2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)高一年級(jí)上冊(cè)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)

檢測(cè)試卷

一、填空題（第1—6題每題3分，第7—10題每題4分，共34分）

2e12a,a2,??“

1.若1/,則實(shí)數(shù)。=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系列方程，結(jié)合集合元素的互異性來求得正確答案.

【詳解】依題意，2e|2a,a2+oj,

當(dāng)2。=2,。=1時(shí)，/+4=2，不符合.

當(dāng)/+a=2時(shí)，解得。=一2或。=1（舍去），

當(dāng)a=—2時(shí)，集合為{-4,2},符合題意.

所以a=—2.

故答案為：-2

2.若暴函數(shù)/（x）=（〃2+〃—是偶函數(shù)，則〃=.

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)事函數(shù)的知識(shí)來求得〃的值.

【詳解】由于/（X）是幕函數(shù)，所以"2+〃_1=1，解得〃=1或〃=—2,

當(dāng)”=1時(shí)，/（x）=xT=：是奇函數(shù)，不符合題意.

當(dāng)"=—2時(shí)，是偶函數(shù)，符合題意.

故答案為：8

2x+l

3.不等式---<0的解集為_________.

\—x

【答案］或X>1}

【解析】

【分析】根據(jù)分式不等式的解法來求得正確答案.

O

2x+l

【詳解】依題意，--VOo

1-x

解得X<—或X>1,

2

所以不等式的解集為|xV-；或x>1}.

故答案為：IX4--或X>1]

4.函數(shù)/(》)=炮(*+4x)的值域?yàn)?

【答案】(-叫1g4]

【解析】

【分析】先求得函數(shù)的定義域，然后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域.

【詳解】由—x2+4x=—X(x—4)>0,解得0<x<4,所以/(x)的定義域是(0,4),

二次函數(shù)〉=-X2+4X(O<X<4)的開口向下，對(duì)稱軸為x=2,

所以y=-爐+4xe(0,4]，

又函數(shù)y=lgx在(0,4]上單調(diào)遞增，

所以/(x)的值域是(一。,炮4].

故答案為：(-of,1g4]

5.已知函數(shù)/(x)是定義在[-4,4]上的奇函數(shù)，當(dāng)xe[0,4]時(shí)的圖象如圖所示，那么/(x)〉0的解集是

【答案】(―2,-1)口(0,1)。(2,4)

【解析】

【分析】由圖象結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)分類討論即可求解.

【詳解】由題意/(%)=-/(一x),當(dāng)xe[0,4]時(shí)，/(x)>OnO<x<l或2Vx<4,

/(x)<0=>l<x<2,

所以/(x)=—f(-x)>°f(-x)<°1<-x<2=>—2<x<—1,

所以/(x)>0的解集是(―2,-1)o(0,l)o(2,4),

故答案為：(-2,-l)o(0,l)o(2,4).

6.已知—1]=2x+3,若/(7)=4,則/=.

3

【答案】一##-0.75

4

【解析】

【分析】首先求出/(x)解析式，再代入計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?[；x—j=2x+3=4[；x—1]+7,

所以/(x)=4x+7,

3

因?yàn)椤?)=4,所以4/+7=4,解得/=—『

3

故答案為：一二

4

7.已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=eax.若/(ln2)=—4,則實(shí)數(shù)a的值

為.

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，確定ln2>0,再借助奇函數(shù)性質(zhì)及給定值列式計(jì)算作答.

【詳解】函數(shù)J=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，〃x)=e",而ln2>0,

于是/(ln2)=-/(—In2)=-/(ln3)=—e"“5=_=_2一“=—4,解得a=—2,

所以實(shí)數(shù)a的值為-2.

故答案為：-2

8.存在xeR使不等式|2%一4<|2”1卜2忖成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】^-oo,1ju（l,+co）

【解析】

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的三角不等式和一元二次不等式計(jì)算即可.

［詳解］存在xeR,不等式|2x—《＜|2"1|-2忖成立，變形即|2%一同+2國＜|2"1|成立,

由于|2x—a］+|2x曰（2x—a）—2x|=同，當(dāng)且僅當(dāng)2x（2x-a）＜0時(shí)取等號(hào)，

因此有|a|＜|2（z-l|,

兩邊平方/＜（2。-Ip,解得。＞1或。＜一，

3

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是［一叫g(shù)）u（l,+s）.

故答案為：f-oo,1ju(l,+co).

卜+1)''"I〃)_〃)

9.已知/(%)=<z、i，滿足任意凡，x2eR,X1WX2,都有、"J、2)〉o,

(1-3a)x+],x<—1X]-%

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式，由此求得。的取值范圍.

【詳解】依題意，/（X）滿足任意占，X2GR,刀產(chǎn)》2,都有J3J\山〉0,

所以/（X）在R上單調(diào)遞增,

1—3。>0

解得0<aJ,

所以<a>0

6

(-l+l)a>(l-3a)x(-l)+1

所以a的取值范圍是10,，

故答案為：1°，％

10.己知函數(shù)/(x)=,“—；；：：(“，其中0<a<4.若方程/(/(x))=2有且只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是.

【答案】(2-百,2-行"(1,2+收］

【解析】

【分析】作出函數(shù)y=/—4x+2,y=2x的圖象，令f=則/(。=2,再分0<aW1和1<a<4兩

種情況討論，結(jié)合圖象即可得出答案.

【詳解】如圖，作出函數(shù)y=x2—4x+2,y=2x的圖象，

令t=/(x)，則/。)=2,

當(dāng)0<aWl時(shí)，由/?)=2,得f=0或，=1,

即/(x)=0或/(x)=l，

若方程/(x)=l只有一個(gè)解，

a~—4a+2<1

則</_4。+220,解得2-/<aW2-亞,

0<a<1

若方程〃x)=0只有一個(gè)解，

0<6Z<1

解得2—行<。<1，

/—4。+2<0

此時(shí)方程/(x)=l必有解，與題意矛盾，所以a€(2—行,1］,

當(dāng)l<a<4時(shí)，由/(。=2,得.=0,即/(x)=0,

令丁―4X+2=0,解得工=2±也，

要使方程/(x)=0只有一個(gè)解，

l<a<4

則L不°k解得l<aW2+0，

2-V2<a<2+V2

綜上所述，a的取值范圍是(2—6,2—亞］3(1,2+收］

故答案為：（2-后2-夜卜（1,2+/]

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖

象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

二、單選題（第11、12題每題3分，第13、14題每題4分，共14分）

H.若實(shí)數(shù)b滿足I〉/〉。，則下列不等式中成立的是（）

A.a>bB.2a>26

22

C.a>\b\D.log2a>log,b

【答案】D

【解析】

【分析】對(duì)于D,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對(duì)于ABC,取a=-2,6=-1即可判斷.

【詳解】由題意，/>/>（）,所以log2a2>log2〃，故D正確；

當(dāng)。=一2,b=—1時(shí)，a2>b2>0>但a<6,2a<2b>。<同，故A,B,C錯(cuò)誤.

故選：D.

12.若不，工2是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且片+/=3,則a的值為（）

A.-1B.3C.—1或3D.1或一3

【答案】A

【解析】

【分析】利用根與系數(shù)關(guān)系來求得正確答案.

【詳解】依題意，/，々是一元二次方程V-0x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以八二。2一4〃〉0,。<0或。>4,

玉+/==a，

所以x；+x；=(石+/『一2$'2=a?-2。=3,

解得Q=3(舍去)或。二一1.

故選：A

V1

13.已知x+y=l,y>0,x>0,則—的最小值為()

xy

9F)

A.-B.0C.3D.—

22

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合力”的代換，利用基本不等式來求得正確答案.

【詳解】2+L2+.=2+±+1*"1+1=3,

XyXyXy\xy

yx1

當(dāng)且僅當(dāng)△=—J=%=7時(shí)等號(hào)成立，

xy2

y1

所以4+一的最小值為3.

xy

故選：C

14.0:存在且awO,對(duì)于任意的XER,使得/(X+Q)</(X)+/(Q)；%：/(%)在R上單調(diào)

遞減，且/(x)>0恒成立；%：/(x)在R上單調(diào)遞增，且存在/<0使得/(%)=0；下列說法成立的

是()

A,只有見是己的充分條件B.只有必是己的充分條件

C.%、/都是。的充分條件D.%、/都不是己的充分條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及充分條件的定義判斷即可.

【詳解】對(duì)于命題孫：/(x)在R上單調(diào)遞減，且/(x)>0恒成立，

當(dāng)Q>0時(shí)，此時(shí)x+a〉x,

又因?yàn)?(X)在R上單調(diào)遞減，所以/(x+a)</(x),

又因?yàn)?(x)>0恒成立，所以/(x)</(x)+/(a),

所以/(x+a)</(x)+/(a),所以命題名今命題?，

對(duì)于命題%:/(x)在R上單調(diào)遞增，且存在不<0使得/國)=0，

當(dāng)口=/<0時(shí)，止匕時(shí)x+a<x,/(a)=/(xo)=O,

又因?yàn)?(x)在R上單調(diào)遞增，所以/(x+a)</(x),

所以/(x+a)</(x)+/(。),所以命題42n命題

所以名、%都是。的充分條件，

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的定義，找到相應(yīng)。的值，從而得解.

三、解答題(共52分)

15.己知函數(shù)/(x)=-2x2+ax+l,設(shè)p:/(x)在(一刃,1］上單調(diào)遞增，在［2,+<?)上單調(diào)遞減；

q:m-3<a<2m.

(1)若P成立，求a的取值范圍；

(2)若夕是4的充分不必要條件，求加的取值范圍.

【答案】(1)［4,8］

(2)［4,7］

【解析】

a

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到IV—<2,解得即可；

4

(2)依題意可得［4,8］真包含于［機(jī)-3,2加］,即可得到不等式組，解得即可.

【小問1詳解】

因?yàn)槎魏瘮?shù)/(x)=-2/+ax+\的對(duì)稱軸為x=￡,

若P成立,即“X)在(-叫1］上單調(diào)遞增，在［2,+⑹上單調(diào)遞減，

所以解得4<。<8,即。的取值范圍為［4,8］；

【小問2詳解】

因?yàn)橄Γ?<aW8,q:m-3<a<2m,

又。是4的充分不必要條件，

所以［4,8］真包含于［加一3,2加］,

m-3<4

所以co(等號(hào)不同時(shí)成立)，解得44加〈7，

2m>8

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)加=4或加=7時(shí)，{a|4Va?8}w{4機(jī)-3VaV2加},

所以加的取值范圍為［4,7］.

/b1

16.已知函數(shù)/(x)=r---------為奇函數(shù).

e+12

(1)求實(shí)數(shù)b的值；

(2)關(guān)于x的不等式/(—+機(jī)x+〃)〉0的解集為(1,2),求m、n的值

【答案】(1)b=l-

(2)m--3,n=2.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，由/(0)=0求出b并驗(yàn)證即得答案.

(2)利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)/(x)的單調(diào)性，再把不等式化成一元二次不等式，利用給定解集求出

m,n

【小問1詳解】

函數(shù)/(》)=/一一工的定義域?yàn)镽，由/(x)為奇函數(shù)，得/(0)=0,則Y——-=0,解得6=1，

e+12e+12

此時(shí)/'(x)=^~7~_,f(-X)+/(X)=------H------=-1-----1=0,

e"+l27v尸+12e'+l2ex+lex+l

函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，所以6=1.

【小問2詳解】

函數(shù)3；=d+1在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減，

不等式f(x2+mx+n)>0<^>f(x2+mx+n)>/(0)<4>x2+mx+w<0,

依題意，不等式/+機(jī)工+〃<0的解集為(1,2),則1,2是方程/+機(jī)工+〃=0的兩個(gè)根,

1+2=—m

于是《，所以加=一3,〃=2.

1x2=n

17.已知函數(shù)/(x)=(log4X-3)-log44x.

(1)當(dāng)/(x)ZO時(shí)，求X的取值范圍；

(2)令g(x)=/(x)+log4x2—2a/og4X,求g(x)在xe產(chǎn)⑷]上的最小值.

【答案】(1)(0,；U[64,+co)

1一4鬼。<2

⑵g(x)mm=T—3,2<a<4

13-8Q,Q>4

【解析】

【分析】⑴依題意可得/("=(咋4%一3卜(1+唾4力，令/(x"0,求出log4x的取值范圍，從而

求出X的取值范圍；

(2)依題意可得g(x)=(log4X『-2a」og4X-3,再令"log/,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【小問1詳解】

因?yàn)?(X)=(log4x-3)-log44x=(log4x-3)-(l+log4x),

令/(x)?0,即(log4X-3>(l+log4x"0,則log/NB或log^W—l,

解得X>43=64^0<X<1,

所以x的取值范圍為[o,；u[64,+“)；

【小問2詳解】

因?yàn)間(x)=/(x)+log4在-2a-log4x

=(log4x-3)-(l+log4x)+2log4x-2a-log4x

2

=(log4x)-2a-log4x-3，

令"log/,因?yàn)閤e[42,4]，則fe[2,4],

22

此時(shí)有(log4x)-2a-log4x-3=t-2at-3,

令加?)=/一2at-3,te[2,4],

當(dāng)aV2時(shí),=m(2)=l-4a；

當(dāng)2<a<4時(shí)，=/7?(a)=-a2-3；

當(dāng)a24時(shí)，=m(4)=13-8a；

l-4a,a<2

綜上可得g(x)min=<_口一_3,2<a<4

13-8tz,a>4

18.中共中央政治局會(huì)議中明確提出支持新能源汽車加快發(fā)展.發(fā)展新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽

車強(qiáng)國的必由之路，是推動(dòng)綠色發(fā)展的戰(zhàn)略舉措.2024年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場(chǎng)

分析，全年需投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)無(百輛)，需另投入成本/(x)(萬元)，且

10x2+100x,(0<x<40)

/(x)=10000，由市場(chǎng)調(diào)研知，若每輛車售價(jià)5萬元，則當(dāng)年內(nèi)生產(chǎn)的車輛能在

501X+-.........4800,x240

、x

當(dāng)年全部銷售完.

(1)求出2024年的利潤(rùn)g(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量無(百輛)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)2024年的年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

—10x~+400%—2500,0<x<40

【答案】(1)g(x)=\10000

-x---------+2300,%>40

、X

(2)100,最大利潤(rùn)為最00萬元

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意求解即可；

(2)利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)求分段函數(shù)的最值即可.

【小問1詳解】

由題意知利潤(rùn)g(x)=收入-總成本,

—10x2+400x—2500,0<x<40

所以利潤(rùn)g(x)=5xx100-2500-/(x)=<

X

故2023年的利潤(rùn)g(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式為

—IO%2+400x—2500,0<x<40

g(%)=110000

一x--------F2300,x240

、x

【小問2詳解】

當(dāng)0<x<40時(shí)，g(x)=-10x2+400x-2500=-10(x-20)2+1500,

故當(dāng)X=20時(shí)，g(x)max=1500，

當(dāng)x240時(shí)，g(x)=-x-12222+2300<—26?+2300=2100,

xVx

當(dāng)且僅當(dāng)％=竺53,即x=100時(shí)取得等號(hào);

綜上所述，當(dāng)產(chǎn)量為100(百輛)時(shí)，取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為2100萬元.

19.已知函數(shù)/(x)和g(x)的定義域分別為D]和D2,若對(duì)任意與e。],恰好存在n個(gè)不同的實(shí)數(shù)

國,演…,當(dāng)el)2，使得8(%)=/(%)(其中，=1,2,…，n>l,〃eN*)，則稱g(x)為/(x)的“n重

覆蓋函數(shù)”.

(1)試判斷g(x)=|x|是否為/(x)=V—1的“2重覆蓋函數(shù)”？請(qǐng)說明理由；

⑵若g(x)=l1為〃x)=10g2*產(chǎn)的“2重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a；

x-1,x>12"+1

(3)函數(shù)[可表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.2]=1,[2]=2,[―1.2]=—2/(x)=ox—卬],

xe[0,2),若〃(x)為〃切=不匚，xe[0,+⑹的“2024重覆蓋函數(shù)”，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)不是，理由見解析

(2)或。=2

4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“〃重覆蓋函數(shù)”的定義判斷即可；

(2)由題意可得即對(duì)任意為wR,存在2個(gè)不同的實(shí)數(shù)苞626[—2,+co)),使得g(x,)=/(%)(其中

z=l,2),即g(x,)=log2[l+Ay)e(0,l),對(duì)。進(jìn)行分類討論來進(jìn)行求解.

(3)先求出再做出函數(shù)〃(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合解決問題.

【小問1詳解】

對(duì)于有〃0)=—1,而g(x)=|x|20,

所以g(x)不是/(x)的“2重覆蓋函數(shù)”.

【小問2詳解】

2%+2(1\

由題意可得/(X)=10g25rl=logj1+/工的定義域?yàn)镽,

即對(duì)任意X。eR,存在2個(gè)不同的實(shí)數(shù)玉,%e[-2,4-00)),

使得g(xj=/(xo)(其中，=1,2),

貝I]2,+1>1n0<」一<1=>1<1+<2,

2,>0，

2X+12X+1

0<i°g2i'即g("J=log2e(°」),

即對(duì)任意0〈左＜l,g(x)=上有2個(gè)實(shí)根，

當(dāng)x＞l時(shí)，g(x)=x-l=后已有一個(gè)根,

故只需—24x41時(shí)，g(x)=左(O＜左＜l)僅有l(wèi)個(gè)根①：

當(dāng)—a20,a〈0時(shí)，g(x)=2x-ae[g(-2),g(l)]=--a,2-a,

4

—~a<0

4

則2-a>l,此不等式組無解.

a<0

當(dāng)—a<0,a>0時(shí)，令g(x)=2"-司=0,解得x=log2a,

當(dāng)log?。W