2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)講義-二項式定理（解析版）

第45講二項式定理

1.二項式定理

（?+by=C°an+C[anlb+C^an-2b2++C^an-kbk++C；bn.

2.二項展開式的特點

（1）這個公式叫做二項式定理.

⑵展開式：等號右邊的多項式叫做（。+與"的二項展開式，展開式中一共有"+1項.

（3）二項式系數(shù)：各項的系數(shù)Cf（左=0,1,2n）叫做二項式系數(shù).

（4）各項的次數(shù)和都等于二項式的幕指數(shù)〃.

3.二項展開式的通項公式

kk

（。+by展開式的第k+1項叫做二項展開式的通項，記作rk+l=cy~b

4.二項式定理中，項的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別

二項式系數(shù)與項的系數(shù)是完全不同的兩個概念.二項式系數(shù)是指《，,…，禺，它只與各項的項

數(shù)有關(guān)，而與a,b的值無關(guān)，而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，而

且也與a3的值有關(guān).

題型一：二項式定理

1.（全國高二課時練習(xí)）二項式（丁一」尸]的展開式中為常數(shù)項的是（）

A.第3項B.第4項C.第5項D.第6項

【答案】C

【詳解】

依題意，卜--4的展開式的通項為小=G苫產(chǎn)（-；廠=（-1）<興吟'，,

令30-1r=0，得,=4,即1是二項式3-左;的展開式的常數(shù)項，

所以展開式中的常數(shù)項是第5項.

故選：C

2.（全國高二課時練習(xí)）C>2"+C：.2"T++C<2^++C：等于（）

A.2"B.2"-1C.3"D.1

【答案】c

【詳解】

c〉2"+C?2'T++C：?2n-k++C：

=（1+2）"=3".

故選：C

3.（全國高二課時練習(xí)）若［的展開式有16項，則自然數(shù)〃的值為（）

A.9B.10C.11D.16

【答案】B

【詳解】

解：因為卜+蛾］的展開式共有〃+6項，所以“+6=16,所以“=10,

故選：B.

4.（包頭市第六中學(xué)高二期中（理））若（1+7蛆）8=4+4尤+出》2+...+%好且4+%+...+%=255，則實

數(shù)m的值為（）

A.1或-3B.-1C.-3D.1

【答案】A

【詳解】

因為+=%+弓%+%%2+...+Q九8

令x=0,則。o=1；

令％=1貝［］（1+m）8=%+4+4+…+/，

又4+%+…+/=255,所以（1+m）8=256,即（1+m）8=28,因此1+加=±2,

解得m=1或m=-3.

故選A

5.（全國高二課時練習(xí)）設(shè)i為虛數(shù)單位，則（1+06展開式中的第三項為（）

A.-20iB.15iC.20D.-15

【答案】D

【詳解】

解：（1+i）6展開式中的第三項為儂=-15.

故選：D

6.（陜西金臺?高二期末（理））（尤-2y）6展開式中的第4項為（）

A.60x4j2B.240//C.160x3/D.-160x3/

【答案】D

【詳解】

解：（x-2y）6展開式中的第4項為Ck（-2?=-16O.x3y3,

故選：D

7.（全國高三專題練習(xí)（理））二項式12if的展開式中的常數(shù)項為（）

63c21

A.—B.—CD

3216?記T

【答案】B

【詳解】

二項式的展開式的通項為：Tk+l=C^

令18—3左=0,可彳導(dǎo)：k=6,

所以常數(shù)項為c；出6尤。W,

故選：B.

1一］的展開式中，常數(shù)項為（）

8.（重慶市第六十六中學(xué)校高一月考）一項式

A.-4B.4C.-6D.6

【答案】D

【詳解】

二項式的展開式的通項公式為：

令4-2r=0,解得r=2,

所以常數(shù)項為4=0：(-1)2=6,

故選：D

9.(全國高二課時練習(xí))已知［的展開式中各項的二項式系數(shù)的和為512,則這個展開式中的常數(shù)

項為()

A.-34B.-672C.84D.672

【答案】B

【詳解】

9-r(9—3r

由已知，20=512,貝k=9,所以---=(-2)，C；x丁.

令9-3廠=0，得廠=3,所以常數(shù)項為(一2)3曰=一8><84=—672,

故選：B.

10.(廣東荔灣?西關(guān)外國語學(xué)校高三月考)］辦-展開式中的常數(shù)項為-160,則°=()

A.-1B,1C.+1D.2

【答案】B

【詳解】

卜一￡|的展開式通項為4+1=晨(依產(chǎn)(一￡|=(-2)ra6-rC；x6-2r(0<r<6,re7V),

???令6-2r=0,解得r=3,

??(依的展開式的常數(shù)項為4=(-2)3?6-3C：%6-6=-160?3=-160,

a=l

故選：B.

11.(贛榆智賢中學(xué))二項式“nr-：］(加>0)的展開式中常數(shù)項為60,則根=()

A.72B.gC.2D.3

【答案】A

【詳解】

2rr

通項Tr+1=晨（mx廣x--（-l）=Qm6Txi.,r=0,1,2,3,4,5,6,

令6-3r=0，得6=3r,得r=2,

所以c：根6-2（_I）2=C；/=60,即故,〃,

故選：A.

12.（全國高二課時練習(xí)）（1+力］1+1的展開式的常數(shù)項為（）

A.6B.10C.15D.16

【答案】D

【詳解】

由題意得［1+口的展開式的通項為卻=瑪?婷什=。，1，2,…,6）,

令廠=4,則*=15,

所以（1+/）+J'的展開式的常數(shù)項為1+15=16.

故選：D.

13.（全國高二課時練習(xí)）在［1+：-尤］的展開式中，/項的系數(shù)為（）

A.-50B.-30C.30D.50

【答案】B

【詳解】

+表示5個因式［l+.-x1的乘積，在這5個因式中，

有2個因式都選r,其余的3個因式都選1,相乘可得含V的項；

或者有3個因式選r,有1個因式選工，1個因式選1,相乘可得含Y的項,

故無2項的系數(shù)為C；+（-C；.C；.2）=-30,

故選B.

題型二：二項式系數(shù)

1.（全國高二課時練習(xí)）［-胃的展開式中含/項的二項式系數(shù)為（）

A.-10B.10C.-5D.5

【答案】D

【詳解】

1的展開式的通項為：加=a5-*（_1）［］=亡（-1）?口，

令5—2左=3可彳導(dǎo)左=1,

所以含項的二項式系數(shù)為C；=5,

故選：D.

2.（全國高二課時練習(xí)）Q+2XJ的展開式中常數(shù)項是（）

A.60B.120C,160D.960

【答案】C

【詳解】

I+2尤）6的展開式的通項公式為丁用=C；6-r

I（2X）'=2，C"2L6

令2—6=0,則r=3,

故常數(shù)項為第4項目為23Cf=160,

故選：C.

3.（全國高二課時練習(xí)）在（l+3x）”的展開式中，第三項的二項式系數(shù)為6,則第四項的系數(shù)為（）

A.4B.27C.36D.108

【答案】D

【詳解】

解：（1+3尤）”的展開式中的第左+1項為心=仁（3尤＞,由C；=6,得〃=4,

所以4=C：（3x）3,故第四項的系數(shù)為C：33=108.

故選：D.

4.（江蘇高三月考）若二項式（二-］的展開式中所有項的系數(shù)和為］，則展開式中二項式系數(shù)最大的項

（2）64

為（）

A.——-x3B.—x4C.—20x3D.15x4

24

【答案】A

【詳解】

所以〃=6，展開式有7項，

所以二項式（g-x：展開式中二項式系數(shù)最大的為第4項，

?出〕一|九

故選：A.

5.（江蘇南京?高二期末）卜-白］（〃eN*）展開式中所有項的系數(shù)和為243,展開式中二項式系數(shù)最大

值為（）

A.6B.10C.15D.20

【答案】B

【詳解】

令x=l得（4-1）”=243,n=5,

展開式中二項式系數(shù)最大的項是第3和第4項，最大的二項式系數(shù)為C；=C；=10.

故選：B.

6.（遼寧丹東?高三二模）在（了-1）”的二項展開式中，僅有第4項的二項式系數(shù)最大，貝曠=（）

A.5B.6C.7D,8

【答案】B

【詳解】

因為在（x-1）"的二項展開式中，僅有第4項的二項式系數(shù)最大，

所以5+1=4,

解得"=6,

故選：B

7(全國)已知(1+2x)2"的展開式中奇次項系數(shù)之和等于364，那么展開式中二項式系數(shù)最大的項息)

A.第3項B.第4項

C.第5項D.第6項

【答案】B

【詳解】

設(shè)(1+2x)2"=40+aiX+a2X2+aiX3+…+02"-1N"-1+°2謂",則展開式中奇次項系數(shù)之和就是+。3+。5+…

+42〃-1.

分別令X=1,-1,得

/+%++〃3+,+。2〃-1+a2n=32”,

-%+-〃3+一-1+a2n~I

32n-1

兩式相減，得41+〃3+〃5+…+-1=.

由已知，得工=364,

；.32"=729=36，即〃=3.

(1+2無)2"=(1+2x)6的展開式共有7項，中間一項的二項式系數(shù)最大，即第4項的二項式系數(shù)最大.

故選:B.

8.(全國高二課時練習(xí))已知(x-1)"的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和是64，則它的展開式的中間項為

()

A.一35比4B.35/C.一35/和35/D.一35爐和35/

【答案】c

【詳解】

由已知，可得2力=64,解得"=7,

1)，的展開式中共有8項，中間項為第4項與第5項，

43

T4=C江4(-1)3=-35x,Ts=C"(-l)4=35x

故選：C

9.（吳江汾湖高級中學(xué)）已知（1+x）”的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則所有項的二項式系

數(shù)和為（）

A.212B.211C.210D.29

【答案】C

【詳解】

由題意，展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，故C：=n=10

因此，所有項的二項式系數(shù)和為2"

故選：C

10.（江蘇如皋?高三模擬預(yù)測）的展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項為（）

A.20B.-120C.60D,-60

【答案】C

【詳解】

由題意得2"=64，故”=6.

所以原式為（五-［6,

通項為“硝石廣［一］=（一2）0苫,

弘

令3-丁=0得左=2,

故常數(shù)項為：（-2）2C；=60.

故選：C.

11.（河南平頂山?（理））的展開式中各項的二項式系數(shù)的和為256,則展開式中/的系數(shù)為

()

A.504石B.504C.70A/3D.70

【答案】A

【詳解】

由題可知2"=256,解得〃=8］后的展開式的通項為

&'.（后廠用=

陰81C.『壽,再令8=4,解得廠=3.

所以展開式中的系數(shù)為（由『xC；=50473.

故選：A

題型三：項的系數(shù)

1.（全國高二課時練習(xí)）設(shè)（2-乃6=%+%（1+幻+。（1+」）2++&（1+X）6,則

%+%+CL?+/+%+（）

A.4B.-71C.64D.199

【答案】C

【詳解】

V（2-X）6=40+41（1+X）+〃2（1+x）2+...+Q6（l+X）6,

令x=0,

ao+a］+42+〃3+。4+〃5+〃6=26=64.

故選：C.

2.（湖北襄城?襄陽五中高三月考）（x-3y）s的展開式中所有的項的系數(shù)之和為（）

A.-32B.-16C.10D.64

【答案】A

【詳解】

令E,尸］,則展開式所有項的系數(shù)和為T=—32.

故選：A.

3.（全國高二單元測試）卜-0力8的展開式中，苫6產(chǎn)項的系數(shù)是（）

A.56B.-56C.28D.-28

【答案】A

【詳解】

依題意C；y2-(-V2J)2=2C^6/=56X6/,

所以f寸的系數(shù)是56.

故選：A

4.(全國高二課時練習(xí))二項式、2-，］的展開式中含一項的系數(shù)為()

A.160B.-160C.80D.-800

【答案】A

【詳解】

解：卜一口展開式的通項為幾=C-)㈠/-=u(T"網(wǎng)"，

令10—3%=4，得k=2,

所以含X4項的系數(shù)為C；(-4)2=160.

故選：A.

5.(汕頭市潮南區(qū)陳店實驗學(xué)校高二期中)(1+彳+/)(》-2)5的展開式中/的系數(shù)為()

A.40B.80C.-40D,-80

【答案】A

【詳解】

(1+犬+/)(彳-2)5=(1+%+/)(-2+%)5,

所以展開式中X，的系數(shù)為C；(-2)2+C；(-2)3+C(-2)4=40-80+80=40.

故選：A

6.(金華市方格外國語學(xué)校高二月考)若。-2切2°2|=%+4%+九2++a202M2°以,貝(J40+"1+%++。2021

)

A.2B.-1C.2D.-2

【答案】B

【詳解】

令X=1,則(1—2x1)=4+4+%++生021,即“0+%+。2+L+。2021=-1,

故選：B.

7.(福建省寧德市教師進修學(xué)院高二期末)已知。+2x)7=%+a{X+++4%6+/貝！1

_〃]+%_+〃6—〃7=()

A.