初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級專題06有理數(shù)的計(jì)算（解析版）

專題06有理數(shù)的計(jì)算閱讀與思考在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)會根據(jù)四則運(yùn)算法則對整數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)引進(jìn)負(fù)數(shù)概念后，數(shù)集擴(kuò)大到了有理數(shù)范圍，我們又學(xué)習(xí)了有理數(shù)的計(jì)算，有理數(shù)的計(jì)算與算術(shù)數(shù)的計(jì)算有很大的不同：首先，有理數(shù)計(jì)算每一步要確定符號；其次，代數(shù)與算術(shù)不同的是“字母代數(shù)”，所以有理數(shù)的計(jì)算很多是字母運(yùn)算，也就是通常說的符號演算．?dāng)?shù)學(xué)競賽中的計(jì)算通常與推理相結(jié)合，這不但要求我們能正確地算出結(jié)果，而且要善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活選用算法和技巧，提高計(jì)算的速度．有理數(shù)的計(jì)算常用的技巧與方法有：1．利用運(yùn)算律．2．以符代數(shù)．3．裂項(xiàng)相消．4．分解相約．5．巧用公式等．例題與求解【例1】已知m，n互為相反數(shù)，a，b互為負(fù)倒數(shù)，x的絕對值等于3，則的值等于______________．（湖北省黃岡市競賽試題）解題思路：利用互為相反數(shù)、互為倒數(shù)的兩個(gè)有理數(shù)的特征計(jì)算．【例2】已知整數(shù)滿足，且，那么等于（ ）A．0B．10C．2D．12（江蘇省競賽試題）解題思路：解題的關(guān)鍵是把25表示成4個(gè)不同的整數(shù)的積的形式．【例3】計(jì)算：（1）（“祖沖之杯”邀請賽試題）（2）；（江蘇省泰州市奧校競賽試題）（3）．（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：對于（1），若先計(jì)算每個(gè)分母值，則掩蓋問題的實(shí)質(zhì)，不妨先從考察一般情形入手；對于（2），由于相鄰的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是7，考慮用字母表示和式；（3）中裂項(xiàng)相消，簡化計(jì)算．【例4】都是正整數(shù)，并且，．(1)證明：，；(2)若，求和的值．（“華羅庚金杯”少年邀請賽試題）解題思路：（1）對題中已知式子進(jìn)行變形．（2）把（1）中證明得到的式子代入，再具體分析求解．【例5】在數(shù)學(xué)活動中，小明為了求的值（結(jié)果用表示），設(shè)計(jì)了如圖①，所示的幾何圖形．（1）請你用這個(gè)幾何圖形求的值．（2）請你用圖②，在設(shè)計(jì)一個(gè)能求的值的幾何圖形．（遼寧省大連市中考試題）解題思路：求原式的值有不同的解題方法，二剖分圖形面積是構(gòu)造圖形的關(guān)鍵．【例6】記，令稱為這列數(shù)的“理想數(shù)”，已知的“理想數(shù)”為2004．求的“理想數(shù)”．（安徽省中考試題）解題思路：根據(jù)題意可以理解為為各項(xiàng)和，為各項(xiàng)和的和乘以．能力訓(xùn)練A級1．若互為相反數(shù)，互為倒數(shù)．，的值為____________．（湖北省武漢市調(diào)考試題）2．若，則=___________．（“希望杯”邀請賽試題）3．計(jì)算：（1）＝________________；（2）＝__________________．4．將1997減去它的，再減去余下的，再減去余下的，再減去余下的，，依次類推，直至最后減去余下的，最后的答案是_______________．（“祖沖之杯”邀請賽試題）5．右圖是一個(gè)由六個(gè)正方體組合而成的幾何體，每個(gè)小正方體的六個(gè)面上都分別寫著－1，2，3，－4，5，6六個(gè)數(shù)字，那么圖中所有看不見的面上的數(shù)字和是___________．（湖北省仙桃市中考試題）6．如果有理數(shù)滿足關(guān)系式，那么代數(shù)式的值（ ）A．必為正數(shù)B．必為負(fù)數(shù)C．可正可負(fù)D．可能為0（江蘇省競賽試題）7．已知有理數(shù)兩兩不相等，則，，中負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè)或2個(gè)（重慶市競賽試題）8．若與互為相反數(shù)，則＝（ ）A．0B．1C．－1D．1997（重慶市競賽試題）9．如果，，則的值是（ ）A．2B．1C．0D．-1（“希望杯”邀請賽試題）10．若是互為不相等的整數(shù)，且，則等于（ ）A．0B．4C．8D．無法確定11．把，3.7，，2.9，4.6分別填在圖中五個(gè)Ο內(nèi)，再在每個(gè)□中填上和它相連的三個(gè)Ο中的數(shù)的平均數(shù)，再把三個(gè)□中的平均數(shù)填在△中．找出一種填法，使△中的數(shù)盡可能小，并求這個(gè)數(shù)．（“華羅庚金杯”少年邀請賽試題）12．已知都不等于零，且的最大值為，最小值為，求的值．B級1．計(jì)算：＝________________．（“五羊杯”競賽試題）2．計(jì)算：＝________________．（“希望杯”邀請賽試題）3．計(jì)算：＝____________________．4．據(jù)美國詹姆斯·馬丁的測算，在近十年，人類的知識總量已達(dá)到每三年翻一翻，到2020年甚至要達(dá)每73翻番空前速度，因此，基礎(chǔ)教育任務(wù)已不是“教會一切人一切知識，而是讓一切人學(xué)會學(xué)習(xí)”．已知2000年底，人類知識總量，假入從2000年底2009年底每3年翻一翻；從2009年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．（1）2009年底人類知識總量是：__________________；（2）2019年底人類知識總量是：__________________；（3）2020年按365天計(jì)算，2020年底類知識總量會是____________________．（北京市順義區(qū)中考試題）5．你能比較和的大小嗎？為了解決這個(gè)問題，我們首先寫出它的一般形式，即比較與的大?。╪是自然數(shù)），然后我們從分析n=1，n=2，n=3…中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歸納、猜想得出結(jié)論（1）通過計(jì)算，比較下列各組中兩數(shù)的大?。海ㄔ跈M線上填寫“＞”“=”“＜”）①，②；③；④；⑤（2）從第（1）題的結(jié)果中，經(jīng)過歸納，可以猜想出與的大小關(guān)系是_____________________________________________________________________________；（3）根據(jù)以上歸納．猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩數(shù)的大小_____：．（福建省龍巖市中考試題）6．有2009個(gè)數(shù)排成一列，其中任意相鄰的三個(gè)數(shù)中，中間的數(shù)總等于前后兩數(shù)的和．若第一個(gè)數(shù)是1，第二個(gè)數(shù)是－1，則這個(gè)2009個(gè)數(shù)的和是（ ）A．－2B．－1C．0D．2（全國初中數(shù)學(xué)競賽海南省試題）7．如果，那么的值為（ ）A．－1B．1C．D．不確定（河北省競賽試題）8．三進(jìn)位制數(shù)201可用十進(jìn)制數(shù)表示為；二進(jìn)制數(shù)1011可用十進(jìn)制法表示為．前者按3的冪降冪排列，后者按2的冪降冪排列，現(xiàn)有三進(jìn)位制數(shù)，二進(jìn)位制數(shù)，則與的大小關(guān)系為（）．A．B．C．D．不能確定（重慶市競賽試題）9．如果有理數(shù)滿足，則（）A．B．C．D．（“希望杯”邀請賽試題）10．有1998個(gè)互不相等的有理數(shù)，每1997個(gè)的和都是分母為3998的既約真分?jǐn)?shù)，則這個(gè)1998個(gè)有理數(shù)的和為（ ）A．B．C．D．（《學(xué)習(xí)報(bào)》公開賽試題）11．觀測下列各式：，，．．．回答下面的問題：（1）猜想＝______________．（直接寫出你的結(jié)果）（2）利用你得到的（1）中的結(jié)論，計(jì)算的值．（3）計(jì)算①的值；②的值．

專題06有理數(shù)的計(jì)算28或-26例2D提示：abcd=5×1×（-1）×（-5），a=-5，b=1，c=-1，d=-5.例3（1）提示：==.（2）提示：設(shè)s=，則7s=（3）原式=+=1+1-=2-=例4（1）A===同理B=由A-B=-==得∴m==13-，又∵m，n均為正整數(shù)，∴13+n為13×13的因數(shù)，∴13+n=∴n156，m=12.（1）原式=1-，（2）由題意知，即.又∴=2004×500.故8，，，…，的“理想數(shù)“為””==2008.A級提示：原式==1+1=2.提示：M-1+，解得M=2.3.（1）；（2）-84.1提示：設(shè)a=1997，由題意原式==5.-136.B7.B提示：不妨設(shè)x>y>z.8.B9.D10.A11.提示：設(shè)○內(nèi)從右到左填的數(shù)分別為，，，，則△內(nèi)填的數(shù)為.要使△中填的數(shù)盡可能小，則，，分別為2，9，3，7，而剩下的兩個(gè)為，.提示：時(shí)，m=4；時(shí)，n-4.B級提示：倒敘相加.提示：3.4.（1）（2）（3）5.（1）略（2）當(dāng)n<3時(shí)，；當(dāng)n≥3時(shí)，（3）>001-00076.A提示：先寫出前面一些數(shù)：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，…，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)每6個(gè)數(shù)為一次循環(huán)，又2009＝334×6＋5.而每一組中1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＋2＝0，故這2009個(gè)數(shù)的和，等于最后五個(gè)數(shù)之和.為1