2024-2025學年廣東省廣州某中學高二（上）期中數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年廣東省廣州七中高二(上)期中數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1,已知Fi(一夕,0)、F2(77,0),若|PFI|+|P4|=8,則點P的軌跡方程是()

y2_B包+比一1C--^-1D1

A-9+16-116+9-1169-1口916-1

2.空間內有三點P(3,1,-4),E(2,l,l),F(l,2,2),則點P到直線EF的距離為()

A.714B.372C.73D.273

3.圓。i：Q-I/+(”l)2=28與。2；3+⑶一4)2=18的公共弦長為()

A.2y/~3B.2<6C.3<2D.6<2

4.在平面直角坐標系內，將直線[向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度后，得到直線直線/與

直線廠間的距離為則直線I的斜率為()

3322

A-2B-2C3D-3

5.圓％2+y2-2%-1=0關于直線2%-y+3=0對稱的圓的方程是()

A.(x+3)2+(y_2)2=:B.(x-3)2+(y+2)2=)

C.(x+3)2+(y—2/=2D.(x-3)2+(y+2)2=2

6.橢圓普+[=1的左右焦點為Fi，F(xiàn)2,P為橢圓上第一象限內任意一點，a關于P的對稱點為M,6關于

尸2的對稱點為N,則AMBN的周長為()

A.10B.14C.18D.20

7.若曲線Cjy=2+、—*2—2x與曲線Q：(y—2)(y—mx+zn)=0有四個不同的交點，則實數(shù)m的取

值范圍是()

A.m<-4§儀或TH>—2B.m<一]"

-4-/7

C.——-——<m<—2D.m>—2

8.已知直線八x+y—l=0截圓。：/+/=產&>°)所得的弦長為舊，點“，卻在圓。上，且直線

I'-(1+2m)%+(根一1))/—3爪=0過定點2，若PM1PN,則|MN|的取值范圍為()

A.[2-/2,2+73]B.[2-A<2,2+A<2]

C.[/6-AA2,76+<3]D.[/6-<2,76+AA2]

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列給出的命題中正確的有()

A.若他，瓦可是空間的一組基底，則自+瓦3+不1-研也是空間的一組基底

B.點P為平面4BC上的一點，點。是平面ABC外一點，且加=g成一%函+y元(x,y€R),則x-y=

_2

-3

C.若直線/的方向向量為E=(1,0,3),平面a的法向量為元=(-2,0,|),則直線1〃a

D.己知]=(1,1,0)5=(2,1,1),貝囁在3上的投影向量為(1[[)

10.下列給出的命題中正確的有()

A.若直線-y+1=0與1：(m-l)x+my+2=0互相垂直，則實數(shù)m=0或小二,

B.直線1經過點(1,4),且點4(—2,2),8(4,—2)到直線1的距離相等，則直線/的方程為2x+3y—14=0

C.若圓(x-3)2+(y+5)2=/上有且只有兩個點到直線4%-3y=2的距離為1,則4<r<6

D.若直線y=K+b與圓久2+y2=i6交于4、B兩點，且|瓦？+命|=|瓦5-濟|(其中。為坐標原點)，則

實數(shù)6=±4

11.已知圓M：x2+(y-2)2=1,以下四個命題表述正確的是()

A.若圓/+y2-8%-10y+m=0與圓M恰有一條公切線，則m=5

B.直線(2m+l)x+y—m—1=0與圓M恒有兩個公共點

C.過點P(2,0)作圓M的兩條切線，切點分別為2,B,則直線4B的方程為2x-2y+3=0

D.點E在圓M上，點尸在圓N：(x—3)2+(y+l)2=36上，則|EF|的最小值為5-

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

2心

12.已知橢圓的標準方程為2短+與=1(巾>0),并且焦距為6,則實數(shù)機的值為/K

,底面4BC0是邊長為2的正方形，側棱//\\

13.如圖所示，在四棱錐M—ABC。中

AM=3,且NMA8=/L.MAD=60°,N是CM的三等分點(靠近M點)，則BN的長---y-

為.

14.已知點P為圓G；(%—5)2+/=4上位于第一象限內的點，過點P作圓/+*一2a久+a?-a+

2=0(2<a<5)的兩條切線PM,Pl\1,切點分別為M、N,直線PM,PN分別交x軸于4(1,0),B(4,0)兩

點，則俄=______，\MN\=____

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

如圖，在菱形力BCD中，ABAD=60°,E是4D的中點，將△4BE沿直線BE翻折使點4到達點力1的位置，F(xiàn)

為線段&C的中點.

(1)求證：DF〃平面4BE；

(2)若平面4BE1平面BCDE,求直線&E與平面&BC所成角的大小.

16.(本小題15分)

已知AABC的頂點C(2,-8),直線4B的方程為y=-2%+11,AC邊上的高所在直線的方程為x+3y+

2=0.

(1)求頂點A和B的坐標；

(2)求4A8C外接圓的一般方程.

17.(本小題15分)

如圖，半圓所在的平面與矩形所在平面4BCD垂直，P是半圓弧上一點(端點除外)，4。是半圓的直徑，

AB=1,AD=2.

(1)求證：平面P4B1平面PDC；(2)是否存在尸點，使得二面角B—PC—D的正弦值為苧？若存在，求四

棱錐P—4BCD的體積；若不存在，說明理由.

18.(本小題17分)

已知圓C的圓心在直線3x-y=0上，與x軸正半軸相切，且被直線心X-y=0截得的弦長為2，7.

(1)求圓C的方程；

(2)設點4在圓C上運動，點B(7,6),且點M滿足前=2而，記點M的軌跡為1

①求「的方程，并說明r是什么圖形；

②試探究：在直線I上是否存在定點r(異于原點。)，使得對于r上任意一點P,都有制為一常數(shù)，若存

在，求出所有滿足條件的點T的坐標，若不存在，說明理由.

19.(本小題17分)

已知圓M：(x—3>+y2=9以及圓C：x2+y2=4.

(1)求過點(1,2),并經過圓M與圓C的交點的圓的標準方程；

(2)設。(2,0),過點。作斜率非0的直線二,交圓M于P、Q兩點.

。)過點。作與直線垂直的直線6，交圓”于EF兩點，記四邊形EPFQ的面積為S,求S的最大值；

(ii)設B(6,0),過原點。的直線。P與BQ相交于點N,試討論點N是否在定直線上，若是，求出該直線方程;

若不是，說明理由.

參考答案

l.B

2.A

3.D

4.A

5.C

6.D

7.C

8.D

9.BD

10.AC

U.ACD

12.4^734

14.273

15.(1)證明：菱形4BCD中,ABAD=60°,E是4。的中點,

取的中點G,連接GE,GF,

因為E,F分別為AD,4C的中點，^V\GF//BCS.GF=^BC,

1

DE//BCS.DE=^BC,

所以四邊形GFED為平行四邊形，

所以DF//GE,

又因為DFC平面&BE,GEu平面&BE,

所以DF〃平面4BE；

(2)連接BE,菱形4BCD中,/.BAD=60°,E是4。的中點，

可得8E14D,可得4E1AB,BE1DE,DECtArE=E,

所以力iEu平面力iED,而BEu平面BCDE,平面AiBE_L平面BCDE,

可得aE1平面BCE。，BCu平面ABCD,

所以1BC,

設菱形的棱長為2a,ArE=AE=ja,

BE=—■-2a=V^a，可得S^BCE=3BC-BE=1-2a-y/-3a=>J~3a2,

所以41-BCE=^SABCE-&E=I-y/~3a2-a=^a3>

在菱形ABC。中，BC1BE,ArE1BC,ArE(\BE=E,

所以BC，平面&BE,&Bu平面a/E,

可得BC1&8,

2

所以SA^BE=|BC-ArB—-2a-2a—2a,

設E到平面&BC的距離為h,

則/-ABC=拉ABE,%=苧陋

即寺?2a2?%=亨。3，可得％=苧￡1,

設&E與平面4/C所成的角為a,ae[o,芻,

/3

則s譏ahTa蟲

A^Ea~T

可得a=f.

即直線4E與平面Z/C所成角的大小為最

16.解：(1)由《；丁;;?()，解得[二:3'可得頂點B(7,—3),

又因為4C18H,kBH=-^,

所以設力C的方程為y=3x+b,

將C(2,—8)代入得b=-14,

由仁之;｝解得｛>：，可得頂點gl)，

???頂點/和8的坐標分別為(5,1)和(7,-3).

(2)設△ABC的外接圓方程為％2+y2+o%+Ey+尸=0(￡)2+E2-4F>0),

將4(5,1)、8(7,-3)和C(2,—8)三點的坐標分別代入得：

'5D+E+F+26=0(D=-4

7。-3E+F+58=0,解得E=6

、2。―8E+F+68=0F=-12

所以△ABC的外接圓的一般方程為％2+y2_4%+6y_12=0.

17.解：(1)證明：?.?半圓所在的平面與矩形所在平面4BCD垂直，

又DC14D,又半圓所在的平面與矩形所在平面4BCD的交線為4D,

且DCc^ABCD,

???DC垂直半圓所在的平面，又24在半圓所在的平面內，

DCLPA,又P是半圓弧上一點(端點除外)，力。是半圓的直徑，

PA1PD,且DCnPD=D,

P4_L平面PDC,又P4u平面P4B,

平面P48_L平面PDC；

(2)建系如圖，根據(jù)題意可得:

4(1,0,0),C(-l,l,0),設P(cos8,0,s出。)，8€(0,兀),

由(1)知平面PDC的法向量元=AP=(cos?-1,0,sin。)，

XPC=(-1-cosd,1,-sine~)，麗=(2,0,0)，

設平面P8C的法向量為沆=(x,y,z),

貝也.匹=(-1_cos。)久+y—zs譏蚱0,取沅=?sine,1),

vfn-CB=2x=0

若二面角B-PC-。的正弦值為f，則二面角B-PC一。的余弦值的絕對值為;,

???|cos<m,n>|='-1

Jsin20+lxj(cos—l)2+sin20'

.71—cos20_1

V2—cos20xV2—2cos02

7l+cos+_1

’”(；二2e)=2,°e(0,〃)，

平方解得cos。=0,sind=1,

???存在P為(0,0,1)滿足題意,

此時易得四棱錐P-4BCD的體積為；x1x2x1=|.

18.解:(1)設圓心(t,3t),

則由圓與工軸正半軸相切，可得半徑r=3|t|.

,圓心到直線的距離d=左即=，丞，由7+2t2=「2,解得t=±].

V2

故圓心為(1,3)或(—1,—3),半徑等于3.

???圓與x軸正半軸相切???圓心只能為(1,3)

故圓C的方程為(x-I)2+(y—3產=9.

(2)①設M(x,y),貝!I：AM=(x-xA,y-yA),MB=(7-x,6-y),

(x—x=14—2x

"ly-yAA=12-2y;

(xA=-14+3x

[yA=-12+3y，

,點a在圓c上運動，

(3x-14-l)2+(3y-12-3)2=9,

即：:(3x-15)2+(3y-15)2=9,

(x-5)2+(y-5)2=1,

所以點M的軌跡方程為(x-5尸+(y-57=1,

它是一個以(5,5)為圓心，以1為半徑的圓.

②假設存在一點D(t,t)滿足條件，

Ix2+y2

設P(%y)則：)，二九

J(x-t)2+(y-t)2

整理化簡得：X2+y2=A2(x2-2tx+t2+y2-2ty+t2),

???P在軌跡T上，

(x—5/+(y—5/=1,

化簡得：久2+y2=1Qx+10y_49,

x(10-10/L2+2tA2)+y(10-10Z2+2tZ2)-49+4922-2/l2t2=0,

2

.{10-10"+2t2=0

"49A2-2於?/=49'

解得：仁祭

二存在°偌需)滿足題目條件?

19.解:(1)設所求圓的方程為(％一3產+y2_9=A(x2+y2-4),

又過點(1,2),則4+4-9=4=-1,

所以12—6%+9+y2—9=-x2—y2+4,即/+y2—%—2=0,

故圓的標準方程為Q-1)2+*=*

(2)(i)易知M的圓心M(3,0),半徑r=3,

由直線k過點。且斜率非0,則可設“：kx-y-2k=0,

即點M到直線"的距離l=器理=*=,

Jl+/c2J1+/

8k2+9

故|QP|=2,i一境=2=2