2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)高頻考點(diǎn)03角新版新人教版

高頻考點(diǎn)03角學(xué)問(wèn)框架基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)點(diǎn)學(xué)問(wèn)點(diǎn)1-1角的相關(guān)概念1）角的定義：角由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成，兩條射線的公共端點(diǎn)是這個(gè)角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊，構(gòu)成角的兩個(gè)基本條件：一是角的頂點(diǎn)，二是角的邊．角的另一種定義：角也可以看成是由一條射線圍著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的．如圖4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A為端點(diǎn)的射線，從AB的位置繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AC的位置而成的圖形．如圖4-3-8所示，射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OC和起始位置OA成始終線時(shí)，所成的角叫做平角；如圖4-3-9所示，射線OA繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所成的角叫做周角.2）角的分類：小于平角的角可按大小分成三類：當(dāng)一個(gè)角等于平角的一半時(shí)，這個(gè)角叫直角；大于零度角小于直角的角叫銳角（0°<銳角<90°）；大于直角而小于平角的角叫鈍角（90°<鈍角<180°）．1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°．3）角的表示方法：角用幾何符號(hào)“∠”表示，角的表示方法可歸納為以下三種：(1)用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示，如圖4-3-3所示，記作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的頂點(diǎn)，寫(xiě)在中間；A和B分別是角的兩邊上的一點(diǎn)，寫(xiě)在兩邊，可以交換位置．(2)用一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示，如圖4-3-3所示，可記作∠O．用這種方法表示角的前提是以這個(gè)點(diǎn)作頂點(diǎn)的角只有一個(gè)，否則不能用這種方法表示，如圖4-3-4所示，∠AOC就不能記作∠O．因?yàn)榇藭r(shí)以O(shè)為頂點(diǎn)的角不止一個(gè)，簡(jiǎn)潔混淆．(3)用數(shù)字或小寫(xiě)希臘字母來(lái)表示，用這種方法表示角時(shí)，要在靠近頂點(diǎn)處加上弧線，注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫(xiě)希臘字母α、β、γ等．如圖4-3-4所示，∠AOB記作∠l，∠BOC記作∠2；如圖4-3-5所示，∠AOB記作∠β，∠BOC記作∠α．4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角時(shí)要留意：(1)對(duì)中（頂點(diǎn)對(duì)中心）；(2)重合（一邊與刻度尺上的零度線重合）(3)讀數(shù)（讀出另一邊所在線的刻度數(shù)）．5）角的換算：在量角器上看到，把一個(gè)平角180等分，每一份就是1°的角．1°的為1分，記作“1′”，即l°＝60′.1′的為1秒，記作“1″”，即1″＝60″．1．（2024·邢臺(tái)市第七中學(xué)初一期中）下列關(guān)于角的說(shuō)法正確的是（）①角是由兩條射線組成的圖形②角的邊長(zhǎng)越長(zhǎng)，角越大；③在角一邊延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E④角可以看做是由一條射線圍著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】依據(jù)角的概念對(duì)各選項(xiàng)分析推斷后利用解除法求解．【解析】①角是由有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②角的大小與開(kāi)口大小有關(guān)，角的邊是射線，沒(méi)有長(zhǎng)短之分，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③角的邊是射線，不能延長(zhǎng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；④角可以看作由一條射線圍著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，說(shuō)法正確．所以只有④一個(gè)選項(xiàng)正確．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要是對(duì)角的定義的考查，有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，須要嫻熟駕馭．2．（2024·山東冠縣初一期中）下列四個(gè)圖形中，能同時(shí)用∠1，∠ABC，∠B三種方法表示同一個(gè)角的圖形是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：能同時(shí)用∠1，∠ABC和∠B三種方式表示同一個(gè)角的圖形只能是B．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查角的表示法．3．（2024·天津初一期中）如圖所示，可以用一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示的角是_____．【答案】、【分析】利用角的表示方法即可求解．【解析】解：可以用一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示的角只有、，故答案為：、．【點(diǎn)睛】本題考查角的表示，精確駕馭角的表示方法是解題的關(guān)鍵．4．（2024·廣東省初一期中）下列說(shuō)法正確的是（）．A．平角的終邊和始邊不肯定在同一條直線上B．角的邊越長(zhǎng)，角越大C．大于直角的角叫做鈍角D．兩個(gè)銳角的和不肯定是鈍角【答案】D【分析】干脆利用角的定義及平角，鈍角的定義分別分析得出答案．【解析】解：A、平角的終邊和始邊肯定在同一條直線上，故A錯(cuò)誤；B、角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，故B錯(cuò)誤；C、鈍角是大于直角且小于平角的角，故C錯(cuò)誤；D、兩個(gè)銳角的和不肯定是鈍角，故D正確；故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角的定義以及平角，鈍角的定義，正確把握有關(guān)的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2024·全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）下列角度換算錯(cuò)誤的是（）A．10.6°＝10°36″B．900″＝0.25°C．1.5°＝90′D．54°16′12″＝54.27°【答案】A【分析】依據(jù)度、分、秒之間的換算關(guān)系求解．【解析】解：A、10.6°＝10°36'，錯(cuò)誤；B、900″＝0.25°，正確；C、1.5°＝90′，正確；D、54°16′12″＝54.27°，正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了度、分、秒之間的換算關(guān)系：，，難度較?。?．（2024·成都市嘉祥外國(guó)語(yǔ)初一月考）某人下午6點(diǎn)到7點(diǎn)之間外出購(gòu)物，動(dòng)身和回來(lái)時(shí)發(fā)覺(jué)表上的時(shí)針和分針的夾角都為110°，此人外出購(gòu)物共用了__________分鐘．【答案】40【解析】設(shè)此人外出購(gòu)物共用了x分鐘，則（6?0.5）x=110+110，解得x=40，所以此人外出購(gòu)物共用了40分鐘，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問(wèn)點(diǎn)是鐘面角，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一大格，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為30度，分針轉(zhuǎn)動(dòng)一小格，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為6度，時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)角度的速度比值是．駕馭以上內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．7．（2024·上海市靜安區(qū)試驗(yàn)中學(xué)月考）用量角器量圖中的角，30°的角有_____個(gè)，60°的角有_____個(gè)，90°的角有_____個(gè)，120°的角有_____個(gè)．【答案】6546【分析】依據(jù)量角器量出各角的度數(shù)即可求解．【解析】如圖，30°的角有∠BAC、∠CAD、∠DAE、∠EAF、∠ACB、∠AEF,共6個(gè)；60°的角有∠BAD、∠CAE、∠DAF、∠ADC、∠ADE,共5個(gè)；90°的角有∠ACD、∠AED、∠BAE、∠CAF,共4個(gè)；120°的角有∠ABC、∠BCD、∠CDE、∠DEF、∠EFA、∠FAB,共6個(gè)；故答案為6；5；4；6．【點(diǎn)睛】此題主要考查角度的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是熟知量角器的運(yùn)用及角度的大小比較．8．（2024山西呂梁初一期末）如圖，在利用量角器畫(huà)一個(gè)40°的∠AOB的過(guò)程中，對(duì)于先找點(diǎn)B，再畫(huà)射線OB這一步驟的畫(huà)圖依據(jù)，喜羊羊同學(xué)認(rèn)為是兩點(diǎn)確定一條直線，懶羊羊同學(xué)認(rèn)為是兩點(diǎn)之間線段最短．你認(rèn)為_(kāi)____同學(xué)的說(shuō)法是正確的．【答案】喜羊羊．【分析】依據(jù)直線的性質(zhì)，可得答案．【解析】解：在利用量角器畫(huà)一個(gè)的的過(guò)程中，對(duì)于先找點(diǎn)，再畫(huà)射線這一步驟的畫(huà)圖依據(jù)，喜羊羊同學(xué)認(rèn)為是兩點(diǎn)確定一條直線，懶羊羊同學(xué)認(rèn)為是兩點(diǎn)之間線段最短．我認(rèn)為喜羊羊同學(xué)的說(shuō)法是正確的，故答案為：喜羊羊．【點(diǎn)睛】本題考查了直線的公理：兩點(diǎn)確定一條直線，要與線段的公理：兩點(diǎn)之間線段最短，區(qū)分開(kāi)來(lái)，不要混淆．9．（2024·江蘇儀征市初一期中）日常生活中，我們幾乎每天都要看鐘表，它的時(shí)針；和分針猶如兄弟倆在賽跑，其中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn).（1）如圖1，上午8:00這一時(shí)刻，時(shí)鐘上分針與時(shí)針的夾角等于________；（2）請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出8:20這一時(shí)刻時(shí)針和分針的大致位置，思索并回答：從上午8:00到8:20，時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)是________，時(shí)鐘的時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)是________；（3）“元旦”這一天，小明上午八點(diǎn)整出門(mén)買(mǎi)東西，回到家中時(shí)發(fā)覺(jué)還沒(méi)到九點(diǎn)，但是時(shí)針與分針重合了，那么小明從離開(kāi)家到回到家的時(shí)間為多少分鐘？【答案】（1）120°；（2）120°，10°；（3）44【分析】（1）依據(jù)8：00這一時(shí)刻時(shí)針在8上，分針在12上，之間共有4個(gè)大格，列式計(jì)算即可得解；（2）依據(jù)分針共轉(zhuǎn)過(guò)4個(gè)大格子，每一個(gè)大格子是30°列式計(jì)算即可得解；時(shí)針在8到9之間轉(zhuǎn)過(guò)20分鐘，轉(zhuǎn)完整個(gè)大格子須要60分鐘，然后列式計(jì)算即可得解；（3）設(shè)8點(diǎn)x分鐘時(shí)，時(shí)針與分針重合了，然后依據(jù)分針的速度是時(shí)針的速度的12倍，列出方程求解即可．【解析】解：（1）30°×4=120°；（2）分針轉(zhuǎn)過(guò)4×30°=120°，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)：×30°=10°；故答案為（1）120°；（2）120°，10°；（3）設(shè)8點(diǎn)x分鐘時(shí)，時(shí)針與分針重合了則（12-1）××30°=8×30°，解得x=≈44，∴小明從離開(kāi)家到回到家的時(shí)間為44分鐘.【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角問(wèn)題，求出時(shí)針與分針的夾角問(wèn)題，通常須要考慮夾角中的大格子和小格子兩個(gè)部分，也可以利用分針的轉(zhuǎn)速是時(shí)針的轉(zhuǎn)速的12倍考慮求解．10．（2024·遼寧鞍山初一期末）如下圖，在已知角內(nèi)畫(huà)射線，畫(huà)1條射線，圖中共有個(gè)角；畫(huà)2條射線，圖中共有個(gè)角；畫(huà)3條射線，圖中共有個(gè)角；求畫(huà)n條射線所得的角的個(gè)數(shù).【答案】3；6；10；.【解析】（1）如圖1，當(dāng)在∠AOB內(nèi)部畫(huà)一條射線OC后，圖中有∠AOB、∠AOC、∠BOC，共計(jì)3個(gè)角；（2）如圖2，當(dāng)在∠AOB內(nèi)部畫(huà)兩條射線OC、OD后，圖中有∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共計(jì)6個(gè)角；（3）如圖3，當(dāng)在∠AOB內(nèi)部畫(huà)三條射線OC、OD、OE后，圖中有∠AOE，∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠EOD，∠EOC，∠EOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共計(jì)10個(gè)角；（4）當(dāng)在∠AOB的內(nèi)部畫(huà)n條射線后，圖中以O(shè)為端點(diǎn)的射線共有（n+2）條，由角的定義“有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫角”可知，這（n+2）條射線中的每一條射線都和另外（n+1）條射線共形成了（n+1）個(gè)角，總共就有（n+2）（n+1）個(gè)角，但由于其中每?jī)蓚€(gè)角重復(fù)計(jì)算了一次（如∠AOB和∠BOA是同一個(gè)角，但算了兩次），所以角的總個(gè)數(shù)應(yīng)為：.學(xué)問(wèn)點(diǎn)1-2角的比較1）角的比較方法(1)度量法：如圖4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．(2)疊合法：比較∠ABC與∠DEF的大小，先讓頂點(diǎn)B、E重合，再讓邊BA和邊ED重合，使另一邊EF和BC落在BA(DE)的同側(cè)．假如EF和BC也重合(如圖4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．記作∠DEF＝∠ABC;假如EF落在∠ABC的外部(如圖4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，記作∠DEF＞∠ABC;假如EF落在∠ABC的內(nèi)部(如圖4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，記作∠DEF＜∠ABC.提示：疊合法可歸納為“先重合，再比較”.2）角的和、差由圖4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，圖4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；圖4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1．3）角的平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線．如圖4-4-9所示，射線OC是∠BOA的平分線，則∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA.4）方向的表示eq\o\ac(○,1)方位角：是指南北方向線與目標(biāo)方向所成的小于900的水平角。留意表示方向時(shí)要先寫(xiě)北或南，再寫(xiě)偏東或偏西，最終寫(xiě)多少度.如圖4-4-2所示，OA是表示北偏東30°的一條射線．特殊地，射線OC表示北偏西45?；?qū)懗晌鞅狈较颍甧q\o\ac(○,2)仰角和俯角：如圖：在用上標(biāo)上仰角和俯角1．請(qǐng)將∠ABE，∠1，∠2，∠3用不同方法表示出來(lái)，填入下表：∠ABE∠1∠2∠3【答案】見(jiàn)解析【解析】依據(jù)角的表示方法，結(jié)合圖形表示如下：∠ABE∠ABC∠ACB∠ACF∠α∠1∠2∠3【點(diǎn)睛】本題考查角的大小比較，關(guān)鍵是找到正確的比較方法.2．（2024·陜西延安初一期末）如圖，一副三角板（直角頂點(diǎn)重合）擺放在桌面上，若∠AOD＝150°，則∠BOC等于（）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】A【分析】從如圖可以看出，∠BOC的度數(shù)正好是兩直角相加減去∠AOD的度數(shù)，從而問(wèn)題可解．【解析】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=150°∴∠BOC=∠AOB+∠COD﹣∠AOD=90°+90°﹣150°=30°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，仔細(xì)讀圖，找出其中的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.3．（2024·河南商水初一期末）如圖，∠AOB是直角，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，若∠DOE＝45°，那么OE平分∠BOC嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】OE平分∠BOC，理由見(jiàn)解析.【解析】試題分析：分別求出∠AOC，求出∠DOC，求出∠EOC，求出∠BOE，看看∠BOE和∠EOC的度數(shù)是否相等即可．試題解析：OE平分∠BOC，理由如下：因?yàn)椤螦OB是直角，∠BOC＝50°，所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝140°.因?yàn)镺D平分∠AOC，所以∠DOC＝∠AOC＝70°.因?yàn)椤螪OE＝45°，所以∠EOC＝70°－45°＝25°.因?yàn)椤螧OC＝50°，所以∠BOE＝50°－25°＝25°＝∠EOC，所以O(shè)E平分∠BOC.4．（2024·河北正定初三零模）如圖，一張地圖上有A、B、C三地，C地在A地的東南方向，若∠BAC=83°，則B地在A地的（）A．南偏西38°方向 B．北偏東52o方向 C．南偏西52°方向 D．西南方向【答案】A【解析】∵C地在A地的東南方向，∴∠1=45°.∵∠BAC=83°，∴∠2=83°-45°=38°.故選A.點(diǎn)睛：本題考查了方向角的計(jì)算，由C地在A地的東南方向可得∠1=45°，從而利用角的和差可求出∠2=38°，依據(jù)方向角的定義可知B地在A地的南偏西38°方向.5.（2024·上海市靜安區(qū)試驗(yàn)中學(xué)單元測(cè)試）（1）因?yàn)镺A與OA是公共邊，邊OC在∠AOB的，所以∠AOC∠AOB；（2）因?yàn)镺A與OA是公共邊，邊OD與邊OC疊合，所以∠AOC∠AOD；（3）因?yàn)镺B與OB是公共邊，邊OA在的，所以∠BOC∠BOA．【答案】（1）內(nèi)部，＜；（2）=；（3）∠BOC，外部，＜【分析】（1）依據(jù)圖形及角度關(guān)系即可推斷；（2）依據(jù)圖形及角度關(guān)系即可推斷；（3）依據(jù)圖形及角度關(guān)系即可推斷．【解析】由圖可知：（1）因?yàn)镺A與OA是公共邊，邊OC在∠AOB的內(nèi)部，所以∠AOC＜∠AOB故答案為：內(nèi)部；＜；（2）因?yàn)镺A與OA是公共邊，邊OD與邊OC疊合，所以∠AOC=∠AOD；故答案為：=；（3）因?yàn)镺B與OB是公共邊，邊OA在∠BOC的外部，所以∠BOC＜∠BOA．故答案為：∠BOC；外部；＜．【點(diǎn)睛】此題主要考查角度之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是依據(jù)圖形數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．6．（2024·全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）如圖，∠AOB的平分線為OM，ON為∠MOA內(nèi)的一條射線，OG為∠AOB外的一條射線.試說(shuō)明：（1）∠MON=(∠BON-∠AON)；（2）∠MOG=(∠AOG+∠BOG)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】依據(jù)角平分線定義和角的和差關(guān)系，得（1）∠BON－∠AON=∠BOM+∠MON－∠AON=(∠BOM－∠AON)+∠MON=∠MON+∠MON=2∠MON；（2）∠AOG+∠BOG=∠AOB+∠BOG+∠BOG=2∠MOB+2∠BOG=2(∠MOB+∠BOG)=2∠MOG.【解析】解：(1)因?yàn)椋螧ON=∠BOM+∠MON，∠BON－∠AON=∠BOM+∠MON－∠AON=(∠BOM－∠AON)+∠MON=∠MON+∠MON=2∠MON，所以，∠MON=(∠BON－∠AON)；(2)因?yàn)?，∠AOG+∠BOG=∠AOB+∠BOG+∠BOG=2∠MOB+2∠BOG=2(∠MOB+∠BOG)=2∠MOG，所以，∠MOG=(∠AOG+∠BOG).【點(diǎn)睛】本題考核學(xué)問(wèn)點(diǎn)：角的和差.解題關(guān)鍵點(diǎn)：理解角的和差關(guān)系.7．（2024·全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知∠AOB=90°，∠AOC為銳角，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.（1）求∠DOE的度數(shù)；（2）當(dāng)∠AOB=m°時(shí)，求∠DOE的度數(shù).【答案】（1）45°;（2）1【分析】依據(jù)角平分線定義得出∠COD=12∠AOC，∠EOC=12∠BOC，再依據(jù)∠DOE=∠EOC-∠COD=12∠AOB.（1）將∠AOB=90°代入計(jì)算即可；（2）將∠【解析】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠COD=12∠AOC，∠EOC=12∠∴.∠DOE=∠EOC-∠COD=12∠BOC-12∠AOC=12（∠BOC-∠AOC）=（1）∵∠AOB=90°，∴∠DOE=12×90°=45（2）∵∠AOB=m°，∴∠DOE=m°2【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，依據(jù)圖形得出所求角與已知角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.8．（2024·全國(guó)初一單元測(cè)試）(1)如圖所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù)；(2)假如(1)中∠AOB＝α，其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；(3)假如(1)中∠BOC＝β(β為銳角)，其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；(4)從(1)(2)(3)的結(jié)果中你能看出什么規(guī)律？【答案】（1）45°（2）（3）45°（4）∠MON的大小總等于∠AOB的一半，與銳角∠BOC的大小無(wú)關(guān)．【分析】（1）先求出∠MOC的度數(shù)：（90+30）÷2=60°，∠CON的度數(shù)是：30÷2=15°，然后用∠MOC的度數(shù)減去∠CON的度數(shù)即可得出∠MON的度數(shù).（2）依據(jù)問(wèn)題（1）的解題思路把∠AOB的度數(shù)用字母a代替即可.（3）依據(jù)問(wèn)題（1）的解題思路把∠BOC的度數(shù)用字母代替即可.（4）依據(jù)（1）（2）（3）的得數(shù)可知：∠MON的度數(shù)是始終是∠AOB的度數(shù)的一半》【解析】(1)因?yàn)镺M平分∠AOC，所以∠MOC＝∠AOC.又因?yàn)镺N平分∠BOC，所以∠NOC＝∠BOC.所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝∠AOC－∠BOC＝(∠AOC－∠BOC)＝∠AOB.又因?yàn)椤螦OB＝90°，所以∠MON＝45°.(2)當(dāng)∠AOB＝α，其他條件不變時(shí)，∠MON＝.(3)當(dāng)∠BOC＝β，其他條件不變時(shí)，∠MON＝45°.(4)分析(1)(2)(3)的結(jié)果和(1)的解答過(guò)程可知：∠MON的大小總等于∠AOB的一半，與銳角∠BOC的大小無(wú)關(guān)．“點(diǎn)睛”本題考查了組合角中某個(gè)角的度數(shù)的求解，依據(jù)是明確各角之間的聯(lián)系.9．（2024·全國(guó)初一單元測(cè)試）如圖，∠EOD＝70°，射線OC，OB分別是∠AOE，∠AOD的平分線．(1)若∠AOB＝20°，求∠BOC的度數(shù)；(2)若∠AOB＝α，求∠BOC的度數(shù)；(3)若以O(shè)B為鐘表上的時(shí)針，OC為分針，再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間由B，O，C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積第一次達(dá)到最大值？【答案】(1)35°;(2)35°;(3)再經(jīng)過(guò)分鐘由B，O，C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積第一次達(dá)到最大值【分析】（1）由OB為∠AOD的平分線，得到∠AOD=2∠AOB，由∠AOD+∠EOD求出∠AOE的度數(shù)，再由OC為∠AOE的平分線，利用角平分線定義得到∠AOC的度數(shù)，即可確定出∠BOC的度數(shù)；（2）同（1）一樣即可表示出∠BOC的度數(shù)；（3）當(dāng)OC⊥OB時(shí)面積最大，設(shè)經(jīng)過(guò)t分鐘，這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積第一次達(dá)到最大值，由題意列出關(guān)于t的方程，解方程即可得.【解析】(1)∵OB為∠AOD的平分線，∠AOB＝20°，∴∠AOD＝2∠AOB＝40°，∴∠AOE＝∠AOD＋∠EOD＝110°，∵OC為∠AOE的平分線，∴∠AOC＝∠AOE＝55°，∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝35°；(2)∵OB為∠AOD的平分線，∠AOB＝α，∴∠AOD＝2∠AOB＝2α，∴∠AOE＝∠AOD＋∠EOD＝70°＋2α.∵OC為∠AOE的平分線，∴∠AOC＝∠AOE＝35°＋α，∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝35°.(3)當(dāng)OC⊥OB時(shí)，B，O，C這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大，設(shè)經(jīng)過(guò)t分鐘，這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積第一次達(dá)到最大值，由題意得：6t－0.5t＝35＋90，解得：t＝，則再經(jīng)過(guò)分鐘由B，O，C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積第一次達(dá)到最大值．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，鐘面角，角平分線定義，一元一次方程的應(yīng)用等，嫻熟駕馭角平分線定義是解本題的關(guān)鍵．10．已知∠AOB=120°，OC、OD過(guò)點(diǎn)O的射線，射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB．（1）如圖①，若OC、OD是∠AOB的三等分線，求∠MON的度數(shù)；（2）如圖②，若∠COD=50°，∠AOC≠∠DOB，求∠MON的度數(shù)；（3）如圖③，在∠AOB內(nèi)，若∠COD=α（0°<α<60°），求∠MON的度數(shù)．【解析】（1）∵OC，OD是∠AOB的三等分線，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=∠AOB=×120°=40°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∴∠MOC=∠AOC=20°，∠DON=∠DOB=20°，∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=80°．（2）∵射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB，∴∠MOC=∠AOC，∠DON=∠DOB，∴∠MOC+∠DON=（∠AOC+∠DOB），∵∠AOB=120°，∠COD=50°，∴∠AOC+∠DOB=120°-50°=70°，∴∠MOC+∠DON=35°，∴∠MON=50°+35°=85°．（3）∵射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB，∴∠MOC=∠AOC，∠DON=∠DOB，∴∠MOC+∠DON=（∠AOC+∠DOB），∵∠AOB=120°，∠COD=α，∴∠AOC+∠DOB=120°-α，∴∠MOC+∠DON=60°-α，∴∠MON=60°-α+α=60°+α=．學(xué)問(wèn)點(diǎn)1-3余角與補(bǔ)角1）余角定義：假如兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，這兩個(gè)角叫做互為余角，簡(jiǎn)稱互余，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示：假如∠α+∠β=90°，那么∠α與∠β余角；反過(guò)來(lái)，假如∠α與∠β互余，那么∠α+∠β=90°2）補(bǔ)角定義：假如兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示：假如∠α+∠β=180°，那么∠α與∠β互補(bǔ)；反過(guò)來(lái)假如∠α與∠β互補(bǔ)，那么∠α+∠β=180°3）余角（補(bǔ)角）定理：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等。1．（2024·常州）假如∠α=35°，那么∠α的余角為_(kāi)_________．【答案】55°【解析】∵∠θ=35°，∴它的余角等于90°-35°=55°．故答案為：55°．2．（2024·西安市鐵一中學(xué)初一月考）如圖，將三個(gè)同樣的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，那么的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】20°.【分析】依據(jù)∠1=∠BOD+EOC-∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度數(shù)從而求解.【解析】解：如圖：∠BOD=90°-∠A0B=90°-30°=60°∠EOC=90°-∠EOF=90°-40°=50°又：∠1=∠BOD+∠EOC-∠BOE.∠1=60°+50°-90°=20°故答案是：20°.【點(diǎn)睛】本題主要考查了角度的計(jì)算，正確理解∠1=∠BOD+EOC-∠BOE這一關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.3．將一副三角板按如圖方式擺放，∠1與∠2不肯定互補(bǔ)的是A．B． C．D．【答案】D【解析】A、∵∠1+∠2=360°–90°×2=180°，∴∠1與∠2肯定互補(bǔ)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵∠1=30°+90°=120°∴∠1+∠2=120°+60°=180°∴∠1與∠2肯定互補(bǔ)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵∠1=180°–60°=120°∴∠1+∠2=120°+60°=180°∴∠1與∠2肯定互補(bǔ)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∠1度數(shù)無(wú)法確定，∠2=60°，所以∠1與∠2不肯定互補(bǔ)，故本選項(xiàng)符合題意．故選D．4．（2024·廣西防城港初一期中）如圖，圖中∠α的度數(shù)等于()A．135° B．125° C．115° D．105°【答案】A【解析】解：∠α的度數(shù)=180°﹣45°=135°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查鄰補(bǔ)角．5．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()A．兩點(diǎn)之間線段最短B．平角的度數(shù)為C．銳角的補(bǔ)角大于它本身D．銳角大于它的余角【答案】D【分析】分別依據(jù)線段公理、平角的定義、補(bǔ)角和余角的定義逐項(xiàng)推斷即可．【解析】解：A、兩點(diǎn)之間線段最短，說(shuō)法正確，本選項(xiàng)不符合題意；B、平角的度數(shù)為，說(shuō)法正確，本選項(xiàng)不符合題意；C、銳角的補(bǔ)角大于它本身，說(shuō)法正確，本選項(xiàng)不符合題意；D、銳角大于它的余角，說(shuō)法錯(cuò)誤，例如30°的余角是60°，而30＜60，所以本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段公理、平角的定義、補(bǔ)角和余角的定義等學(xué)問(wèn)，屬于基本題型，嫻熟駕馭基本學(xué)問(wèn)是關(guān)鍵．6．（2024·陜西三原初一期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠COE是直角，OF平分∠AOD，若∠BOE＝40°，則∠AOF的度數(shù)是()A．65° B．60° C．50° D．40°【答案】A【分析】依據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠BOD的度數(shù)，依據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)的性質(zhì)，可得∠AOD的度數(shù)，依據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得答案．【解析】由余角的性質(zhì)，得∠BOD=90°-∠BOE=90°-40°=50°，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，得∠AOD=180°-∠BOD=180°-50°=130°，由角平分線的性質(zhì)，得∠AOF=∠AOD=×130°=65°，故答案為65°．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，利用了余角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．7．（2024·安徽金寨初一期末）如圖所示，與互為鄰補(bǔ)角，OD是的角平分線，OE在內(nèi)，，求的度數(shù).【答案】72°分析：由∠BOE=∠EOC可得角∠BOC=3∠BOE，再由∠DOE=72°，從而得∠BOD=72°-∠BOE，由已知?jiǎng)t可得∠AOB=144°-∠BOE，由∠AOB與∠BOC互為補(bǔ)角即可得∠BOE的度數(shù)，從而可得.【解析】∵，，∵，∴，∵是的平分線，∴，∵與互為補(bǔ)角，∴，∴，∴，∴.點(diǎn)睛：本題主要考查角度的計(jì)算，這類題要留意結(jié)合圖形進(jìn)行，此題關(guān)鍵是能用∠BOE表示∠AOB與∠BOC，然后利用∠AOB與∠BOC互為補(bǔ)角這一關(guān)系從而使問(wèn)題得解.8．（2024·山東淄博初三零模）已知M，N，P，Q四點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中，正確的是()A．∠NOQ＝42° B．∠NOP＝132°C．∠PON比∠MOQ大 D．∠MOQ與∠MOP互補(bǔ)【答案】C【解析】如圖所示：∠NOQ=138°，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∠NOP=48°，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；如圖可得∠PON=48°，∠MOQ=42°，所以∠PON比∠MOQ大，選項(xiàng)C正確；由以上可得，∠MOQ與∠MOP不互補(bǔ)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故答案選C．考點(diǎn)：角的度量.9．（2024·湛江市初一月考）如圖，OA⊥OC，OB⊥OD，4位同學(xué)視察圖形后分別說(shuō)了自己的觀點(diǎn)．甲：∠AOB=∠COD；乙：∠BOC+∠AOD=180°；丙：∠AOB+∠COD=90°；?。簣D中小于平角的角有5個(gè)．其中正確的結(jié)論是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】解：依據(jù)同角的余角相等可得，∠AOB=∠COD，而不會(huì)得出∠AOB+∠COD=90°，故甲正確，丙錯(cuò)誤；∠BOC+∠AOD=∠BOC+∠AOB+∠BOD=∠AOC+∠BOD=90°+90°=180°，故乙正確；圖中小于平角的角有∠COD，∠BOD，∠AOD，∠BOC，∠AOC，∠AOB六個(gè)，故丁錯(cuò)誤．正確的有兩個(gè)，故選B．10．（2024·陜西西安·西北工業(yè)高校附屬中學(xué)初一期末）如圖，射線和分別為和的角平分線，，則（）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】C【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．【解析】∵射線和分別為和的角平分線，∴，∴+=130°故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查角度的求解，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)．題型1與角有關(guān)的基本概念1．（2024·銀川外國(guó)語(yǔ)試驗(yàn)學(xué)校初一期末）用一個(gè)放大鏡去視察一個(gè)角的大小，正確的說(shuō)法是（）A．角的度數(shù)擴(kuò)大了B．角的度數(shù)縮小了C．角的度數(shù)沒(méi)有變更D．以上都不對(duì)【答案】C分析：角的大小只與兩邊叉開(kāi)的大小有關(guān),放大鏡不能變更角的大小.【解析】用放大鏡看一個(gè)角的大小時(shí),角的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變更.故選C.點(diǎn)睛：本題考查角的相關(guān)概念，具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，角的大小與邊的長(zhǎng)短沒(méi)有關(guān)系；角的大小確定于角的兩條邊張開(kāi)的程度，張開(kāi)的越大，角就越大，相反，張開(kāi)的越小，角則越小.2．（2024·山東招遠(yuǎn)初一期中）若兩個(gè)角的和與這兩個(gè)角的差之和是一個(gè)平角的度數(shù)，則這兩個(gè)角（）A．一個(gè)是銳角，一個(gè)是鈍角B．都是鈍角C．必有一個(gè)是直角D．兩個(gè)都是直角【答案】C【分析】依據(jù)題意設(shè)這兩個(gè)角中較大的角為x,較小的角為y,此時(shí)即可得到這兩個(gè)角的和為x+y,差為x-y;結(jié)合已知條件,可得到x+y+x-y=180°,進(jìn)而得到這兩個(gè)角中較大的那個(gè)角x;再結(jié)合已知條件對(duì)較小的角y進(jìn)行分析得到答案【解析】解:設(shè)這兩個(gè)角中,較大的角為x,較小的角為y,則這兩個(gè)角的和為x+y,這兩個(gè)角的差為x-y.∵x+y與x-y的和是平角的度數(shù)∴x+y+x-y=180°,∴x=90°,通過(guò)視察可知,y的值可以是直角,也可以是銳角,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平角的學(xué)問(wèn),一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn),當(dāng)始邊和終邊在同一條直線上,方向相反時(shí),所構(gòu)成的角叫平角,1平角=180度.3．下列四個(gè)命題：①小于平角的角是鈍角；②平角是一條直線；③等角的余角相等；④凡直角都相等．其中真命題的個(gè)數(shù)的是（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】依據(jù)平角、余角和直角的概念進(jìn)行推斷，即可得出答案.【解析】（1）鈍角應(yīng)大于90°而小于180°，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；（2）角和直線是兩個(gè)不同的概念，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；（3）依據(jù)余角的概念可知：等角的余角相等，故此選項(xiàng)正確；（4）直角都等于90°，故此選項(xiàng)正確．因此答案選擇B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的有關(guān)概念，等角的余角相等的性質(zhì)．特殊留意角和直角是兩個(gè)不同的概念，不要混為一談.4．（2024·廣東汕頭初一期末）下列說(shuō)法：（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）兩點(diǎn)確定一條直線；（3）同一個(gè)銳角的補(bǔ)角肯定比它的余角大90°；（4）A、B兩點(diǎn)間的距離是指A、B兩點(diǎn)間的線段；其中正確的有（）A．一個(gè) B．兩個(gè) C．三個(gè) D．四個(gè)【答案】C【分析】（1）依據(jù)線段的性質(zhì)即可求解；（2）依據(jù)直線的性質(zhì)即可求解；（3）余角和補(bǔ)角肯定指的是兩個(gè)角之間的關(guān)系，同角的補(bǔ)角比余角大90°；（4）依據(jù)兩點(diǎn)間的距離的定義即可求解．【解析】（1）兩點(diǎn)之間線段最短是正確的；（2）兩點(diǎn)確定一條直線是正確的；（3）同一個(gè)銳角的補(bǔ)角肯定比它的余角大90°是正確的；（4）A、B兩點(diǎn)間的距離是指A、B兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，原來(lái)的說(shuō)法是錯(cuò)誤的．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)角和余角、線段、直線和兩點(diǎn)間的距離的定義及性質(zhì)，是基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)要嫻熟駕馭．5．（2024·河北省初一期末）下列說(shuō)法正確的是()A．連接兩點(diǎn)的線段，叫做兩點(diǎn)間的距離B．射線OA與射線AO表示的是同一條射線C．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線D．從一點(diǎn)引出的兩條直線所形成的圖形叫做角【答案】C【分析】依據(jù)線段、射線、直線的定義即可解題.【解析】解：A.連接兩點(diǎn)的線段長(zhǎng)度，叫做兩點(diǎn)間的距離B.射線OA與射線AO表示的是同一條射線,錯(cuò)誤,射線具有方向性,C.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線,正確,D.錯(cuò)誤,應(yīng)當(dāng)是從一點(diǎn)引出的兩條射線所形成的圖形叫做角，故選Ｃ.【點(diǎn)睛】本題考查了線段、射線、直線的性質(zhì),屬于簡(jiǎn)潔題,熟識(shí)定義是解題關(guān)鍵.6．（2024·河北晉州·初一期中）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的有()(1)線段有兩個(gè)端點(diǎn)，直線有一個(gè)端點(diǎn)；(2)角的大小與我們畫(huà)出的角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)；(3)線段上有多數(shù)個(gè)點(diǎn)；(4)同角或等角的補(bǔ)角相等；(5)兩個(gè)銳角的和肯定大于直角．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B分析：依據(jù)平面圖形的基本概念依次分析各小題即可推斷.【解析】（1）線段有兩個(gè)端點(diǎn)，直線沒(méi)有端點(diǎn)，（5）20°+20°=40°是銳角，故錯(cuò)誤；（2）角的大小與我們畫(huà)出的角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，（3）線段上有多數(shù)個(gè)點(diǎn)，（4）同角或等角的補(bǔ)角相等，正確；故選B.點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生嫻熟駕馭平面圖形的基本概念，即可完成.題型2鐘面上的角度問(wèn)題1．10時(shí)整，鐘表的時(shí)針與分針之間所成的角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】由于鐘表的指針恰好是10點(diǎn)整，時(shí)針指向10，分針指向12，依據(jù)鐘面被分成12大格，每大格為30度得到此時(shí)鐘表上時(shí)針與分針?biāo)鶌A的銳角的度數(shù)=2×30°．【解析】解：鐘表的指針恰好是10點(diǎn)整，時(shí)針指向10，分針指向12，所以此時(shí)鐘表上時(shí)針與分針?biāo)鶌A的銳角的度數(shù)=2×30°=60°．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角：鐘面被分成12大格，每大格為30度；分針每分鐘轉(zhuǎn)6度，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5度，駕馭以上學(xué)問(wèn)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·河北省初一期中）某校確定下午起先實(shí)行中學(xué)生武術(shù)健身操競(jìng)賽，下午這一時(shí)刻，時(shí)鐘上時(shí)針與分針?biāo)鶌A的較小角等于_________．【答案】130【分析】依據(jù)分針旋轉(zhuǎn)的速度乘分針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間，可得分針的旋轉(zhuǎn)角，依據(jù)時(shí)針旋轉(zhuǎn)的速度乘時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間，可以得出時(shí)針的旋轉(zhuǎn)角，二者作差即可得出答案．【解析】解：下午這一時(shí)刻，時(shí)鐘上時(shí)針與分針?biāo)鶌A的較小角等于：．故答案為：130．【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問(wèn)點(diǎn)是鐘面角，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一大格，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為30度，分針轉(zhuǎn)動(dòng)一小格，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為6度，時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)角度的速度比值是．駕馭以上內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．3．（2024·全國(guó)單元測(cè)試）時(shí)鐘的分針從4點(diǎn)整的位置起，順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)_______度時(shí)，分針才能第一次與時(shí)針重合．【答案】【分析】依據(jù)鐘面上的角度問(wèn)題及一元一次方程的應(yīng)用可干脆進(jìn)行求解．【解析】解：由題意得：分針每分鐘走，時(shí)針每分鐘走，則，解得，即經(jīng)過(guò)分鐘后，分針與時(shí)針重合，∴分針轉(zhuǎn)了度．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程方程的應(yīng)用及鐘面上的角度問(wèn)題，關(guān)鍵是依據(jù)題意得到分針、時(shí)針每分鐘走的角度，然后列方程求解即可．4．（2024·浙江紹興·初一期末）上午9點(diǎn)鐘的時(shí)候，時(shí)針和分針成直角，則下一次時(shí)針和分針成直角的時(shí)間是_____．【答案】9時(shí)32811【分析】依據(jù)實(shí)際問(wèn)題，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)速度為36012×60=12（度/分鐘），分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)速度為36060=6【解析】設(shè)再次轉(zhuǎn)成直角的時(shí)間間隔為x，則（6﹣12）x=90×2，（6﹣12）x=180，∴x=32∴下一次時(shí)針與分針成直角的時(shí)間為9時(shí)32811分，故答案為：9時(shí)328【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和鐘面角問(wèn)題，此類題目貼近生活，有利于培育學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活中實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力．5．（2024·全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）一天24小時(shí)中，時(shí)鐘的分針和時(shí)針共組合成_____次平角，______次周角．【答案】2224【解析】一天24小時(shí)中，時(shí)針只轉(zhuǎn)2圈，而分針轉(zhuǎn)24圈，且轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同，5-7點(diǎn)，及11-13點(diǎn)各自只要一次是平角，因而一天22小時(shí)中，時(shí)鐘的分針和時(shí)針共組合成24次平角，24次周角，故答案為22，24.【點(diǎn)睛】本題考查鐘面角，正確相識(shí)時(shí)鐘的轉(zhuǎn)動(dòng)狀況，是解決本題的關(guān)鍵．6．如圖，在鐘面上，點(diǎn)為鐘面的圓心，以點(diǎn)為頂點(diǎn)按要求畫(huà)出符合下列要求的角（角的兩邊不經(jīng)過(guò)鐘面上的數(shù)字）：（1）在圖1中畫(huà)一個(gè)銳角，使銳角的內(nèi)部含有2個(gè)數(shù)字，且數(shù)字之差的肯定值最大；（2）在圖2中畫(huà)一個(gè)直角，使直角的內(nèi)部含有3個(gè)數(shù)字，且數(shù)字之積等于數(shù)字之和；（3）在圖3中畫(huà)一個(gè)鈍角，使鈍角的內(nèi)部含有4個(gè)數(shù)字，且數(shù)字之和最小；（4）在圖4中畫(huà)一個(gè)平角，使平角的內(nèi)部與外部的數(shù)字之和相等；（5）在圖5中畫(huà)兩個(gè)直角，使這兩個(gè)直角的內(nèi)部含有的3個(gè)數(shù)字之和相等.【答案】見(jiàn)解析【分析】（1）依據(jù)銳角的內(nèi)部含有2個(gè)數(shù)字，且數(shù)字之差的肯定值最大，可知這2個(gè)數(shù)字分別是1和12，據(jù)此畫(huà)出圖形；（2）依據(jù)直角的內(nèi)部含有3個(gè)數(shù)字，且數(shù)字之積等于數(shù)字之和可知，這3個(gè)數(shù)字分別是1，2，3，據(jù)此畫(huà)出圖形；（3）依據(jù)鈍角的內(nèi)部含有4個(gè)數(shù)字，且數(shù)字之和最小可知，這4個(gè)數(shù)字分別是1，2，3，4，據(jù)此畫(huà)出圖形；（4）依據(jù)平角的內(nèi)部與外部的數(shù)字之和相等，又10+11+12+1+2+3=4+5+6+7+8+9，據(jù)此可畫(huà)出平角；（5）依據(jù)這兩個(gè)直角的內(nèi)部含有的3個(gè)數(shù)字之和相等，又12+1+2=4+5+6，據(jù)此可畫(huà)出圖形．【解析】解：依據(jù)題意，（1）~（5）中符合要求的角如圖所示：【點(diǎn)睛】此題考查了鐘面角以及有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是依據(jù)題意找出相對(duì)應(yīng)的鐘面數(shù)字．題型3.旋轉(zhuǎn)、折疊有關(guān)的角度問(wèn)題1．如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片的角A、E分別沿著B(niǎo)C、BD折疊，點(diǎn)A落在A'處，點(diǎn)E落在邊BA'上的E'處，則∠CBD的度數(shù)是（）A．85° B．90° C．95° D．100°【答案】B【解析】依據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∴2∠A′BC+2∠E′BD=180°．∴∠A′BC+∠E′BD=90°．∴∠CBD=90°．故選B．【點(diǎn)睛】由折疊的性質(zhì)，即可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，然后由平角的定義，即可求得∠A′BC+∠E′BD=90°，則可求得∠CBD的度數(shù)．此題考查了折疊的性質(zhì)與平角的定義，解題的關(guān)鍵是駕馭翻折的性質(zhì)．2．如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片沿AB折疊后，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】65°【解析】∵把一張長(zhǎng)方形紙片沿AB折疊，∴∠2=∠3，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=50°，∴∠2=（180°-∠1）2=65°.【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)與平角的定義，解題的關(guān)鍵是駕馭翻折的性質(zhì)．3．（2024·甘州區(qū)思源試驗(yàn)學(xué)校初一月考）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片沿線段AB折疊，已知∠1=40°，則∠2=___．【答案】100°【分析】先依據(jù)折疊的性質(zhì)得∠1=∠3=40°，然后依據(jù)平角的定義可計(jì)算出∠2=100°．【解析】∵長(zhǎng)方形紙片沿線段AB折疊，∴∠1=∠3=40°，∴∠2=180°-∠1-∠3=180°-2×40°=100°．故答案為50°【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，也考查了平角的定義．4．（2024·偃師市試驗(yàn)中學(xué)初一月考）如圖,將長(zhǎng)方形紙片ABCD的∠C沿著GF折疊(點(diǎn)F在BC上,不與B,C重合),使點(diǎn)C落在長(zhǎng)方形內(nèi)部的點(diǎn)E處,若FH平分∠BFE,則∠GFH的度數(shù)是____.

【答案】90°【分析】依據(jù)折疊求出∠CFG=∠EFG=∠CFE，依據(jù)角平分線定義求出∠HFE=∠BFE，即可求出∠GFH=∠GFE+∠HFE=∠CFB．【解析】∵將長(zhǎng)方形紙片ABCD的角C沿著GF折疊（點(diǎn)F在BC上，不與B，C重合），使點(diǎn)C落在長(zhǎng)方形內(nèi)部點(diǎn)E處，∴∠CFG=∠EFG=∠CFE，∵FH平分∠BFE，∴∠HFE=∠BFE，∴∠GFH=∠GFE+∠HFE=（∠CFE+∠BFE）=×180°=90°，故答案為：90°．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，折疊的性質(zhì)，角平分線定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算實(shí)力．5．（2024·東平縣試驗(yàn)中學(xué)初一期中）將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕，若∠CBD＝66°，則∠ABE＝_________.【答案】24°【分析】依據(jù)翻折的性質(zhì)可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，再依據(jù)平角的度數(shù)是180°，∠CBD＝66°，繼而即可求出答案．【解析】解：依據(jù)翻折的性質(zhì)可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，又∵∠ABE＋∠A′BE＋∠DBC＋∠DBC′＝180°，∴∠ABE＋∠DBC＝90°，又∠CBD＝66°，∴∠ABE＝24°，故答案為：24°.【點(diǎn)睛】題考查了角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是依據(jù)翻折變換的性質(zhì)，得出三角形折疊以后的圖形和原圖形全等，對(duì)應(yīng)的角相等，得出∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′．6．（2024·廣西欽州·期末）如圖，直線與相交于點(diǎn)，始終角三角尺的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，平分，現(xiàn)將三角尺以每秒的速度繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)直線也以每秒的速度繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（），當(dāng)平分時(shí)，的值為（）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】分兩種狀況進(jìn)行探討：當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)較小角度的平分時(shí)，；當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)較大角度的平分時(shí)，；分別依據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得到的值．【解析】解：分兩種狀況：①如圖平分時(shí)，，即，解得；②如圖平分時(shí)，，即，解得．綜上所述，當(dāng)平分時(shí)，的值為2.5或32.5．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查角的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，理解題意并分析每個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是解題的關(guān)鍵．7．（2024·四川省金堂試驗(yàn)中學(xué)初一月考）如圖，以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使∠BOC=70°，將一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．（注：∠DOE=90°）(1)如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE=°；(2)如圖②，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度數(shù)；(3)如圖③，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，假如OD始終在∠BOC的內(nèi)部，試猜想∠BOD和∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【答案】（1）20；（2）20o；（3）∠COE﹣∠BOD=20°．分析：（1）依據(jù)圖形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；（2）依據(jù)角平分線定義求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD求出即可；（3）依據(jù)圖形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相減即可求出答案．【解析】（1）如圖①，∠COE=∠DOE﹣∠BOC=90°﹣70°=20°；（2）如圖②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，∴∠EOB=2∠BOC=140°，∵∠DOE=90°，∴∠BOD=∠BOE﹣∠DOE=50°，∵∠BOC=70°，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=20°；（3）∠COE﹣∠BOD=20°，理由是：如圖③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）=∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD=∠COE﹣∠BOD=90°﹣70°=20°，即∠COE﹣∠BOD=20°．點(diǎn)睛：本題考查了角的綜合計(jì)算，能依據(jù)圖形和已知條件求出各個(gè)角之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．8．（2024·浙江嵊州初一期末）點(diǎn)A，O，B依次在直線MN上，如圖1，現(xiàn)將射線OA繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?0°的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線OB圍著點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵?5°的速度旋轉(zhuǎn)，直線MN保持不動(dòng)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（t≤12）．（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)t=2時(shí)，求∠AOB的度數(shù)．（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠AOB=105°時(shí)，求t的值．（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)OA或OB是某一個(gè)角（小于180°）的角平分線時(shí)，求t的值．【答案】(1)130°；(2)t=3或11.4;(3)t=4.5或或9或【分析】（1）分別求出∠AOM和∠BON的度數(shù)，即可得出答案；（2）分為兩種狀況，得出方程10t+15t=180-105或10t+15t=180+105，求出方程的解即可；（3）分為四種狀況，列出方程，求出方程的解即可．【解析】（1）當(dāng)t=2時(shí)，∠AOM=10°t=20°，∠BON=15°t=30°，所以∠AOB=180°﹣∠AOM﹣∠BON=130°；（2）當(dāng)∠AOB=105°時(shí)，有兩種狀況：①10t+15t=180﹣105，解得：t=3；②10t+15t=180+105，解得：t=11.4；（3）①當(dāng)OB是∠AON的角平分線時(shí)，10t+15t+15t=180，解得：t=4.5；②當(dāng)OA是∠BOM的角平分線時(shí)，10t+10t+15t=180，解得：t=；③當(dāng)OB是∠AOM的角平分線時(shí)，5t+15t=180，解得：t=9；④當(dāng)OA是∠BON的角平分線時(shí)，10t+7.5t=180，解得：t=．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義和鄰補(bǔ)角的定義，能求出符合的全部狀況是解此題的關(guān)鍵．9．（2024·宿遷市鐘吾初級(jí)中學(xué)初一期末）如圖，以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使∠BOC=70°，將一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．（注：∠DOE=90°）(1)如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE=°；(2)如圖②，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度數(shù)；(3)如圖③，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，假如OD始終在∠BOC的內(nèi)部，試猜想∠BOD和∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【答案】（1）20；（2）20o；（3）∠COE﹣∠BOD=20°．分析：（1）依據(jù)圖形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；（2）依據(jù)角平分線定義求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD求出即可；（3）依據(jù)圖形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相減即可求出答案．【解析】（1）如圖①，∠COE=∠DOE﹣∠BOC=90°﹣70°=20°；（2）如圖②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，∴∠EOB=2∠BOC=140°，∵∠DOE=90°，∴∠BOD=∠BOE﹣∠DOE=50°，∵∠BOC=70°，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=20°；（3）∠COE﹣∠BOD=20°，理由是：如圖③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）=∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD=∠COE﹣∠BOD=90°﹣70°=20°，即∠COE﹣∠BOD=20°．點(diǎn)睛：本題考查了角的綜合計(jì)算，能依據(jù)圖形和已知條件求出各個(gè)角之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．10．（2024·湖北江漢·初一期末）已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F、G在邊CD上，連接EF、EG．將∠BEG對(duì)折，點(diǎn)B落在直線EG上的點(diǎn)B′處，得折痕EM；將∠AEF對(duì)折，點(diǎn)A落在直線EF上的點(diǎn)A′處，得折痕EN．（1）如圖1，若點(diǎn)F與點(diǎn)G重合，求∠MEN的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度數(shù)；（3）若∠MEN＝α，請(qǐng)干脆用含α的式子表示∠FEG的大?。敬鸢浮浚?）∠MEN＝90°；（2）∠MEN＝105°；（3）∠FEG＝2α﹣180°，∠FEG＝180°﹣2α．【分析】（1）依據(jù)角平分線的定義，平角的定義，角的和差定義計(jì)算即可．（2）依據(jù)∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解決問(wèn)題．（3）分兩種情形分別探討求解．【解析】（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF∴∠NEF＝∠AEF，∠MEF＝∠BEF∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝∠AEF+∠BEF＝（∠AEF+∠BEF）＝∠AEB∵∠AEB＝180°∴∠MEN＝×180°＝90°（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG）∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°∴∠NEF+∠MEG＝（180°﹣30°）＝75°∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°（3）若點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)，∠FEG＝2α﹣180°，若點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)側(cè)，∠FEG＝180°﹣2α．【點(diǎn)睛】考查了角的計(jì)算，翻折變換，角平分線的定義，角的和差定義等學(xué)問(wèn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類探討的思想思索問(wèn)題．題型4一副直角三角形板中的角度問(wèn)題1．（2024·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，兩塊三角尺直角頂點(diǎn)重合，，則重合部分構(gòu)成的角是_____________．【答案】45°【分析】依據(jù)題意得到∠AOD=∠COB=90°，再計(jì)算∠BOD=∠AOB-∠AOD，然后依據(jù)∠DOC=∠COB-∠BOD進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：∵∠AOD=∠COB=90°，而，∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=135°-90°=45°，∴∠DOC=∠COB-∠BOD=90°-45°=45°．故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查角的計(jì)算,留意駕馭1直角=90°，1平角=180°．2．（2024·甘肅肅州·初一期末）如右圖，將一個(gè)三角板60°角的頂點(diǎn)與另一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)重合，∠1＝27°40′，∠2的大小是________．【答案】57°40′【分析】先依據(jù)角的和差求出∠EAC，再依據(jù)∠2=90°－∠EAC求解即可．【解析】因?yàn)椤螧AC＝60°，∠1＝27°40′，所以∠EAC＝60°－∠1=32°20′，因?yàn)椤螮AD=90°，所以∠2=90°－∠EAC=57°40′．故答案為：57°40′．【點(diǎn)睛】本題以三角板為載體，考查了角的和差計(jì)算，屬于基本題型，嫻熟駕馭基本學(xué)問(wèn)是解題的關(guān)鍵．3．（2024·遼寧鐵嶺·初三月考）將一副三角板按如圖方式擺放在一起，且比大，則的度數(shù)等于__________．【答案】【分析】設(shè)出未知數(shù)：∠2＝x，則∠1＝x＋20°，依據(jù)∠1和∠2的互余關(guān)系列出方程，解方程即可．【解析】解：設(shè)∠2為x，則∠1＝x＋20°；依據(jù)題意得：x＋x＋20°＝90°，解得：x＝35°，則∠1＝35°＋20°＝55°；故答案為：55°．【點(diǎn)睛】本題考查了余角的定義；關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)找出等量關(guān)系列方程．4．（2024·內(nèi)蒙古烏蘭浩特·初一期末）如圖，將帶有45°和30°兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，（1）若∠DCE＝25°，則∠ACB＝______；若∠ACB＝150°，則∠DCE＝______；（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）155°；30°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）由∠ACD＝90°，∠DCE＝25°，得出∠ACE＝65°，求出∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝155°；若∠ACB＝150°，由∠ACD＝∠BCE＝90°，得出∠DCE＝180°﹣150°＝30°；（2）由∠ACD＝∠BCE＝90°，得出∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝180°，結(jié)合已知條件，即可得出結(jié)論．【解析】（1）∵∠ACD＝90°，∠DCE＝25°，∴∠ACE＝90°﹣25°＝65°，∵∠BCE＝90°，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝65°+90°＝155°；故答案為：155°∵∠ACB＝150°，∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠DCE＝90°+90°﹣∠ACB＝180°﹣150°＝30°；故答案為：30°（2）∠ACB+∠DCE＝180°．理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝180°，∵∠ACE+∠DCE+∠BCD=∠ACB，∴∠ACB+∠DCE＝180°．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，兩角互余的性質(zhì)，明確角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2024·湖南長(zhǎng)沙·初一期末）一套三角尺（分別含，，和，，的角）按如圖所示擺放在量角器上，邊與量角器刻度線重合，邊與量角器刻度線重合，將三角尺繞量角器中心點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊與刻度線重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)三角尺的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）當(dāng)時(shí)，邊經(jīng)過(guò)的量角器刻度線對(duì)應(yīng)的度數(shù)是度；（2）若在三角尺起先旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角尺也繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角尺也停止旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)為何值時(shí)，邊平分；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻使，若存在，懇求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）①；②秒或【分析】（1）當(dāng)t=5秒時(shí)，由旋轉(zhuǎn)知，10°×5=50°即可得出結(jié)論；（2）①如圖1，依據(jù)PB平分∠CPD，可列方程進(jìn)而求解；②設(shè)時(shí)間為t秒，設(shè)在秒時(shí)，，由題知，，依據(jù)題意可得到，，依據(jù)旋轉(zhuǎn)過(guò)程列出方程即可求得結(jié)論．【解析】解：（1）當(dāng)t=5秒時(shí)，由旋轉(zhuǎn)知，10°×5=50°180°-45°-50°=85°，故答案為：；（2）①如圖1所示：∵PB平分∠CPD；∴∠CPB=∠BPD=∠CPD=30°，∴∠APC=∠APB-∠CPB=45°-30°=15°，由∠MPN=180°得，10t+15+60+2t=180，解得，，∴當(dāng)秒時(shí)，邊PB平分∠CPD；②設(shè)在秒時(shí)，，由題知，在秒時(shí)，邊對(duì)應(yīng)的刻度是度，邊對(duì)應(yīng)的刻度是度，所以度；在秒時(shí)，邊對(duì)應(yīng)的刻度是度邊對(duì)應(yīng)的刻度是度，所以度由題知，，故即或解得秒或【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的變更，量角器的識(shí)別，表示出∠APC與∠BPD是解本題的關(guān)鍵．6．（2024·山西靈丘·初一期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板畫(huà)出？在①，②，③，④中，小明同學(xué)利用一副三角板畫(huà)不出來(lái)的特殊角是______；（填序號(hào)）（2）在探究過(guò)程中，愛(ài)動(dòng)腦筋的小明想起了圖形的運(yùn)動(dòng)方式有多種.如圖，他先用三角板畫(huà)出了直線，然后將一副三角板拼接在一起，其中角（）的頂點(diǎn)與角（）的頂點(diǎn)相互重合，且邊、都在直線上.固定三角板不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度，當(dāng)邊與射線第一次重合時(shí)停止.①當(dāng)平分時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角度；②是否存在？若存在，求旋轉(zhuǎn)角度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）④；（2）①；②當(dāng)，時(shí)，存在.【分析】（1）依據(jù)一副三角板中的特殊角，運(yùn)用角的和與差的計(jì)算，只要是15°的倍數(shù)的角都可以畫(huà)出來(lái)；（2）①依據(jù)已知條件得到∠EOD=180°-∠COD=180°-60°=120°，依據(jù)角平分線的定義得到∠EOB=∠EOD=×120°=60°，于是得到結(jié)論；②當(dāng)OA在OD的左側(cè)時(shí)，當(dāng)OA在OD的右側(cè)時(shí)，依據(jù)角的和差列方程即可得到結(jié)論．【解析】解：（1）∵135°=90°+45°，120°=90°+30°，75°=30°+45°，∴只有25°不能寫(xiě)成90°、60°、45°、30°的和或差，故畫(huà)不出；故選④；（2）①因?yàn)?，所?因?yàn)槠椒?，所?因?yàn)椋?②當(dāng)在左側(cè)時(shí)，則，.因?yàn)?，所?解得.當(dāng)在右側(cè)時(shí)，則，.因?yàn)?，所?解得.綜合知，當(dāng)，時(shí)，存在.【點(diǎn)睛】本題考查角的計(jì)算，角平分線的定義，正確的理解題意并分類探討是解題關(guān)鍵．題型5作圖題1．（2024·全國(guó)單元測(cè)試）用一副三角尺，不能畫(huà)出的角是（）A．75° B．15° C．135° D．115°【答案】D【分析】用、的直角三角尺的各個(gè)角度進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【解析】解：三角尺有的直角三角尺、的直角三角尺則不能畫(huà)出的角為故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角板的角度分析，結(jié)合、的直角三角尺的各個(gè)角度進(jìn)行分析即可．2．（2024·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）只用一副三角板可以畫(huà)出的角度是（）A．115° B．160° C．75° D．80°【答案】C【分析】依據(jù)題意用三角板畫(huà)出角，無(wú)非是用角度加減法，再依據(jù)選項(xiàng)一一分析，解除錯(cuò)誤答案．【解析】解：A、115°的角不能用三角板上的度數(shù)拼成；B、160°的角不能用三角板上的度數(shù)拼成；C、30°+45°=75°，可以拼成；D、80°的角不能用三角板上的度數(shù)拼成．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查用一副三角板拼成角度，留意駕馭一副三角板的角有30°、45°、60°、90°．3．（2024·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）已知射線，以射線為一邊畫(huà)一個(gè)角等于50°，有兩種畫(huà)法，并用量角器量出所畫(huà)的兩邊所成角的度數(shù)．【答案】作圖見(jiàn)解析，100°．【分析】依據(jù)題意可得兩種畫(huà)法分別是在射線OA的上方或下方，然后用量角器量出度數(shù)即可．【解析】如圖所示，以射線OA為一邊，先用量角器在射線OA的上方畫(huà)，再用量角器在射線OA的下方畫(huà)，用量角器量出；【點(diǎn)睛】本題主要考查角的作圖及度量，關(guān)鍵是嫻熟駕馭角的相關(guān)學(xué)問(wèn)點(diǎn)．4．（2024·山東青島·初一期中）作圖題：已知：∠α、∠β、求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β【答案】畫(huà)圖見(jiàn)解析分析：利用量角器作∠AOC=∠α，在∠AOC外以O(shè)C為邊作∠COB=∠β，所以∠AOB=∠α+∠β，即為所求作的角.【解析】如圖所示：（1）作∠AOC=∠α，（2）在∠AOC外以O(shè)C為邊作∠COB=∠β，則∠AOB即為所求作的角.5．（2024·全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知∠1，用量角器求作一個(gè)角，使它等于∠1.【答案】見(jiàn)解析【分析】先用量角器測(cè)出∠1的度數(shù)為60度，再畫(huà)一條射線作為一邊，以端點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫(huà)一個(gè)角使度數(shù)等于∠1的度數(shù).【解析】如圖，先用量角器測(cè)出∠1的度數(shù)為60度，再畫(huà)一條射線作為一邊，以端點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫(huà)一個(gè)角使度數(shù)等于∠1的度數(shù).所以，∠2為所求.【點(diǎn)睛】本題考核學(xué)問(wèn)點(diǎn)：畫(huà)角.解題關(guān)鍵點(diǎn)：用量角器畫(huà)角.6．（2024·安徽合肥38中初一期末）按下列要求作圖：（1）如圖，已知線段a，b，用尺規(guī)作一條線段，使它等于a＋2b；(不要求寫(xiě)作法，只保留作圖痕跡)（2）借助三角尺作135°的角.【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析；（2）畫(huà)圖見(jiàn)解析.分析：（1）作射線AE，在射線上順次截取AB=a，BC=b，CD=b即可得出答案；（2）利用一個(gè)直角和一個(gè)45°的銳角得出135°的角即可．【解析】（1）如圖所示：AD即為所求；（2）如圖所示：7．（2024·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）用一副三角尺畫(huà)角．（1）．（2）．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用三角板中的90°與45°角即可求解；（2）利用三角板中的90°與60°角即可求解．【解析】（1）如圖，∠AOB為所求；（2）如圖，∠BOC為所求；【點(diǎn)睛】此題主要考查角度的作圖，解題的關(guān)鍵是熟知三角板的特點(diǎn)．題型6與角有關(guān)的綜合題（較難）1．（2024·內(nèi)蒙古臨河·初一期末）已知，O為直線AB上一點(diǎn)，∠DOE=90°．（1）如圖1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC．①求∠BOD的度數(shù)；②請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明OE是否平分∠BOC．（2）如圖2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度數(shù)．【答案】（1）①115°；②答案見(jiàn)解析；（2）∠AOD＝50°分析：（1）①先求出∠AOD的度數(shù)，再依據(jù)鄰補(bǔ)角求出∠BOD即可；②分別求出∠COE，∠BOE的度數(shù)即可作出推斷；（2）由已知設(shè)∠BOE=2x，則∠AOE=7x，再依據(jù)∠BOE＋∠AOE=180°，求出∠BOE=40°，再依據(jù)互余即可求出∠AOD＝90°－40°=50°.【解析】（1）①∵OD平分∠AOC，∠AOC=130°，∴∠AOD=∠DOC=∠AOC=×130°=65°，∴∠BOD=180°－∠AOD=180°－65°=115°；②∵∠DOE=90°，又∠DOC=65°，∴∠COE=∠DOE－∠DOC=90°－65°=25°，∵∠BOD=115°，∠DOE=90°，∴∠BOE=∠BOD－∠DOE=115°－90°=25°，∴∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC；（2）若∠BOE：∠AOE=2：7，設(shè)∠BOE=2x，則∠AOE=7x，又∠BOE＋∠AOE=180°，∴2x+7x=180°，∴x=20°，∠BOE=2x=40°，∵∠DOE=90°，∴∠AOD＝90°－40°=50°.2．（2024·山東沂南·初一期末）點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）①如圖1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度數(shù)；②如圖2，若∠DOE＝α，干脆寫(xiě)出∠AOC的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）將圖1中的∠COD繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2所示位置．探究∠DOE與∠AOC的度數(shù)之間的關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．【答案】（1）①∠AOC＝50°；②∠AOC＝2α；（2）∠DOE＝∠AOC，理由詳見(jiàn)解析.【分析】（1）①首先求得∠COE的度數(shù)，然后依據(jù)角平分線的定義求得∠COB的度數(shù)，再依據(jù)∠AOC＝180°﹣∠BOC即可求解；②解法與①相同，把①中的25°改成α即可；（2）把∠AOC的度數(shù)作為已知量，求得∠BOC的度數(shù)，然后依據(jù)角的平分線的定義求得∠COE的度數(shù)，再依據(jù)∠DOE＝∠COD﹣∠COE求得∠DOE，即可解決．【解析】（1）①∵∠COD＝90°，∠DOE＝25°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣25°＝65°，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE＝130°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°；②∵∠COD＝90°，∠DOE＝α，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣α，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE＝180°﹣2α，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α；（2）∠DOE＝∠AOC，理由如下：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，又∵OE平分∠BOC∴∠COE＝∠BOC＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠AOC，又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣∠AOC）＝∠AOC．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，正確理解角平分線的定義，理解角度之間的和差關(guān)系是關(guān)鍵．3．（2024·廣東普寧·初一期末）如圖1直角三角板的直角頂點(diǎn)O在直線AB上，OC，OD是三角板的兩條直角邊，射線OE平分∠AOD．（1）若∠COE＝40°，則∠BOD＝．（2）若∠COE＝α，求∠BOD（請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)三角板繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，其它條件不變，試揣測(cè)∠COE與∠BOD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【答案】（1）80°；（2）2α；（3）∠BOD+2∠COE＝360°，理由見(jiàn)詳解．【分析】（1）先依據(jù)直角計(jì)算∠DOE的度數(shù)，再依據(jù)角平分線的定義計(jì)算∠AOD的度數(shù)，最終利用平角的定義可得結(jié)論；（2）先依據(jù)直角計(jì)算∠DOE的度數(shù)，再依據(jù)角平分線的定義計(jì)算∠AOD的度數(shù)，最終利用平角的定義可得結(jié)論；（3）設(shè)∠BOD=β，則∠AOD=180°-β，依據(jù)角平分線的定義表示∠DOE，再利用角的和差關(guān)系求∠COE的度數(shù)，可得結(jié)論．【解析】解：（1）若∠COE＝40°，∵∠COD＝90°，∴∠EOD＝90°﹣40°＝50°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠EOD＝100°，∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°；（2）∵∠COE＝α，∴∠EOD＝90﹣α，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠EOD＝2（90﹣α）＝180﹣2α，∴∠BOD＝180°﹣（180﹣2α）＝2α；（3）如圖2，∠BOD+2∠COE＝360°，理由是：設(shè)∠BOD＝β，則∠AOD＝180°﹣β，∵OE平分∠AOD，∴∠EOD＝∠AOD＝＝90°﹣β，∵∠COD＝90°，∴∠COE＝90°+（90°﹣β）＝180°﹣β，即∠BOD+2∠COE＝360°．故答案為：（1）80°；（2）2α；（3）∠BOD+2∠COE＝360°，理由見(jiàn)詳解．【點(diǎn)睛】本題考查余角的定義，角平分線的定義和平角的定義，以及角的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭平角和余角的定義，并留意利用數(shù)形結(jié)合的思想．4．（2024·湖北黃石·期末）如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．（1）如圖1，當(dāng)∠AOB＝90°，∠BOC＝60°時(shí)，∠MON的度數(shù)是多少？為什么？（2）如圖2，當(dāng)∠AOB＝70°，∠BOC＝60°時(shí)，∠MON＝度．（干脆寫(xiě)出結(jié)果）（3）如圖3，當(dāng)∠AOB＝α，∠BOC＝β時(shí)，猜想：∠MON的度數(shù)是多少？為什么？【答案】（1）45°，理由見(jiàn)解析；（2）35；（3）α，理由見(jiàn)解析【分析】（1）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（3）表示出∠AOC度數(shù)，表示出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可．【解析】解：（1）如圖1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+60°＝150°，∵OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，∴∠MOC＝∠AOC＝75°，∠NOC＝∠BOC＝30°，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°；（