空間向量學習知識重點歸納情況總結(jié)

空間向量知識點歸納總結(jié)

知識要點。

1.空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向線段表示?同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。

（2）空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。

2.空間向量的運算。

定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下（如圖）。

OB=OA+AB=a-￥b,~BA=OA-OB=a-b,OP=Aa^^R）

運算律：⑴加法交換律：a^b=b+a

⑵加法結(jié)合律：（5+3）+^=不+（在+不）

⑶數(shù)乘分配律：20+萬）=質(zhì)+與

3.共線向量。

（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線

向量或平行向量，2平行于記作不〃月。

當我們說向量B共線（或1〃坂）時，表示G、B的有向線段所在的直線可能是同

一直線，也可能是平行直線。

（2）共線向量定理：空間任意兩個向量1、b存在實數(shù)九使1=4坂。

4.共面向量

（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。

說明：空間任意的兩向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果兩個向量不共線，萬與向量力,5共面的條件是存在實數(shù)

x,y使廣二依+）石。

5.空間向量基本定理：如果三個向量口反不不共面，那么對空間任一向量。，存在一個

唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使萬=點+）3+zd。

若三向量舒忑不共面，我們把｛1,5,曾叫做空間的一個基底，石出忑叫做基向量，空

間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。

推論：設(shè)O,A,8,C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)

x,y,z,使OP=xC^4+），QB+zOC。

6.空間向量的直角坐標系：

（1）空間直角坐標系中的坐標：

在空間直角坐標系。-tyz中，對空間任一點A,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使

加=總+訝+不，有序?qū)崝?shù)組a,y,z）叫作向量A在空間直角坐標系O-種中的坐標,

記作A（x,y,z）,x叫橫坐標，y叫縱坐標，z叫豎坐標。

（2）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位正交基底，用

表示。

（3）空間向量的直角坐標運算律：

①若。=（4，々2，/），石=（4也也），則a+B=（q+4，生+a，q+4）,

a—b=（a}一瓦%_3，4_4），^a=（Aa^,2a,）（2GR），

ab=+a2b2+%4，

a〃石o4=Ab、,%=Ab?,%=Ab3（AeR）,

aLb<=>a]b]+帖2+%4=。。

②若A（x，y,Z1）,B（X2，y2,z2）f則荏=（%-%,必一如打一馬）。

一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點

的坐標。

（4）模長公式：若a=（q,4,q）,b=（b^b2,b3）,

則|a|=\laa=Ja；+出2+"，I51=赤石=Jb；+b；+公

（5）夾角公式：8S（75）=Eh=r=她+吟+她_

兩點間的距離公式：若

（6）A（%,y,Z]）,B（Xj,y2,z2）,

則|而222

|=V^=7（x2-x1）+（y2-y,）+（z2-zl）,

或加=—6A+（必-11）」+g-々）2

7.空間向量的數(shù)量積。

（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量在空間任取一點。，作

OA=ck~OB=l）,則NAO8叫做向量1與5的夾角，記作<25>；且規(guī)定0?v25>《乃，

顯然有<亍,5>=〈反汗>；若>=三,則稱a與5互相垂直，記作：aLbo

2

（2）向量的模：設(shè)次=彳，則有向線段函的長度叫做向量值的長度或模，記作：|1|。

（3）向量的數(shù)量積：已知向量。,方，則|M|?|，|?cosv落叫做。出的數(shù)量積，記

作亍?日，即M?B=mi|B|?cos<45>。

（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：

?a-e=\a\cos<a,e>a@a.Lboab=0o③

（5）空間向量數(shù)量積運算律：

①（然）石=20石）=方（防。?ab=ba（交換律）。

@a（b+c）=ab+ac（分配律）。

（6）：空間向量的坐標運算：

1.向量的直角坐標運算

設(shè)萬二回,4，6），方=（偽/2也）則

（1）萬+5=（q+偽,電+1,4+4）；

(2)a—b=(a]-b^ay-b2ya3-b3)；

（3）%]=（幾q,力^，也）（xGR）；(4)a?b=q,+a2b2+/4;

2.設(shè)A(%,y,Z]),B(x2,y2,z2),則4呂=。3-方=(x,-xpy2-ypz2

11

3、設(shè)〃=(x，y[,Z1),Z?=(x2,y2,z2),則

1111111111

aPb<=>?=Ab(bwO)：a±b<=>ab=O<^>%毛+yy2+z^z2=0.

4.夾角公式設(shè)H=(q嗎,%),b=((,她),則(3<,ab>=]ff產(chǎn)

[a：+4+/擊36；+匕

5.異面直線所成角[j

cos。=|cos&M|二皿二?|中冷*+平2|

、'\a\-\b\&+短+zj?宿+W☆

6.平面外一點p到平面a的距離

已知AB為平面a的一條斜線，G為平面a的一個法

向量，A到平面a的距離為：d=--z~~1

1〃1

【典型例題】

例1.已知平行六面體ABCD-ABXTD'化簡下列向量表達式，標出化簡結(jié)果的向量。

（DAB+BC：⑵通+而+包

11

（3）通+而+-無；（4）-（AB+4D+A?）o

G

例2.對空間任一點。和不共線的三點A,aC,問滿足向量式：AB

OP=xOA-^yOB^zOC（其中x+y+z=l）的四點P,4，aC是否共面？

例3.已知空間四邊形OA8C,其對角線03,AC,M,N分別是對邊。ABC的中點,

點G在線段WN上，且MG=2GN,用基底向量弧礪,反表示

向量OG“

B

例4.如圖，在空間四邊形。ABC中，QA=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC=45°,

/。48=60。，求OA與BC的夾角的余弦值。八

說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如v04/＞=135°易錯寫成＜34部＞=45°,

切記！

例5.長方體4BCO—A4G。中，AB=BC=4,￡為RG與5A的交點，F(xiàn)為BC、

與4c的交點，又AhBE,求長方體的高8隹。

空間向量與立體幾何練習題

一、選擇題

1.如圖，棱長為2的正方體ABCD-A4GA在空間直角坐標

系中，若E,尸分別是中點，則前的坐標為()

A.(1,2,-1)BJ-

C.(―1,—2,1)D.(1,-2,—1)

AB

2.如圖，ABCAABiQ故是正方體，B這1=現(xiàn)尸\二-^,則跖與如

4

所成角的余弦值是()

3.在四棱錐尸—A8CO中，底面A8CD是正方形，E為PD中點,

若7X=￡,PB=b,PC=c,則8￡=()

l-1p1一1-11-

A.—a——b+—cB.—a——br——c

222-222

^La--b^-c

222

圖

二、填空題

4.若點41,2,3),B(-3,2,7),且正+配=C,則點。的坐標為.

5.在正方體ABCD-4耳?！ㄖ?，直線與平面48G夾角的余弦值為—

三、解答題

乃

1、在正四棱柱ABCD-ABCD中，AB1與底面ABCD所成的角為一,

4

(1)求證_LHffABC(2)求二面角4-AC-3的正切值

2.在三棱錐P-ABC中，AB=AC=3

AP=4,口4_1.面”。，ZBAC=90°,。是P4中點，點七在3。上,

且3E=2CE,(1)求證：AC±BD；(2)求直線OE與PC夾角。的余

弦值；(3)求點A到平面BDE的距離d的值.

3.在四棱錐戶一力眼中，底面451力是一直角梯形，/胡890°,AD/iBC,AB=BC=a,力大2a,

且為_L底面力為力，必與底面成30°角.

(1)若川江陽，￡為垂足，求證：BELPDx

(2)求異面直線/If與切所成角的余弦值.

4、已知棱長為1的正方體/心，E、F分別是8C、GD的中點.(1)求證：E、F、D、8共面;

(2)求點4到平面的面EF的距離；(3)求直線4D與平面為EF所成的角.

6

5、已知正方體力靦一48￡〃的棱長為2,點￡為棱仍的中點，求：

(I)〃￡與平面8Q9所成角的大??；(II)二面角ABG—C的大小;

【模擬試題】

1.已知空間四邊形ABC。，連結(jié)AC,3。，設(shè)M,G分別是BC,CD的中點，化簡下列

各表達式，并標出化簡結(jié)果向量：(1)AB+BC+CD；(2)AB-^-iBD+BC),

2

(3)AG-^(AS+AC)O

2.已知平行四邊形ABCQ,從平面AC外一點。引向量。

OE=kdA.OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD.(1)求證：四點E,F,G,H共面；

(2)平面AC〃平面EG。

3.如圖正方體中，耳七|=。耳=一片與，

4

求BE與。耳所成角的余弦。

4.已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)。

⑴求以向量初,正為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

⑵若向量萬分別與向量通,正垂直，旦|。|=6，求向量萬的坐標。

5.已知平行六面體ABCD-AB'C'。'中，A6=4,AD=3,A4'=5,ABAD=90°,

^BAA!=^DAA!=60c,求AC的長。

［參考答案］

1.解：如圖,

(1)而+配+歷=衣+麗=彷

(2)AB+-(5D+BC)=AB+-BC4--BDO

222

=AB+BM+MG=AG；

(3)AG-^(AB+AC)=AG-AM=MG.

2.解：(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，.??衣=麗+而，

-EG=OG-OE,

=k-OC-kOA=k(OC-OA)=kAC=k(AB+AD)

=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE

=EF+EH

???E,尸,G,H共面;

(2)解：?：百=而一歷=k◎一端=ka,又?：反=k?/,

??.EF//AB.EG//AC.

所以，平面AC〃平面EG。

解：不妨設(shè)正方體棱長為1,建立空間直角坐標系。-孫z,