2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1變化率與導(dǎo)數(shù)1.1.1變化率問題1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念練習(xí)新人教A版選修2-2

PAGEPAGE1§1.1.1改變率問題§1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念[限時(shí)50分鐘，滿分80分]一、選擇題(每小題5分，共30分)1．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律s＝2t2＋5，則在時(shí)間(2，2＋Δt)中，相應(yīng)的平均速度等于A．8＋2Δt B．8＋2Δt＋eq\f(4,Δt)C．4＋Δt D．8＋Δt解析Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2＋5－(2×22＋5)＝2(Δt)2＋8Δt.∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2（Δt）2＋8Δt,Δt)＝8＋2Δt.答案A2．函數(shù)y＝x2－2x在x＝2旁邊的平均改變率是A．2 B．ΔxC．Δx＋2 D．1解析Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)－(4－4)＝(Δx)2＋2Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（Δx）2＋2Δx,Δx)＝Δx＋2.答案C3．設(shè)函數(shù)y＝f(x)可導(dǎo)，則eq\f(f（1＋3Δx）－f（1）,Δx)等于A．f′(1) B．3f′C.eq\f(1,3)f′(1) D．以上都不對解析eq\f(f（1＋3Δx）－f（1）,Δx)＝3eq\f(f（1＋3Δx）－f（1）,3Δx)＝3f′(1)．答案B4．一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝(2t＋1)2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么該物體在1秒末的瞬時(shí)速度是A．10米/秒 B．8C．12米/秒 D．6解析∵s＝4t2＋4t＋1，Δs＝[4(1＋Δt)2＋4(1＋Δt)＋1]－(4×12＋4×1＋1)＝4(Δt)2＋12Δt，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(4（Δt）2＋12Δt,Δt)＝4Δt＋12，∴v＝eq\f(Δs,Δt)＝(4Δt＋12)＝12(米/秒)．答案C5．假如函數(shù)y＝f(x)＝eq\r(x)在點(diǎn)x＝x0處的瞬時(shí)改變率是eq\f(\r(3),3)，那么x0的值是A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．3解析函數(shù)f(x)＝eq\r(x)在x＝x0處的瞬時(shí)改變率，f′(x0)＝eq\f(\r(x0＋Δx)－\r(x0),Δx)＝eq\f(Δx,Δx（\r(x0＋Δx)＋\r(x0)）)＝eq\f(1,2\r(x0))＝eq\f(\r(3),3)，∴x0＝eq\f(3,4).答案A6．某物體做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s＝t2＋eq\f(16,t)(t的單位是秒，s的單位是米)，則它的瞬時(shí)速度為0米/秒的時(shí)刻為A．8秒末 B．6秒末C．4秒末 D．2秒末解析設(shè)當(dāng)t＝t0時(shí)該物體瞬時(shí)速度為0米/秒，∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(（t0＋Δt）2＋\f(16,t0＋Δt)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(teq\o\al(2,0)＋\f(16,t0))),Δt)＝2t0＋Δt－eq\f(16,（t0＋Δt）t0)，∴eq\f(Δs,Δt)＝2t0－eq\f(16,teq\o\al(2,0))，由2t0－eq\f(16,teq\o\al(2,0))＝0得t0＝2.答案D二、填空題(每小題5分，共15分)7．函數(shù)y＝－3x2＋6在區(qū)間[1，1＋Δx]內(nèi)的平均改變率是________．解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f([－3（1＋Δx）2＋6]－（－3×12＋6）,Δx)＝eq\f(－6Δx－3（Δx）2,Δx)＝－6－3Δx.答案－6－3Δx8．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s＝eq\f(1,t)，則t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為________．解析由導(dǎo)數(shù)定義及導(dǎo)數(shù)的物理意義知s′＝eq\f(\f(1,t＋Δt)－\f(1,t),Δt)＝eq\f(－Δt,（t＋Δt）·t·Δt)＝eq\f(－1,t2＋t·Δt)＝－eq\f(1,t2)，∴s′eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,))eq\s\do7(t＝3)＝－eq\f(1,9)，即t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為－eq\f(1,9).答案－eq\f(1,9)9．已知曲線y＝eq\f(1,x)－1上兩點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))、Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋Δx，－\f(1,2)＋Δy))，當(dāng)Δx＝1時(shí)，割線AB的斜率為________．解析Δy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2＋Δx)－1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝eq\f(1,2＋Δx)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－（2＋Δx）,2（2＋Δx）)＝eq\f(－Δx,2（2＋Δx）).∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(－Δx,2（2＋Δx）),Δx)＝－eq\f(1,2（2＋Δx）)，即k＝eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,2（2＋Δx）).∴當(dāng)Δx＝1時(shí)，k＝－eq\f(1,2×（2＋1）)＝－eq\f(1,6).答案－eq\f(1,6)三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(10分)一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝3t－t2.(1)求此物體的初速度；(2)求此物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度；(3)求t＝0到t＝2的平均速度．解析(1)v0＝eq\f(s（Δt）－s（0）,Δt)＝eq\f(3Δt－（Δt）2,Δt)＝(3－Δt)＝3.(2)v2＝eq\f(s（2＋Δt）－s（2）,Δt)＝(－Δt－1)＝－1.(3)eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s（2）－s（0）,2)＝eq\f(6－4－0,2)＝1.11．(12分)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求適合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0值．解析由導(dǎo)數(shù)的定義知，f′(x0)＝eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(（x0＋Δx）2－xeq\o\al(2,0),Δx)＝2x0，g′(x0)＝eq\f(Δg,Δx)＝eq\f(（x0＋Δx）3－xeq\o\al(3,0),Δx)＝3xeq\o\al(2,0).因?yàn)閒′(x0)＋2＝g′(x0)，所以2x0＋2＝3xeq\o\al(2,0)，即3xeq\o\al(2,0)－2x0－2＝0，解得x0＝eq\f(1－\r(7),3)或x0＝eq\f(1＋\r(7),3).12．(13分)節(jié)日期間燃放煙花是中國的傳統(tǒng)習(xí)慣之一，制造時(shí)通常希望它在達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂．假如煙花距地面的高度h(m)與時(shí)間t(s)之間的關(guān)系式為h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求煙花在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度，并說明煙花升空后的運(yùn)動(dòng)狀況．解析因?yàn)閑q\f(Δh,Δt)＝eq\f(h（t＋Δt）－h(huán)（t）,Δt)＝－9.8t－4.9Δt＋14.7，所以h′(t)＝eq\f(Δh,Δt)＝(－9.8t－4.9Δt＋14.7)＝－9.8t＋14.7，所以h′(2)＝