2024-2025學年新教材高中數(shù)學第十一章立體幾何初步11.1空間幾何體11.1.2構成空間幾何體的基本元素教師用書教案新人教B版必修第四冊

PAGE7-11．1.2構成空間幾何體的基本元素[課程目標]1.了解構成空間幾何體的基本元素；2.理解點、線、面三個原始概念及其關系；3.從運動的角度理解直線、面、體的形成過程；4.以長方體為例，了解空間中點、直線、平面之間的位置關系．學問點一構成空間幾何體的元素[填一填]1．將點、線、面看作構成空間幾何體的基本元素．2．立體幾何中，我們仍用大寫英文字母來表示點，構成空間幾何體的基本元素可以借助點來表示．[答一答]1．對點、線、面及其關系的三點說明．提示：(1)平面和點、線一樣是構成空間圖形的基本要素之一，它是無邊界、大小和厚薄的．(2)“點”可看成元素，“線、面”可看成集合．(3)將“文字語言”“圖形語言”轉化為“符號語言”要留意符號“∈，?，?，?，∩”的正確運用．學問點二空間點、線、面的關系[填一填]1．從運動的觀點理解點、線、面之間的關系點運動的軌跡可以是線，線運動的軌跡可以是面，面運動的軌跡可以是體．2．空間中點與直線、直線與直線的位置關系(1)點A與B確定的直線可記作直線AB.一般用小寫英文字母表示直線，直線AB可簡記為l.A，B都是l上的點，且A1，B1都不是l上的點，可用符號簡寫為A∈l，B∈l，A1?l，B1?l.(2)若直線m與l相交(即有公共點)，k與l不相交(即沒有公共點)，可分別表示為m∩l≠?，k∩l＝?.若m與l相交于點B，記為m∩l＝{B}，簡寫為m∩l＝B.(3)一般地，空間中的兩條直線，可以既不平行，也不相交，此時稱這兩條直線異面．3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關系(1)空間中的平面是可無限延長的，而且能用該平面內不共線的3個或3個以上的點來表示．如長方形ABCD所在的平面可記作面ABC，也可以記作面ABD或面ABCD.通常用小寫希臘字母α，β，γ，…表示平面．因此，面ABCD可以記為α.若A是平面α內的點，A1不是平面α內的點，用符號簡寫為A∈α，A1?α.(2)點A，B確定的直線l上的全部點都在平面α內，這稱為直線l在平面α內(或平面α過直線l)，記作l?α；點B，B1確定的直線m上至少有一個點不在平面α內，這稱為直線m在平面α外，記作m?α.若m與α有且只有一個公共點(稱為直線m與平面α相交)，即m∩α＝{B}，簡寫為m∩α＝B.當l∩α＝?時，稱直線l與平面α平行，記作l∥α.(3)α與β有公共點，這稱為平面α與平面β相交，記作α∩β≠?.當α∩β＝?時，稱平面α與平面β平行，記作α∥β.4．直線與平面垂直(1)假如直線l與平面α相交于一點A，且對平面α內隨意一條過點A的直線m，都有l(wèi)⊥m，則稱直線l與平面α垂直(或l是平面α的一條垂線，α是直線l的一個垂面)，記作l⊥α，其中點A稱為垂足．(2)給定空間中一個平面α及一個點A，過A可以作而且只可以作平面α的一條垂線．假如記垂足為B，則稱B為A在平面α內的射影(也稱為投影)，線段AB為平面α的垂線段，AB的長為點A到平面α的距離．(3)當直線與平面平行時，直線上隨意一點到平面的距離稱為這條直線到這個平面的距離；當平面與平面平行時，一個平面上隨意一點到另一個平面的距離稱為這兩平行平面之間的距離．[答一答]2．寫出兩個特殊的空間位置關系？提示：(1)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形．(2)平面和平面垂直是兩個平面相交的特殊情形．3．怎樣理解點到平面的距離及兩個平行平面間的距離？提示：(1)點與平面內任一點連線中最短的一條線段的長度．特殊地，當點在平面內時，點到平面的距離為0.(2)兩個平行平面間的距離，可轉化為其中一個平面內任一點到另一個平面的距離．類型一構成幾何體的基本元素[例1]如圖所示，是某同學的課桌的大致輪廓，請你從這個幾何體里面找尋一些點、線、面，并將它們列舉出來．[解]面可以列舉如下：平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A線可以列舉如下：直線AA1，直線BB1，直線CC1，直線DD1，直線A2B2，直線C2D2等；點可以列舉如下：點A，點A1，點B，點B1，點C，點C1，點D，點D1，點A2，點B2，點C2，點D2.它們共同組成了課桌這個幾何體．點是最基本元素，只有位置，沒有大??；直線沒有粗細，向兩方無限延長；平面沒有厚度，向四周無限延展．要熟記這三種基本元素的特點．在現(xiàn)實生活中多找一些幾何體視察一下，加深對構成空間幾何體的基本元素的相識．[變式訓練1]如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，下列說法正確的有①①長方體的頂點一共有8個；②線段AA1所在的直線是長方體的一條棱；③矩形ABCD所在的平面是長方體的一個面；④長方體由六個平面圍成．解析：①長方體一共有8個頂點，故①正確；②長方體的一條棱為線段AA1，故②錯誤；③矩形ABCD為長方體的一個面，故③錯誤；④長方體由六個矩形(包括它的內部)圍成，故④錯誤．類型二異面直線的判定[例2]如圖所示，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的是()[解析]嚴格依據(jù)異面直線的定義對兩直線的位置關系作出正確推斷，不能僅憑主觀臆測和對圖形的模糊相識作出選擇，A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交，故選C.[答案]C1.推斷空間中兩條直線位置關系的關鍵點(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關系，特殊關注異面直線．(2)重視正方體等常見幾何體模型的應用，會舉例說明兩條直線的位置關系．2．判定兩條直線是異面直線的方法(1)證明兩條直線既不平行又不相交．(2)重要結論：連接平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線．用符號語言可表示為A?α，B∈α，B?l，l?α，則AB與l是異面直線(如圖)．[變式訓練2]若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是(D)A．平行B．異面C．相交D．平行、相交或異面解析：可借助長方體來推斷．如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD-A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或異面．類型三幾何體中基本元素的位置關系[例3]如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1(1)與棱BC平行的棱是哪幾條？(2)與棱BC平行的平面是哪幾個？(3)與棱BC垂直的平面是哪幾個？(4)與平面BC1垂直的平面是哪幾個？[解]在長方體的面與棱中，(1)與棱BC平行的棱有：棱B1C1，A1D1，AD(2)與棱BC平行的平面有：平面A1C1，平面AD1(3)與棱BC垂直的平面有：平面AB1，平面DC1.(4)與平面BC1垂直的平面有：平面AB1，平面A1C1，平面DC1，平面AC長方體中基本元素位置關系的推斷(1)平行關系的判定①直線與直線的平行關系：如圖，在長方體的12條棱中，分成“長”“寬”“高”三組，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“長”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“寬”AD，BC，A1D1，B1C②直線與平面的平行關系：在長方體的12條棱及表面中，若棱所在的直線與某一平面不相交，就平行．③平面與平面的平行關系：長方體的對面相互平行．(2)垂直關系的判定①直線與平面的垂直關系：在長方體的棱所在直線與各面中，若直線與平面有且只有一個公共點，則二者垂直．②平面與平面的垂直關系：在長方體的各表面中，若兩平面有公共點，則二者垂直．[變式訓練3]如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1(1)三對平行的平面；(2)三對垂直的平面；(3)直線AD1與平面BC1的位置關系；(4)直線AD與平面AB1的位置關系．解：(1)平面AB1與平面DC1，平面AD1與平面BC1，平面AC與平面A1C1(2)平面AB1與平面AC，平面AB1與平面AD1，平面AC與平面BC1分別垂直．(3)直線AD1與平面BC1相互平行．(4)直線AD與平面AB1相互垂直．1．下列說法正確的是(D)A．水平放置的平面是大小確定的平行四邊形B．平面ABCD就是四邊形ABCD的四條邊圍起來的部分C．100個平面重疊在一起比10個平面重疊在一起厚D．通常把平行四邊形的銳角畫成45°，一般依據(jù)須要也可畫成90°，60°，30°，…解析：A平面不是平行四邊形；B平面是無限延展的；C平面沒有厚度，故A，B，C都不對．2．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，與棱A1A．1條B．2條C．3條D．4條解析：與棱A1A3．若直線上有一點在平面外，則下列結論正確的是(B)A．直線上全部的點都在平面外B．直線上有多數(shù)多個點都在平面外C．直線上有多數(shù)多個點都在平面內D．直線上至少有一個點在平面內解析：直線上有一點在平面外，則直線不在平面內，故直線上有多數(shù)多個點在平面外．4．線段AB長為5cm，在水平面上向右移動4cm后記為CD，將CD沿鉛垂線方向向下移動3cm后記為C′D′，再將C′D′沿水平方向向左移動4cm后記為A′B′，