黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校20242025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題考試說明：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第I卷（選擇題，共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列關(guān)系中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)元素與常用數(shù)集的關(guān)系一一判定選項(xiàng)即可.詳解】易知，即A錯(cuò)誤；，即B正確；，即C錯(cuò)誤；，即D錯(cuò)誤.故選：B2.集合，則（）A. B.R C.0,2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域計(jì)算B，結(jié)合交集的概念計(jì)算即可.【詳解】由題意知，即，又，所以.故選：C3.已知命題，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合全稱量詞命題與存在性量詞命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題與存在性量詞命題的關(guān)系，可得：命題的否定是．故選：D4.下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】A【解析】【分析】根據(jù)定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系判定同一函數(shù)即可.【詳解】對(duì)于A，易知兩函數(shù)定義域均為R，且，故A正確；對(duì)于B，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，兩函?shù)定義域不同，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，兩函?shù)定義域不同，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知兩函數(shù)定義域均為R，但，故D錯(cuò)誤.故選：A5.若，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，由充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，若，則，即；所以是的充分條件；若，則，因此，即；所以是的必要條件；綜上，是的充要條件.故選：C.6.已知，則的最小值為（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求和的最小值.【詳解】時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.7.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將變形為，變形為，分析結(jié)構(gòu)可知，從而得到結(jié)果.【詳解】，，表示等奇數(shù)，表示等奇數(shù)，.故選：C.8.已知為正實(shí)數(shù)，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，結(jié)合一元二次不等式利用基本不等式求得范圍，即可求解.【詳解】由，可得：又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，令可得：，即，所以，所以，所以.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，根?jù)不等式的性質(zhì)，則，故A正確；同理：，故BC正確.如，，但不成立，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.已知為正實(shí)數(shù)，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.ab的最小值為2 B.的最小值為C.的最小值為8 D.的最小值為2【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式結(jié)合消元轉(zhuǎn)化一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】由為正實(shí)數(shù)，對(duì)于A，，解之得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值，故B正確；對(duì)于C，，由A知，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，故C正確；對(duì)于D，，而，即，解之得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，故D正確.故選：BCD11.已知有限集，如果A中的元素滿足，就稱A為“W集”則下列選項(xiàng)正確的是（）A.集合是“W集”B.若是“W集”，則至少有一個(gè)大于2C.二元“W集”有有限個(gè)D.若為正整數(shù)，則“W集”A有且只有一個(gè)，且【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)定義可判定A，舉反例可判定B，利用等量關(guān)系化為函數(shù)關(guān)系可判定C，設(shè)A中，得到，分和，兩種情況分類討論，可判定D.【詳解】對(duì)于A，，所以A正確；對(duì)于B，如顯然是“W集”，但不滿足兩個(gè)元素至少一個(gè)大于2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若“W集”，即，顯然，顯然隨變化而變化，這樣的二元“W集”有無限個(gè)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不妨設(shè)A中，由，得，當(dāng)時(shí)，即有，所以，于是，無解，即不存在滿足條件的“W集”；當(dāng)時(shí)，，故只能，，求得，于是“W集”A只有一個(gè)，為．當(dāng)時(shí)，由，即有，事實(shí)上，，矛盾，所以當(dāng)時(shí)不存在W集A，所以D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義有關(guān)的問題的求解策略：①通過給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；②遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運(yùn)算，驗(yàn)證，使得問題得以解決.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.12.函數(shù)的定義域?yàn)開____________.【答案】【解析】【分析】利用二次根式與零指數(shù)冪的意義計(jì)算即可.【詳解】由題意可知函數(shù)解析式有意義需，解之得.故答案為：13.已知，則的取值范圍是_____________.【答案】【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合待定系數(shù)法計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，即，解之得，由，則故答案為：14.關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】【解析】【分析】分離參數(shù)，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】不等式在上有解，等價(jià)于在上能成立，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，所以，則.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.比較下列各組M，N大小.（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用作差法結(jié)合因式分解比大小即可；（2）利用分子有理化比較即可.【小問1詳解】由題意知，而，所以a?b2≥0,a+b【小問2詳解】易知，且，又，所以.16.已知集合.（1）求；（2）若滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式求A，M，利用補(bǔ)集與并集的概念計(jì)算即可；（2）分類討論B是否為空集，結(jié)合集合的基本關(guān)系計(jì)算即可.【小問1詳解】由，解得，即，由，解得，即，則，則；【小問2詳解】由可知，若，即時(shí)，符合題意；若，則要滿足題意需，解之得；綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.哈爾濱市第三中學(xué)校計(jì)劃在符保盧田徑場(chǎng)建造一間地面為矩形、背面靠墻的器材室，占地面積為，器材室正面每平方米的造價(jià)為元，側(cè)面每平方米的造價(jià)為元，屋頂?shù)脑靸r(jià)為元.墻高為，且不計(jì)器材室背面和地面的費(fèi)用.（1）列出總造價(jià)與器材室正面長度的關(guān)系式；（2）器材室正面長度為多少時(shí)能使總造價(jià)最低？并求出最低總造價(jià).【答案】（1）（2）器材室正面長度時(shí)能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為元.【解析】【分析】（1）由題意設(shè)出長方體的長和寬，直接建立函數(shù)關(guān)系即可；（2）利用基本不等式，可得答案.【小問1詳解】由題意可知正面長度為，由占地面積為，則側(cè)面長度為，可得【小問2詳解】令，根據(jù)基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，.所以器材室正面長度時(shí)能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為元.18.已知函數(shù).（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）分類討論結(jié)合三個(gè)二次關(guān)系計(jì)算即可；（2）含參分類討論解不等式即可.【小問1詳解】若，則，顯然不符合題意；所以，要滿足題意需，整理得，解之得，即的取值范圍為；【小問2詳解】原不等式等價(jià)于，若時(shí)，解不等式得，若，解不等式得或，若，解不等式得，若，解不等式得，若，解不等式得，綜上所述：時(shí)，不等式解集為；時(shí)，不等式解集為；時(shí)，不等式解集為；時(shí)，不等式解集為；時(shí)，不等式解集為.19.設(shè)，記不大于的最大整數(shù)為，如：，.（1）若，求；（2）已知，試求；（3）已知且，記，求證：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）直接證明即可得到；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性證明方程存在唯一零點(diǎn)，且該零點(diǎn)屬于，即可得到，進(jìn)一步即知；（3）先證明不等式，然后由此證明，即可得到原命題.【小問1詳解】此時(shí)，.故，從而.【小問2詳解】設(shè)，若，下面證明：.若，則有，所以，這就得到.故；若，則由，知.從而有，.這就