浙江省寧波市余姚中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

余姚中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期高二上期中數(shù)學(xué)試題命題人：黃建鋒審題人：谷巨平一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.是雙曲線上一點，點分別是雙曲線左右焦點，若，則（）A.9或1 B.1 C.9 D.9或2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.【詳解】是雙曲線上一點，所以，所以，由雙曲線定義可知，所以或者，又，所以，故選：C2.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，若存在兩項，使得，則的最小值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】先求出該等比數(shù)列的公比，再將后式化簡，得出和的關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，即，解得或（舍去）．因為，所以，即，所以，所以或或所以的值為或或，所以的最小值為．故選：A．3.若動點Px,y滿足方程，則動點P的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線定義得到點P的軌跡方程是以A?2,0與為焦點的雙曲線，得到答案.【詳解】由題意得點Px,y到點A?2,0與點的距離之差的絕對值為3，且，故動點P的軌跡方程是以A?2,0與為焦點的雙曲線，故，所以，所以雙曲線的方程為.故選：A.4.閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，點，則點到平面距離為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面方程可得法向量，即可根據(jù)向量法求解點面距離.【詳解】由于平面的方程為，所以平面的法向量，在平面上任取一點，則，所以點到平面距離.故選：C.5.已知直四棱柱，底面為矩形，，，且，若點到平面的距離為，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離的向量求法求解即得.【詳解】直四棱柱，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由底面為矩形，，，且，得，令，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，而，由點到平面的距離為，得，解得，于是，，而，向量在向量方向上的投影長為，所以點到直線的距離為.故選：D6.長方體，，，動點滿足，，則二面角的正切值的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先建系，再根據(jù)向量垂直得出再結(jié)合，得出，最后應(yīng)用空間向量法計算二面角余弦結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求出正切范圍即可.【詳解】以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.已知，，則，，，.因為，所以,,因為，所以,因為，所以，設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，.由，即，令，則，，則為平面一個法向量.設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，所以..，.所以則.則二面角的正切值的取值范圍是故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是應(yīng)用向量關(guān)系得出結(jié)合即可得出正切值取值范圍.7.若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由題意得到圓心到直線的距離d滿足，再分和兩種情況分類討論再結(jié)合直線斜率的定義即可求解.【詳解】由題可得已知圓圓心，半徑為，如圖，由圖可知圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則圓心到直線的距離，當(dāng)時，直線斜率不存在，傾斜角為，此時圓心到直線的距離，不符合，當(dāng)時，直線斜率為，此時，整理得，解得，因為，，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：A.8.機場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為12cm，開口直徑為8cm，旅客使用紙杯喝水時，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點時，橢圓的離心率等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意，建立坐標(biāo)系，利用三角形重心性質(zhì)和相似三角形求出點坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得半短軸長，利用離心率定義計算即得.【詳解】如圖，設(shè)是母線的中點，是中線，又也是中線，設(shè)，則是重心，設(shè)的中點為，即橢圓的中心，設(shè)，，，作平面平面，，，．對橢圓如圖建系，，故，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，知，，于是，，．故選：C.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知曲線，下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，曲線是一條直線B.當(dāng)時，曲線是一個圓C.當(dāng)曲線是圓時，它的面積的最小值為D.當(dāng)曲線是面積為的圓時，【答案】AB【解析】【分析】將代入曲線的方程化簡，可判斷A選項；利用圓的一般方程可判斷B選項；求出圓的半徑，利用圓的面積公式結(jié)合基本不等式可判斷C選項；利用圓的半徑公式可求出的值，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，當(dāng)時，曲線的方程為，此時，曲線是一條直線，A對；對于B選項，當(dāng)時，曲線的方程可化為，因為，此時，曲線是一個圓，B對；對于C選項，當(dāng)曲線是圓時，其半徑為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，即的最小值為，因此，當(dāng)曲線是圓時，它的面積的最小值為，C錯；對于D選項，當(dāng)曲線是面積為的圓時，其半徑為，即，解得或，D錯.故選：AB.10.已知橢圓C：的左右焦點分別為，點P是橢圓上的一個動點，則以下說法正確的是（）A.周長為6B.若，則的面積為C.橢圓C上存在兩個點，使得D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】先求出，根據(jù)橢圓的定義即可判斷A；利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義及三角形的面積公式即可判斷B；求出的最大值即可判斷C；根據(jù)橢圓的定義結(jié)合基本不等式中“1”的整體代換即可判斷D.【詳解】由橢圓C：，得，則，所以，因為點P是橢圓上的一個動點，所以，對于A，的周長為，故A正確；對于B，在中，由余弦定理得，，即，則，所以，所以的面積為，故B正確；對于C，當(dāng)點位于橢圓得上下頂點時，最大，當(dāng)點位于橢圓得上下頂點時，，此時為等邊三角形，故的最大值為，所以橢圓C上不存點，使得，故C錯誤；對于D，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，經(jīng)檢驗符合題意，所以的最小值為，故D正確.故選：ABD.11.稱為點的“和”，下列說法正確的是（）A.“和”為1的點的軌跡圍成的圖形的面積為2B.設(shè)是直線上任意一點，則點的“和”的最小值為2C.設(shè)是直線上任意一點，則使得“和”最小的點有無數(shù)個的充要條件是D.設(shè)是橢圓上任意一點，則“和”的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)“和”的概念可知Px,y的軌跡為邊長是的正方形，選項A正確；根據(jù)條件可得，討論的范圍得到分段函數(shù)的解析式，分析單調(diào)性可得選項B正確；類比選項B的分析可知當(dāng)時，都滿足使得“和”最小的點有無數(shù)個，選項C錯誤；設(shè)，通過輔助角公式可得選項D正確.【詳解】A.由“和”的定義得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，根據(jù)圖形可得點Px,y的軌跡為邊長是的正方形，其面積為2，選項A正確.B.∵點是直線上任意一點，∴，∴，令，由函數(shù)解析式可知fx在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故當(dāng)時，取到最小值2，選項B正確.C．∵點是直線上任意一點，∴，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，分析單調(diào)性可知當(dāng)時，都滿足使得“和”最小的點有無數(shù)個，選項C錯誤.D.由點是橢圓上任意一點可設(shè)，則，由可得“和”的最大值為，選項D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：解新定義題型的步驟：（1）理解“新定義”，明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”.歸納“舉例”提供的解題方法，歸納“舉例”提供的分類情況.（3）類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列的前n項和為，則__________【答案】【解析】【分析】利用求解即得.【詳解】數(shù)列的前n項和為，當(dāng)時，，而不滿足上式，所以.故答案為：13.如圖，兩個正方形ABCD，CDEF的邊長都是2，且二面角為60°，M，N為對角線AC和FD上的動點，且滿足，則線段MN長的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】由已知得，，，長度為2，且兩兩夾角已知，可用三個向量表示出，表示出模長即可得到最小值.【詳解】由題意知，ABCD，CDEF都是正方形，則，且，，所以即為二面角的平面角，即.因為，，設(shè)，則，且，，則則，，則，當(dāng)時，有最小值為.所以，.所以，線段MN長的最小值為.14.已知雙曲線，若雙曲線不存在以點為中點的弦，則雙曲線離心率的取值范圍是__________________．【答案】【解析】【分析】由題意知點必在雙曲線外部或在雙曲線上.若存在以為中點的弦，根據(jù)點差法可得弦的斜率為，要使弦不存在，則弦與雙曲線至多一個交點，弦的斜率大于等于漸近線斜率，如此即可得到的取值范圍，進而求出離心率的范圍﹒【詳解】由題意得點在雙曲線外部或在雙曲線上，則，得.假設(shè)存在以為中點的弦，設(shè)弦與雙曲線交于點Ax1,y由點Ax1,兩式作差得，，∴.∵不存在該中點弦，∴直線與雙曲線至多一個交點，則，，∴，∵，∴，即.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵在于分析出點在雙曲線外部或在雙曲線上，在這個前提下確定當(dāng)直線與雙曲線至多一個交點時直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系即可得到結(jié)果.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在等差數(shù)列中，的前項和為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求取最大值時的值；（3）設(shè)，求．【答案】（1）（2）6（3）【解析】【分析】（1）求出等差數(shù)列的公差和首項，即可求得通項公式；（2）利用等差數(shù)列的前n項和公式，即可求得答案；（3）判斷數(shù)列的項的正負(fù)情況，討論n的取值，結(jié)合等差數(shù)列的前n項和公式，即可求得答案.【小問1詳解】由題意知在等差數(shù)列中，，設(shè)公差為d，則，則，故，故通項公式．【小問2詳解】結(jié)合（1）可得，當(dāng)時，取最大值．【小問3詳解】，由，得，即時有，時有，若，，若時，，綜合上述．16.已知數(shù)列滿足.（1）求證：為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）變形得到，得到為等比數(shù)列；（2）在（1）基礎(chǔ)上得到，利用分組求和，錯位相減法求和得到答案.【小問1詳解】因為，所以，又，故為等比數(shù)列，首項為1，公比為2；【小問2詳解】由（1）可知，，故，，故，令①，則，其中②，①②得，，故，.17.如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．（1）證明：；（2）求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.【小問1詳解】由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；【小問2詳解】連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由是的中點，得，所以，設(shè)平面和平面的一個法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設(shè)平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.【點睛】18.已知是拋物線的焦點，是上在第一象限的一點，點在軸上，軸，，．（1）求的方程；（2）過作斜率為的直線與交于，兩點，的面積為（為坐標(biāo)原點），求直線的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，利用弦長公式計算出，再根據(jù)點到直線的距離公式計算出點到直線的距離，根據(jù)面積公式建立等式計算即可求解.【小問1詳解】由題知，，由拋物線的定義知，，，的方程為．小問2詳解】由（1）知，設(shè)，，直線的方程為，代入，整理得，由題易知，，，，到直線的距離為，，解得，直線的方程為或．19.已知平面上動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，動點的軌跡為曲線.直線與曲線交于兩個不同的點.（1）若直線的方程為，求的面積；（2）若的面積為，證明：和均為定值.【答案】（1）（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題知曲線的方程為，進而直線的方程與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合弦長公式得，原點到直線的距離為，再計算面積即可；（2）先考慮直線斜率存在時的情況，設(shè)其