2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.已知A，B，C，D，E是空間中的五個點，其中點A，B，C不共線，則“存在實數(shù)x，y，使得是“平面ABC”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】利用存在實數(shù)x，y，使得平面ABC或平面ABC，結(jié)合充分必要條件的定義即可求解.【詳解】若平面ABC，則共面，故存在實數(shù)x，y，使得，所以必要性成立；若存在實數(shù)x，y，使得，則共面，則平面ABC或平面ABC，所以充分性不成立；所以“存在實數(shù)x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分條件，故選：B關(guān)鍵點點睛：本題考查空間向量共面的問題，理清存在實數(shù)x，y，使得平面ABC或平面ABC是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2.若圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別是k1，k2，k3，則有（）A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1 D.k2<k3<k1【正確答案】D【分析】根據(jù)圖像可知，，，再由與傾斜角的大小得到，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由圖可知，，，且直線的傾斜角大于直線的傾斜角，所以.綜上可知.故選:D.3.李華家養(yǎng)了白、灰、黑三種顏色的小兔各1只，從兔窩中每次摸取1只，有放回地摸取3次，則3次摸取的顏色不全相同的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意可知：每次摸到白、灰、黑三種顏色的概率均為，根據(jù)獨立事件概率乘法公式結(jié)合對立事件運算求解.【詳解】由題意可知：每次摸到白、灰、黑三種顏色的概率均為，記“3次摸取的顏色不全相同”為事件A，則，所以.故選：B.4.已知直線l的方向向量為，為直線l上一點，若點為直線l外一點，則P到直線l上任意一點Q的距離的最小值為（）A.2 B. C. D.1【正確答案】C【分析】根據(jù)點到直線距離的空間向量公式求出答案.【詳解】，，，點到直線l的距離為.則P到直線l上任意一點Q的距離的最小值為.故選：C5.下列命題：①若向量滿足，則向量的夾角是鈍角；②若是空間的一組基底，且，則四點共面；③若向量是空間的一個基底，若向量，則也是空間的一個基底；④若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線與平面所成角的余弦值為；⑤已知向量，，則向量在向量上的投影向量是；其中正確的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】C【分析】根據(jù)向量夾角、空間點共面、基底、線面角、投影向量等知識進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】①，若向量滿足，可能向量的夾角是，所以①錯誤.②，對于，由于，所以四點共面，所以②正確.③，設(shè)，則共面，這與已知向量是空間的一個基底矛盾，所以也是空間的一個基底，所以③正確.④，設(shè)直線與平面所成角為，，則，，所以④錯誤.⑤，向量在向量上的投影向量是，所以⑤正確.所以一共有個正確.故選：C6.已知某運動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為80%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率.先由計算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：75270293714098570347437386366947761042811417469803716233261680456011366195977424根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該射擊運動員射擊4次，至少擊中3次的概率為（）A.0.852 B.0.8192 C.0.8 D.0.75【正確答案】D【分析】由題設(shè)模擬數(shù)據(jù)確定擊中目標(biāo)至少3次的隨機(jī)數(shù)組，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率.【詳解】在20組隨機(jī)數(shù)中含中的數(shù)至少3個（含3個或4個），共有15組，即模擬結(jié)果中射擊4次至少擊中3次的頻率為.據(jù)此估計該運動員射擊4次，至少擊中3次的概率為0.75.故選：D.7.如圖，已知電路中4個開關(guān)閉合的概率都是，且是相互獨立的，則燈亮的概率為A. B. C. D.【正確答案】D【詳解】由題意，燈泡不亮包括四個開關(guān)都開，后下邊的2個都開，上邊的2個中有一個開，這三種情況是互斥的，每一種情況的事件都是相互獨立的，所以燈泡不亮的概率為，所以燈泡亮的概率為，故選D．8.將邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.是等邊三角形C.點與平面的距離為 D.與所成的角為【正確答案】C【分析】設(shè)的中點為，證明平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)直二面角可得，利用勾股定理求出即可判斷B；以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點到面的距離即可判斷C；利用向量法求線線夾角即可判斷D.【詳解】對于選項A：設(shè)的中點為，則，且，平面，可得平面，又因為平面，所以，故A正確；對于選項B：由A的分析知即為二面角的平面角，故，即，可知，則，所以是等邊三角形，故B正確；對于選項CD：以點原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，所以點與平面的距離，故C錯誤；又因為，且與所成的角取值范圍為，可知與所成的角的余弦值為，所以與所成的角為，故D正確.故選：C.方法點睛：1．利用空間向量求空間角的一般步驟（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．（2）求出相關(guān)點的坐標(biāo)，寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)．（3）結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算．（4）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．2．利用空間向量求點到平面距離的方法如圖，設(shè)A為平面內(nèi)的一點，B為平面外的一點，為平面α的法向量，則B到平面α的距離.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列命題：①對立事件一定是互斥事件；②若，為兩個隨機(jī)事件，則；③若事件，滿足，，，則，相互獨立；④若事件，滿足，則與是對立事件．其中錯誤命題是（）A.① B.② C.③ D.④【正確答案】BD【分析】利用互斥事件、對立事件、相互獨立事件的定義及概率的基本性質(zhì)依次判斷4個命題作答.【詳解】對于①：對立事件一定是互斥事件，①正確；對于②：若，為兩個隨機(jī)事件，則，②錯誤；對于③：由，得，相互獨立，③正確；對于④：記事件為拋一枚硬幣正面朝上，事件為擲一枚骰子出現(xiàn)偶數(shù)點，則，，滿足，顯然事件與可以同時發(fā)生，它們不是對立事件，④錯誤.故選：BD10.如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，和的中點，為棱上的一動點，且，則下列說法正確的是（）A.B.三棱錐的體積為定值C.D.異面直線與所成角的余弦值為【正確答案】ABD【分析】根據(jù)圖形特點取的中點為，以為原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的線線關(guān)系計算可判斷A,C,D選項；利用線面關(guān)系及三棱錐體積即可判斷B選項.【詳解】解：直三棱柱中，，，，分別為，和的中點，取的中點為，由于，所以，如圖以為原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),，則，所以則，又，所以，所以，對于A，，設(shè)，則，所以，則，故A正確；對于B，因為，分別為，的中點，所以，又，則又平面，平面，所以平面，故到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；對于C，由A選項得，，所以，故C不正確；對于D，由于，所以，所以，故異面直線與所成角的余弦值為，故D正確.故選：ABD.11.如圖，四邊形是邊長為的正方形，半圓面平面，點為半圓弧上一動點（點與點，不重合），下列說法正確的是（）A.三棱錐的四個面都是直角三角形B.三棱錐的體積最大值為C.當(dāng)時，異面直線與夾角的余弦值為D.當(dāng)直線與平面所成角最大時，平面截四棱錐外接球的截面面積為【正確答案】ACD【分析】對于A，使用空間中直線、平面垂直有關(guān)定理證明；對于B，三棱錐底面積固定，當(dāng)高最大時，體積最大，可通過計算進(jìn)行判斷；對于C，找到與和所成異面直線夾角，再由余弦定理代入計算，即可判斷；對于D，首先利用空間向量解決與平面所成角最大時點的位置，再用的外接圓解決平面的截面圓面積的計算即可.【詳解】對于A，四邊形為正方形，為直角三角形；為直徑，為半圓弧上一動點，，為直角三角形；平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，，為直角三角形；平面，平面，，又，，平面，平面，平面，平面，，為直角三角形；因此，三棱錐的四個面都是直角三角形，故A正確；對于B，過點在平面內(nèi)作于點，平面平面，平面平面，平面，平面，為三棱錐的高，三棱錐的體積的面積為定值，當(dāng)最大時，三棱錐的體積最大，此時點為半圓弧的中點，，三棱錐體積的最大值為，故B錯誤；取中點，中點，中點，連接，則，，所以異面直線與的夾角為或其補(bǔ)角，且，又，則，，則，又，則，在中，由余弦定理可得，則異面直線與夾角的余弦值為，故C正確；對于D，由B選項解析知，平面，為在平面內(nèi)的射影，為直線與平面所成角，當(dāng)直線與平面所成角最大時，取最小值，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，，，則在直角三角形內(nèi)，，即，，，，，，cos，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最小值，直線與平面所成角最大，此時，，，三點均為四棱錐的頂點，平面截四棱錐外接球截面為的外接圓面，直角三角形外接圓半徑，截面面積，故D正確.故選：ACD.易錯點睛：在判斷三棱錐的四個面是否都是直角三角形時，易忽視，需通過證明平面進(jìn)行判斷；在確定直線與平面所成角最大時點的位置時，容易錯誤的認(rèn)為當(dāng)點為半圓弧的中點時，直線與平面所成角最大，需使用空間向量，借助三角函數(shù)知識進(jìn)行判斷.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知直線的傾斜角為，直線，若直線過點，則______．【正確答案】6【分析】根據(jù)平行直線的斜率的關(guān)系列方程，從而求得的值.【詳解】因為直線的傾斜角為，所以．又直線，則，解得．故13.如圖所示，在平行六面體中，，，，則________．【正確答案】2【分析】據(jù)空間向量基本定理把用，，作為基底表示，利用向量數(shù)量積運算即可求解.【詳解】在平行六面體中,，所以，因為，所以，又，所以，，所以所以.故2.14.甲?乙兩隊進(jìn)行答題比賽，每隊3名選手，規(guī)定兩隊的每名選手都完成一次答題為一輪比賽，每名選手答對一題得1分，答錯一題得0分.已知甲隊中每名選手答對題的概率都為，乙隊中3名選手答對題的概率分別為.在第一輪比賽中，甲隊得分，乙隊得分，則在這一輪中，滿足且的概率為__________.【正確答案】【分析】首先求出甲在一輪比賽中得分、分的概率，乙在一輪比賽中得分、分的概率，設(shè)在這一輪中，滿足且為事件，則包含①甲隊得分，乙隊得分，②甲隊得分，乙隊得分，③甲隊得分，乙隊得分，再根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得.【詳解】依題意甲隊在一輪比賽中得分的概率為，甲隊在一輪比賽中得分的概率為，乙隊在一輪比賽中得分的概率為：，乙隊在一輪比賽中得分的概率為：，設(shè)在這一輪中，滿足且為事件，則包含①甲隊得分，乙隊得分，②甲隊得分，乙隊得分，③甲隊得分，乙隊得分，所以，即在這一輪中，滿足且的概率為.

故關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是分析得到①甲隊得分，乙隊得分，②甲隊得分，乙隊得分，③甲隊得分，乙隊得分，再根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算.四、解答題（本題共5小題，第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖，在正方體中，點E，F(xiàn)，M分別是線段，EC，的中點.設(shè)，，.（1）用基底表示向量.（2）棱BC上是否存在一點G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）（2）不存在一點G，理由見解析【分析】（1）結(jié)合空間向量的線性運算，由空間向量基本定理求解即可；（2）假設(shè)棱BC上存在點G，使得，設(shè)，由基底表示出向量，由即可求出.【小問1詳解】因為，，所以．【小問2詳解】假設(shè)棱BC上存在點G，使得，設(shè)．因為，所以．因為，所以，化簡得，得，所以棱BC上不存在一點G，使得.16.已知不透明的盒子中裝有標(biāo)號為1，2，3的小球各2個（小球除顏色?標(biāo)號外均相同）.（1）若一次取出3個小球，求取出的3個小球上標(biāo)號均不相同的概率；（2）若有放回地先后取出2個小球，求取出的2個小球上標(biāo)號不相同的概率.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）使用列舉法，結(jié)合古典概型概率公式可得；（2）先求2個小球上標(biāo)號相同的概率，然后由對立事件的概率關(guān)系可得.【小問1詳解】分別記6個小球為，從中任取3個小球有：，共20種.3個小球上標(biāo)號均不相同的有：共8種，所以取出的3個小球上標(biāo)號均不相同的概率為.【小問2詳解】每次取球都有6種取法，所以總的取法有種取法.2個小球上標(biāo)號相同的取法有：共12種取法，所以2個小球上標(biāo)號相同概率為，所以取出的2個小球上標(biāo)號不相同的概率.17.如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點.（1）證明.（2）求直線與平面所成角的正弦值.（3）設(shè)點到直線的距離為，點到平面的距離為，求的值.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）由題意可知平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，進(jìn)而得到，在矩形中，由題意可得，由線面垂直判定定理及性質(zhì)即可證得；（2）取的中點，連接，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求線面角的正弦值；（3）利用空間向量求出和，即可求出.【小問1詳解】連接，，因為，為的中點，所以，因為棱柱直三棱柱，所以面，平面，所以平面平面，又平面平面，面，則平面，又平面，所以，在矩形中，，為的中點，所以，所以，故，又，面，面，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】取的中點，連接，由（1）及題意易知，，兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.由，，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，又，，則即令，則.設(shè)直線與平面所成的角為，又，則，故直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】由（2）知平面的一個法向量為，，，所以點到平面的距離為，又，直線的一個單位方向向量為，則，，所以點到直線的距離為，所以.18.如圖，在四棱錐中，，且．（1）若點在上，且平面，證明：為的中點；（2）已知二面角的大小為，求平面與平面夾角的正切值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）首先判斷底面的幾何關(guān)系，再結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理，構(gòu)造輔助線，即可證明；（2）首先由幾何關(guān)系確定為二面角的大小，再根據(jù)幾何關(guān)系確定空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，再利用法向量求二面角的余弦值，即可求正切值.【小問1詳解】因為，，所以，，，在直角三角形中，，又因為，為的平分線，延長、交于點，連接，在中