2024-2025學年高中數(shù)學第三章統(tǒng)計案例3.2獨立性檢驗學案含解析北師大版選修2-3

PAGE§2獨立性檢驗學問點獨立性檢驗[填一填]設A，B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量A：A1，A2＝eq\x\to(A)1；變量B：B1，B2＝eq\x\to(B)1.其中，a表示變量A取A1，且變量B取B1時的數(shù)據(jù)，b表示變量A取A1，且變量B取B2時的數(shù)據(jù)，c表示變量A取A2，變量B取B1時的數(shù)據(jù)，d表示變量A取A2，變量B取B2時的數(shù)據(jù)．(1)χ2≤2.706時，沒有充分證據(jù)判定變量A，B有關聯(lián)；(2)χ2>2.706時，有90%的把握判定變量A，B有關聯(lián)；(3)χ2>3.841時，有95%的把握判定變量A，B有關聯(lián)；(4)χ2>6.635時，有99%的把握判定變量A，B有關聯(lián)．[答一答]獨立性檢驗的基本思想是什么？提示：把假設檢驗的基本思想詳細化到獨立性檢驗中，就可以通過隨機變量χ2把兩個分類變量的獨立性檢驗的基本思想表述為：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)．1．對獨立性檢驗的理解獨立性檢驗主要是為了解決兩個變量A與B之間是否獨立的問題．應用的思想方法是考查P(AB)與P(A)P(B)之間的關系．在統(tǒng)計中由于無法確定P(AB)與P(A)P(B)的值，因此我們利用數(shù)理統(tǒng)計的基本方法，即利用樣本中的頻率值代替概率值，利用2×2列聯(lián)表，可以對是否有關聯(lián)作出推斷，但無法保證推斷的正確性．2．獨立性檢驗的一般步驟(1)完善2×2列聯(lián)表；(2)計算χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)；(3)把χ2的值與臨界值進行比較，然后確定兩個變量是否有關聯(lián)或相關聯(lián)的程度.題型一獨立性檢驗[例1]打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關．下表是一次調查所得的數(shù)據(jù)，試問：每一晚都打鼾與患心臟病有關嗎？患心臟病未患心臟病每一晚都打鼾30224每一晚都不打鼾241355[思路探究]利用“2×2列聯(lián)表”，計算出χ2，再進行獨立性檢驗．[解]2×2列聯(lián)表為：患心臟病未患心臟病合計每一晚都打鼾30224254每一晚都不打鼾2413551379合計5415791633依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(1633×30×1355－224×242,254×1379×54×1579)≈68.033.∵68.033>6.635，∴有99%的把握認為每一晚都打鼾與患心臟病有關．規(guī)律方法“每一晚都打鼾與患心臟病有關”指的是統(tǒng)計上的關系，不要誤以為是因果關系．詳細到某一個每一晚都打鼾的人，并不能說他肯定患心臟?。鋵崗?×2列聯(lián)表中也可以看出，每一晚都打鼾的人群中，患心臟病的概率也只有eq\f(30,254)，略微超過非常之一．至于他患不患心臟病，應當由醫(yī)學檢查來確定．動物園對某種動物進行接種試驗，預防傳染病，經(jīng)試驗得到如下數(shù)據(jù)：問進行接種試驗是否能有效預防傳染?。猓河梢阎獢?shù)據(jù)得2×2列聯(lián)表如下：則χ2＝eq\f(172×68×6－80×182,86×86×24×148)≈6.973，∵6.973>6.635，∴有99%的把握認為“接種”與“染病”有關．又設A為接種未染病，B為未接種未染病，則由數(shù)據(jù)得P(A)＝eq\f(80,86)≈0.9302，P(B)＝eq\f(68,86)≈0.7907.∴我們有99%的把握認為接種能夠更有效地預防傳染?。}型二獨立性檢驗的簡潔應用[例2]某校對學生課外活動內容進行調查，將調查結果整理成2×2列聯(lián)表如下：體育文娛總計男生212344女生62935總計275279試分析“喜愛體育還是喜愛文娛”與“性別”有關嗎？[思路探究]依據(jù)列聯(lián)表計算出χ2的值，將χ2和臨界值比較，從而推斷“喜愛體育還是喜愛文娛”與“性別”是否有關．[解]將a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79代入χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，得χ2≈8.106.因為8.106>6.635，所以我們有99%的把握判定“喜愛體育還是喜愛文娛”與“性別”有關．規(guī)律方法解決一般的獨立性檢驗問題，首先由所給的2×2列聯(lián)表確定a，b，c，d，n的值，然后代入χ2統(tǒng)計量的計算公式，依據(jù)所得結果確定有多大的把握判定兩個變量有關聯(lián)．對196個接受心臟搭橋手術的病人和196個接受血管清障手術的病人進行了3年的跟蹤，調查他們是否又發(fā)作過心臟病，調查結果如下表(單位：人)：試問：病人又發(fā)作心臟病是否與其接受心臟搭橋手術有關？解：由表中數(shù)據(jù)計算得χ2＝eq\f(392×39×167－157×292,196×196×68×324)≈1.779.因為1.779<2.706，所以沒有充分的證據(jù)判定接受心臟搭橋手術與又發(fā)作心臟病有關，可以認為病人又發(fā)作心臟病與其是否接受心臟搭橋手術無關．——多維探究系列——概率與統(tǒng)計的綜合問題[例3]電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視狀況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名，下面是依據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性．(1)依據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料推斷是否有95%的把握認為“體育迷”與性別有關？非體育迷體育迷合計男女合計(2)將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中隨意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(χ2≥k)0.050.01k3.8416.635[解](1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”為25人，從而完成2×2列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得χ2＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)＝eq\f(100,33)≈3.030.因為3.030<3.841，所以我們沒有95%的把握認為“體育迷”與性別有關．(2)由頻率分布直方圖可知，“超級體育迷”為5人，從而一切可能結果為(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.由10個基本領件組成，而且這些基本領件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“任選2人中，至少有1人是女性”這一事務，則事務A由(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)共7個基本領件組成，因而P(A)＝eq\f(7,10).某中學對高二甲、乙兩個同類班級進行“加強‘語文閱讀理解’訓練對提高‘數(shù)學應用題’得分率作用”的試驗，其中甲班為試驗班(加強語文閱讀理解訓練)，乙班為對比班(常規(guī)教學，無額外訓練)，在試驗前的測試中，甲、乙兩班學生在數(shù)學應用題上的得分率基本一樣，試驗結束后，統(tǒng)計幾次數(shù)學應用題測試的平均成果(均取整數(shù))如下表所示：60分以下61～70分71～80分81～90分91～100分甲班(人數(shù))36111812乙班(人數(shù))48131510現(xiàn)規(guī)定平均成果在80分以上(不含80分)的為優(yōu)秀．(1)試分別估計兩個班級的優(yōu)秀率；(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并問是否有95%的把握認為“加強‘語文閱讀理解’訓練對提高‘數(shù)學應用題’得分率”有幫助.優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計甲班乙班合計解：(1)由題意知，甲、乙兩班均有學生50人，甲班優(yōu)秀人數(shù)為30人，優(yōu)秀率為eq\f(30,50)＝60%，乙班優(yōu)秀人數(shù)為25人，優(yōu)秀率為eq\f(25,50)＝50%，所以甲、乙兩班的優(yōu)秀率分別為60%和50%.(2)列聯(lián)表如下：優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計甲班302050乙班252550合計5545100因為χ2＝eq\f(100×30×25－20×252,50×50×55×45)＝eq\f(100,99)≈1.010，所以由參考數(shù)據(jù)知，沒有95%的把握認為“加強‘語文閱讀理解’訓練對提高‘數(shù)學應用題’得分率”有幫助．1．為調查乘客暈機狀況，在某一次惡劣氣候飛行航程中，55名男乘客中有24名暈機，34名女乘客中有8名暈機．在檢驗這些乘客暈機是否與性別相關時，常采納的數(shù)據(jù)分析方法是(C)A．頻率分布直方圖 B．回來分析C．獨立性檢驗 D．用樣本估計總體解析：依據(jù)題意，結合題目中的數(shù)據(jù)，列出2×2列聯(lián)表，求出χ2的觀測值，比照臨界值表可得出暈機與性別是否有關的結論．這種分析數(shù)據(jù)的方法是獨立性檢驗．故選C.2．關于分類變量X與Y的隨機變量χ2的值，下列說法正確的是(B)A．χ2的值越大，“X和Y有關系”可信程度越小B．χ2的值越小，“X和Y有關系”可信程度越小C．χ2的值越接近于0，“X和Y無關”程度越小D．χ2的值越大，“X和Y無關”程度越大解析：χ2的值越大，X和Y有關系的可能性就越大，也就意味著X和Y無關系的可能性就越?。?．在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法中正確的是(C)A．若隨機變量χ2>6.635，我們有99%的把握說吸煙與患肺病有關，則某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病B．若利用隨機變量χ2求出有99%的把握說吸煙與患肺病有關，則在100個吸煙者中必有99個人患肺病C．若利用隨機變量χ2求出有95%的把握說吸煙與患肺病有關，則是指有5%的可能性使得推斷錯誤D．以上說法均有錯誤解析：若利用隨機變量χ2求出有95%的把握說吸煙與患肺病有關，則是指有5%的可能性使得推斷錯誤．4．若由兩個分類變量X和Y的列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得到χ2>3.841，那么我們就有95%的把握認為兩個變量有關系．5．依據(jù)下表計算χ2＝1.779.解析：χ2＝eq\f(392×39×167－157×292,196×196×68×324)≈1.779.6．在500人身上試驗某種血清預防感冒的作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結果如表所示．問：該種血清能否起到預防感冒的作用？解：計算得χ2＝eq\f(1000×258×284－242×2162,474×526×500×500)≈7.075，∵χ2＝7.075>6.635，所以我們有99%的把握認為該種血清能起到預防感冒的作用．7．為了探討患慢性氣管炎與吸煙量的關系，調查了228人，其中每天的吸煙支數(shù)在10支以上的20支以下的調查者中，患者人數(shù)有98人，非患者人數(shù)有89人，每天的吸煙支數(shù)在20支以上