2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章概率10.1隨機(jī)事件與概率10.1.4概率的基本性質(zhì)學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE1-10.1.4概率的基本性質(zhì)[目標(biāo)]駕馭概率的基本性質(zhì)并能運(yùn)用這些性質(zhì)求一些簡潔事務(wù)的概率．[重點(diǎn)]概率基本性質(zhì)的理解.[難點(diǎn)]概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)學(xué)問點(diǎn)概率的幾個(gè)基本性質(zhì)[填一填](1)對(duì)隨意的事務(wù)A，都有P(A)≥0.(2)必定事務(wù)的概率為1，不行能事務(wù)的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.(3)假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(4)假如事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立事務(wù)，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．(5)假如A?B，那么P(A)≤P(B)．(6)設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事務(wù)，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．[答一答]1．(1)若A，B為互斥事務(wù)，則(D)A．P(A)＋P(B)<1 B．P(A)＋P(B)>1C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1(2)隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的概率的范圍是(D)A．P(A)>0 B．P(A)<1C．0<P(A)<1 D．0≤P(A)≤1解析：(1)由互斥事務(wù)的定義可知，選D.(2)必定事務(wù)的概率是1，不行能事務(wù)的概率是0，隨機(jī)事務(wù)的概率在[0,1]上．故選D.2．若事務(wù)P(A)＋P(B)＝1，事務(wù)A與事務(wù)B是否肯定對(duì)立？試舉例說明．提示：事務(wù)A與事務(wù)B不肯定對(duì)立．例如：拋擲一枚勻稱的骰子，記事務(wù)A＝“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事務(wù)B＝“出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)或3點(diǎn)”，則P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.當(dāng)出現(xiàn)2點(diǎn)時(shí)，事務(wù)A與事務(wù)B同時(shí)發(fā)生，所以事務(wù)A與事務(wù)B不互斥，明顯也不對(duì)立．典例講練破題型類型一互斥事務(wù)概率加法公式的應(yīng)用[例1]某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率；(2)超過7環(huán)的概率．[分析]先設(shè)出事務(wù)，推斷是否互斥或?qū)α?，然后再運(yùn)用概率公式求解．[解](1)設(shè)A＝“射中10環(huán)”，B＝“射中7環(huán)”，由于在一次射擊中，A與B不行能同時(shí)發(fā)生，故A與B是互斥事務(wù)．A∪B＝“射中10環(huán)或7環(huán)”．故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.所以射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.(2)設(shè)E＝“超過7環(huán)”，則事務(wù)E＝“射中8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”，由(1)可知“射中8環(huán)”“射中9環(huán)”等彼此是互斥事務(wù)，所以P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＝0.69，所以超過7環(huán)的概率是0.69.對(duì)于一個(gè)較困難的事務(wù)，一般將其分解成幾個(gè)簡潔的事務(wù)，當(dāng)這些事務(wù)彼此互斥時(shí)，原事務(wù)的概率等于這些事務(wù)概率的和.并且互斥事務(wù)的概率加法公式可以推廣為：PA1∪A2∪…∪An＝PA1＋PA2＋…＋PAn.其運(yùn)用的前提條件仍舊是A1，A2，…，An彼此互斥.故解決此類題目的關(guān)鍵在于分解事務(wù)及確立事務(wù)是否互斥.[變式訓(xùn)練1]擲一枚勻稱的正六面體骰子，設(shè)A表示事務(wù)“出現(xiàn)2點(diǎn)”，B表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，則P(A∪B)等于(B)A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6)D.eq\f(1,3)解析：∵P(A)＝eq\f(1,6)，P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，事務(wù)A與B互斥，由互斥事務(wù)的概率加法公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).類型二對(duì)立事務(wù)概率公式的應(yīng)用[例2]甲、乙兩人下棋，和棋的概率是eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，求：(1)甲獲勝的概率；(2)甲不輸?shù)母怕剩甗分析]先設(shè)出事務(wù)，推斷是否互斥或?qū)α?，然后再運(yùn)用概率公式求解．[解](1)“甲獲勝”可看成是“和棋或乙獲勝”的對(duì)立事務(wù)，所以“甲獲勝”的概率為1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).(2)方法一：“甲不輸”可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個(gè)互斥事務(wù)的并事務(wù)，所以P(甲不輸)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).方法二：“甲不輸”可看成是“乙獲勝”的對(duì)立事務(wù)，所以P(甲不輸)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故甲不輸?shù)母怕蕿閑q\f(2,3).1只有當(dāng)A，B互斥時(shí)，公式PA∪B＝PA＋PB才成立；只有當(dāng)A，B互為對(duì)立事務(wù)時(shí)，公式PA＝1－PB才成立.2困難的互斥事務(wù)概率的求法有兩種：一是干脆求解，將所求事務(wù)的概率分解為一些彼此互斥的事務(wù)的概率的和，運(yùn)用互斥事務(wù)的概率的加法公式計(jì)算；二是間接求解，先找出所求事務(wù)的對(duì)立事務(wù)，再用公式PA＝1－P\x\to(A)求解.[變式訓(xùn)練2]從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事務(wù)A＝“抽到一等品”，事務(wù)B＝“抽到二等品”，事務(wù)C＝“抽到三等品”．已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事務(wù)“抽到的不是一等品”的概率為(C)A．0.20B．0.39C．0.35D．0.90解析：∵抽到的不是一等品的對(duì)立事務(wù)是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．下列說法正確的是(C)A．事務(wù)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率肯定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大B．事務(wù)A，B同時(shí)發(fā)生的概率肯定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小C．互斥事務(wù)不肯定是對(duì)立事務(wù)，對(duì)立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)D．互斥事務(wù)肯定是對(duì)立事務(wù)，對(duì)立事務(wù)不肯定是互斥事務(wù)解析：對(duì)于A，當(dāng)A、B為對(duì)立事務(wù)時(shí)，A,B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率和A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率相等，故A錯(cuò)；對(duì)于B，若A、B是相等事務(wù)，此時(shí)A、B恰有一個(gè)發(fā)生為不行能事務(wù)，概率為0，故B錯(cuò)；C正確，D錯(cuò)誤．故選C.2．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35).則從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是(C)A.eq\f(1,7) B.eq\f(12,35)C.eq\f(17,35) D．1解析：設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事務(wù)A，“從中取出2粒都是白子”為事務(wù)B，“從中隨意取出2粒恰好是同一色”為事務(wù)C.則P(A)＝eq\f(1,7)，P(B)＝eq\f(12,35).由互斥事務(wù)的概率加法公式可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是eq\f(17,35)，故選C.3．若A，B是互斥事務(wù)，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，則P(B)等于(A)A．0.3 B．0.7C．0.1 D．1解析：∵A，B是互斥事務(wù)，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故選A.4．中國乒乓球隊(duì)中的甲、乙兩名隊(duì)員參與奧運(yùn)會(huì)乒乓球女子單打競賽，甲奪得冠軍的概率為eq\f(3,7)，乙奪得冠軍的概率為eq\f(1,4)，那么中國隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為eq\f(19,28).解析：由于事務(wù)“中國隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事務(wù)“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個(gè)事務(wù)不行能同時(shí)發(fā)生，即彼此互斥，所以可按互斥事務(wù)概率的加法公式進(jìn)行計(jì)算，即中國隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).5．某公務(wù)員去開會(huì)，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)去的概率分別是0.3,0.2,0.1,0.4.求：(1)他乘火車或飛機(jī)去的概率；(2)他不乘輪船去的概率．解：設(shè)A＝“乘火車去開會(huì)”，B＝“乘輪船去開會(huì)”，C＝“乘汽車去開會(huì)”，D＝“乘飛機(jī)去開會(huì)”，它們彼此互斥．(1)P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.(2)P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.——本課須駕馭的三大問題1．互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)都是針對(duì)兩個(gè)事務(wù)而言的，它們兩者之間既有區(qū)分又有聯(lián)系．在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事務(wù)有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，但不行能兩個(gè)都發(fā)生；而兩個(gè)對(duì)立事務(wù)必有一個(gè)發(fā)生，但是不行能兩個(gè)事務(wù)同時(shí)發(fā)生，也不行能兩個(gè)