2024-2025學年高中數(shù)學第二章平面向量課時作業(yè)182.4平面向量的坐標含解析北師大版必修4

課時作業(yè)18平面對量的坐標時間：45分鐘滿分：100分——基礎鞏固類——一、選擇題(每小題5分，共40分)1．假如用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則eq\o(AB,\s\up15(→))可以表示為(C)A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋j解析：記O為坐標原點，則eq\o(OA,\s\up15(→))＝2i＋3j，eq\o(OB,\s\up15(→))＝4i＋2j，所以eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝2i－j.2．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，則bA．(1，－2) B．(1,2)C．(5,6) D．(2,0)解析：b＝(3,2)－2a3．若eq\o(AB,\s\up15(→))＝(1,1)，eq\o(AD,\s\up15(→))＝(0,1)，eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝(a，b)，則a＋b＝(A)A．－1 B．0C．1 D．2解析：eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))＝(0,1)－(1,1)＝(－1,0)，故a＝－1，b＝0，a＋b＝－1.4．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，則實數(shù)m等于(C)A．－eq\r(2) B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．0解析：本題考查了向量的坐標運算，向量平行的坐標表示等．由a∥b知1×2＝m2，即m＝eq\r(2)或m＝－eq\r(2).5．已知O是坐標原點，點A在其次象限，|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝2eq\r(3)，∠xOA＝120°，則向量eq\o(OA,\s\up15(→))的坐標為(A)A．(－eq\r(3)，3) B．(3，eq\r(3))C．(3，－eq\r(3)) D．(－eq\r(3)，－3)解析：設點A(x，y)，則x＝|eq\o(OA,\s\up15(→))|cos120°＝2eq\r(3)cos120°＝－eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up15(→))|sin120°＝2eq\r(3)sin120°＝3.即A(－eq\r(3)，3)，∴eq\o(OA,\s\up15(→))＝(－eq\r(3)，3)．6．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是兩個向量集合，則P∩Q＝(A)A．{(1,1)} B．{(－1,1)}C．{(1,0)} D．{(0,1)}解析：本題主要考查向量學問及集合的運算．依據(jù)題意知，(1,0)＋m(0,1)＝(1,1)＋n(－1,1)，∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝1－n,m＝1＋n))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝0,m＝1)).∴P∩Q＝{(1,1)}．7．設向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：∵a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，∴4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－又∵表示4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，∴4a＋(4b－2c)＋2(a－解得d＝(－2，－6)，故選D.8．點P在平面上做勻速直線運動，速度向量v＝(4，－3)，(即點P的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為|v|個單位)．設起先時點P的坐標為(－10,10)，則5秒后點P的坐標為(C)A．(－2,4) B．(－30,25)C．(10，－5) D．(5，－10)解析：由已知，可令平移到M(x，y)，有eq\o(PM,\s\up15(→))＝5v，∴(x，y)＝(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)，故選C.二、填空題(每小題5分，共15分)9．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，則λ1，λ2的值分別為－1,2解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＋2λ2＝3,2λ1＋3λ2＝4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－1,λ2＝2)).10．已知點A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且eq\o(AC,\s\up15(→))＝2eq\o(BD,\s\up15(→))，則x＋y＝eq\f(11,2).解析：eq\o(AC,\s\up15(→))＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，eq\o(BD,\s\up15(→))＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．∵eq\o(AC,\s\up15(→))＝2eq\o(BD,\s\up15(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝2×x－2,2＝2×y－3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2),y＝4)).∴x＋y＝eq\f(3,2)＋4＝eq\f(11,2).11．向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝4.解析：本題考查平面對量的坐標運算問題．以向量a和b的交點為原點建立平面直角坐標系，則a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，依據(jù)c＝λa＋μb?(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，所以λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，則eq\f(λ,μ)＝4.三、解答題(共25分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)12．(12分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．若ka＋2b與2a－4b平行，求實數(shù)k解：解法一：向量ka＋2b與2a－4b平行，則存在唯一實數(shù)λ，使ka＋2b＝λ(2a－4∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)，2a－4b∴(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－6＝14λ，,2k＋4＝－4λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,k＝－1.))即實數(shù)k的值為－1.解法二：∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，ka＋2b與2a－4b平行，∴(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0.解得13．(13分)已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(AB,\s\up15(→))，求：(1)t為何值時，P在x軸上？P在y軸上？P在其次象限？(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應的t值；若不能，請說明理由．解：(1)設P(x，y)，由eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(AB,\s\up15(→))，得(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3t，,y＝2＋3t.))當P在x軸上時，y＝0，即2＋3t＝0，所以t＝－eq\f(2,3).當P在y軸上時，x＝0，即1＋3t＝0，所以t＝－eq\f(1,3).當P在其次象限時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0,2＋3t>0))?－eq\f(2,3)<t<－eq\f(1,3).(2)不能．理由：若四邊形OABP能構(gòu)成平行四邊形，則eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))，即(1＋3t,2＋3t)＝(3,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t＝3，,2＋3t＝3，))這是不行能的．所以四邊形OABP不能成為平行四邊形．——實力提升類——14．(5分)設m＝(a，b)，n＝(c，d)，規(guī)定向量m，n之間的一個運算“?”為m?n＝(ac－bd，ad＋bc)．已知p＝(1,2)，p?q＝(－4，－3)，則q＝(－2,1)．解析：設q＝(x，y)，則p?q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝－4，,y＋2x＝－3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))15．(15分)已知向量u＝(x，y)與向量v＝(y,2y－x)的對應關系記作v＝f(u)．(1)求證：對隨意向量a，b與常數(shù)m，n恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)；(2)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，用坐標表示f(a)和f(b)；(3)求使f(c)＝(p，q)(p，q為常數(shù))的向量c的坐標．解：(1)證明：設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則ma＋nb＝(mx1＋nx2，my1＋ny2)，所以f(ma＋nb)＝(my1＋ny2，2(my1＋ny2)－(mx1＋nx2))，而mf(a)＋nf(b)＝m(y1,2y1－x1)＋n(y2,2y2－x2)＝(my1,2my1－mx1)＋(ny2,2ny2－nx2)＝(my1＋ny2