2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)12月學(xué)生學(xué)業(yè)能力調(diào)研數(shù)學(xué)試題（含答案）

考生注意本試卷分第I卷基礎(chǔ)題（93分）和第n卷提高題（24分）兩部分,

共117分，3分卷面分。

知識(shí)與技能學(xué)習(xí)能力（學(xué)法）

內(nèi)容集合邏輯與不等式指對(duì)三角函數(shù)函數(shù)與方程數(shù)形結(jié)合劃歸轉(zhuǎn)化

分?jǐn)?shù)51045102720

第I卷基礎(chǔ)題（共92分）

一、選擇題：（每小題5分，共35分.）

1已知集合"={0,1,2,3},集合N={y|y=x2+2},則()

A.{3}B.{2,3}C,{1,2,3}D.{0,1,2,3}

2.“ae/g1"是"tana>0"的（）

A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)〃尤）=2*+3》-4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

4.有三個(gè)數(shù)：。=2°-5,6=5由1,。=1083（）.5大小順序正確的是（）

A.b>a>cB.a>c>bC.c>a>bD.a>b>c

5.已知函數(shù)〃x）的部分圖象如下圖所示，則〃x）的解析式可能為（）

-x

A-"濟(jì)B./(x)=

3-4|-v

D-/(X)=|x|-l

2

-x-ax-5,x<\fM-f(x2)

6.己知函數(shù)/（x）=<a滿足對(duì)任意西*馬，都有八"L/>o成立,

一,X>1X]—x?

則a的范圍是（）

A.[-3,0)B.[-3,-2]C.(-℃,-2]D.(-oo,0]

7.已知。、b均為正實(shí)數(shù)，且〃+b=l,則下列錯(cuò)誤的是（）

A.ab的最大值為:B.—+—的最小值為5

ab

cl'+］的最小值為g口出+占的最小值足

二、填空題：（每小題4分，共20分.）

8.sin240°=.

9.已知扇形的面積為4,半徑為2,則扇形的圓心角為弧度.

r4Lr

/、2v+-,x<0()

10.已知[(x)={5,則/八log—=______________.

xlog4(x+l),x>0Lv2<

n.已知函數(shù)/（x）=log2（f2+辦+15）在；,4上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

e|x+11,x<0

12.已知函數(shù)〃x）=4，函數(shù)了=有四個(gè)不同零點(diǎn)，從小到大依次

x+——3,尤>0

.x

為X],工2,無(wú)3,X4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為；玉迎+x3x4的取值范圍為.

三、解答題

,八、,sina+3cosa「

⑼】2分）已知二”sm廠§

（1）求tana的值；

（2）求sin?tz-sinacosa的值.

14.（12分）計(jì)算下列各式的值:

（l）27ix31-l0&2x（V3+l）°-f^4

（2）logz16+logs35-logs14-log5士

⑶log23=a,log21=b,試用a,6表示Iog4z56

15.（14分）已知函數(shù)〃龍）Togi（x+l）+bg』（無(wú)T），g（x）=J-c+6（aeR）

22

⑴求函數(shù)〃X）的定義域.（2）判斷函數(shù)/（X）的奇偶性，并說(shuō)明理由.

⑶對(duì)V”[G,+8）,”[1,2],不等式/㈤源㈤恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

（4）你認(rèn)為解決恒成立問(wèn)題的常用方法有哪些？（至少寫出2個(gè)）

第n卷提高題（共24分）

16.（12分）已知函數(shù)〃x）=a?2-2T是定義在R上的奇函數(shù).

(1)求。的值，并證明：“X)在R上單調(diào)遞增；

⑵求不等式/(3/-5x)+〃x-4)>0的解集；

⑶若g⑺=4,+4T-2mf(x)在區(qū)間［-1,+s)上的最小值為-2,求加的值.

17.(12分)若存在實(shí)數(shù)。、6使得°(x)=4(x)+6g(x),則稱函數(shù)夕(x)為函數(shù)/(X),

g(x)的"7(9)函數(shù)”.

⑴若函數(shù)夕(x)=e"為函數(shù)“X)、g(x)的"T。,2)函數(shù)",其中〃x)為奇函數(shù)，g(x)為

偶函數(shù)，求函數(shù)/(X)、g(x)的解析式;

(2)設(shè)函數(shù)〃x)=ln(e，+l),g(x)=x,是否存在實(shí)數(shù)。、6使得函數(shù)°(x)為函數(shù)〃x)、

g(x)的"T(a,b)函數(shù)”,且同時(shí)滿足：①夕(x)是偶函數(shù)②夕(x)的值域?yàn)椋?1n2,+co).若

存在，求出。、6的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

注：e=2.71828……為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

18(3分)卷面分

靜海一中2023-2024第一學(xué)期高一數(shù)學(xué)(12月)

學(xué)生學(xué)業(yè)能力調(diào)研試卷答案

一、選擇題：（每小題5分，共35分.）

1.B2.C3.A4.D5.A6.A7,B

二、填空題：（每小題4分，共20分.）

8.一爭(zhēng).210.111.（l,e][4,5）

三、解答題

,.sincr+3cos6r廠tana+3

13.【詳解】⑴由------------=5,得=5,即tana=2.

3cosa-sin。3-tana

(2)因?yàn)閟in?a+cos2a=1,

sm,2a-si,nacosa

所以sii?a-sinacosa=

sm?2a+cos2a

tan2a-tana4-22

tan2a+14+15

14.(12分)計(jì)算下列各式的值:

⑴27§x3「晦2*(6+1)°+Q|二

(2)log216+log535-log514一logs專

(3)log23=a,log2l=b,試用a,blog4256.

【答案】(1)4

(2)7

3+b

⑶-----

1+a+b

【分析】（1）利用指數(shù)新的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)的概念化簡(jiǎn)求值即可.

（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值即可.

(3)根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)換底公式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即得.

2

【詳解】⑴原式=(3$x工xl/2]=3X-X1XA=4.

'>31Ofe2(3)227

(2)原式=4+k)g5，|x5o1=4+log5(53)=4+3=7.

bg4,56=S'7)=3+W=生小

(3)由l°g23=Q,log2=b貝|jlog2(2x3x7)1+log23+log271+a+b

01一

16.(12分)設(shè)命題p：VxcR,不等式加x+加工+5>0恒成立：命題

⑴若夕為真命題，求實(shí)數(shù)冽的取值范圍;

⑵若命題夕、夕有且只有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)冽的取值范圍.

【詳解】(1)對(duì)于命題P：DXER,不等式加Y+加x+/〉o恒成立,

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，；>0恒成立.

fm>0

當(dāng)加wo時(shí)，貝懦A2G八，解得0<租<2.

[A=m-2m<0

綜上所述，m的取值范圍是0<m<2.

/、,m+1=加+1<m+l-3+m2m-2八

(2)由^—>1W------1=-------=-——>0,

3-m3-m3-m3-m

所以::)，解得14加<3.

[3-mwO

若夕真0假，貝『’04血V2”且“加<1或加23”,貝!JOWznVl.

若夕假夕真，則“租<0或加22”且"14加<3”,則20加<3.

綜上所述，機(jī)的取值范圍是0<m<1或24加<3.

17.(14分)已知函數(shù)/(x)=bgi(x+l)+logi(x-l),g(x)=x2-G+6(aeR)

22

(1)求函數(shù)/(X)的定義域.

⑵判斷函數(shù)/(X)的奇偶性，并說(shuō)明理由.

⑶對(duì)F16,+8)/2e[l,2],不等式/(xjvg(xj恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

(4)你認(rèn)為解決恒成立問(wèn)題的常用方法有哪些？(至少寫出2個(gè))

答案】⑴(1,+8)

⑵函數(shù)/(x)為非奇非偶函數(shù)，理由見解析；

(1T

⑶

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)g(x)的解析式有意義，得出不等式組，即可求解；

(2)根據(jù)函數(shù)/(x)的定義域的不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為“X)max4g(x)min，根據(jù)函數(shù)/(》)的單調(diào)性，求得了⑴皿=T，

得至IjVxG[l,2],x2-tzx+7>0,

7711

法一：轉(zhuǎn)化為VX￡[1,2]M〈X+1令〃(X)=X+)求得以初斷二號(hào)，即可求解；

法二：分：”結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.

【詳解】(1)解：由函數(shù)/(尤)=1°84元+1)+1°81口-1)有意義，則滿足

22X-l>0

解得x>l,所以函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?1,+8).

(2)解：因?yàn)?(x)的定義域?yàn)?1,+co),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

所以函數(shù)/(x)為非奇非偶函數(shù).

(3)解：由"對(duì)X/X]e[6,+co),X2?-2,4],不等式/㈤源㈤恒成立”,

可得了(Xlmax<g(x)min，

當(dāng)xWe時(shí)，/(x)=log工(X+1)+log,(尤T)=log』-1)

222

由/(X)在[石,+可上單調(diào)遞減，〃x)1mx=/(^)=-1,

根據(jù)題意得，對(duì),€［1,2］,/-辦+720

7

法一：可轉(zhuǎn)化為Vxe[l,2],aWx+—,

7711

令Mx)=x+:,由/?(x)在[1,2]上單調(diào)遞減得，可得力⑴1nto=〃⑵=2+1=5,

實(shí)數(shù)。的取值范圍為「叫號(hào)

法二：設(shè)函數(shù)g(x)=——"+7,

①當(dāng)合22,即。上4時(shí)，g(x)在［1,2］上單調(diào)遞減，

可得g(x)m,n=g⑵=10-2此-1,解得a.,則4Va4；

②當(dāng)即aW2時(shí)，g(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，

可得g(x)1nin=g(l)=7-aZT,解得。48,貝?。?。42；

③當(dāng)1＜合＜2,即2＜。＜4時(shí)，g(x)在［1,2］先減后增，

可得g(x)mm=(咬-X"|+7"1,解得一4后所以2＜。＜4,

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為「叫與?

第n卷提高題(共25分)

18.(13分)已知函數(shù)/(町=。2-2一’是定義在R上的奇函數(shù).

⑴求。的值，并證明：/(x)在R上單調(diào)遞增；

(2)求不等式/(3--5x)+/(x-4)＞0的解集；

⑶若83=4'+4一*-2時(shí)(町在區(qū)間［-1,+8)上的最小值為_2,求機(jī)的值.

【答案】(1)。=1

2

⑵{%|X〉2或X＜-y};

(3)機(jī)=2或一||.

【分析】(1)由奇函數(shù)性質(zhì)得"0)=0,解出。；由單調(diào)性的定義即可求解，

(2)由函數(shù)單調(diào)性、奇偶性可把不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，解出即可；

(3)g(x)=22X+*-2加(2*-2-*)=(2X-2rA-2m(2x-2^)+2,令f=/(x)=2工一21

g(x)可化為關(guān)于/的二次函數(shù)，分情況討論其最小值，令最小值為-2,解出即可；

【詳解】(1)???/(x)是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，

/./(。)=。，/.tz-2°—2°=0,。―1=0,/.＜2=1,

此時(shí)/(x)=2,)=2--2'=一/⑴，

經(jīng)檢驗(yàn)，。=1符合題意;

函數(shù)的定義域?yàn)镽,在R上任取X],x2,且無(wú)]-無(wú)2<0,

/(%)-/(%,)=2^-2f-2*+2f=(2也一2%)(1+/)>0

二函數(shù)在R上單調(diào)遞增，

(2)由(1)可知〃x)=2，-2T,且在R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，

由-5x)+〃x-4)>0可得/(3/-5x)>/(4-x),

22

z.3x-5x>4-xJ即3x—4x—4=(3x+2)(x—2)〉0,

…2

二.x〉2或x<——，

3

2

二?不等式的解集為“|x〉2或x<-3；

(3)???/(%)=2]-2，g(x)=4x+4-%-2mf(x)

/.g(x)=22x+Tlx-2m(2x-2-x)=(2、—2-x)2-2m(2x—2一、)+2.

3

令/=/(%)=2工_2-，vx>-l,.\t>/(-1)=--f

g(。=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2,

3

2

當(dāng)加2-5時(shí)，當(dāng)，=加時(shí)，g(Omin=2-m=-2,則加=2(機(jī)=一2舍去)；

3317253

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，gWmin=—+3w=-2,解得機(jī)=-r<-],符合要求，

綜上可知機(jī)=2或-I25I.

19.(12分)若存在實(shí)數(shù)。、6使得夕(x)=/(x)+6g(x),則稱函數(shù)夕(x)為函數(shù)/(x),

g(x)的"(a,b)函數(shù)

(1)若函數(shù)9(x)=e，為函數(shù)/(X)、g(x)的"7(1,2)函數(shù)"，其中〃x)為奇函數(shù)，g(x)為

偶函數(shù)，求函數(shù)“X)、g(x)的解析式;

(2)設(shè)函數(shù)〃x)=ln(e'+l),g(x)=x,是否存在實(shí)數(shù)。、6使得函數(shù)°(x)為函數(shù)/(x)、

g(x)的"％,b)函數(shù)",且同時(shí)滿足①夕⑴是偶函數(shù)②9(x)的值域?yàn)椋?1n2,+8).若

存在，求出。、6的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

注：e=2.71828……為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

【答案】⑴〃無(wú))=%(e'-er),g(x)=：W+er)

(2)存在，a=2,b=-l

【分析】(1)根據(jù)題意以及函數(shù)的奇偶性可得出關(guān)于/(x)、g(x)的等式組，即可解得

函數(shù)“X)、