2024-2025學年貴州省印江土家族苗族自治縣高二年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）

2024-2025學年貴州省印江土家族苗族自治縣高二上學期12月聯(lián)考

數(shù)學試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6},集合N={2,4},集合8={1,4,6},貝1]佝田門8=()

A.{3,6}B.{1,4,6}C.{1,6}D.{456}

2.已知復數(shù)z=（2+i）i,其中i為虛數(shù)單位，則丁的值為（）

A.V3B.V5C.3D.5

3.已知。=bg2().2,b=20-2,c=O.203,則有()

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a

4.空間中有兩個不同的平面a、尸和兩條不同的直線機，",則下列說法中正確的

是（）

A.若a〃6，m||a,nlip,貝!JB.若a〃6，mlla,nL/3,則加_L〃

C.若aJ■夕，mlla,mlln,則"1■/D.若a〃/，mlla,mlln,則“〃萬

5.命題“也?1,2],/-。40”為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.tz<4B.a>4C.a<5D.a>5

6.已知sin[a+m；-sina=j,則cos(2a+m]=()

5151

A.—B.—C.-D.-

9999

7.已知某圓錐的底面半徑和球的半徑都為G，且它們的體積相等，則圓錐的側(cè)面積

為（）

A.3A/17TIB.2后itC.3/nD.2岳n

8.已知函數(shù)〃芯）="[的圖象與直線h7+44=0有兩個交點（4,匕），（巧，人）

X-1

則尤1+尤2+必+%=（）

A.6B.8C.10D.12

二、多選題（本大題共3小題）

9.學校分別對高一學年和高二年學開展體育水平抽樣測試，測試成績數(shù)據(jù)處理后,

得到如下頻率分布直方圖，則下面說法正確的是（）

B.樣本中高二學年成績在80分以上的人數(shù)高于高一學年成績在80分以上的人

數(shù)

C.樣本中高二學年成績的方差高于高一學年成績的方差

D.樣本中高二學年成績的中位數(shù)高于高一學年成績的中位數(shù)

10.已知函數(shù)〃回=然皿3+?）1>0,。>0,閘苦］部分圖象如圖所示，則下列說法

B.的圖象關(guān)于點對稱

C.將函數(shù)y=2cos12x+mj的圖象向右平移1個單位得到函數(shù)/（x）的圖象

D.若方程［卜）=加在0,5上有且只有一個實數(shù)根，則加的取值范圍是卜石,百）

11.如圖是棱長為2的正方體/BCD-44GA，點?在側(cè)面8CC￡上運動，則下列結(jié)

論正確的有（）

G

B.若M為。2的中點，當/尸〃平面4GM時，4P長度的最小值是產(chǎn)

C.當直線AP與平面/。口4所成的角為60。時，點P的軌跡長度為偵

3

「拒

D.當戶在線段3。上運動時，4P與8。所成角的正弦值取值范圍是爭1

三、填空題(本大題共3小題)

12.若直線4：2尤-町+2=0與直線公x-島+a+l=0平行，則直線4與4之間的距

離為.

22

13.已知圓C|：x+j-2x+4y-4=0-^iac2：x2+j?+4x-2y-4=0的交點為A、

B,則|/刈=.

14.已知球。是棱長為3的正四面體5L48。的內(nèi)切球，E77是球。的一條直徑，P為該

正四面體的棱上的動點，則而.而的取值范圍為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.在某次學科知識競賽的初賽中，共有兩道試題，兩道題都答對者才能進入決

2

賽.現(xiàn)有甲、乙、丙三名學生去參加初賽，他們答對第一題的概率分別是2，

答對第二題的概率分別是:，;，已知甲和丙都答對第一題的概率為:，且

他們?nèi)耸欠翊饘Ω鞯李}之間是互不影響的.

⑴求甲進入決賽的概率；

(2)求甲、乙、丙這三名學生中恰有兩人進入決賽的概率.

16.已知圓M的圓心在＞軸上，且與直線x-y+7=0相切于點尸(-2,5).

⑴求圓M的方程；

⑵若直線/經(jīng)過點。(2后,1)且與圓M相切，求直線/的方程.

17.如圖，在直三棱柱NBC-44cl中，NC=8C=44i=3,AC1BC,M為線段48

上的一點，且3M=2/M,N為線段cq的中點.

⑴求證：/N〃平面4cM；

(2)求二面角B-B.C-M的余弦值.

18.在V/BC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,a=l,^二=四二￡.

cosAcosC

(1)求角A；

(2)若。是線段8c的中點，且/。=1,求又公；

(3)若VA8C為銳角三角形，求V/BC的周長的取值范圍.

19.如圖①所示，四邊形N8C。是直角梯形，AQ^BC,AQ±AB,且

AQ=2BC=2AB=4,。為線段/。的中點.現(xiàn)沿著CD將AQCD折起，使。點到達尸

點，如圖②所示；連接尸2、PB,其中M為線段P4的中點.

(1)求證：DM"PB；

(2)若二面角/-CA-P的大小為60。，則在線段PC上是否存在一點N,使得直線尸8

與平面5ZJN所成角的正弦值為J?若存在，求三棱錐尸的體積；若不存在，請

4

說明理由；

⑶在(2)的條件下，求點A到平面8DN的距離.

答案

1.【正確答案】C

【詳解】由題意自/={1,3,5,6},

所以(與/卜3={1,6},

故選：C

2.【正確答案】D

【詳解】因為復數(shù)z=(2+i)i=-l+2i,

所以1=_l_2i，

貝I]zz=(-l+2i)(-l-2i)=5,

故選：D

3.【正確答案】A

03

【詳解】因為a=bg20.2<log21=0,c=O.2,>0,所以

因為c=0.2°3<0.2°=1,b=20-2>2°=1,所以c<b,

綜上所述，a<c<b.

故選：A.

4.【正確答案】B

【詳解】對于選項A：若a〃a，mlla,nll13,則見〃可能異面，故A錯誤；

對于選項B：若all(3,n10,可知〃_La,

且〃z//a,所以機_L〃，故B正確；

對于選項C：若ml/a,則機與尸不一定垂直，

且加//”，所以〃與萬不一定垂直，故C錯誤；

對于選項D：若all/3,mlla,mlln,則可能有"u￡,故D錯誤；

故選：B.

5.【正確答案】D

【分析】求解命題“匕?1,2],/_〃40，，為真命題時心4,即可根據(jù)真子集求解.

【詳解】命題“\^?1,2],/一。40，，為真命題,則6^/對\^€[1,2卜恒成立，所以

\/max,故°24,

所以命題“Vx--aWO”為真命題的充分不必要條件需要滿足是何?！皚的真子

集即可，由于同心5}是{而"}的真子集，故符合，

故選D.

6.【正確答案】B

【詳解】因為

.「兀).1.61.(a2

sina+-—sma=—sina+—cosa-sina=-eoscr--sma=cosa+-\=—

{3)2222(613

故選：B.

7.【正確答案】A

【詳解】設圓錐的高為〃，則母線長C=』2+(G『=后大.

根據(jù)已知條件有:兀(6b/?=,得〃=4百，所以公5+3=J48+3=百.

故圓錐的側(cè)面積S=小萬］=小與后=3&7兀.

故選：A.

8.【正確答案】C

4r-31

【詳解】/(%)=—丁=4+1，所以/⑶的對稱中心為。，4),

x-1x-1

直線履7+4-左=0可化為歹-4=左(％-1),所以直線經(jīng)過定點(1,4),

所以點(%1，丫1)和點(%2，丫2)關(guān)于點。4)對稱，

22

所以國+工2+必+%=2+8=10,

故選：C

9.【正確答案】ABD

【詳解】對于A中，由高二年級學生成績的頻率分布直方圖，高二年級學生成績的

眾數(shù)位于區(qū)間［80,90］的中點橫坐標，所以眾數(shù)為85,所以A正確；

對于B中，由樣本中高二學年成績在80分以上的人數(shù)的頻率為

(0.04+0.015)x10=0.45,

高一學年成績在80分以上的人數(shù)的頻率為(0.022+0.010)x10=0.32,

所以高二學年成績在80分以上的人數(shù)高于高一學年成績在80分以上的人數(shù)，所以B

正確；

對于C中，由頻率分布直方圖，可得高一學生成績的平均數(shù)為：

(45x0.004+55x0.011+65x0.018+75x0.035+85x0.022+95x0.010)x10=74,

則高一學生成績的方差為：

S；=(45-74)2X0.04+(55-74)2x0.11+(65-74)2x0.18+(75-74)2x0.35

+(85-74)2x0.22+(95-74)2x0.10=l57

高二學生成績的平均數(shù)為：

(45x0.0025+55x0.0025+65x0.005+75x0.035+85x0.04+95x0.015)x10=80.25,

可得高二學生成績的方差為：

s；=(45-80.25)2x0.025+(55-80.25)2x0.025+(65-80.25)2x0.05

+(75-80.25)2X0.35+(85-80.25)2x0.4+(95-80.25)2x0.15^110,

所以樣本中高二學年成績的方差低于高一學年成績的方差，所以C不正確;

對于D中，由高一學生成績的頻率分布直方圖，

可得其中前3個矩形的面積和為(0.004+0.011+0.018)x10=0.33,

前4個矩形的面積和為(0.004+0.011+0.018+0.035)x10=0.68,

所以高一學生成績的中位數(shù)位于[70,80]之間，設中位數(shù)為七，

貝!|X,=70+--xlO?74.86；

10.35

由高二學生成績的頻率分布直方圖，

可得其中前4個矩形的面積和為(0.0025+0.0025+0.005+0.035)x10=0.45,

前5個矩形的面積和為(0.0025+0.0025+0.005+0.035+0.04)x10=0.85,

所以高二學生成績的中位數(shù)位于［70,80］之間，設中位數(shù)為馬，

貝(］乙=80+些xl0=81.25,其中74.86<81.25,

0.4

所以樣本中高二學年成績的中位數(shù)高于高一學年成績的中位數(shù)，所以D正確.

故選：ABD.

10.【正確答案】AB

【詳解】由函數(shù)圖象可得62,由:芻子朝解得。=2,故A正確;

所以/(x)=2sin(2x+°),

所以已+9=2祈+],keZ,即。=2依+],左EZ,又所以"二g,

丁?/(x)=2sin,

對于B：當x=-1時，=2sin^7i>0,

所以/（X）的圖象關(guān)于點卜了,0）對稱，故B正確;

對于C：將函數(shù)y=2cos（2x+gj的圖象向右平移T個單位得到:

7T71714兀

對于D：當xe0,-時,2Cx+—G

33,3

令上2》+上￡解得04x4j所以〃x）在0,白上單調(diào)遞增，

33212'"L12」

令+2，解得=Vxw],所以〃x）在「白，。上單調(diào)遞減，

233122L122J

又/⑼=2sing=6,

故方程/（尤）=加在"盤上有且只有一個實數(shù)根時，則〃2的取值范圍是

[-V3,V3）u{2},故D錯誤.

故選：AB.

11.【正確答案】ABD

【詳解】底面三角形形44。的面積不變，P到平面的距離為正方體棱長,

故三棱錐/-4尸D的體積不變，故A正確；

取夕月的中點N,連接4C,AN,NC,在正方法體中易證平面/CN//平面4cl

可知，CN//平面4cl故尸點軌跡為線段CN,

所以4P長度的最小值即為A到CN的距離，

又AN=NC=EAC=242,所以NC邊上的高為=拒,

設A到CN的距離為〃，由等面積可知：2邑擔=回，解得：介=2等，B正確;

ac,

設P在平面ZD24的射影為P,點P的軌跡長度即為點尸的軌跡長度,

連接PP',NP,易知PP_L平面PP'=2，

由線面角的定義可知：ZP'AP=60°,

所以k=「空

tan603

所以尸'的軌跡是以A為圓心，半徑為友的四分之一圓周,

所以軌跡長度為Lx27rx也=也兀，C錯誤;

以BC,BA,BBl為x,%z軸建系，

則/（0,2,0）,3（0,0,0）,。（2,2,0）,

又點尸在坐標平面xOz內(nèi)，同時在正方形對角線上，可設尸（"7,0,〃。,（04“Z42）,

則》=（網(wǎng)-2,m），麗=（2,2,0）,

設/尸與所成角為。，

則cos0=IcosAP,5Z)|=2m-4

12加2+4x2A/2

因為/（加）=2一刃，g（優(yōu)）='在04皿42都單調(diào)遞減，且/W"0,g（m”0,

小、1

所以，=（2-切）/,,在04皿42都單調(diào)遞減，

V4m+8

故當修時,c能取得最大值爭當…時’c斕取得最小值。,

所以OVcosev，^,所以D正確.

22

故選：ABD.

12.【正確答案】6

【詳解】由兩直線平行可得°=26,

所以直線4：2x-2岳+2=0,也即x-?+l=0,

又直線，2：x—+2A/3+1=0,

因此直線4與，2之間的距離為d」2"+lT=百.

V1+3

故白

13.【正確答案】372

【詳角星】圓C|：x2+y~—2x+4y—4=0,即（x—1）+（y+2）=9,

則圓心G（l「2）,半徑13；

圓C2：x2+y2+4x-2y-4=0,BP（x+2）2+（y-l）2=9,

則圓心。2(-2,1),半徑々=3；

所以|CC卜J(-2-1『+(1+2)2=3&,所以|「引<|GG|<n+r2,

所以兩圓相交，貝U兩圓公共弦方程為一+/一2苫+4了一4一（尤2+/+4苫-2了一4）=0,

即x-y=09

d”(-2)|.3行

則圓心G（l,-2）到直線x-y=0的距離

"1)22

所以公共弦|4同=257=2{32：殍1=3/2.

故3逝

「31

14.【正確答案】-53

4

【詳解】如下圖所示:

正四面體9C的棱長為3,設其內(nèi)切球的球心為O,連接SO并延長交底面于點G,

易知點G為V/2C的中心，且SGL平面N8C；

連接/G并延長交3c于點。，則點。為3C的中點；且ND13C；

則/。=履2一破=邁,AG=1AD=^-

23

因為SGL平面/BC,4Du平面/3C,所以SGL4D；

可得SG=s/SA2~AG2=46，

易知VABC的面積為SJBC=：BC.AD=3x^~~=;

正四面體體積為—BC=gS-c-SG=Tx&>=岑；

設正四面體西。的內(nèi)切球的半徑為K,則

K-ABC=—O-ABC+^O-SAB+^O-SBC^O-SAC=^O-ABC；

即逑=4』遞院解得八逅;

4344

可知SO=SG-OG=H^,

4

易知萬.麗=（而+國?（而+西，又E尸是球0的一條直徑，所以歷+礪=G；

因止匕而.而=（而+詞?（而+西=用-OE=用

易知當尸為該正四面體的頂點時，止匕時尸O=SO=W1,而?麗=折一.二一|_=3取

4888

得最大值；

當P為該正四面體棱的中點時，此時尸。=而謨二^=生旦，

4

PEPF=PO2-l=l-'I■取得最小值;

8884

3

因此而?麗的取值范圍為-3

故P3

4

2

15.【正確答案】（1）§

⑵二

-108

112

【詳解】（1）由題知：甲和丙都答對第一題的概率為0義5=§,則P=§；

71?

記“甲進入決賽”為事件A,由題知：尸（4）=§><§=,；

（2）記“乙進入決賽”為事件5,記“丙進入決賽”為事件C,

由題知：P（S）=|x|=l;P（C）=|xi=l；

則甲、乙、丙三位學生中恰有兩人進入決賽的概率為

尸⑷尸⑷尸（0+尸⑷尸（與尸（C）+P⑷P（2）尸（c）=|xgx；+；xgx；+gx；x；=2.

16.【正確答案】（1>2+（”3）2=8；

（2）x=2A/2或x—2y[^y=0.

【詳解】（1）方法1：由題意，設圓心加（0力），半徑「，

:圓M經(jīng)過點尸（-2,5）,廠=\MP\=+（5-6）2,

??,圓M與直線x-y+7=0相切,

圓心M到直線x-y+7=0的距離為〃=匹曰=

V2

_|0-/?+7|

,化簡得：6?-66+9=0,解得b=3；

6

則圓心為M（0,3）,半徑q==J（-2）2+（5-3[=2五,

所以圓"的方程為x2+（y-3『=8.

方法2：由題意，設圓心M（0,6）,半徑r；

??,圓M與直線x-y+7=0相切于點P（-2,5）,

7b—5

貝U怎M=0_（_2）=_1,解得6=3；

22

則圓心為M（0,3）,r^\MP\=,J（-2）+（5-3）-241,

所以圓M的方程為/+5-3『=8.

（2）由題意，圓心”（0,3）到直線/的距離為1=2收，且/經(jīng)過點（2行,1）,

①若直線/的斜率不存在，其方程為x=2行，

圓心M（0,3）到直線/的距離為1=2后，顯然符合題意；

②若直線/的斜率存在，設直線/的方程為>-1=左1-2亞'），即日-y+l_2j，=0,

/、_I-3+1-2網(wǎng)「、歷

圓心M（0,3）到直線/的距離為d=?~?=2也，解得左=上，

VPZ14

貝U止匕時直線/的方程為了一1=孝卜一2后），即x-2y/2y=0.

綜上，直線/的方程為無=2啦或》-2岳=0.

17.【正確答案】（1）證明見解析

（2）1

【詳解】（1）證明：連接BN,記m口耳。=￡,連接ME,

由題意知：四邊形BCG4正方形，且N為CG的中點，

BBX=2CN,則ABB'ESANCE,且BE=2NE；

又BM=2AM,:.ME//AN-,

又NN<Z平面BiCM,MEu平面

所以/N〃平面4cM；

（2）由題可知，AC、BC、cq兩兩垂直，

以C為原點，以C4,C3,CG所在的直線分別為x）,z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標系，

z」

：CX

By

因為NC=3C=/4=3,BM=2AM,則有C（0,0,0）,M（2,l,0）,呂（0,3,3）,

則兩=（2,1,0）、西=（0,3,3）,

設平面BXCM的一個法向量為記=（%,y,z）,

m-CM=2x+y=0,、

則一，令％=1,貝I」麗=（1,—2,2）,

麗?CHi=3y+3z=0

由題易知平面防。的一個法向量為方=（1,0,0）,

記二面角5-與。-M的平面角為凡由圖可知：。為銳角，

貝Ucos^=|cosm,=

lxJl+4+4

18.【正確答案】（1）N=]

sirU2sin5-sinC

【詳解】由題及正弦定理可知:

/.siib4cosC=2sinScos4-sinCcos力

/.siiL4cosC+sinCcos/=sin（力+C）=2sin5cos/,

XA+B+C=TI,sinB=2sin5cos/,

sinB>0,cosA=—

2

4￡（0,兀），

222

（2）由（1）及余弦定理得：a=b+c-2bccosAf即1=〃十/一曲，①

又因為/。=—/B+7ZC,貝I=\LLC\,

22（2AB+2AJ

所以1=/2+502+/0,②

444

3

由②x4-①得：bc=~,

所以工皿=LcsiM=

2

(3)由(1)得4=*,則3+。=空，gpsinC=sin|-5^|=—^cos5+^sinS,

33L3)22

22

由正弦定理可知b=用sin5,c=-^=sinC,

I、

所以6+c=sinS+sinC)=2sin5+—cosB=2sinl5+^j.

2J

TT7jrjr

因為V為銳角三角形，所以。。<7-

即聿<2苦，y<S+^<y>則sin,+1；號,1,即2sin/+?。?,2],

則a+b+cE^1+■飛],故VABC的周長的取值范圍為（1+64].

19.【正確答案】（1）證明見解析

⑵存在，%皿=平

⑶正

【詳解