2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.2.2事件的相互獨立性課時作業(yè)含解析新人教A版選修2-3

課時作業(yè)12事務(wù)的相互獨立性時間：45分鐘分值：100分一、選擇題(每小題5分，共計35分)1．下列事務(wù)A、B是獨立事務(wù)的是(A)A．一枚硬幣擲兩次，A＝{第一次為正面}，B＝{其次次為反面}B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A＝{第一次摸到白球}，B＝{其次次摸到白球}C．?dāng)S一枚骰子，A＝{出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)}，B＝{出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)}D．A＝{人能活到20歲}，B＝{人能活到50歲}解析：把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結(jié)果不受先后影響，故A是獨立事務(wù)；B中是不放回地摸球，明顯A事務(wù)與B事務(wù)不相互獨立；對于C，其結(jié)果不行能同時發(fā)生，A、B應(yīng)為互斥事務(wù)；D是條件概率，事務(wù)B受事務(wù)A的影響．2．有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，在兩批種子中各取一粒，則兩粒種子都發(fā)芽的概率是(D)A．0.26 B．0.08C．0.18 D．0.72解析：兩粒種子都發(fā)芽的概率是P＝0.8×0.9＝0.72.3．某單位對某村的貧困戶進(jìn)行“精準(zhǔn)扶貧”，若甲、乙貧困戶獲得扶持資金的概率分別為eq\f(2,5)和eq\f(3,5)，兩戶是否獲得扶持資金相互獨立，則這兩戶中至少有一戶獲得扶持資金的概率為(C)A.eq\f(2,15) B.eq\f(2,5)C.eq\f(19,25) D.eq\f(8,15)解析：兩戶中至少有一戶獲得扶持資金的概率P＝eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(19,25).故選C.4．在某道路A、B、C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這個道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為(A)A.eq\f(35,192) B.eq\f(25,192)C.eq\f(35,576) D.eq\f(21,192)解析：從題意可知，每個交通燈開放綠燈的概率分別為eq\f(5,12)、eq\f(7,12)、eq\f(3,4).在這個道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為eq\f(5,12)×eq\f(7,12)×eq\f(3,4)＝eq\f(35,192).5．從某地區(qū)的兒童中預(yù)選體操學(xué)員，已知這些兒童體型合格的概率為eq\f(1,5)，身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格的概率為eq\f(1,4)，從中任挑一兒童，這兩項至少有一項合格的概率是(假定體型與身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格與否相互之間沒有影響)(D)A.eq\f(13,20) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,5)解析：這兩項都不合格的概率是(1－eq\f(1,5))(1－eq\f(1,4))＝eq\f(3,5)，所以至少有一項合格的概率是1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5).6．某居民小區(qū)有兩個相互獨立的平安防范系統(tǒng)A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在隨意時刻發(fā)生故障的概率分別為eq\f(1,8)和p.若在隨意時刻恰有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為eq\f(9,40)，則p＝(B)A.eq\f(1,10) B.eq\f(2,15)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,5)解析：記“系統(tǒng)A發(fā)生故障”和“系統(tǒng)B發(fā)生故障”分別為事務(wù)A和B，“隨意時刻恰有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事務(wù)C，則P(C)＝P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(eq\x\to(B))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))·p＋eq\f(1,8)(1－p)＝eq\f(9,40)，解得p＝eq\f(2,15)，故選B.7.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳動時，均從一片荷葉跳到另一片荷葉)，而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖所示．假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A荷葉上，則跳三次之后停在A荷葉上的概率是(A)A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,9)C.eq\f(4,9) D.eq\f(8,27)解析：由題知逆時針跳一次的概率為eq\f(2,3)，順時針跳一次的概率為eq\f(1,3).則逆時針跳三次停在A上的概率為P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，順時針跳三次停在A上的概率為P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27).所以跳三次之后停在A上的概率為P＝P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).二、填空題(每小題6分，共計18分)8．從甲袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,3)，從乙袋中摸出1個紅球的概率是eq\f(1,2)，從兩袋內(nèi)各摸出1個球，則(1)2個球不都是紅球的概率eq\f(5,6).(2)2個球都是紅球的概率eq\f(1,6).(3)至少有1個紅球的概率eq\f(2,3).(4)2個球中恰好有1個紅球的概率eq\f(1,2).解析：(1)，(2)，(3)，(4)中的事務(wù)依次記為A，B，C，D，則P(A)＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,6)；P(B)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)；P(C)＝1－(1－eq\f(1,2))×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(2,3)；P(D)＝eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,2))＋(1－eq\f(1,3))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).9．某人有8把外形相同的鑰匙，其中只有一把能打開家門．一天該人醉酒回家，每次從8把鑰匙中隨意拿一把開門，試用后又不加記號放回，則該人第三次打開家門的概率是eq\f(49,512).解析：由已知每次打開家門的概率為eq\f(1,8)，則該人第三次打開家門的概率為(1－eq\f(1,8))(1－eq\f(1,8))×eq\f(1,8)＝eq\f(49,512).10．已知A，B，C為三個彼此相互獨立的事務(wù)，若事務(wù)A發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，事務(wù)B發(fā)生的概率為eq\f(2,3)，事務(wù)C發(fā)生的概率為eq\f(3,4)，則發(fā)生其中兩個事務(wù)的概率為eq\f(11,24).解析：由題意可知，所求事務(wù)的概率P＝eq\f(1,2)×(1－eq\f(2,3))×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×(1－eq\f(3,4))×eq\f(2,3)＋(1－eq\f(1,2))×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,8)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,4)＝eq\f(11,24).三、解答題(共計27分)11．(12分)某大街在甲、乙、丙三個地方設(shè)有交通信號燈，汽車在甲、乙、丙三個地方通過(即通過綠燈)的概率分別是eq\f(1,3)、eq\f(1,2)、eq\f(2,3)，對于該大街上行駛的汽車，求：(1)在三個地方都不停車的概率；(2)在三個地方都停車的概率；(3)只在一個地方停車的概率．解：記汽車在甲地遇到綠燈為事務(wù)A，汽車在乙地遇到綠燈為事務(wù)B，汽車在丙地遇到綠燈為事務(wù)C，則P(A)＝eq\f(1,3)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(C))＝eq\f(1,3).(1)在三個地方都不停車的概率為P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9).(2)在三個地方都停車的概率為P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).(3)只在一個地方停車概率為P(eq\x\to(A)BC＋Aeq\x\to(B)C＋ABeq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A)BC)＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(ABeq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(B)P(C)＋P(A)·P(eq\x\to(B))P(C)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(7,18).12．(15分)某省電視臺實行歌頌大賽，大賽依次設(shè)初賽，復(fù)賽，決賽三個輪次的競賽．已知某歌手通過初賽，復(fù)賽，決賽的概率分別為eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,4)，且各輪次通過與否相互獨立．記該歌手參賽的輪次為ξ.(1)求ξ的分布列；(2)記“函數(shù)f(x)＝3sineq\f(x＋ξ,2)π(x∈R)是偶函數(shù)”為事務(wù)A，求A發(fā)生的概率．解：(1)ξ的可能取值為1,2,3.P(ξ＝1)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,2).ξ的分布列為ξ123Peq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,2)(2)因為f(x)＝3sineq\f(x＋ξ,2)π(x∈R)是偶函數(shù)，所以ξ＝1或ξ＝3.P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(3,4).——素養(yǎng)提升——13.(5分)在如圖所示的電路圖中，開關(guān)a，b，c閉合與斷開的概率都是eq\f(1,2)，且是相互獨立的，則燈亮的概率是(B)A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(7,8)解析：設(shè)開關(guān)a，b，c閉合的事務(wù)分別為A，B，C，則燈亮這一事務(wù)E＝ABC∪ABeq\x\to(C)∪Aeq\x\to(B)C，且A，B，C相互獨立，ABC，ABeq\x\to(C)，Aeq\x\to(B)C互斥，所以P(E)＝P((ABC)∪(ABeq\x\to(C))∪(Aeq\x\to(B)C))＝P(ABC)＋P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))＋P(A)P(eq\x\to(B))P(C)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))＋eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).14．(15分)隨機(jī)抽取某城市一年(365天)內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的監(jiān)測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如下：(1)若某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失S(單位：元)與空氣質(zhì)量指數(shù)AQI(記為ω)的關(guān)系式為S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0≤ω≤100，,4ω－400，100<ω≤300，,2000，ω>300，))試估計在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過600元的概率；(2)若以上表統(tǒng)計的頻率作為概率，求該城市某三天中恰有一天空氣質(zhì)量為輕度污染的概率．(假定這三天中空氣質(zhì)量互不影響)解：(1)設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過600元”為事務(wù)A，由200<S≤600，得150<ω≤250，頻數(shù)為3