2024-2025學(xué)年滬科版八年級數(shù)學(xué)上冊期末沖刺復(fù)習(xí)：一次函數(shù)實際問題的五種考法（解析版）

專題04一次函數(shù)實際問題的五種考法

目錄

解題知識必備...................................................................................1

壓軸題型講練...................................................................................2

類型一、費用最少問題...........................................................................2

類型二、利潤最大問題...........................................................................6

類型三、最佳方案問題..........................................................................10

類型四、行程問題.............................................................................14

類型五、分段函數(shù)問題.........................................................................21

壓軸能力測評..................................................................................25

??解題知識必備”

L根據(jù)實際問題列一次函數(shù)關(guān)系式

根據(jù)實際問題確定一次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題需要注意的是實

例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定.

①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是一次函數(shù)還是其他函數(shù)，

再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題；

②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化：

有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運用幾何知識建立量與量的等式.

2.一次函數(shù)的應(yīng)用

⑴分段函數(shù)問題

分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要

符合實際；

(2)函數(shù)的多變量問題

解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個變量作為自變量然后根據(jù)問題的條件尋

求可以反映實際問題的函數(shù)

(3)概括整合

①簡單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用②理清題意是采用分段函數(shù)解決

問題的關(guān)鍵.

??壓軸題型講練”

類型一、費用最少問題

先將費用的式子用解析式列出來，根據(jù)一次函數(shù)的增減性分析何時取利潤最大的問題。

例.2024年世界園藝博覽會將在成都舉行，某社區(qū)決定采購甲、乙兩種盆栽美化環(huán)境，若購買20盆甲種盆

栽和10盆乙種盆栽，則需要130元；若購買30盆甲種盆栽和20盆乙種盆栽，則需要220元.

(1)甲、乙兩種盆栽的單價各是多少元？

⑵若該社區(qū)聯(lián)合附近社區(qū)購買甲、乙兩種盆栽共1000盆，設(shè)購買機盆(500<m<700)乙種盆栽，總費用

為W元，請你幫社區(qū)設(shè)計一種購買方案，使總花費最少，并求出最少費用.

【答案】(1)甲種盆栽的單價為4元，乙種盆栽的單價為5元；

⑵當(dāng)購買甲種盆栽和乙種盆栽各500盆時，總花費最少，最少費用為4500元

【分析】

本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程以及函數(shù)關(guān)系式是解答的關(guān)

鍵.

(1)設(shè)甲種盆栽的單價為龍元，乙種盆栽的單價為y元，直接根據(jù)題意列方程組求解即可;

(2)根據(jù)(1)中單價，由費用=單價x數(shù)量列函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)甲種盆栽的單價為X元，乙種盆栽的單價為y元,

20x+10y=130x=4

根據(jù)題意,解得

30x+20y=220J=5

答：甲種盆栽的單價為4元，乙種盆栽的單價為5元;

(2)解：根據(jù)題意，得W=4(1000f)+5-=加+4000,

01>0,500VH7V700,

回卯隨初的增大而增大，

團當(dāng)機=500時，W有最小值，最小值為W=500+4000=4500,

1000-m=1000-500=500（:盆），

答：當(dāng)購買甲種盆栽和乙種盆栽各500盆時，總花費最少，最少費用為4500元.

【變式訓(xùn)練為鍛煉身體，增強體質(zhì)，某戶外俱樂部組織隊員去效游，需要購買雨傘和保溫杯.已知購

買10把雨傘和15個保溫杯需要450元；購買12把雨傘和10個保溫杯需要380元.

⑴求購買1把雨傘和1個保溫杯各需多少元；

（2）若購買雨傘和保溫杯的總數(shù)為30,總費用不少于479元且不多于502元，則有幾種購買方案？

⑶在（2）的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？

【答案】（1）購買1把雨傘需15元，購買1個保溫杯需20元

（2）有五種購買方案

⑶購買24把雨傘和6個保溫杯總費用最少，最少費用是480元

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)

等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出方程和不等式.

（1）設(shè)購買1把雨傘需。元，購買1個保溫杯需6元，根據(jù)購買10把雨傘和15個保溫杯需要450元；購

買12把雨傘和10個保溫杯需要380元，列出方程組，解方程組即可；

（2）設(shè)購買雨傘x把，則購買保溫杯（30-力把，根據(jù)總費用不少于479元且不多于502元，列出不等式組，

解不等式組即可；

（3）設(shè)總費用為攻元，列出w關(guān)于x的函數(shù)解析式圾=15x+20（30-x）=-5X+600,根據(jù)一次函數(shù)的增減

性進行解答即可.

【詳解】（1）解：設(shè)購買1把雨傘需。元，購買1個保溫杯需6元，根據(jù)題意，得：

J10a+15匕=450

[12。+106=380'

1=15

解得：,

[y=20

答：購買1把雨傘需15元，購買1個保溫杯需20元.

（2）解：設(shè)購買雨傘x把，則購買保溫杯（30-x）把，根據(jù)題意，得：

J15x+20（30-x）<502

115x+20（30-%）>479;

“口98121

解得：—<x<—,

x為整數(shù)，

??.X可取20,21,22,23,24,

有五種購買方案.

（3）解：設(shè)總費用為w元，根據(jù)題意，得：

川=15尤+20(30-%)=-5%+600,

5<0,

???w隨x的增大而減小，

,當(dāng)x=24時，卬最小=-5x24+600=480,

答：購買24把雨傘和6個保溫杯總費用最少，最少費用是480元.

【變式訓(xùn)練2】.某超市銷售A、8兩種品牌的鹽皮蛋，若購買9箱A種鹽皮蛋和6箱8種鹽皮蛋共需390

元；若購買5箱A種鹽皮蛋和8箱8種鹽皮蛋共需310元.

(1)A種鹽皮蛋、B種鹽皮蛋每箱價格分別是多少元？

(2)若某公司購買4B兩種鹽皮蛋共30箱，且A種的數(shù)量至少比2種的數(shù)量多5箱，怎樣購買才能使總費

用最少？并求出最少費用.

【答案】(1)4種鹽皮蛋每箱價格是30元，2種鹽皮蛋每箱價格是20元

⑵購買A種鹽皮蛋18箱，8種鹽皮蛋12箱才能使總費用最少，最少費用為780元

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，以及根據(jù)一次函數(shù)增減性求最值.正

確列出方程組和一次函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)A種鹽皮蛋每箱價格是x元，8種鹽皮蛋每箱價格是y元，根據(jù)題意建立方程組，解方程組即可得

解；

(2)設(shè)購買A種鹽皮蛋小箱，則購買2種鹽皮蛋(30-帆)箱，購買A種鹽皮蛋和B種鹽皮蛋共花費w元,

根據(jù)題意列不等式，求出力的取值范圍，再根據(jù)題意列出w與m之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的增減

性即可求出w的最小值.

【詳解】(1)解：設(shè)A種鹽皮蛋每箱價格是尤元，2種鹽皮蛋每箱價格是y元,

9x+6y=390

由題意得:

5x+8y=310

尤=30

解得

y=20

答：A種鹽皮蛋每箱價格是30元，2種鹽皮蛋每箱價格是20元.

(2)解：設(shè)購買A種鹽皮蛋機箱，則購買8種鹽皮蛋(30-加)箱，購買A種鹽皮蛋和8種鹽皮蛋共花費w

元，

由題意得：m>30-m+5,

解得加217.5,

w=30m+20(30-m),

即：w=10m+600,

10>0,

隨機的增大而增大.

當(dāng)加=18時，w取得最小值780,

「.30-機=12.

答：購買A種鹽皮蛋18箱，B種鹽皮蛋12箱才能使總費用最少，最少費用為780元.

【變式訓(xùn)練31.五華，這片土地孕育了深厚的足球文化.從亞洲球王李惠堂到近年來唯一的縣級中超球隊

梅州客家，他們的存在不僅彰顯了五華足球的歷史，更推動了當(dāng)?shù)伢w育事業(yè)的蓬勃發(fā)展.五華某校致力于

發(fā)展足球運動，決定加大投入購買足球和足球錐形桶.在商場發(fā)現(xiàn)若購買20個足球和40個足球錐形桶需

要花費1800元，且購買1個足球錐形桶比1個足球少花30元.

⑴求每個足球和足球錐形桶的單價；

(2)根據(jù)學(xué)校計劃，該中學(xué)需足球、足球錐形桶共120個，且足球的數(shù)量不少于足球錐形桶數(shù)量的;，應(yīng)如

何購買才能使總費用最少？并求出最少費用.

【答案】⑴每個足球的價格是50元，每個足球錐形桶的價格是20元

(2)當(dāng)購買40個足球，80個足球錐形桶時，總費用最少，最低費用為3600元

【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識.

(1)設(shè)每個足球的價格是龍元，每個足球錐形桶的價格是y元，根據(jù)“買20個足球和40個足球錐形桶需要

花費1800元，且購買1個足球錐形桶比1個足球少花30元”列出方程組，解方程組即可求解；

(2)設(shè)學(xué)校購買了足球a個，需要的總費用為卬元，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式W=30a+2400,根據(jù)題意

得到40WaW120,根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)即可得到當(dāng)，=40時，％小值=30x40+2400=3600,問題得解.

【詳解】(1)解：設(shè)每個足球的價格是x元，每個足球錐形桶的價格是>元.

20x+40y=1800

依題意，得

x-y=30

X=50

解得:

y=20'

答：每個足球的價格是50元，每個足球錐形桶的價格是20元;

(2)解：設(shè)學(xué)校購買了足球a個，需要的總費用為W元,

貝i]W=50a+20(120—a)=30a+2400,

<2>^(120-?)

由題意得：

120—aNO

團40WaW120,

團30>0,

團W隨〃的增大而增大,

回當(dāng)。=40時，喔小值=30x40+2400=3600,

120-40=80(個).

答：當(dāng)購買40個足球，80個足球錐形桶時，總費用最少，最低費用為3600元.

類型二、利潤最大問題

口

先將利潤的式子用解析式列出來，根據(jù)一次函數(shù)的增減性分析何時取利潤最大問題。

例.為迎接暑假旅游高峰的到來，某旅游紀(jì)念品商店決定購進A、B兩種紀(jì)念品.若購進A種紀(jì)念品7件,

2種紀(jì)念品4件，需要760元；若購進A種紀(jì)念品5件.8種紀(jì)念品8件，需要800元.

(1)求購進A、8兩種紀(jì)念品每件各需多少元？

(2)若該商店決定購進這兩種紀(jì)念品共100件.考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，這100件紀(jì)念品的資金不少于7000

元，但不超過7200元，那么該商店共有幾種進貨方案？

⑶若銷售A種紀(jì)念品每件可獲利潤30元，B種紀(jì)念品每件可獲利潤20元，用(2)中的進貨方案，哪一種

方案可獲利最大？最大利潤是多少元？

【答案】⑴進A種紀(jì)念品每件需要80元，購進2種紀(jì)念品每件需要50元

(2)該商店共有7種進貨方案

⑶該商店購進A種紀(jì)念品73件，購進2種紀(jì)念品27套，W最大=2730元

【分析】本題考查了列二元一次方程組解實際問題的運用，列一元一次不等式組解實際問題的運用，一次

函數(shù)的解析式的運用，解答時由銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程或不等式是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)購進A種紀(jì)念品每件需要x元，購進B種紀(jì)念品每件需要V元，根據(jù)購買商品的數(shù)量及價格之間的

關(guān)系建立方程組求出其解即可；

(2)設(shè)該商店購進A種紀(jì)念品。件，則購進8種紀(jì)念品(100-。)套，根據(jù)條件中的不相等關(guān)系建立不等式

組求出其解即可；

(3)設(shè)總利潤為W元，根據(jù)總利潤=A種紀(jì)念品的利潤+8種紀(jì)念品的利潤就可以表示出W與。的關(guān)系式,

由一次函數(shù)的性質(zhì)求出其解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)購進A種紀(jì)念品每件需要尤元，購進8種紀(jì)念品每件需要'元，

[7x+4y=760

貝”：5工+8>=800，

答：進A種紀(jì)念品每件需要80元，購進B種紀(jì)念品每件需要50元;

(2)解：設(shè)該商店購進A種紀(jì)念品。件，則購進8種紀(jì)念品(10。-。)套,

一80a+50(100-a)>7000

由題思得180a+5o(ioo_a)47200'

2I

解得：66-<a<73-.

33

。為整數(shù)，

.,.a=67,68,69,70,71,72,73.

該商店共有7種進貨方案；

(3)解：設(shè)總利潤為W元，由題意，^W=30a+20(100-a)=10a+2000,

左=10>0,

隨X的增大而增大，

,該商店購進A種紀(jì)念品73件，購進3種紀(jì)念品27套，%大=10x73+2000=2730(元)，

答：該商店購進A種紀(jì)念品73件，購進B種紀(jì)念品27套，最大利潤是2730兀.

【變式訓(xùn)練11.“一盔一帶"是公安部在全國開展的一項安全守護行動，也是營造文明城市，做文明市民的

重要標(biāo)準(zhǔn)，"一盔"是指安全頭盔，電動自行車駕駛?cè)撕统俗藛T應(yīng)當(dāng)佩戴安全頭盔.某商場欲購進一批安全

頭盔，已知購進2個甲種型號頭盔和3個乙種型號頭盔需要270元，購進3個甲種型號頭盔和1個乙種型

號頭盔需要195元.

⑴甲、乙兩種型號頭盔的進貨單價分別是多少？

⑵若該商場計劃購進甲、乙兩種型號頭盔共200個，且乙種型號頭盔的購進數(shù)量最多為80個.已知甲種型

號頭盔每個售價為55元，乙種型號頭盔每個售價為80元.若該商場將這兩種型號頭盔全部售出可獲利W

元，則應(yīng)該如何進貨才能使該商場獲利最大？最大利潤是多少元？

【答案】⑴甲、乙兩種型號頭盔的進貨單價分別是45元和60元

(2)購進甲種型號頭盔120個、乙種型號頭盔80個才能使該商場獲利最大，最大利潤是2800元

【分析】本題考查一次函數(shù)和二元一次方程組的應(yīng)用，熟練掌握二元一次方程組的解法、根據(jù)各量之間的

數(shù)量關(guān)系寫函數(shù)關(guān)系式并判斷其增減性是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)甲、乙兩種型號頭盔的進貨單價分別是x元和丁元，根據(jù)題意列二元一次方程組并求解即可；

(2)設(shè)購進乙種型號頭盔。個，則購進甲種型號頭盔(200-a)個，根據(jù)"總利潤=甲種型號頭盔的總利潤+

乙種型號頭盔的總利潤"，寫出W與。的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)W隨。的增減性和。的取值范圍，確定當(dāng)。取何

值時卬最大，求出w的最大值，并求出此時購進甲種型號頭盔的個數(shù)即可.

【詳解】(1)解：設(shè)甲種型號頭盔的進貨單價是X元，乙種型號頭盔的進貨單價是y元.

2x+3y=270

根據(jù)題意,

3x+y=195

x=45

解得

y=60

，甲、乙兩種型號頭盔的進貨單價分別是45元和60元.

(2)解：設(shè)購進乙種型號頭盔。個，則購進甲種型號頭盔(200-a)個.

根據(jù)題意，得W=(55-45)(200-a)+(80-60)。=10a+2000,

10>0,

隨。的增大而增大，

。<80,

.?.當(dāng)。=80時，W取最大值，%大=10x80+2000=2800(元)，止匕時200—80=120(個)，

,購進甲種型號頭盔120個、乙種型號頭盔80個才能使該商場獲利最大，最大利潤是2800元.

【變式訓(xùn)練2】.為加速升騰"成渝之星”的總體工作，遂寧市確立了筑“三城"(綠色智造名城、生態(tài)公園名

城、養(yǎng)心文旅名城)興"三都"(西部水都、東方氣都、鋰電之都)和實施"六大對標(biāo)競進行動一景區(qū)管理

委員會為了改善景區(qū)生態(tài)環(huán)境，決定向某公司采購一批戶外休閑椅.經(jīng)了解，該公司出售弧形椅和條形椅

兩種類型的休閑椅，已知條形椅的單價是弧形椅單價的0.75倍，用8000元購買弧形椅的數(shù)量比用4800元

購買條形椅的數(shù)量多8張.

(1)弧形椅和條形椅的單價分別是多少元？

(2)已知一張弧形椅可坐5人，一張條形椅可坐3人，景區(qū)計劃共購進300張休閑椅，至少可坐1000人，怎

樣購買最省錢.

【答案】(1)弧形椅的單價為200元，條形椅的單價為150元；

⑵購進50張弧形椅，250張條形椅最節(jié)省費用.

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，由圖象得出正確

信息是解題關(guān)鍵，學(xué)會利用不等式確定自變量取值范圍，學(xué)會利用一次函數(shù)性質(zhì)解決最值問題.

(1)設(shè)弧形椅的單價為x元，則條形椅的單價為0.75x元，根據(jù)"用8000元購買弧形椅的數(shù)量比用4800元

購買條形椅的數(shù)量多8張"列分式方程解答即可；

(2)設(shè)購進弧形椅沉張，則購進條形椅(300-帆)張，根據(jù)"一張弧形椅可坐5人，一張條形椅可坐3人，

景區(qū)計劃共購進300張休閑椅，至少可坐1000人"列不等式求出廢的取值范圍；設(shè)購買休閑椅所需的費用

為W元，根據(jù)題意求出卬與加的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【詳解】(1)解：設(shè)弧形椅的單價為x元，則條形椅的單價為0.75x元，根據(jù)題意得：

800048000

---=----+8

x0.75%

解得x=200,

經(jīng)檢驗，x=200是原方程的解，且符合題意，

/.0.75%=150,

答：弧形椅的單價為200元，條形椅的單價為150元；

(2)解：設(shè)購進弧形椅機張，則購進條形椅(300-m)張，由題意得：

5m+3(300-m)>1000,

解得m>50；

設(shè)購買休閑椅所需的費用為卬元，則W=200機+150(300-機)，

即W=50〃z+45000,

50>0,

隨加的增大而增大，

當(dāng)加=50時，W有最小值，

300-/77=300-50=250：

答：購進50張弧形椅，250張條形椅最節(jié)省費用

【變式訓(xùn)練3】.某網(wǎng)店購進水果后再銷售.甲種水果的進價比乙種水果每件多看花500元購進甲種水果的

件數(shù)比花450元購進乙種水果的件數(shù)少5件.

(1)求甲、乙兩種水果每件的進貨價格；

(2)若該網(wǎng)店購進甲、乙兩種水果共100件，且購買的總費用不超過4200元.甲種水果售價60元，乙種水

果按進價的2倍標(biāo)價后再打六折銷售，請你幫網(wǎng)店設(shè)計利潤最大的進貨方案，并求出最大利潤.

【答案】⑴甲種水果每件的進貨單價為50元，乙種水果每件的進貨單價為30元

⑵利潤最大的進貨方案為：購進甲種水果60件，乙種水果40件，最大利潤為840元

【分析】此題考查一次函數(shù)的應(yīng)用和分式方程的應(yīng)用，熟練掌握一元一次不等式的求解是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)乙種水果每件的進貨單價為x元，則甲種水果每件的進貨單價為［+元，利用數(shù)量=總價+單

價，結(jié)合花500元購進甲種水果的件數(shù)比花450元購進乙種水果的件數(shù)少5件，可列出關(guān)于x的分式方程,

解之經(jīng)檢驗后，可得出乙種水果每件的進貨單價，再將其代入+中，即可求出甲種水果每件的進貨

單價；

(2)利潤最大的進貨方案為：購進甲種水果60件，乙種水果40件，最大利潤為840元，設(shè)購進甲種水果

機件，則購進乙種水果(10。-機)件，利用進貨總價=進貨單價x進貨數(shù)量，結(jié)合進貨總價不超過4200元，

可列出關(guān)于冽的一元一次不等式，解之可得出根的取值范圍，設(shè)購進的兩種水果全部售出后獲得的總利潤

為卬元，利用總利潤=每件的銷售利潤X銷售數(shù)量（進貨數(shù)量），可找出W關(guān)于機的函數(shù)關(guān)系式，再利用一

次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題.

【詳解】（1）解：設(shè)乙種水果每件的進貨單價為X元，則甲種水果每件的進貨單價為1卜元,

450500「

--------------------

根據(jù)題意得：X（1+2，，

解得：x=30,

經(jīng)檢驗，x=30是所列方程的解，且符合題意，

0^1+|^x=^l+|^|x3O=5O.

答：甲種水果每件的進貨單價為50元，乙種水果每件的進貨單價為30元；

（2）解：設(shè)購進甲種水果機件，則購進乙種水果（100-m）件，

根據(jù)題意得：50/71+30（100-?71）<4200,

解得：m^60,

設(shè)購進的兩種水果全部售出后獲得的總利潤為w元，

則w=（60-50）m+（30x2x0.6-30）（100-m）,

即w=4/71+600,

04>0,

隨m的增大而增大，

團當(dāng)機=60時，w取得最大值，最大值=4x60+600=840,止匕時100—優(yōu)=100—60=40,

回利潤最大的進貨方案為：購進甲種水果60件，乙種水果40件，最大利潤為840元.

類型三、最佳方案問題

0

例.某酒店新裝修，計劃購買4B,C三種型號的餐桌共w套.己知一套A型餐桌（一桌四椅）需800元,

一套3型餐桌（一桌六椅）需1000元，一套C型餐桌（一桌八椅）需1200元，要求購買C型餐桌的套數(shù)

是A型餐桌的3倍，設(shè)購買尤套A型餐桌，三種餐桌購買的總費用為y元.

（1）當(dāng)1=160時,

①求、關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式.

②若購買的8型餐桌套數(shù)不多于C型餐桌套數(shù)，求總費用》的最小值，并寫出此時具體的購買方案.

（2）已知酒店實際購買三種餐桌的總費用為18萬元，記購買的三種餐桌椅子的總數(shù)最多的方案為最佳購

買方案，求最佳購買方案的椅子總數(shù)加及相應(yīng)〃的值.

【答案】（1）=400^+160000,②A型餐桌23套，8型餐桌68套，C型餐桌69套，169200元；（2）

n=164,m=1144

【分析】（1）①根據(jù)"總費用=A型餐桌的費用+2型餐桌的費用+C型餐桌的費用"即可求解；②根據(jù)題意列

出不等式組，求得x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

900_

（2）根據(jù)總費用為180000元，列出方程800x+1000（w-4x）+1200x3^=l80000,解方程求得x=\，

7

再由〃-4x20求得“2163打，根據(jù)題意求得相與”的函數(shù)關(guān)系式為機=T〃+1800,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)

即可求得當(dāng)“=164時，〃重大=1144.

【詳解】（1）①由題意可知y=800x+1000（160—4x）+1200x3尤=400x+160000.

（2）0O<16O-4x<3x,221<x<40.

回?zé)o=400>0,

回y隨X的增大而增大，

回》為整數(shù)，

團當(dāng)x=23時，y最小=16920。（元），

此時具體的購買方案為：A型餐桌23套，3型餐桌68套，C型餐桌69套.

（2）由題意可知，800x+100°（“—4x）+1200x3x=180000.

0n-4x>O,

7

ffln>163—,

11

又由加=4x+6（“一4x）+24r=Tw+1800,

回左=T<0,

回沉隨〃的增大而減小，

國當(dāng)”=164時，加最大=1144.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，正確列出函數(shù)的解析式及求得自變量的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練11某酒店新裝修，計劃購買A,B,C三種型號的餐桌共〃套.已知一套A型餐桌（一桌四

椅）需600元，一套B型餐桌（一桌六椅）需800元，一套C型餐桌（一桌八椅）需1000元，要求購買C

型餐桌的套數(shù)是A型餐桌的2倍，設(shè)購買x套A型餐桌，三種餐桌購買的總費用為,元.

（1）當(dāng)“=160時,

①求V關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式.

②若購買的8型餐桌套數(shù)與C型餐桌套數(shù)的差不超過12桌，求總費用y的最小值，并寫出此時具體的購買

方案.

（2）已知學(xué)校實際購買三種餐桌的總費用為16萬元，記購買的三種餐桌椅子的總數(shù)最多的方案為最佳購

買方案，求最佳購買方案的椅子總數(shù)機及相應(yīng)〃的值.（直接寫出答案）

【答案】（1）①y=200x+128000；②V最小為134000（元），此時具體的購買方案是：A,B,C三種

型號的餐桌分別購買30套、70套、60套；（2）〃=185,m=1230.

【分析】（1）①根據(jù)總費用是三種費用之和列出函數(shù)關(guān)系式，然后把n=160代入即可；②根據(jù)"購買的B

型餐桌套數(shù)與C型餐桌套數(shù)的差不超過12套"列出不等式，求出n的最小值，然后再求出總費用即可；

（2）先用x的代數(shù)式表示出m,再求出n的最小值，最后求出m的值.

【詳解】解：（1）①由題意，得600x+800（160-3x）+1000x2x=y,

團y=200x+128000.

3

②由題意，得160-3x-2x<12,解得xN29g,

又回工為整數(shù)，上=200>0,'隨x的增大而增大，

團當(dāng)x=30時，V最小，為200x30+128000=134000（元），

此時具體的購買方案是：

A,B,C三種型號的餐桌分別購買30套、70套、60套.

（2）由題意得：600x+800（?-3x）+1000x2x=160000,化簡得

x=800—4?,又〃一3尤上0,

n

團xW一,

3

〃8

BP800-4n<-,n>184—,

回”為正整數(shù)，

回”的最小值為185,

/〃=4x+6（〃-3x）+8*2x=1600-2〃，可見，“越小，，"和x者B越大，

團當(dāng)〃=185時，帆=1230.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題成為解答本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2】.某校師生去外地參加夏令營活動，車票價格為每人100元，車站提出兩種車票價格的優(yōu)惠

方案供學(xué)校選擇.第一種方案是教師按原價付款，學(xué)生按原價的78%付款；第二種方案是師生都按原價的

80%付款.該校參加這項活動的教師有5名，學(xué)生有X名.

（1）設(shè)購票付款為y元，請寫出y與x的關(guān)系式.

（2）請根據(jù)夏令營的學(xué)生人數(shù)，選擇購票付款的最佳方案？

【答案】（1）第一種方案：y=78x+500,第二種方案：y=80x+400；（2）當(dāng)學(xué)生人數(shù)少于50人時，按方案

二購買，當(dāng)學(xué)生人數(shù)為50人時，兩種方案一樣，當(dāng)學(xué)生人數(shù)超過50人時，按方案一購買.

【分析】（1）根據(jù)兩種不同的付款方案分別列出兩種y與x的關(guān)系式；（2）根據(jù)兩種方案中其中之一更便宜

可以得到不等式，解此不等式可知根據(jù)夏令營的學(xué)生人數(shù)選擇購票付款的最佳方案.

【詳解】解：（1）由題意可得，

第一種方案中：y=5X100+100XX78%=78X+500,

第二種方案中：y=100（x+5）X80%=80X+400；

（2）

如果第一種方案更便宜，則有，

78x+500<80x+400,

解得，x>50,

如果第二種方案更便宜，則有，

78x+500>80x+400,

解得，x<50,

如果兩種方案價格一樣，則有，

78x+500=80x+400,

解得，x=50,

團當(dāng)學(xué)生人數(shù)少于50人時，按方案二購買，

當(dāng)學(xué)生人數(shù)為50人時，兩種方案一樣，

當(dāng)學(xué)生人數(shù)超過50人時，按方案一購買.

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)在實際中的應(yīng)用，根據(jù)人數(shù)、價格和優(yōu)惠方案找出等量關(guān)系，列出一次函

數(shù)關(guān)系式.

【變式訓(xùn)練3】.康樂公司在A3兩地分別有同型號的機器17臺和15臺，現(xiàn)要運往甲地18臺，乙地14臺，

從A8兩地運往甲、乙兩地的費用如下表：

甲地（元/臺）乙地（元/臺）

地

600500

地

400800

（1）如果從地運往甲地x臺，求完成以上調(diào)運所需總費用V（元）與x（臺）之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）請你為康樂公司設(shè)計一種最佳調(diào)運方案，使總費用最少，并說明理由

【答案】（1）y=600%+500（17-X）+400（18-x）+800（x-3）=500x+13300

（2）最佳方案是：由地調(diào)3臺至甲地，14臺至乙地，由地調(diào)15臺至甲地

【詳解】解：（1）、=6。。彳+5。0（17-彳）+400（18-尤）+800（》-3）=50。；￡+133002分

(2)由(1)知：總運費y=500元+13300.

科〉(X

il7-x>01B八

.,.-.3<x<17,又左>0,..............3分

；18-x>0,

ix-3>0.

???隨X的增大，》也增大，

，當(dāng)x=3時，y最小=500x3+13300=14800(元)..........4分

該公司完成以上調(diào)運方案至少需要14800元運費，最佳方案是：由地調(diào)3臺至甲地，14臺至乙地，由地調(diào)

15臺至甲地.5分

類型四、行程問題

(1)速度=路程+時間；

(2)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;

(3)結(jié)合情況，分類討論。

例.甲和乙平時的耐力與速度相差無幾，某日體育課上，老師設(shè)計了一個200m賽跑方案，讓甲從起跑就全

速前進，而讓乙留著后勁兒，跑到一半時再用盡全力向前沖，并跟蹤記錄了賽跑的全過程，賽跑的全過程

如圖所示.

⑴求甲此次比賽中的平均速度；

(2)當(dāng)25WCW38時，求乙跑過的路程s(m)與時間f(s)的函數(shù)表達式;

⑶直接寫出兩人相距10米的時間.

【答案】⑴5m/s

1001200

(2)s=-t-------

''1313

214

⑶10s或力-s或38s

【分析】(1)根據(jù)速度=路程+時間求解即可；

(2)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(3)結(jié)合圖象，分情況討論：在04Y25這段時間，兩人相距10m；在25＜芯38這段時間，乙追上甲之前

兩人相距10m；在25V/W38這段時間，乙超過甲10m；在38＜fV4O這段時間，相距10m,分別求解即可.

【詳解】(1)解：200+40=5(m/s),

答：甲此次比賽中的平均速度是5m/s；

(2)設(shè)當(dāng)25W38時，乙跑過的路程s(m)與時間&s)的函數(shù)表達式s=Q+6(Z：wO),

.點(25,100)和(38,200)在該函數(shù)圖象上，

J25左+6=100

"[38^+&=200，

\100

K=-----

解得L1⑵3。,

b=----------

???當(dāng)25＜，＜38時，乙跑過的路程s(m)與時間/(s)的函數(shù)表達式5”常;

(3)由圖象可知，當(dāng)0W25時，乙的平均速度是100+25=4(m/s),

在04＜25這段時間，兩人相距10m,此時5"4y10,

解得，=1。；

在25Vd38這段時間，乙追上甲之前兩人相距10m,

解得”學(xué)714；

在25VY38這段時間，乙超過甲10m,

1001200匚s

——t-----------5r=10,

1313

解得￡=38；

在38VZK4O這段時間內(nèi)，

5^+10=200,

解得%=38(不合題意，舍去)；

、214

綜上所述，當(dāng)，=10s或〒S或38s時，兩人相距10m.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)

合的思想解答.

【變式訓(xùn)練11某快車公司面向社會推出兩種乘車方案，收費與行駛距離之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中

方案一收費方式對應(yīng)X，方案二的收費方式對應(yīng)當(dāng).

（1）求方案一和方案二的函數(shù)關(guān)系式；

⑵①請說出圖中點A的實際意義，

②若小明每天上班需要乘坐這家公司的快車，家離公司6km,那么小明選擇哪個方案最省錢？請說明理由;

⑶請求出兩種方案收費相差3元時的行駛距離.

8(0<x<2)

【答案】⑴%=3x；

2x+4(x>2)

（2）①當(dāng)行駛距離為4km時，兩種方案收費相同，均為12元；②小明選擇方案二更省錢

⑶行駛距離在gkm和7km時，兩種方案相差3元

【分析】此題考查了從函數(shù)圖象獲取信息，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，讀懂圖象，數(shù)形結(jié)合是解題的

關(guān)鍵.

（1）由圖象可知所經(jīng)過的點，用待定系數(shù)法求解即可；

（2）點A的實際意義為當(dāng)行駛距離為4km時，兩種方案收費相同；由圖象可知，當(dāng)行駛距離超過4km時,

%>〉2,即方案二更省錢.

（3）兩種收費相差3元，分4km前和4km后兩種情況分別計算即可得到答案.

【詳解】⑴方案一：設(shè)％=公，

把點（4,12）代入%=%無中，

得，攵1=3,即％=3x,

方案二：由圖象可知，當(dāng)0〈冗W2時，%=8,

當(dāng)％>2時，設(shè)乂=。+匕，

把點（2,8）和點（4,12）代入為=+匕中,

2k2+。=8左2二2

得:,解得:

4k2+b=nZ?=4

二.%=2%+4,

8(0<x<2)

...%=

2x+4(%>2)

(2)①點A的實際意義為當(dāng)行駛距離為4km時，兩種方案收費相同，均為12元；

②由圖象可知，當(dāng)行駛距離超過4km時，

%>%，即方案二更省錢.

二小明選擇方案二更省錢；

(3)■當(dāng)x=4時兩種收費相同，

二兩種收費相差3元，分4km前和4km后兩種情況，

①當(dāng)x<4時，離4km越近收費相差的越少，

當(dāng)x=2時，％=6,%=8,

=8-6=2,

二要使兩種收費相差3元，x應(yīng)小于2,

％一X=8—3x=3,

解得：X=g;

②當(dāng)x>4時，3x—(2x+4)=3,

解得：x=7.

行駛距離在gkm和7km時，兩種方案相差3元.

【變式訓(xùn)練2】.甲、乙兩個物流公司分別在A、B兩地之間進行貨物交換，C地為兩車的貨物中轉(zhuǎn)站，假設(shè)

A、8、C三地在同一條直線上，甲車以120km/h的速度從A地出發(fā)趕往C地，乙車從B地出發(fā)也趕往C地，

兩車同時出發(fā)，在C地利用一段時間交換貨物，然后各自按原速返回自己的出發(fā)地，假設(shè)兩車在行駛過程

中各自速度保持不變，設(shè)兩車行駛的時間為x(h),兩車的距離為y(km),圖中的折線表示y與x之間的函

(2)求乙的速度；

⑶求出線段CD所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量尤的取值范圍;

⑷直接寫出兩車相距50km時的行駛時間.

【答案】⑴400

(2)80km/h

(3)y=200x-500(2.5<x<4.5)

⑷兩車相距50km時行駛時間為1.75小時或2.75小時

【分析】此題考查了一次函數(shù)和一元一次方程的應(yīng)用.

(1)直接根據(jù)圖象和題意即可得到答案；

(2)根據(jù)路程及行駛時間列方程并解方程即可求出答案；

(3)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(4)分兩車相向而行和兩車各自返回兩種情況，分別列方程并解方程即可求出答案.

【詳解】(1)解：由題意，根據(jù)函數(shù)圖象可知，A、8兩地的距離為400km,

故答案為：400

(2)解：設(shè)乙的速度為〃7km/h,則

2(120+717)=400,

解得m—80,

答：乙的速度為80km/h；

(3)解：設(shè)線段CD所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為>=履+6,把點(2.5,0),(4.5,400)代入得,

'2.5k+6=0

4.5左+6=400

回線段CO所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=200%-500(2.5<x<4.5)；

(4)兩車相距50km分兩種情況：

①設(shè)兩車相向而行時，兩車相距50km時行駛時間為f小時，

貝?。?120+80"=400-50,

解得t=1.75,

②設(shè)兩車各自返回時，兩車相距50km時行駛時間為n小時，

則(120+80)(〃-0.5)=400+50

解得，“=2.75

答：兩車相距50km時行駛時間為1.75小時或2.75小時.

【變式訓(xùn)練3】.甲、乙兩人分別駕駛充電汽車和燃油汽車從A地前往8地，他們的行駛路程y(千米)與

行駛時間I(小時)之間的關(guān)系如圖所示(其中實線表示甲，虛線表示乙，且甲在中途因充電停止了一段時

間).

⑴甲、乙兩人，_先到達B地；甲在充電之前的速度為一千米/時；

⑵若甲充完電后以原來速度的兩倍繼續(xù)行駛，則甲充電多少小時？

⑶在（2）的條件下，從甲、乙兩人首次距A地距離相等開始，到甲到達B地結(jié)束，在這段時間內(nèi)兩人何時

相距30千米？

【答案】（1）甲，50

（2）2小時

⑶當(dāng)行駛3.5小時或4.75小時或6.25小時或7.5小時，兩人相距30千米

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題時要熟練掌握從函數(shù)圖象獲取信息和待定系數(shù)法求一次函

數(shù)解析式是關(guān)鍵.

（1）依據(jù)題意，由圖象可得，甲先到達8地；再設(shè)乙的行駛路程丫（千米）與行駛時間f（小時）之間的

關(guān)系為y=kt+b,結(jié)合過（2,40）,（8,400）,求出乙的行駛路程，（千米）與行駛時間小時）之間的關(guān)系

為y=60-80,再令f=3,則>=60x3-80=100,結(jié)合圖象可得甲在充電前的行駛路程V（千米）與行駛時

間「（小時）之間的關(guān)系圖象過⑵100）,再設(shè)甲在充電前的函數(shù)為丫=皿，求出關(guān)系式即可判斷得解；

（2）依據(jù)題意，根據(jù)圖象可得，甲充電的時間為：4-2=2（小時），進而可以判斷得解；

（3）依據(jù)題意，設(shè)甲在充電后的函數(shù)關(guān)系式為y=b+d,又過（4,100）,（7,400）,進而求出甲在充電后的函

-fy=100？-300

數(shù)關(guān)系式為y=ioo-300,再結(jié)合圖象當(dāng),=3時，甲乙首次距A距離相等，然后聯(lián)列,0on，求出廠

[y=60f-80

的橫坐標(biāo)為5.5,又行駛7小時，兩人相距30千米，從而分當(dāng)3</<4時、當(dāng)4V7<5.5時、當(dāng)5.5Wf<7時

和當(dāng)7〈X8時進行討論計算可以得解.

【詳解】（1）解：由圖象可得，甲先到達3地.

由題意，設(shè)乙的行駛路程'（千米）與行駛時間t（小時）之間的關(guān)系為丫=公+6,

又過（2,40）,（8,400）,

（2k+b=40

"\Sk+b=400'

卜=60

"U=-80,

，乙的行駛路程y（千米）與行駛時間》（小時）之間的關(guān)系為y=60f-80.

令t=3,則>=60x3-80=100.

二甲在充電前的行駛路程y（千米）與行駛時間/（小時）之間的關(guān)系圖象過Q,io。）,

又設(shè)甲在充電前的函數(shù)為y=7加，

/.2m=100.

/.m=50.

，甲在充電前的行駛路程y（千米）與行駛時間f（小時）之間的關(guān)系為y=50"

二甲在充電前的速度為1x50=50（千米/小時）.

故答案為：甲；50.

（2）解：由題意，根據(jù)圖象可得，甲充電的時間為：4-2=2（小時）.

（3）解：由題意，設(shè)甲在充電后的函數(shù)關(guān)系式為>=b+d,

又過(4,100),(7,400),

4c+d=100

lc+d=400

c=100

d=-300，

???甲在充電后的函數(shù)關(guān)系式為y=i。。-3oo.

又結(jié)合圖象當(dāng)"3時，甲乙首次距A距離相等.

)7=100^-300

聯(lián)列

y=60,一80

:.t=5.5.

尸的橫坐標(biāo)為5.5.

設(shè)行駛“、時，兩人相距30千米,

①當(dāng)3</<4時，

60Z-80-100=30.

t=3.5.

②當(dāng)44<5.5時，

60^-80-(100r-300)=30.

t=4.75.

③當(dāng)5.54v7時，

100^-300-(60r-80)=30.

t=6.25.

④當(dāng)7件<8時，

400-(60r-80)=30.

t—7.5.

綜上，當(dāng)行駛3.5小時或4.75小時或6.25小時或7.5小時，兩人相距30千米.

類型五、分段函數(shù)問題

求函數(shù)解析式時，在自變量的范圍內(nèi)求出各自的函數(shù)解析式，自變量不同，解析式一般也不一樣。再根據(jù)

題意，求解其它問題。

例.電力公司為鼓勵市民節(jié)約用電，采取按月用電量分段收費辦法.若某戶居民每月應(yīng)交電費丁(元)與

用電量x(度)的函數(shù)圖象是一條折線(如圖所示)，根據(jù)圖象解下列問題：

⑴分別求出當(dāng)04尤4100和x>100時，y與X的函數(shù)關(guān)系式；

⑵若該用戶某月用了72度電，則應(yīng)繳費多少元？

⑶若該用戶某月繳費105元時，則該用戶該月用了多少度電？

【答案】(1)當(dāng)04尤(100時，y=0.65x；當(dāng)x>100時，y=0.8元一15

⑵應(yīng)繳費46.8元

⑶該用戶該月用了150度電

【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的應(yīng)用，通過一次函數(shù)的圖象獲取有用的信息是解答本題

的關(guān)鍵.

(I)當(dāng)04XW100時，設(shè)、與X的函數(shù)關(guān)系式是>=履，把(100,65)代入求解，得到y(tǒng)與尤的函數(shù)關(guān)系式，

當(dāng)x〉100時，設(shè)y與X的函數(shù)關(guān)系式是丁=依+6,把(100,65),(130,89)代入求解，即得答案；

(2)當(dāng)x=72時，代入y=0.65x計算即得答案；

(3)因為該用戶某月繳費105元，所以該用戶該月用電量超過100度，將>=105代入y=0.8x-15計算即

得答案，.

【詳解】(1)當(dāng)OWxWlOO時，

設(shè)y與X的函數(shù)關(guān)系式是、=履，

貝I」有65=100%,

解得k=0.65,

，與X的函數(shù)關(guān)系式是y=Q65x；

當(dāng)力＞100時,

設(shè)'與x的函數(shù)關(guān)系式是y=+

「100。+匕=65

則有in一QO）

[130。+。=89

[a=0.8

解得A

3=-15

y與X的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=o.8x-15；

（2）當(dāng)x=72時，j=0.65x72=46.8（元），

?.?該用戶某月用了72度電，應(yīng)繳費46.8元；

（3）」?該用戶某月繳費1。5元，

該用戶該月用電量超過100度，

將y=105代入y=0.8x-15,

得105=0.815,

解得尤=150,

???該用戶該月用了150度電.

【變式訓(xùn)練11某市為了鼓勵居民節(jié)約用電，采用分段計費的方法按月計算每戶家庭的電費.月用電量不

超過210度時，按0.55元/度計費；月用電量超過210度時，其中的210度仍按0.55元/度計費，超過部分按

Q60元/度計費.設(shè)每戶家庭月用電量為x度時，應(yīng)交電費y元.

⑴分別求出當(dāng)04尤4210和x＞210時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵小李家12月份交電費145.5元，則小李家這個月用電多少度？

【答案】（1）當(dāng)0M尤4210時,y=0.55x