北大天津高考數(shù)學(xué)試卷

北大天津高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.已知函數(shù)$f(x)=2x^2-3x+1$，則該函數(shù)的圖像是：

A.拋物線向上開口

B.拋物線向下開口

C.直線

D.雙曲線

2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(2,3)$關(guān)于直線$x+y=5$的對(duì)稱點(diǎn)$B$的坐標(biāo)是：

A.$(1,4)$

B.$(3,2)$

C.$(4,1)$

D.$(5,0)$

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=1$，公差$d=2$，則第10項(xiàng)$a_{10}$等于：

A.19

B.20

C.21

D.22

4.在三角形ABC中，角A、角B、角C的對(duì)邊分別為a、b、c，則余弦定理是：

A.$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$

B.$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$

C.$b^2=a^2+c^2-2ac\cosB$

D.$a^2=b^2+c^2-2ab\cosB$

5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$，則該函數(shù)的定義域是：

A.$x>0$

B.$x<0$

C.$x\neq0$

D.$x\geq0$

6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為$(3,4)$，點(diǎn)Q在直線$x+y=7$上，且PQ的長(zhǎng)度為5，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是：

A.$(2,5)$

B.$(4,3)$

C.$(5,2)$

D.$(3,6)$

7.已知等比數(shù)列$\{b_n\}$的首項(xiàng)$b_1=2$，公比$q=3$，則第6項(xiàng)$b_6$等于：

A.162

B.243

C.729

D.2187

8.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為$(1,2)$，點(diǎn)B在直線$y=2x+1$上，且AB的長(zhǎng)度為3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是：

A.$(1,5)$

B.$(2,3)$

C.$(3,2)$

D.$(4,5)$

9.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$，則該函數(shù)的圖像是：

A.拋物線

B.雙曲線

C.直線

D.三次函數(shù)

10.在三角形ABC中，角A、角B、角C的對(duì)邊分別為a、b、c，則正弦定理是：

A.$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$

B.$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\cosC}$

C.$\frac{a}{\cosA}=\frac{\cosB}=\frac{c}{\cosC}$

D.$\frac{a}{\sinA}=\frac{\cosB}=\frac{c}{\sinC}$

二、判斷題

1.在等差數(shù)列中，任意兩項(xiàng)的和等于這兩項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)乘以項(xiàng)數(shù)。（）

2.函數(shù)$f(x)=x^3$在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的。（）

3.在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊上的高的和。（）

4.等比數(shù)列的公比可以是負(fù)數(shù)。（）

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離公式為$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，其中A、B、C為直線的系數(shù)。（）

三、填空題

1.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，則第$n$項(xiàng)$a_n$的表達(dá)式為______。

2.函數(shù)$f(x)=\sqrt{x}$在______（填區(qū)間）內(nèi)是連續(xù)的。

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$(2,3)$關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是______。

4.若等比數(shù)列$\{b_n\}$的首項(xiàng)為$b_1$，公比為$q$，則該數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$的表達(dá)式為______。

5.若直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則斜邊的長(zhǎng)度是______。

四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像特征，包括開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸等。

2.請(qǐng)解釋什么是三角函數(shù)的周期性，并舉例說明正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期。

3.簡(jiǎn)要說明如何利用解析幾何中的點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算點(diǎn)到直線的距離。

4.解釋等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，并給出一個(gè)例子，說明如何計(jì)算等差數(shù)列和等比數(shù)列的第$n$項(xiàng)。

5.在平面直角坐標(biāo)系中，如何利用坐標(biāo)來表示一條直線？請(qǐng)給出直線的一般方程形式，并解釋其中的系數(shù)如何影響直線的斜率和截距。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$的零點(diǎn)，并確定函數(shù)圖像的開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)。

2.已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為6和8，求斜邊的長(zhǎng)度，并寫出對(duì)應(yīng)的勾股定理表達(dá)式。

3.計(jì)算等差數(shù)列$\{a_n\}$的前10項(xiàng)和，其中首項(xiàng)$a_1=3$，公差$d=2$。

4.解方程組$\begin{cases}2x-3y=8\\x+4y=-1\end{cases}$，找出$x$和$y$的值。

5.已知點(diǎn)$A(1,2)$和點(diǎn)$B(3,4)$，求線段$AB$的長(zhǎng)度，并寫出該線段所在直線的方程。

六、案例分析題

1.案例背景：某學(xué)校計(jì)劃在校園內(nèi)修建一條長(zhǎng)為100米的小徑，小徑的一端在校園的東邊，另一端在校園的北邊。學(xué)校希望小徑的寬度為2米，且小徑的形狀為一個(gè)等腰直角三角形。

案例分析：

（1）請(qǐng)計(jì)算等腰直角三角形的腰長(zhǎng)。

（2）若小徑的造價(jià)為每平方米50元，請(qǐng)計(jì)算修建這條小徑的總造價(jià)。

（3）假設(shè)學(xué)校希望在校園內(nèi)再修建一條與之平行的小徑，且這條小徑與第一條小徑相距10米。請(qǐng)計(jì)算第二條小徑的長(zhǎng)度。

2.案例背景：某班級(jí)的學(xué)生在進(jìn)行一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)后，得到了以下成績(jī)分布：成績(jī)?cè)?0-100分的有5人，80-89分的有10人，70-79分的有15人，60-69分的有10人，60分以下的有5人。班級(jí)共有50名學(xué)生參加測(cè)驗(yàn)。

案例分析：

（1）請(qǐng)計(jì)算該班級(jí)的平均分。

（2）請(qǐng)計(jì)算該班級(jí)的成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差。

（3）假設(shè)班級(jí)希望提高整體成績(jī)，計(jì)劃在接下來的學(xué)習(xí)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行額外的輔導(dǎo)。如果輔導(dǎo)后，班級(jí)的平均分提高了2分，請(qǐng)分析這種變化可能對(duì)成績(jī)分布產(chǎn)生的影響。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)一批零件，已知生產(chǎn)第一件零件需要10分鐘，之后每生產(chǎn)一件零件所需時(shí)間比前一件增加2分鐘。如果工廠希望在一個(gè)小時(shí)內(nèi)完成這批零件的生產(chǎn)，請(qǐng)問至少需要生產(chǎn)多少件零件？

2.應(yīng)用題：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為8厘米，如果將其邊長(zhǎng)擴(kuò)大到原來的兩倍，請(qǐng)問新正方形的面積是原來正方形面積的多少倍？

3.應(yīng)用題：小明從家出發(fā)去圖書館，他可以選擇步行或者騎自行車。步行的速度是每小時(shí)4公里，騎自行車的速度是每小時(shí)12公里。圖書館距離小明家8公里。如果小明從家出發(fā)到圖書館需要40分鐘，請(qǐng)問他是步行還是騎自行車去的？

4.應(yīng)用題：一個(gè)班級(jí)有學(xué)生40人，其中男女生人數(shù)比為2:3。如果從這個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，請(qǐng)問抽到女生的概率是多少？如果再從這個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，抽到兩名女生的概率是多少？

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.A.拋物線向上開口

2.C.$(4,1)$

3.A.19

4.A.$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$

5.C.$x\neq0$

6.C.$(5,2)$

7.A.162

8.C.$(3,2)$

9.D.三次函數(shù)

10.A.$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$

二、判斷題

1.×

2.√

3.×

4.√

5.√

三、填空題

1.$a_n=a_1+(n-1)d$

2.$x>0$或$x<0$

3.$(-2,-3)$

4.$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

5.5

四、簡(jiǎn)答題

1.二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像特征包括：

-開口方向：當(dāng)$a>0$時(shí)，圖像開口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，圖像開口向下。

-頂點(diǎn)坐標(biāo)：頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(-\frac{2a},f(-\frac{2a}))$。

-對(duì)稱軸：對(duì)稱軸為直線$x=-\frac{2a}$。

2.三角函數(shù)的周期性指的是函數(shù)圖像的重復(fù)性。對(duì)于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，它們的周期是$2\pi$，這意味著函數(shù)圖像每隔$2\pi$的長(zhǎng)度就會(huì)重復(fù)一次。

3.點(diǎn)到直線的距離公式$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，其中A、B、C為直線的系數(shù)，x和y為點(diǎn)的坐標(biāo)。

4.等差數(shù)列的定義是：數(shù)列中任意兩項(xiàng)之差為常數(shù)。等比數(shù)列的定義是：數(shù)列中任意兩項(xiàng)之比為常數(shù)。例如，等差數(shù)列1,4,7,10...的第$n$項(xiàng)為$a_n=1+(n-1)3$。

5.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的一般方程形式為$Ax+By+C=0$。系數(shù)A和B決定了直線的斜率和截距。當(dāng)A和B都不為0時(shí)，斜率$k=-\frac{A}{B}$，截距$b=-\frac{C}{B}$。

五、計(jì)算題

1.解：設(shè)需要生產(chǎn)的零件數(shù)為n，則總時(shí)間為$10+12+14+...+(10+2(n-1))$。由等差數(shù)列求和公式得：

$T=\frac{n}{2}(2\cdot10+(n-1)2)=100$。

解得$n=15$。

答案：至少需要生產(chǎn)15件零件。

2.解：原正方形面積為$8\times8=64$平方厘米，新正方形面積為$16\times16=256$平方厘米。新面積是原面積的$256\div64=4$倍。

答案：新正方形的面積是原來正方形面積的4倍。

3.解：步行40分鐘可以走$40\div60\times4=\frac{4}{3}$公里，小于8公里，所以小明騎自行車去的。

答案：小明騎自行車去的。

4.解：女生人數(shù)為$40\times\frac{3}{2+3}=24$人，男生人數(shù)為$40-24=16$人。抽到女生的概率為$\frac{24}{40}=\frac{3}{5}$。抽到兩名女生的概率為$\frac{24\times23}{40\times39}=\frac{23}{65}$。

答案：抽到女生的概率為$\frac{3}{5}$，抽到兩名女生的概率為$\frac{23}