2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期高頻考點(diǎn)突破專題03不等關(guān)系與不等式含解析新人教A版必修第一冊

PAGEPAGE14專題03不等關(guān)系與不等式考點(diǎn)1：不等關(guān)系與不等式學(xué)問點(diǎn)一基本領(lǐng)實(shí)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，其大小關(guān)系有三種可能，即a>b，a＝b，a<b.依據(jù)假如a>b?a－b>0.假如a＝b?a－b＝0.假如a<b?a－b<0.結(jié)論要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小思索x2＋1與2x兩式都隨x的改變而改變，其大小關(guān)系并不自不待言．你能想個(gè)方法，比較x2＋1與2x的大小嗎？答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.學(xué)問點(diǎn)二重要不等式?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．題型1：用不等式(組)表示不等關(guān)系例1《鐵路旅行常識(shí)》規(guī)定：一、伴同成人旅行，身高在1.2～1.5米的兒童享受半價(jià)客票(以下稱兒童票)，超過1.5米的應(yīng)買全價(jià)票，每一名成人旅客可免費(fèi)帶一名身高不足1.2米的兒童，超過一名時(shí)，超過的人數(shù)應(yīng)買兒童票．……十、旅客免費(fèi)攜帶物品的體積和重量是每件物品的外部長、寬、高尺寸之和不得超過160厘米，桿狀物品不得超過200厘米，重量不得超過20千克……設(shè)身高為h(米)，物品外部長、寬、高尺寸之和為P(厘米)，請用不等式表示下表中的不等關(guān)系.文字表述身高在1.2～1.5米身超群過1.5米身高不足1.2米物體長、寬、高尺寸之和不得超過160厘米符號(hào)表示解由題意可獲得以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物體長、寬、高尺寸之和為P(厘米)；(2)題中要求用不等式表示不等關(guān)系．解答本題應(yīng)先理解題中所供應(yīng)的不等關(guān)系，再用不等式表示．身高在1.2～1.5米可表示為1.2≤h≤1.5，身超群過1.5米可表示為h>1.5，身高不足1.2米可表示為h<1.2，物體長、寬、高尺寸之和不得超過160厘米可表示為P≤160.如下表所示：文字表述身高在1.2～1.5米身超群過1.5米身高不足1.2米物體長、寬、高尺寸之和不得超過160厘米符號(hào)表示1.2≤h≤1.5h>1.5h<1.2P≤160變式某套試卷原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本．據(jù)市場調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)削減2000本．若把提價(jià)后試卷的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？解提價(jià)后銷售的總收入為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(x－2.5,0.1)×0.2))x萬元，那么不等關(guān)系“銷售的總收入仍不低于20萬元”可以表示為不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(x－2.5,0.1)×0.2))x≥20(2.5≤x<6.5)．題型2：作差法比較大小例2已知a，b均為正實(shí)數(shù)．試?yán)米鞑罘ū容^a3＋b3與a2b＋ab2的大?。狻遖3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．當(dāng)a＝b時(shí)，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；當(dāng)a≠b時(shí)，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.綜上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.變式已知x<1，試比較x3－1與2x2－2x的大?。狻?x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))，又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，x－1<0，∴(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))<0，∴x3－1<2x2－2x.考點(diǎn)1：練習(xí)題1．下列說法正確的是()A．某人月收入x元不高于2000元可表示為“x<2000”B．小明的身高為x，小華的身高為y，則小明比小華矮可表示為“x>y”C．變量x不小于a可表示為“x≥a”D．變量y不超過a可表示為“y≥a”答案C解析對(duì)于A，x應(yīng)滿意x≤2000，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，x，y應(yīng)滿意x<y，故B錯(cuò)誤；C正確；對(duì)于D，y與a的關(guān)系可表示為“y≤a”，故D錯(cuò)誤．2．在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5cm，人跑開的速度為每秒4m，為了使點(diǎn)燃導(dǎo)火索的人能夠在爆破時(shí)跑到100m以外的平安區(qū)，導(dǎo)火索的長度x(cm)應(yīng)滿意的不等式為()A．4×eq\f(x,0.5)≥100 B．4×eq\f(x,0.5)≤100C．4×eq\f(x,0.5)>100 D．4×eq\f(x,0.5)<100答案C解析導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間eq\f(x,0.5)秒，人在此時(shí)間內(nèi)跑的路程為4×eq\f(x,0.5)m．由題意可得4×eq\f(x,0.5)>100.3．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是()A．M>N B．M＝NC．M<N D．與x有關(guān)答案A解析∵M(jìn)－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴M>N.4．若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，則y1與y2的大小關(guān)系是()A．y1>y2 B．y1＝y(tǒng)2C．y1<y2 D．隨x值改變而改變答案A5．如圖，在一個(gè)面積為200m2的矩形地基上建立一個(gè)倉庫，四周是綠地，倉庫的長a大于寬b的4倍，則表示上述的不等關(guān)系正確的是()A．a(chǎn)>4b B．(a＋4)(b＋4)＝200C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>4b，,a＋4b＋4＝200)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>4b，,4ab＝200))答案C解析由題意知a>4b，依據(jù)面積公式可以得到(a＋4)(b＋4)＝200，故選C.6．某次數(shù)學(xué)智力測驗(yàn)，共有20道題，答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)一題得－2分，不答得零分．某同學(xué)有一道題未答，設(shè)這個(gè)學(xué)生至少答對(duì)x題，成果才能不低于80分，列出其中的不等關(guān)系：________.(不用化簡)答案5x－2(19－x)≥80，x∈N*解析這個(gè)學(xué)生至少答對(duì)x題，成果才能不低于80分，即5x－2(19－x)≥80，x∈N*.7．某商品包裝上標(biāo)有重量500±1克，若用x表示商品的重量，則可用含肯定值的不等式表示該商品的重量的不等式為________．答案|x－500|≤1解析∵某商品包裝上標(biāo)有重量500±1克，若用x表示商品的重量，則－1≤x－500≤1，∴|x－500|≤1.8．若x∈R，則eq\f(x,1＋x2)與eq\f(1,2)的大小關(guān)系為________．答案eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2)解析∵eq\f(x,1＋x2)－eq\f(1,2)＝eq\f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq\f(－x－12,21＋x2)≤0.∴eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2).9．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，試比較x與y的大?。庖?yàn)閤－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，所以當(dāng)a>b時(shí)，x－y>0，所以x>y；當(dāng)a＝b時(shí)，x－y＝0，所以x＝y(tǒng)；當(dāng)a<b時(shí)，x－y<0，所以x<y.10．已知甲、乙、丙三種食物的維生素A，B含量及成本如下表：甲乙丙維生素A(單位/kg)600700400維生素B(單位/kg)800400500成本(元/kg)1194若用甲、乙、丙三種食物各xkg、ykg、zkg配成100kg的混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.試用x，y表示混合食物成本c元，并寫出x，y所滿意的不等關(guān)系．解依題意得c＝11x＋9y＋4z，又x＋y＋z＝100，∴c＝400＋7x＋5y，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(600x＋700y＋400z≥56000，,800x＋400y＋500z≥63000))及z＝100－x－y，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y≥160，,3x－y≥130.))∴x，y所滿意的不等關(guān)系為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y≥160，,3x－y≥130，,x≥0，,y≥0.))11．已知0<a1<1,0<a2<1，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是()A．M<N B．M>NC．M＝N D．無法確定答案B解析∵0<a1<1,0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N，故選B.12．若0<a1<a2，0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，則下列代數(shù)式中值最大的是()A．a(chǎn)1b1＋a2b2 B．a(chǎn)1a2＋b1b2C．a(chǎn)1b2＋a2b1 D.eq\f(1,2)答案A解析令a1＝0.1，a2＝0.9；b1＝0.2，b2＝0.8.則A項(xiàng)a1b1＋a2b2＝0.74；B項(xiàng)，a1a2＋b1b2＝0.25；C項(xiàng)，a1b2＋a2b1＝0.26，故最大值為A.13．一個(gè)盒子中紅、白、黑三種球分別為x個(gè)、y個(gè)、z個(gè)，黑球個(gè)數(shù)至少是白球個(gè)數(shù)的一半，至多是紅球個(gè)數(shù)的eq\f(1,3)，白球與黑球的個(gè)數(shù)之和至少為55，則用不等式(組)將題中的不等關(guān)系表示為________．答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)≤z≤\f(x,3)，,y＋z≥55))(x，y，z∈N*)解析由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)≤z≤\f(x,3)，,y＋z≥55))(x，y，z∈N*)．14．若a1<a2，b1<b2，則a1b1＋a2b2________a1b2＋a2b1.(填“>”“<”“＝”)答案>解析a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(b1－b2)(a1－a2)，∵a1<a2，b1<b2，∴b1－b2<0，a1－a2<0，即(b1－b2)(a1－a2)>0，∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.考點(diǎn)2：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)學(xué)問點(diǎn)一等式的基本性質(zhì)(1)假如a＝b，那么b＝a.(2)假如a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)假如a＝b，那么a±c＝b±c.(4)假如a＝b，那么ac＝bc.(5)假如a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).學(xué)問點(diǎn)二不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容留意1對(duì)稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不行逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號(hào)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正題型1：利用不等式的性質(zhì)推斷或證明例1(1)給出下列命題：①若ab>0，a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；②若a>b，c>d，則a－c>b－d；③對(duì)于正數(shù)a，b，m，若a<b，則eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m).其中真命題的序號(hào)是________．答案①③解析對(duì)于①，若ab>0，則eq\f(1,ab)>0，又a>b，所以eq\f(a,ab)>eq\f(b,ab)，所以eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以①正確；對(duì)于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，則7－0<6－(－10)，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，對(duì)于正數(shù)a，b，m，若a<b，則am<bm，所以am＋ab<bm＋ab，所以0<a(b＋m)<b(a＋m)，又eq\f(1,b(b＋m))>0，所以eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m)，③正確．綜上，真命題的序號(hào)是①③.(2)已知a>b>0，c<d<0.求證：eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).證明因?yàn)閏<d<0，所以－c>－d>0.所以0<－eq\f(1,c)<－eq\f(1,d).又因?yàn)閍>b>0，所以－eq\f(a,d)>－eq\f(b,c)>0.所以eq\r(3,\f(－a,d))>eq\r(3,\f(－b,c))，即－eq\r(3,\f(a,d))>－eq\r(3,\f(b,c))，兩邊同乘－1，得eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).變式若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，有下面四個(gè)不等式：①|(zhì)a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3.則不正確的不等式的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案C解析由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0可得b<a<0，從而|a|<|b|，①②均不正確；a＋b<0，ab>0，則a＋b<ab成立，③正確；a3>b3，④正確．故不正確的不等式的個(gè)數(shù)為2.題型2：利用性質(zhì)比較大小例2若P＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋5)＋eq\r(a＋8)(a>－5)，則P，Q的大小關(guān)系為()A．P<Q B．P＝QC．P>Q D．不能確定答案C解析P2＝2a＋13＋2eq\r((a＋6)(a＋7))，Q2＝2a＋13＋2eq\r((a＋5)(a＋8))，因?yàn)?a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8)＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2>0，所以eq\r((a＋6)(a＋7))>eq\r((a＋5)(a＋8))，所以P2>Q2，所以P>Q.變式下列命題中肯定正確的是()A．若a>b，且eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則a>0，b<0B．若a>b，b≠0，則eq\f(a,b)>1C．若a>b，且a＋c>b＋d，則c>dD．若a>b，且ac>bd，則c>d答案A解析對(duì)于A，∵eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，∴eq\f(b－a,ab)>0，又a>b，∴b－a<0，∴ab<0，∴a>0，b<0，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)a>0，b<0時(shí)，有eq\f(a,b)<1，故B錯(cuò)；對(duì)于C，當(dāng)a＝10，b＝2時(shí)，有10＋1>2＋3，但1<3，故C錯(cuò)；對(duì)于D，當(dāng)a＝－1，b＝－2時(shí)，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D錯(cuò)．題型3：利用性質(zhì)比較大小例3已知12<a<60,15<b<36.求a－b和eq\f(a,b)的取值范圍．解∵15<b<36，∴－36<－b<－15，∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.又eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，∴eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.故－24<a－b<45，eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.變式已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，則2a－b的取值范圍是____________．答案－eq\f(3,2)<2a－b<eq\f(5,2)解析因?yàn)?<a＋b<2，－1<－a＋b<1，且2a－b＝eq\f(1,2)(a＋b)－eq\f(3,2)(－a＋b)，結(jié)合不等式的性質(zhì)可得，－eq\f(3,2)<2a－b<eq\f(5,2).考點(diǎn)2：練習(xí)題1．假如a<0，b>0，那么下列不等式中正確的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B.eq\r(－a)<eq\r(b)C．a(chǎn)2<b2 D．|a|>|b|答案A解析∵a<0，b>0，∴eq\f(1,a)<0，eq\f(1,b)>0，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，故選A.2．若a，b，c∈R，且a>b，則下列不等式肯定成立的是()A．a(chǎn)＋c≥b－c B．a(chǎn)c>bcC.eq\f(c2,a－b)>0 D．(a－b)c2≥0答案D解析∵a>b，∴a－b>0，∴(a－b)c2≥0，故選D.3．已知a>b>c，則eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)的值是()A．正數(shù) B．負(fù)數(shù)C．非正數(shù) D．非負(fù)數(shù)答案A解析eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)＝eq\f(c－a＋b－c,(b－c)(c－a))＝eq\f(b－a,(b－c)(c－a))，∵a>b>c，∴b－c>0，c－a<0，b－a<0，∴eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)>0，故選A.4．若x>1>y，下列不等式不肯定成立的是()A．x－y>1－y B．x－1>y－1C．x－1>1－y D．1－x>y－x答案C解析利用性質(zhì)可得A，B，D均正確，故選C.5．已知a<0，b<－1，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)>eq\f(a,b)>eq\f(a,b2) B.eq\f(a,b2)>eq\f(a,b)>aC.eq\f(a,b)>a>eq\f(a,b2) D.eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a答案D解析∵a<0，b<－1，∴eq\f(a,b)>0，b2>1，∴0<eq\f(1,b2)<1，∴0>eq\f(a,b2)>eq\f(a,1)，∴eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a.6．不等式a>b和eq\f(1,a)>eq\f(1,b)同時(shí)成立的條件是________．答案a>0>b解析若a，b同號(hào)，則a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).7．給出下列命題：①a>b?ac2>bc2；②a>|b|?a2>b2；③a>b?a3>b3；④|a|>b?a2>b2.其中正確命題的序號(hào)是________．答案②③解析①當(dāng)c2＝0時(shí)不成立；②肯定成立；③當(dāng)a>b時(shí)，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(b,2)))2＋\f(3,4)b2))>0成立；④當(dāng)b<0時(shí)，不肯定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.8．設(shè)a>b>c>0，x＝eq\r(a2＋(b＋c)2)，y＝eq\r(b2＋(c＋a)2)，z＝eq\r(c2＋(a＋b)2)，則x，y，z的大小依次是________．答案z>y>x解析∵a>b>c>0，y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2ac－2bc＝2c(a－b)>0，∴y2>x2，即y>x.同理可得z>y，故z>y>x.9．推斷下列各命題的真假，并說明理由．(1)若a<b，c<0，則eq\f(c,a)<eq\f(c,b)；(2)eq\f(a,c3)<eq\f(b,c3)，則a>b；(3)若a>b，且k∈N*，則ak>bk；(4)若a>b，b>c，則a－b>b－c.解(1)假命題．∵a<b，不肯定有ab>0，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)不肯定成立，∴推不出eq\f(c,a)<eq\f(c,b)，∴是假命題．(2)假命題．當(dāng)c>0時(shí)，c－3>0，則a<b，∴是假命題．(3)假命題．當(dāng)a＝1，b＝－2，k＝2時(shí)，明顯命題不成立，∴是假命題．(4)假命題．當(dāng)a＝2，b＝0，c＝－3時(shí)，滿意a>b，b>c這兩個(gè)條件，但是a－b＝2<b－c＝3，∴是假命題．10．若－1<a＋b<3,2<a－b<4，求2a＋3b的取值范圍．解設(shè)2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝－\f(1,2).))因?yàn)椋璭q\f(5,2)<eq\f(5,2)(a＋b)<eq\f(15,2)，－2<－eq