析】由題意得，則，當且僅當時取等號，故的最小值為．故答案為：.【變式3-6】（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）已知均為正實數(shù)，且，則當取得最小值時，的最小值為．【答案】6【解析】依題意，，當且僅當時取等號，所以當取得最小值時；，當且僅當時取等號，所以的最小值為6.故答案為：；6【變式3-7】（2024·高一·浙江·開學(xué)考試）已知，若，則的最小值是，【答案】2【解析】，當且僅當時，等號成立，故的最小值為2.故答案為：2【變式3-8】（2024·高三·天津南開·階段練習(xí)）已知，均為正實數(shù)，且，則的最大值為.【答案】1【解析】，由，可得，當且僅當，等號成立，則的最大值為1．故答案為：1．【變式3-9】（2024·高三·福建·階段練習(xí)）已知，，且，則，的最小值為．【答案】18【解析】由題意得，則，當且僅當，即時，等號成立．故答案為：1，8【變式3-10】（2024·高一·江蘇·階段練習(xí)）（1）若，求的最大值．（2）已知，求的最大值．【解析】（1）因為，所以，所以，當且僅當即時取等號，所以即最大值為.（2）因為，所以，則，所以，當且僅當時，即時取等號，所以的最大值是．題型四：證明不等式【典例4-1】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知，，且滿足.(1)證明：；(2)求的最小值.【解析】（1）因為，所以，又因為，所以，當且僅當時，等號成立.，當且僅當時，等號成立.（2）因為，所以，令，則，因為的開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，所以的最小值為.【典例4-2】（2024·高三·陜西西安·階段練習(xí)）設(shè)為正數(shù)，且.證明：(1)；(2).【解析】（1）由已知有，從而，故，當且僅當時等號成立.（2）方法一：由已知條件，結(jié)合基本不等式即可得到.方法二：等價于，根據(jù)題設(shè)有，當且僅當時等號成立.【變式4-1】（2024·高二·全國·競賽）已知：三角形的邊長分別等于．求證：．【解析】證明：由三角形三邊關(guān)系得，故，則，，，．設(shè)，則，，，當且僅當時等號成立．【變式4-2】（2024·高一·安徽宿州·期中）已知，，均為正實數(shù).(1)若，試比較與的大小；(2)求證：.【解析】（1）∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，即；（2）證明：，∴，，，∴，，，∴，當且僅當“”時等號成立.【變式4-3】（2024·高一·北京·期中）已知a，b都是正實數(shù)，(1)試比較與的大小，并證明；(2)當時，求證：．【解析】（1）結(jié)論：，當且僅當時，等號成立.證明：，因為a，b都是正數(shù)，所以，當且僅當時，等號成立，即，當且僅當時，等號成立；（2）因為a，b，c都是正數(shù)，且，所以，當且僅當時，等號成立．【變式4-4】（2024·高一·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）（1）對任意三個正實數(shù)，，，求證：，當且僅當時等號成立；（2）若，，證明：．【解析】（1）因為，所以由基本不等式，得，，，當且僅當，，時成立，把上述三個式子的兩邊分別相加，得，即，當且僅當時等號成立．（2）證明：，，又，，，則有：，又，．【變式4-5】（2024·高一·安徽宿州·階段練習(xí)）（1）比較與的大??；（2）已知為不全相等的正實數(shù)，求證：.【解析】（1）因為，所以.（2）證明：因為，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，所以，當且僅當時，等號成立，即.【變式4-6】（2024·高一·安徽淮南·階段練習(xí)）（1）已知，且，求證，．（2）若，求證：；【解析】（1）證明：，因為，且，所以，，所以，故；（2）證明：因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，故.題型五：含參數(shù)與不含參數(shù)一元二次不等式的解法【典例5-1】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習(xí)）解關(guān)于的不等式：．【解析】①當時，原不等式化為，解得．②當時，原不等式化為，解得或．③當時，原不等式化為.當，即時，解得；當，即時，解得滿足題意；當，即時，解得．綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為．【典例5-2】（2024·高一·北京石景山·期中）求下列關(guān)于x的不等式的解集：(1)；(2)【解析】（1）由不等式，可得，解得，即不等式的解集為.（2）由不等式，可得化為，若，不等式可化為，解得，即解集為；若，不等式可化為當時，不等式即為，解得或，即不等式的解集為或；當時，不等式即為，①當時，即時，解得，解集為；②當時，即時，解得，解集為；③當當時，即時，解得，解集為綜上，當時，不等式的解集為或；當，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.【變式5-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）解關(guān)于實數(shù)的不等式：．【解析】對方程，當時，即時，不等式的解集為當時，即或時，的根為，不等式的解集為；綜上可得，時，不等式的解集為，或時，不等式的解集為.【變式5-2】（2024·高一·安徽馬鞍山·期中）（1）解不等式；（2）解關(guān)于的不等式.【解析】（1）不等式，可化為，即，即，解得或，所以不等式組的解集為或.（2）①當時，原不等式化為，解集為；②當時，原不等式化為，解集為；③當時，原不等式化為；當時，，原不等式的解集為空集；當時，，原不等式的解集為；當時，，原不等式的解集為.【變式5-3】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）（1）解關(guān)于實數(shù)的不等式：．（2）解關(guān)于實數(shù)的不等式：．【解析】（1）易知方程的，由得，解得，當時，的解集為，當時，的解集為，當時，的解集為．（2）對方程，當時，即時,不等式的解集為當時，即或時,的根為，不等式的解集為；綜上可得，時,不等式的解集為，或時，不等式的解集為.【變式5-4】（2024·高一·北京·期中）解關(guān)于的不等式.(1);(2)(3).【解析】（1）不等式，即，解得，所以不等式的解集為；（2）不等式，即，解得或，所以不等式的解集為；（3）不等式，當時，解集為或，當時，解集為或，當時，解集為.題型六：由一元二次不等式的解確定參數(shù)【典例6-1】（2024·高一·河北石家莊·開學(xué)考試）已知不等式的解集為，則=，=【答案】【解析】依題意，不等式的解集為，所以，解得.故答案為：；【典例6-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為，且，則的值為.【答案】【解析】關(guān)于的不等式的解集為，，是一元二次方程的實數(shù)根，，且，.，，又，解得.故答案為：.【變式6-1】（2024·高一·廣東湛江·期中）已知不等式的解集是，則．【答案】【解析】因為不等式的解集是，可知，是方程的兩個實根，且，由韋達定理得，解得，，所以．故答案為：.【變式6-2】（2024·高一·上?！ら_學(xué)考試）設(shè)，若時均有，則．【答案】0【解析】當時，顯然成立，此時；當時，由成立，得成立，，，當時，由成立，得成立，，，時均有，．故答案為：0．【變式6-3】（2024·高一·廣東潮州·期中）若關(guān)于的不等式的解集為或，則的值為.【答案】【解析】根據(jù)題意，方程的兩根為和，故可得，解得.故答案為：.【變式6-4】（2024·高一·河北石家莊·階段練習(xí)）已知二次方程的兩根分別為2和4，則不等式的解集為．【答案】【解析】二次方程的兩根分別為2和4，可得，即，由可得，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.【變式6-5】（2024·高一·湖南岳陽·期中）已知關(guān)于x的不等式的解集為或x≥4，不等式的解集為．【答案】.【解析】因為不等式的解集為或x≥4，所以，且和4為方程的兩根，故，得，又，所以，解得，所以不等式的解集為.故答案為：題型七：不等式在實際問題中的應(yīng)用【典例7-1】（2024·高一·上?！ふn堂例題）某船從甲碼頭順流航行到達乙碼頭，停留后再逆流航行到達丙碼頭．如果水流速度為，該船要在內(nèi)（包含）完成整個航行任務(wù)，那么船的速度至少要達到多少？【解析】設(shè)船的速度為，由題可知，由題意得，，由去分母，整理得，解得（不合題舍去）或，所以船的速度至少要達到．【典例7-2】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）限速40km/h的盤山公路上兩車相撞．經(jīng)測量，甲車的剎車距離略大于9m，乙車的剎車距離略小于10m．經(jīng)查詢，甲、乙車的剎車距離s與行駛速度v之間分別滿足和．問哪輛車應(yīng)負主要責任？【解析】由題意得，對于甲車：，即，所以對于乙車：，即，所以，因為限速40km/h，所以甲車超速了，所以甲車應(yīng)負主要責任．【變式7-1】（2024·高一·陜西榆林·階段練習(xí)）在鄉(xiāng)村振興的道路上，某地干部在幫扶走訪中得知某農(nóng)戶的實際情況后，為他家量身定制了致富計劃，政府無息貸款萬元給該農(nóng)戶養(yǎng)羊，每萬元可創(chuàng)造利潤萬元.進行技術(shù)指導(dǎo)后，養(yǎng)羊的投資減少了萬元，且每萬元創(chuàng)造的利潤變?yōu)樵瓉淼谋?現(xiàn)將養(yǎng)羊少投資的萬元全部投資網(wǎng)店，進行農(nóng)產(chǎn)品銷售，則每萬元創(chuàng)造的利潤為萬元，其中.(1)若進行技術(shù)指導(dǎo)后養(yǎng)羊的利潤不低于原來養(yǎng)羊的利潤，求的取值范圍;(2)若網(wǎng)店銷售的利潤始終不高于技術(shù)指導(dǎo)后養(yǎng)羊的利潤，求的最大值.【解析】（1）由題意，得，整理得，解得，又x>0，所以，故x的取值范圍為.（2）由題意知網(wǎng)店銷售的利潤為萬元，技術(shù)指導(dǎo)后，養(yǎng)羊的利潤為萬元，則恒成立.又，則恒成立.又，當且僅當時，等號成立，，即的最大值為6.5.【變式7-2】（2024·高一·江蘇南京·期中）通過技術(shù)創(chuàng)新，某公司的汽車特種玻璃已進入歐洲市場．年，該種玻璃售價為歐元/平方米，銷售量為萬平方米．(1)據(jù)市場調(diào)查，售價每提高歐元/平方米，銷售量將減少萬平方米；要使銷售收入不低于萬歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米?(2)為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在年對該種玻璃實施二次技術(shù)創(chuàng)新和營銷策略改革：提高價格到歐元/平方米（其中），其中投入萬歐元作為技術(shù)創(chuàng)新費用，投入萬歐元作為固定宣傳費用，投入萬歐元作為浮動宣傳費用，試問：該種玻璃的銷售量（單位：萬平方米）至少達到多少時，才可能使年的銷售收入不低于年銷售收入與年投入之和?并求出此時的售價．【解析】（1）設(shè)該種玻璃的售價提高到歐元/平方米，由題知，即，解得，所以該種玻璃的售價最多提高到40歐元/平方米.（2）由題意得，整理得，兩邊同除以得，又，當且僅當，即時取等號，所以，故該種玻璃的銷售量（單位：萬平方米）至少達到102萬平方米時，才可能使年的銷售收入不低于年銷售收入與年投入之和，此時的售價為歐元/平方米.【變式7-3】（2024·高一·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）2022年2月24日,俄烏爆發(fā)戰(zhàn)爭，至今戰(zhàn)火未熄.2023年10月7日巴以又爆發(fā)沖突.與以往戰(zhàn)爭不同的是，無人機在戰(zhàn)場中起到了偵察和情報收集，攻擊敵方目標和反偵察等多種功能，扮演了重要的角色.某無人機企業(yè)原有200名科技人員，年人均工資萬元，現(xiàn)加大對無人機研發(fā)的投入，該企業(yè)把原有科技人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名且，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資增加，技術(shù)人員的年人均工資調(diào)整為萬元.(1)若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前200名科技人員的年總工資，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人?(2)為了激勵研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在工資方面要同時滿足以下兩個條件：①研發(fā)人員的年總工資始終不低于技術(shù)人員的年總工資;②技術(shù)人員的年人均工資始終不減少.請問是否存在這樣的實數(shù)，滿足以上兩個條件，若存在，求出的范圍;若不存在,說明理由.【解析】（1）依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資為萬元,則,整理得,解得,因為且,所以,故,所以要使這名研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前200名科技人員的年總工資,調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為100人.（2）由條件①研發(fā)人員的年總工資始終不低于技術(shù)人員的年總工資，得,整理得;由條件②技術(shù)人員年人均工資不減少,得,解得假設(shè)存在這樣的實數(shù),使得技術(shù)人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后,滿足以上兩個條件,即恒成立，因為,當且僅當,即時等號成立,所以,又因為,當時,取得最大值11,所以所以,即,即存在這樣的滿足條件,其范圍為.【變式7-4】（2024·高一·安徽黃山·階段練習(xí)）“綠水青山就是金山銀山”，為了貫徹落實習(xí)近平生態(tài)文明思想，探索促進“綠水青山”向“金山銀山”轉(zhuǎn)變的重大實踐，某地林業(yè)局準備圍建一個矩形場地，建立綠化生態(tài)系統(tǒng)研究片區(qū)，觀察某種綠化植物．如圖所示，兩塊完全相同的矩形種植綠草坪，草坪周圍(陰影部分)均種植寬度相同的花，已知兩塊矩形綠草坪的面積均為平方米，共平方米．(1)若矩形草坪的長比寬至少多米，求草坪寬的最大值；(2)若草坪四周的花壇寬度均為米，求整個綠化面積的最小值．【解析】（1）設(shè)草坪的寬為米，長為米，由面積為平方米，可得，因為矩形的長比寬至少多米，所以，所以，解得，又因為，所以，所以草坪寬的最大值為米．（2）設(shè)整個綠化面積為平方米，由題意可得，當且僅當即時，等號成立，故整個綠化面積的最小值為平方米．題型八：恒成立與有解問題【典例8-1】（2024·高三·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）“關(guān)于的不等式對恒成立”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不等式對恒成立，所以，則.則不等式恒成立的一個必要不充分條件是.故選：B【典例8-2】（2024·高三·全國·單元測試）若對滿足的任意實數(shù)恒成立，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】分離參變量得恒成立，則，故不等式右邊取最大值時必須同號（且都不為零），此時，因為若，則與其同號，則，矛盾．由，設(shè)，則，若要求取最大值，則需，即，此時，當且僅當，即時等號成立，所以．故選：B．【變式8-1】（2024·高一·全國·隨堂練習(xí)）已知當時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以由，當時，恒成立，等價于當時，恒成立，則有，故選：D【變式8-2】（2024·高一·江蘇·開學(xué)考試）已知，，若時，關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，因為，所以當時，；當時，；時，；由不等式恒成立，得或，即當時，恒成立，當時，恒成立，所以當時，，則，即，則當時，，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為．故選：C．【變式8-3】（2024·高二·甘肅隴南·期末）不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的最大值與最小值之和為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【解析】在時取得最小值4，故只需，解之得，即的最小值為，最大值為4，最大值與最小值之和為3.故選：A.【變式8-4】（2024·高三·河北邢臺·階段練習(xí)）“不等式恒成立”的一個充分不必要條件是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，恒成立，當時，則，解得，綜上所述，不等式恒成立時，，所以選項中“不等式恒成立”的一個充分不必要條件是.故選：D.【變式8-5】（2024·高一·山西太原·期中）已知不等式恒成立，則的最小值是（

）A． B．4 C． D．8【答案】D【解析】根據(jù)不等式恒成立，當，不符合條件。則，，即，①②，①當且僅當，即，等號成立.②當且僅當時等號成立.兩次基本不等式都在成立，故等號能夠傳遞.故選：D【變式8-6】（2024·高一·北京東城·期中）已知不等式對任意的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因不等式對任意的實數(shù)x恒成立，則①當時，不等式為，恒成立，符合題意；②當時，不等式在R上恒成立等價于，解得：.綜上可得：實數(shù)k的取值范圍為.故選：C.模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想【典例9-1】（2024·江蘇南通·高一海門市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）關(guān)于的不等式任意兩個解得差不超過14，則的最大值與最小值的差是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】不等式，時解集為，時解集為，時解集為，由題意可得時，時，解得，則的最大值與最小值的差為4，故選：B.【典例9-2】（2024·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第三高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可知，可以異號，可以同正，當異號時，必有，故可以推出；當同正時，即，由基本不等式知，則當時，有，解得，故充分性成立；當時，滿足，但此時，即“”不能推出“”，故必要性不成立；所以，“”是“”的充分不必要條件.故選：A【變式9-1】（2024·甘肅武威·高三武威第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】分類討論和兩種情況，分別計算結(jié)果，并取并集.（1）當，即時，原不等式可化為，顯然恒成立．（2）當時，不等式恒成立，利用二次函數(shù)性質(zhì)可知，即，解得．綜上可知，故a的取值范圍是．故選：A．【變式9-2】（2024·高一課時練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解中，恰有3個整數(shù)，則實數(shù)應(yīng)滿足（

）A． B．或C． D．或【答案