初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級專題05 數(shù)與形的第一次聯(lián)姻

專題5數(shù)與形的第一次聯(lián)姻閱讀與思考數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的學(xué)科，在數(shù)學(xué)里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的，我們常用代數(shù)的方法來處理幾何問題；反過來，也借助與幾何圖形來處理代數(shù)問題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間的相互作用叫數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學(xué)思想．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具，主要體現(xiàn)在一下幾個(gè)方面：1．利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；2．利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；3．利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大??；4．利用數(shù)軸解決與絕對值相關(guān)的問題．例題與求解【例1】已知數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，A，B之間的距離為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3，那么所有滿足條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離之和等于_____________．（北京市“迎春杯”競賽試題）解題思路：確定A，B在數(shù)軸上的位置，求出A，B兩點(diǎn)所表示的有理數(shù)．【例2】在數(shù)軸上和有理數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示．有下面四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④，其中，正確的結(jié)論有（）個(gè)．A．4B．3C．2D．1（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：從數(shù)軸上得到，再對代數(shù)式進(jìn)行逐以一判斷．【例3】如圖所示，已知數(shù)軸上點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)都不為0，且是的中點(diǎn)．如果，試確定原點(diǎn)的大致位置．解題思路：從化簡等式入手，而是解題的關(guān)鍵．【例4】（1）閱讀下面材料：點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)兩點(diǎn)之間的距離表示為．當(dāng)兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，

①如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；

②如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如圖4，點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；

綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離|AB|＝|a－b|．

（2）回答下列問題：

①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是_________，數(shù)軸上表示－2和－5的兩點(diǎn)之間的距離是______________，數(shù)軸上表示1和－3的兩點(diǎn)之間的距離是________________；

②數(shù)軸上表示x和－1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是______________，如果|AB|＝2，那么x為_________；

③當(dāng)代數(shù)式|x＋1|十|x－2|取最小值時(shí)________，相應(yīng)的x的取值范圍是___________．④求的最小值．（江蘇省南京市中考試題）解題思路：通過觀察圖形，閱讀理解代數(shù)式所表示的意義，來回答所提出的具體問題．【例5】某城市沿環(huán)形路有五所小學(xué)，依次為一小、二小、三小、四小、五小，它們分別有電腦15，7，11，3，14臺(tái)，現(xiàn)在為使各校電腦臺(tái)數(shù)相等，各調(diào)幾臺(tái)給鄰校，現(xiàn)規(guī)定一小給二小，二小給三小，三小給四小，四小給五小，五小給一小，要使電腦調(diào)動(dòng)臺(tái)數(shù)最小，應(yīng)該做怎樣的安排？（湖北省荊州市競賽試題）解題思路：通過設(shè)未知數(shù)，把調(diào)動(dòng)的電腦臺(tái)數(shù)用相關(guān)代數(shù)式表示出來．解題的關(guān)鍵是怎樣將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求的最小值．【例6】如圖，是數(shù)軸上表示－30的點(diǎn)，是數(shù)軸上表示10的點(diǎn)，是數(shù)軸上表示18的點(diǎn)，點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是6個(gè)單位長度/秒，點(diǎn)和點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是3個(gè)單位長度/秒．設(shè)三個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，線段AC＝6（單位長度）？

（2）t≠5時(shí)，設(shè)線段OA的中點(diǎn)為P，線段OB的中點(diǎn)為M，線段OC的中點(diǎn)為N，求2PM－PN＝2時(shí)t的值．（湖北省荊州市競賽試題）解題思路：（1）三點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)，分別當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況來分析求解．（2）先將三個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別寫出來，因點(diǎn)M始終在點(diǎn)左側(cè)，則分為“點(diǎn)在左邊”，“點(diǎn)在之間”，“點(diǎn)在右邊”三種情況來求解．能力訓(xùn)練A級1．已知數(shù)軸上表示負(fù)數(shù)有理數(shù)的點(diǎn)是點(diǎn)，那么在數(shù)軸上與點(diǎn)相距個(gè)單位的點(diǎn)中，與原點(diǎn)距離較遠(yuǎn)的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是______________．（江蘇省競賽試題）2．如果數(shù)軸上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5，那么兩點(diǎn)的距離為______________．3．點(diǎn)分別是數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)，使線段沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)到的中點(diǎn)對應(yīng)數(shù)3，則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是________________，點(diǎn)移動(dòng)的距離是____________．（“希望杯”邀請賽試題）4．已知，且，那么有理數(shù)的大小關(guān)系是_________________________．（用“＜”號(hào)連接）（北京市“迎春杯”競賽試題）5．在數(shù)軸上任取一條長度為的線段，則此線段在數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）．A．1998B．1999C．2000D．2001（重慶市競賽試題）6．如圖，為數(shù)軸上的兩點(diǎn)表示的有理數(shù)，在中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．1B．2C．3D．4（“祖沖之”邀請賽試題）7．有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子化簡結(jié)果為（）．A．B．C．D．8．如圖所示，在數(shù)軸上有六個(gè)，且，則與點(diǎn)所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是（ ）．A．－1B．0C．1D．2（“希望杯”邀請賽試題）9．已知為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示：且，求的值．10．電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)，第一步從向左挑一個(gè)單位到，第二步由向右跳2個(gè)單位到，第三步由向左跳3個(gè)單位到，第四步由向右跳4個(gè)單位到，…，按以上規(guī)律跳了100步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)恰是19.94．則電子跳蚤的初始位置點(diǎn)所表示的數(shù)是_________________．11．如圖，已知分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為－20，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為100．（1）求過中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)．（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻恰好從點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)相遇，求點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)．（3）若當(dāng)電子螞蟻從點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻恰好從點(diǎn)出發(fā)，以4單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)相遇，求點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)．B級1．有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：則化簡的結(jié)果為_____________________．2．電影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墻進(jìn)入“”的鏡頭（如示意圖中站臺(tái)），構(gòu)思奇妙，給觀眾留下深刻的印象．若站臺(tái)分別位于－2，－1處，，則站臺(tái)用類似電影里的方法稱為“_________________站臺(tái)”（《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）3．在數(shù)軸上，若點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是點(diǎn)與三〇若對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離的4倍，則點(diǎn)表示的數(shù)是_________________．（河南省競賽試題）4．若，則使成立的的取值范圍是__________________．（武漢市選拔賽試題）5．如圖，直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，且，那么，到三點(diǎn)距離的和最小的點(diǎn)為（ ）．A．點(diǎn)外B．線段的中點(diǎn)C．線段外一點(diǎn)D．無窮多個(gè)（“希望杯”邀請賽試題）6．點(diǎn)都在數(shù)軸上，點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，且，，依照上述規(guī)律，點(diǎn)所表示的數(shù)分別為（ ）．A．2008，－2009B．－2008，2009C．1004，－1005D．1004，－1004（福建省泉州市中考試題）7．設(shè)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）．A．沒有最小值B．只有一個(gè)使去最小值C．有限個(gè)（不止一個(gè)）使去最小值D．有無窮多個(gè)使取最小值（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）8．如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩個(gè)點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)，且，那么數(shù)軸的原點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)是（ ）．A．B．C．D．（“新世紀(jì)杯”廣西初中數(shù)學(xué)競賽試題）9．已知，求的最大值和最小值．（江蘇省競賽試題）10．如圖，在環(huán)形運(yùn)輸線路上有六個(gè)倉庫，現(xiàn)有某種貨