2024-2025學(xué)年高一年級上冊期末復(fù)習(xí)：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 十一大題型歸納（拔尖篇）（含答案）

2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)【第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)】

十一大題型歸納（拔尖篇）（含答案）高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第四章寸

一大題型歸納（拔尖篇）

【人教A版（2019）］

根據(jù)指數(shù)式求參

1.（2023上?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知a*=2,ay=3,x+y=1,則。=（）

A.5B.6C.8D.9

2.（2023上?高一單元測試）設(shè)小=b4=m（a>0,b>0）,且a+b=6,則zn等于（）

A.16B.10

C.2D.81

3.（2023上?全國?高一專題練習(xí)）設(shè)2*=8、+i,9y=3X-9,求％+y的值.

4.（2023?上海?高一專題練習(xí)）求使等式J（a—3）（a2—9）=（3-幻后”成立的實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

題型2、指數(shù)式的給條件求值問題

1.（2023上?福建福州?高一?？计谥校┘褐?=3,則/+12等于（）

A.7B.9C.11D.13

2.（2023上?高一課時(shí)練習(xí)）已知ab=-5,貝的值是

A.2V5B.0

C.-2V5D.±2V5

3.（2023上?廣東廣州?高一?？计谥校┗喦笾?

⑴(T8)°+C)焉+府

(2)若%+%-1=3,求下列各式的值：

①久2+%-2；

1_1

②式5—x~.

4.（2。23上江蘇連云港?高一統(tǒng)考期中）已知6一親=有,求下列各式的值.

(l)a+QT

⑵汨

a2+a~2

33

a2-a~2

(3)'

Q—Q—1

比較指數(shù)幕的大小一ci

1.（2023上?河南鄭州?高一?？计谀┰O(shè)a=0.8°-8^=0.809^=O.908,貝！Ja,瓦c的大小關(guān)系是（）

A.c>b>aB.a>b>c

C.a>c>bD.c>a>b

2.（2023上?山東臨沂?高一?？计谀┤粽龑?shí)數(shù)a,6,c滿足c<d<c。<1,則a,6的大小關(guān)系為（）

A.0<a<b<1B.0<b<a<1

C.1<b<aD.1<a<b

3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大小：

(1)1.52-5和H2；

(2)0.6-L2和。.6-L5；

(3)1.7。2和0.92」；

(書必」與a。，。>。且。士1).

4.(2023上?河南南陽?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(%)=a\a>0且aW1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,4).

(1)求a的值；

(2)比較/1(-2)與/1(--2m)(mER)的大小；

(3)求函數(shù)g(%)=a|x-1,(-3<%<3)的值域.

題型4q解指數(shù)不等式

1.(2023上?湖南邵陽?高一統(tǒng)考期末)若搟<(￡)“<(，，則有()

A.a<b<1B.b>a>1C.b<a<1D.a>b>1

2.(2023上?福建廈門?高一統(tǒng)考期末)己知函數(shù)f(x)=a-/為奇函數(shù)，則不等式/(久)<|的解集為(

A.(—2,+8)B.(2,+8)C.(—8,—2)D.(—8,2)

3.(2023下?湖北恩施?高二?？计谀?已知函數(shù)〃久)=心廳的圖像經(jīng)過點(diǎn)4(1,2),5(2,4).

(1)求/(%)的解析式;

⑵解不等式/(/+3x)>/(4).

4.(2023下?江蘇南通?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(久)=4*+租?2工，m&R.

(1)若m=-3,解關(guān)于x的不等式/(x)>4；

(2)若函數(shù)y=/(x)+/(-%)的最小值為-4,求m的值.

指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用。I

1.(2023上?浙江杭州?高一?？计谀?定義在R上函數(shù)y=/(%)滿足/(—切+/(x)=0,當(dāng)x>。時(shí)，f(x)=

x-2x,則不等式f(x++2)+/(I-2%)>0的解集是()

A.[-1,3]B.[0,3]C.[1,9]D.[0,9]

2.(2023上?江蘇泰州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(乂)=2X+2~x,g(x)=m-f(2x)+2/(x)+m.若對于V/G

[0,+oo),3X2G[0,1],使得/(KJ+g(%2)>7成立*則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.(-oo,-l)D.(1,+oo)

3.(2023上?山西朔州?高一統(tǒng)考期末)己知函數(shù)/'0：)=4￡1*9，+(8"3)*31+卷￡1一式￡1611).

(1)若a=；,求/'(X)的值域；

4

(2)若a>3存在實(shí)數(shù)n(m<n),當(dāng)/(x)的定義域?yàn)閇科團(tuán)時(shí)，/(x)的值域?yàn)閇37n+1,3n+1],求實(shí)數(shù)a的取

8

值范圍.

4.(2023?高三課時(shí)練習(xí))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(久)=手是奇函數(shù).

2x+a

⑴求。、6的值;

⑵用定義證明f(X)在(-8,+8)上為減函數(shù)；

(3)若對于任意teR,不等式-2t)+/(2產(chǎn)一k)<0恒成立，求上的范圍

指、對數(shù)方程的求解

1.（2022?安徽合肥?合肥一六八中學(xué)校考模擬預(yù)測）方程ln（log3X）=0的解是（）

A.1B.2C.eD.3

2.（2023上?河北保定?高一?？计谀┘褐猘是方程尤+Igx=3的解，b是方程2x+100x=3的解，則a+2b

為（）

33

A.--B.-C.3D.-3

22

3.（2023下?湖南岳陽?高一?？茧A段練習(xí)）解關(guān)于x的方程：

（l）（x2—5x+5）X2-11X+30=1

x

（2）log4（2+48）=x-1

4.(2023上?高一課時(shí)練習(xí))解關(guān)于x的方程.

(1)log2(x+4)+log2(x-1)=1+log2(x+1)；

(2)lg(2x+2x-16)=x(l-lg5).

帶附加條件的指、對數(shù)問題一

1.（2023上?遼寧葫蘆島?高一校考期末）已知2。=15,1。883=6,貝1]2。-36=（）

26弓

A.25B.5C.—D.-

93

2.（2023上?天津?高三統(tǒng)考期末）若；dog23=1,貝歸、+3T的值為（）

35

A.-B.2C.-D.3

22

3.（2023上?遼寧丹東?高一統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)a,b滿足3a=2,Mog34=1.

(1)用a表示log34-log36；

(2)計(jì)算9a+9-a+4b+4-〃的值.

2-

4.(2023上?四川遂寧?高一統(tǒng)考期末)已知a+log220-log25=J(-3)2-st-9-811-(lg5)°,6=

6

log7(49-12).

⑴求a,b的值；

(2)若(a+l)c=3,用b,c表示Iog4gl8的值.

對數(shù)式的大小比較一

1.（2023上?甘肅定西?高一統(tǒng)考期末）已知a=log3jb=logz：,c=2-。,2,貝!Ja,b,c的大小關(guān)系是（）

234

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>a>b

2.（2023下?山東威海?高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（%）=3因，若a=/（log52）,b=/（Igi）,c=/（log2510）,

4

則（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?/p>

(l)lg0.6,lg0.8；

⑵嗨/，log0.54;

(3)logm5,logm7；

(4)log35與10g6@

4.(2022?高一課時(shí)練習(xí))比較a,b,c的大?。?/p>

22

(1)已知a=(log2x),b=log2%,c=log2(log2x)；

(2)已知a=log36,b=log510,c=log714.

解對數(shù)不等式。I

1.(2022上?安徽合肥?高一?？茧A段練習(xí))不等式log3(2x-1)<2的解集為()

A.(一8勺B.(1,5]

C.(—8,5]D.(―8,3

2.(2023上?重慶江北?高一?？计谥?已知函數(shù)/(x)=]，若關(guān)于了的不等式<

f(a久+1)的解集中有且僅有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A」W)U(|,|]B,[-l,-|]u[j,l]

C.(一言D,(-|)|)

3.(2022上?新疆烏魯木齊?高一?？计谀?已知函數(shù)/(%)=loga(x+4),g(%)=loga(2-%),其中0<a<1.

(1)解關(guān)于％的不等式：/(%)Vg(%)；

(2)若函數(shù)尸(%)=/(%)+g(%)的最小值為-1,求實(shí)數(shù)a的值.

4.(2023上?甘肅天水?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)=log/(。>0且"1)在住,可上的最小值為-1.

(1)求a的值;

(2)若函數(shù)/(%)滿足：V%i，%2E(0,+8)且%1<%2,/(%i)</(x2),求滿足0</(/(%))<1的元的取值范圍.

題型10N對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用

2

1.(2023上?北京?高一?？计谀?若函數(shù)y=logo,2(x-2ax+6)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍

為()

A.*)B.[2,j]C.[2,1]D.[2,1)

2.(2023上?甘肅定西?高一統(tǒng)考期末)已知f(x)=-2+log2雪，則不等式/(2%+2)+/(2%)<-4的解

2-X

集為()

AcD

-(UB.-(°4)-(t-以

3.(2023下?山東濱州?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)=log2(4x+a?2*+16),其中aeR.

(1)當(dāng)a=—10時(shí)，判斷函數(shù)/(久)的奇偶性，并說明理由；

(2)當(dāng)％E[2,+8)時(shí)，/(%)>久恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.(2023上?河南鄭州?高一?？计谀?已知函數(shù)f(%)=log4；-logV2^.

(1)求函數(shù)/(%)的值域；

(2)解關(guān)于％的不等式/(久)>3；

(3)若對任意的％E[2,4],不等式/(2%)-a?log?%+1Z0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型n■利用圖象交點(diǎn)來處理函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)問題O|

p尤-I-[VV0

?2A1QF、八，9(%)=-—a%+1,若y=

{\X-4%+JI，%>U

有6個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為()

A.卜與B.(|潦)C.(3收)D,(|,3]

2.(2023下?云南保山?高一統(tǒng)考期末)己知/(%)=[,若方程/(久)=m(meR)有四個(gè)不

—4%+5,x>1

同的實(shí)數(shù)根%則第1,%2，%3，％4的最小值是()

A.2B.3C.4D.-3

3.(2023下?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)=研久—1|+小一a|—/a〉0)有三個(gè)零點(diǎn)，

x1,x2,x3<x2<x3).

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若2/>%2冷，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

4.(2023上?陜西西安?高一校考期末)已知函數(shù)/(%)=石石，g(%)=log。?(a〉0且a。1),g(%)為奇

函數(shù).

(1)求匕的值；

(2)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式g(%)>1的解集；

(3)若關(guān)于％的方程(久)]2-(血一l)/(x)-3=0有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第四章十一大題型歸納(拔尖篇)

【人教A版(2019)]

根據(jù)指數(shù)式求參—01

1.(2023上?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)已知〃=2,#=3,久+y=1,則a=()

A.5B.6C.8D.9

【解題思路】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

【解答過程】由于a'a〉=ax+y-6,.'.a-6,

故選：B.

2.(2023上?高一單元測試)設(shè)a?-b4-m(a>0,b>0),且a+b-6,則m等于()

A.16B.10

C.2D.81

【解題思路】根據(jù)給定條件，用b表示出a,再求出b即可計(jì)算作答.

【解答過程】由a>0,b>0,a2=b4,得a=Z?2,而a+b=6,則有62+。=6,解得b=2,

所以m-b4=24=16.

故選：A.

3.(2023上?全國?高一專題練習(xí))設(shè)2*=8>+i,9y=3>9,求乂+y的值.

【解題思路】直接由指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)列出方程組即可求解.

【解答過程】因?yàn)?，=8>1,所以*=233+1),即x=3(y+l).

又9y=3=9,所以32y=3"9,即2y=%—9,

由際(露)，解得｛已，

故x+y的值為27.

4.(2023?上海?高一專題練習(xí))求使等式，(a—3)(a?—9)=(3-a)V^7忑成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】由J(a—3)(a2—9)=J(a-3/(。+3)=|a—3|行心成立，即可得出｛:；；梵，解得即

可.

【解答過程】J(a—3)(。2—9)=-J(^a—3)2(a+3)=|a—3|>/a+3,

要使|a-3|Va+3=(3-a)V^不可成立，

(Q—3Vo

需Iz、c解得“￡[-3,3].

la+3>0,

題型2卜、指數(shù)式的給條件求值問題

1.(2023上?福建福州?高一校考期中)已知x+xT=3,則/+%-2等于

A.7B.9C.11D.13

【解題思路】把已知等式兩邊平方即可求得答案.

【解答過程】由x+%T=3,

兩邊平方得：(X+X-1)2=9,

BP%2+X-2+2=9,

???x2+x~2=7.

故選:A.

2.(2023上?高一課時(shí)練習(xí))已知防=-5,貝必J-l+bJW的值是

A.2V5B.0

C.-2V5D.±2V5

【解題思路】由題意結(jié)合根式的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

【解答過程】由題意知尤＜0,

ag+b：V5.,V5

=嗝+嘀

由于abV0,故卷=一卷，則原式=0.

\a\網(wǎng)

故選B.

3.(2023上.廣東廣州?高一?？计谥?化簡求值：

⑴(一")。+()，府一直+停

(2)若%+%T=3,求下列各式的值：

①%2+%-2；

1_1

@X2—X~2.

【解題思路】(1)由指數(shù)塞運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算求解即可:

(2)①將原式平方后求解即可；②設(shè)裝—x《=3平方后求解即可.

【解答過程】⑴原式=(-1.8)°+(|)"2Xy囪

一3+忡

V0.01

2

/2\72/27\313

=1+(-1X(―)--+92

\3/\8/0.1

2

4F/3\3P3

=1+§X(2)-10+(32”

2

4/3\R

=l+gx閆—10+33

49

=1+-X--10+27

94

=19

(2)①??次+x-1=3,(x+%-1)2=9,即％2+2x-%-1+%-2=9,.*.x2+2+x-2=9,

Ax2+%-2=7.

11z1lx211

②當(dāng)先>0時(shí)，設(shè)式5—%—5=3貝—=t2,即%—2%5?=產(chǎn)，Ax+X-1—2=t2,

又??"+%-1=3,t2=3—2=1,t=+1.

i_ii_i

%2—X-2=1或X?—X-2=—1.

4.（2023上?江蘇連云港?高一統(tǒng)考期中）已知?dú)v-嘉=有，求下列各式的值.

(l)a+a^1

3_3

O、a2+a2

a2+a~2

33

⑶

【解題思路】（1）根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算，結(jié)合完全平方公式即可求解,

（2）根據(jù)指數(shù)塞的運(yùn)算，結(jié)合立方和的公式即可化簡求解,

（3）由立方差的公式，化簡即可求解.

【解答過程】由仿—可知

(1)y7j=a=V5,Q>0,

因?yàn)?成—=a+a-1—2=5,故a+a-1=7.

力al+a-I(a2+af(a-l+aT)_

(2)----f=------------1------i----------=a—1+a=6.

a2+a_2a2+a-2

(3)由(1)知Q+QT=7,所以(原+。-5)=a+a-1+2=9,

又因?yàn)樽?a號(hào)>0,所以/+a號(hào)=3,

所以2a+l+a-1_8

-iF=o-

a2+a-23

比較指數(shù)幕的大小

1.(2023上?河南鄭州?高一?？计谀?設(shè)a=0.8S8,b=0.8S9,c=0.9S8,則見的大小關(guān)系是()

A.c>b>aB.a>b>c

C.a>c>bD.c>a>b

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較a,b的大小，由募函數(shù)的性質(zhì)比較a,c的大小，即可得答案.

【解答過程】解：令=0.8，

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)在R上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?.8<0.9,

所以f(O8)>/(0.9),

BPO.808>O,80-9,

所以a>b,

令g(x)=x0'8,

由幕函數(shù)的性質(zhì)可知g(x)=x"在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?.8<0.9,

所以g(0.8)<5(0.9),所以0.8。8<O.809,

即a<c,

所以6<a<c.

故選：D.

2.(2023上?山東臨沂?高一?？计谀?若正實(shí)數(shù)a,b,c滿足c<a<c。<1,則a,b的大小關(guān)系為(

A.0<a<b<1B.0<b<a<1

C.1<b<aD.1<a<b

【解題思路】根據(jù)已知可得0<c<l,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案.

【解答過程】因?yàn)閏是正實(shí)數(shù)，且c<l,所以0<c<L則函數(shù)y=/單調(diào)遞減.

由c<cb<ca<1,可得c1<cb<ca<c°,所以0<a<b<1.

故選：A.

3.(2023?全國?高一專題練習(xí))比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

(1)1。2?5和1卬-2；

(2)0.6T2和0.6-"；

(3)1.7°-2^0.921；

(4)ai，與a°，3(a>0且a豐1).

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可比較大小.

【解答過程】(1)1,523和1.532可看作函數(shù)y=1.5,的兩個(gè)函數(shù)值，

由于底數(shù)1.5>1,所以函數(shù)y=1,5工在R上是增函數(shù)，因?yàn)?.5<3.2,所以IS?'<1.53-2.

(2)0.6T2和0.6-"可看作函數(shù)y=0.6、的兩個(gè)函數(shù)值，

因?yàn)楹瘮?shù)y=0￡x在R上是減函數(shù)，

>-1.2>-1.5,所以0.6T2<0.6-1-5.

(3)由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，1.7。-2>1.7°=1,0.921<0.9°=1,

所以1.7°，2>0.921.

(4)當(dāng)a>1時(shí)，丫=<2》在R上是增函數(shù)，故

當(dāng)0<a<1時(shí)，曠=產(chǎn)在區(qū)上是減函數(shù)，故a】。<a°，3.

4.(2023上?河南南陽?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(久)=(1*((1〉0且。片1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,4).

(1)求a的值；

(2)比較/(—2)與/(ni2-2m)(mGR)的大小；

(3)求函數(shù)g(久)=a|z-1|(-3<x<3)的值域.

【解題思路】(1)直接代入即可求出a值；

(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可比較大??；

(3)求出0<|%-1|<4,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域即可得到答案.

【解答過程】(1)因?yàn)?(0=〃的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,4),

所以a4=4,又a>0且a*1,所以a=A/2.

(2)因?yàn)轸~>1,所以f(x)=(魚尸在R上單調(diào)遞增.

又因?yàn)镠i?—2m—(—2)—(m—l)2+1>0,所以_2m>—2,

所以/'(-2)<f(m2-2m).

(3)當(dāng)一3WxW3時(shí)，-4WX-1W2,則0S|x-1|W4,

所以(注)°<(必U<(V2)4,即1<(aIf<4,

所以g(%)的值域?yàn)榭?4].

題型4[解指數(shù)不等式。|

1.(2023上?湖南邵陽?高一統(tǒng)考期末)若稱<(j)a<(|)\則有()

A.a<b<1B.b>a>1C.b<a<1D.a>b>1

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【解答過程】?/函數(shù)y=(J"在R上是減函數(shù)，又［<(|)0<(|)\

.\b<a<1.

故選：C.

2.(2023上?福建廈門?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(久)=a-言為奇函數(shù)，則不等式<|的解集為()

A.(—2,+8)B.(2,+8)C.(—8,—2)D.(—8,2)

【解題思路】根據(jù)/(x)是奇函數(shù)求出參數(shù)a的值，求解不等式.

【解答過程】函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽,又/(X)為奇函數(shù)，所以〃0)=a-l=0,故a=L經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；

不等式即1—六<3系>：，2X+1<5,2X<4,所以x<2.

52X+152X+15

故選：D.

3.(2023下?湖北恩施?高二?？计谀?已知函數(shù)/(久)=a?廳的圖像經(jīng)過點(diǎn)力(1,2),B(2,4).

(1)求的解析式;

(2)解不等式/(/+3%)>f(4).

【解題思路】(1)把點(diǎn)4B的坐標(biāo)代入/⑺解析式，得到關(guān)于a,匕的方程組，解出a,b的值，即可得到/(%)

的解析式；

(2)根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性可得/+3X>4,進(jìn)而求出x的取值范圍.

【解答過程】(1):函數(shù)/(%)=。?廳的圖像經(jīng)過點(diǎn)4(1,2),5(2,4)，

解得｛二，

??.f(x)=2%；

(2)因?yàn)楹瘮?shù)/(久)=2%在R上單調(diào)遞增，

所以不等式f(/+3%)>/(4),等價(jià)于％2+3%>4,

解得％<一4或久>1,

即不等式的解集為｛式［%<一4或%>1］.

4.(2023下?江蘇南通?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=4%+zn-2%,mER.

(1)若租=-3,解關(guān)于%的不等式/(%)>4；

(2)若函數(shù)y=/(%)+/(-%)的最小值為-4,求m的值.

【解題思路】(1)因式分解得到(2%+1)(2第一4)>0,結(jié)合2工+1>0,得至屹％-4>0,求出解集；

(2)變形得到丫=9。)=產(chǎn)+爪./；—2=?+￡)2—日—2,122,結(jié)合函數(shù)對稱軸，分兩種情況，由函

數(shù)最小值列出方程，求出機(jī)的值.

【解答過程】(1)6=一3時(shí)，由f(%)=4,-3X2,>4得，

4X-3X2X-4>0,(2X+1)(2X-4)>0,

因?yàn)?丫+1>0,所以2工一4>0,解得x>2,

所以原不等式的解集為(2,+8).

(2)因?yàn)閥=f(x)+f(-x)=(4X+4-x)+m-(2x+2-x)=(2X+2-x)2+m-(2X+2-x)-2,

令t=2X+2-X,因?yàn)?工>0,

所以t=2工+2T2272,?2T=2,(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取得等號(hào))

則y=g(t)=產(chǎn)+m?t-2=(t+--2,t>2,

①當(dāng)一半W2,即爪2-4時(shí)，g(t)在[2,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)七=2,即％=0時(shí)，ymin=2m+2,

所以2TTI+2=—4,解得=—3,符合題意；

②當(dāng)>2,即mV—4時(shí)，

g(t)在[2,-耳上單調(diào)遞減，在[-果+8)上單調(diào)遞增，

HC---Tym--V-?

Zm4

2

所以一？—2=-4,解得加=±2&,不合題意，舍去.

4

綜上，山的值為-3.

指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用。|

1.(2023上?浙江杭州?高一校考期末)定義在R上函數(shù)y=/(久)滿足f(一刈+f(x)=0,當(dāng)％>0時(shí)，/(%)=

x-2x,則不等式〃％+2?+2)+/(1—2切20的解集是()

A.[-1,3]B.[0,3]C.[1,9]D.[0,9]

【解題思路】先根據(jù)定義判斷f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增以及函數(shù)為奇函數(shù).則原不等式可化為+2爪+

2)2/(2X—1).進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可列出不等式x+2石+222x—1,求解不等式即可得出答案.

【解答過程】Vx1,x2>0,且<x2.

X1

則/(%i)—/(x2)=%1-2%—x2-2物=(x1—%2).2%+x2-(2—2支2),

因?yàn)橄?lt;%2，％2>°，所以2%<2酸，所以2右一2次<0,

所以JOi)<0，

所以yOi)<y(x2),所以/'(%)在(o,+8)上單調(diào)遞增.

又/(-乃+/(%)=o,所以『(%)為奇函數(shù).

又%>o時(shí)，有/⑺>/(。)=0,

所以，x<0時(shí)，有/'(x)<0.

由f(X+2-\/x+2)+f(l-2x)20可得，

/(%+2\[x+2)>—/(I-2%)=/(2x-1).

因?yàn)閤+2A/X+2=(Vx+1)+1N1,

所以由/"(x+'2.yj~x+2)2f(2x—1)可得，x+~2.y[x+222x—1,

整理可得x——3M0,BP(Vx+1)—3)<0,

顯然石+1>0,所以有SE-3WO,解得04xW9.

所以，不等式的解集為[0,9].

故選：D.

2.(2023上?江蘇泰州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/'(x)-2X+2~x,g(x)=m'/(2x)+2/(x)+m.若對于6

[0,+8),三工26[0,1],使得/。1)+9(久2)>7成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(—8,0)B.(0,+8)C.(—8,—1)D.(1,+8)

【解題思路】把G[0,+00),3X2e[0,1],/(%1)+g(%2)>7成立，轉(zhuǎn)化為g(%2)max>[7-f(%i)]max，

逐步求解，即可得到本題答案.

【解答過程】因?yàn)閒(%)=2X+2~x,所以/(2X)=22X+2-2%=(2、+2r)2-2=/2(x)-2,

所以g(%)=m?/(2x)+2/(%)+m=m[/2(x)—2]+2/(%)+m=m/2(x)+2/(%)—m.

設(shè)0W/<久2,因?yàn)閒01)一f(X2)=2巧+2-xi—(2次+2-Xz)=沖-2；震什J)<0,即f(Xi)<f(%2)

所以〃x)在[0,+8)單調(diào)遞增，最小值為"0)=2,

因?yàn)閂%1G[0,+oo),3%2W[0,1])/(%1)+g(%2)>7,即g(%2)>7—/(%1),

所以9(%2)max>[7—/(%i)]max=5,

令t=/(%2)，易得所以(加產(chǎn)+2t—7H)max>5,即TH>,

L2」\c-l，min

顯然〃t)=/在[2圖的最小值為0,所以加>0,即巾的取值范圍為(0,+8).

故選:B.

3.(2023上?山西朔州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/■(x)=4ax9x+(8a—3)x3，T+￡a—1(aeR).

(1)若a=；,求f(x)的值域；

4

(2)若存在實(shí)數(shù)血，n(m<n),當(dāng)f(%)的定義域?yàn)椋劾脮r(shí)，/(%)的值域?yàn)椋?優(yōu)+乙3",求實(shí)數(shù)a的取

8

值范圍.

【解題思路】(1)首先得到/(%)解析式，令”=3工,146(0,+8)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域；

(2)首先可得/(乃在R上單調(diào)遞增，則問題轉(zhuǎn)化為f(x)=3，+】在R上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令t=3L則問

題轉(zhuǎn)化為4at2+(4)t+詈-(=0在(0,+8)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，根據(jù)一元二次方程根的分布得到

不等式組，解得即可.

【解答過程】⑴若a=:則/'(%)=>—3*T—令iz=3”,aC(0,+oo),

436

令y=一三一E(o,+8),二次函數(shù)開口向上，對稱軸為a=g

3366

所以/'(X)的值域?yàn)椋?1,+8);

(2)因?yàn)閍>：,所以f(%)在R上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)/(%)的定義域?yàn)椋踡,n］時(shí),/(%)的值域?yàn)?

pnf/(m)=3力+i

If(n)=3n+1

即/(%)=3%+i在R上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

即4aX9%+管-4)X3%+等-；0在R上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

令力=3x,tE(0,+8),所以4at2+得一4)力+等一［=。在(0,+8)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,

(8a4

一匚>0

8a

所以《--i>0,解得

9313

盧=得_4)2_4x4a(詈-§>0

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為QI，1).

4.(2023?高三課時(shí)練習(xí))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X)=篙二是奇函數(shù).

2x+a

⑴求a、6的值;

⑵用定義證明f(X)在(-8,+8)上為減函數(shù)；

(3)若對于任意teR,不等式/(產(chǎn)-2t)+f(2f2一k)<0恒成立，求左的范圍

【解題思路】(1)由f(0)=0可求得b=1;根據(jù)奇函數(shù)定義知f(—x)=—f(x),由此構(gòu)造方程求得

(2)將函數(shù)整理為/0)=言一1,設(shè)亞>/，可證得外次)一/(/)<0，由此可得結(jié)論;

(3)根據(jù)單調(diào)性和奇偶性可將不等式化為3t2—2t-k>0恒成立，利用判別式求解即可.

【解答過程】(1)/(%)=募是定義在R上的奇函數(shù)，:/(-%)=—f(x)且f(0)=0,

,?1/(0)==0,解得：6=1,

rf、1-2X、1-2-X1-2X

/X)=行，fl)=F=-17^7

，_1-2%__1—2%

2x+al+a-2x，

2%+a=1+a?2%,解得：a=1；

當(dāng)a=l,b=l時(shí)，/(x)=

???f(-x)=言5=蕓=-/(X),滿足/(X)為奇函數(shù);

綜上所述：a=1,b=1；

(2)由(1)得：/(燈=貳=嗡生

2*+1'

2_2(2肛一2%2)

設(shè)%2>%1>貝！1/(y2)—/(X1)=

2%1+1-(2X2+1)(2XI+1)

2久2>2網(wǎng)>0,2次+I>2肛+1>1,-2血<0,

???/(x2)-/(%1)<0,

.,?/(X)在(一8,+8)上為減函數(shù)；

(3)由/"(/一2t)+f(2f2—k)<0得：f(t^—2t)<—f(2/—k),

又/⑺為R上的奇函數(shù)，-f(2t2—k)=f(-2t2+k),

.-?/,(t2-2t)<y(-2t2+fc),

由(2)知：f(x)是定義在R上的減函數(shù)，

二產(chǎn)—2t>—2t2+k,即3t2—2t—k>。恒成AL.

所以只需A=(-2)2-4x3x(-fc)<0,

解得k<-|，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為(—8,—

4指、對數(shù)方程的求解

1.(2022?安徽合肥?合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測)方程In(log3X)=0的解是()

A.1B.2C.eD.3

【解題思路】利用指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果.

【解答過程】*.*In(log3x)=0,.".Iog3x=e0=1,'.x=3.

故選：D.

2.(2023上?河北保定?高一校考期末)已知a是方程x+Igx=3的解，6是方程2x+100x=3的解，則a+2b

為()

A.--B.-C.3D.-3

22

【解題思路】依題意，設(shè)t=Iga,利用指對數(shù)互化可得W+t=3,再將2b+100b=3化簡可得2b+102b=

3,即可求出a+2b的值.

【解答過程】因?yàn)閍是方程x+Igx=3的解，所以a+Iga=3,

令t=Iga,則有a=10%

所以10。+t=3,①

因?yàn)閎是方程2x+10(T=3的解，所以26+1008=3,即2b+102b=3,②

設(shè)/(x)=10x+x,易知f(x)在R是單調(diào)遞增,

由①②得，t=2b,所以Iga=2b,

代入a+Iga=3得，a+2b—3,

故選：C.

3.(2023下?湖南岳陽?高一?？茧A段練習(xí))解關(guān)于X的方程:

(1)(r-5X+5)鏟-33。=1

x

(2)log4(2+48)=x-l

【解題思路】(1)根據(jù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)即可求解，

(2)根據(jù)對數(shù)與指數(shù)的互化，即可由二次方程求解.

【解答過程】(1)因?yàn)?/-5X+5)/TIX+30=I,所以

①1—5%+5力0

°lx2-llx+30=0解得x=5或x=6；

②產(chǎn)-5x+5=1,解得x=4或x--1；

③/-5%+5=-1,解得x=2或x=3,

當(dāng)％=2時(shí)，x2—llx+30=12,符合題意；

當(dāng)久=3時(shí)，x2—llx+30=6,符合題意；

綜上，方程的解為％=1或％=2或久=3或％=4或％=5或%=6；

(2)由log4(2,+48)=x-1得2丫+，TX2X

48=4^4-2,

所以(2X)2一4x2》一48x4=0今(2*—16)(2,+12)=0,

由于2*+1240,所以2*-16=0,故x=4,

故方程的解為x=4.

4.(2023上?高一課時(shí)練習(xí))解關(guān)于久的方程.

⑴log2(x+4)+log2(x-1)=l+log2(x+1)；

(2)lg(2x+2x-16)=x(l-lg5).

【解題思路】(1)先求得x應(yīng)滿足的條件，再將對數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，解方程即可得解.

(2)根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，將方程化簡，即可求解.

【解答過程】(1)log2(x+4)+log2(x-1)=1+log2(x+1)

所以X應(yīng)滿足X>1

由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可將方程化為log21(x+4)(%-1)]=log2[2(x+1)]

???(x+4)(x-1)=2(x+1)

???x=2或x---—3.

因?yàn)閤>1

???x=2

(2)lg(2x+2x-16)=x(l-lg5)

所以x應(yīng)滿足萬+2%-16>0

根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),1-lg5=lg2

則原方程可化為3(2芯+2x-16)=lg2x

2x+2x-16=2X

■?■%=8

經(jīng)檢驗(yàn)，久=8符合題意.

帶附加條件的指、對數(shù)問題U

1.(2023上?遼寧葫蘆島?高一校考期末)已知2a=15,log83=6,貝吃右3b=()

255

A.25B.5C.-D.-

93

【解題思路】先由對數(shù)公式把a(bǔ),b化簡，然后代入2加3b即可求解.

【解答過程】由題意可得2a=15=>a=log215,b=log83=log2s3=|log23,

所以a-3b=log215-3xilog23=log215-log23=log2(￡)=log25,

所以2。-3b=2I0g25=5

故選：B.

2.(2023上?天津?高三統(tǒng)考期末)若xlog23=1,則3，+3-x的值為()

35

A.-B.2C.-D.3

22

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合指數(shù)式與對數(shù)式的互化求出33再代入計(jì)算作答.

【解答過程】因?yàn)閤log23=l,則log23，=l,因此3,=2,

所以3才+3-'=2+|=|.

故選：C.

3.(2023上?遼寧丹東?高一統(tǒng)考期末)已知實(shí)數(shù)a